二项式定理及其应用

二项式定理及其应用

徐光明 唐绍霞

（华中师范大学第一附属中学，４３０２２３）（湖北省武汉市关山中学，４３００７４）

二项式定理是高中数学相对独立的重要知识

点，也是学生学习的难点．二项式定理一直是高考的

热点内容之一，一般以客观题形式出现，考查二项展

开式的通项公式、特定项的系数与二项式系数．本文

介绍考查二项式定理这一内容的基本题型和解题策

略，供读者参考．

题型一：公式的正用、逆用、变形用．

二项式定理的一般形式为：

（ａ＋ｂ）ｎ＝Ｃ０

ｎａｎ＋Ｃ１ｎａｎ－１ｂ＋Ｃ２ｎａｎ－２ｂ２＋

…＋

Ｃｒｎａｎ－ｒｂｒ＋…＋Ｃｎｎｂｎ．

在解决实际问题中，这个公式可以正用，也可以

逆用，有时还需要拆项后变形使用．如：

将ｘｎ展开成ａ０＋ａ１（ｘ＋ｂ）＋ａ２（ｘ＋ｂ）２＋…＋

ａｎ（ｘ＋ｂ）ｎ时，可考虑先拆项ｘｎ＝［（ｘ＋ｂ）－ｂ］ｎ；

将三项式（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｎ展开时，可将三项式并

为二项式［（ｘ＋ｙ）＋ｚ］ｎ再进行展开．

例１　计算：

２ｎ－１Ｃ１ｎ＋２ｎ－２Ｃ２ｎ＋２ｎ－３Ｃ３ｎ＋…＋Ｃｎｎ．

解析　结合所给代数式，可在二项式定理的公

式中，取ａ＝２，ｂ＝１，得

２ｎ－１Ｃ１ｎ＋２ｎ－２Ｃ２ｎ＋２ｎ－３Ｃ３ｎ＋…＋Ｃｎｎ

＝（２ｎＣ０ｎ＋２ｎ－１Ｃ１ｎ＋２ｎ－２Ｃ２ｎ＋２ｎ－３Ｃ３ｎ＋…＋Ｃｎｎ）

－２ｎＣ０ｎ

＝（２＋１）ｎ－２ｎ＝３ｎ－２ｎ．

例２　（２０１２年高考浙江卷理１４）若将函数

ｆ（ｘ）＝ｘ５表示为ｆ（ｘ）＝ａ０＋ａ１（１＋ｘ）＋ａ２

（１＋ｘ）２＋…＋ａ

５（１＋ｘ）５，其中ａ

０

，ａ

１

，ａ

２

，…，ａ

５

为

实数，则ａ３＝．

解析　根据拆项方法，可得

ｆ（ｘ）＝ｘ５＝［（１＋ｘ）－１］５，

二项展开式的通项公式为

Ｔｋ＋１＝Ｃｋ５·（１＋ｘ）５－ｋ·（－１）ｋ（ｋ＝０，１，…，５），

故ａ３＝Ｃ２５（－１）２＝１０．

例３　已知（１＋ｘ）１０＝ａ０＋ａ１（１－ｘ）＋ａ２（１－ｘ）２＋…＋ａ１０（１－ｘ）１０，则ａ８＝（ ）（Ａ）１８０． （Ｂ）９０．

（Ｃ）－５．（Ｄ）５．

解析　根据题设要求，可先将１＋ｘ拆项成２－

（１－ｘ）再利用二项式定理．

因为（１＋ｘ）１０＝［２－（１－ｘ）］１０，二项展开式的通项公式为Ｃｒ１０·２１０－ｒ·［－（１－ｘ）］ｒ（ｒ＝０，１，２，…，１０），ａ

８

是第９（ｒ＝８时）项的系数，所以ａ８＝Ｃ８１０·２２·（－１）８＝１８０．故选（Ａ）．

点评　例２和例３中，合理拆项后准确写出展开式的通项公式是解题的关键，从中可知道每一项的具体特征．

例４　（２０１５年高考全国Ⅰ卷理１０）（ｘ２＋ｘ＋ｙ）５的展开式中，ｘ５　ｙ２的系数为（ ）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．

（Ｃ）３０．（Ｄ）６０．

解析　根据并项方法，（ｘ２＋ｘ＋ｙ）５＝

［（ｘ２＋ｘ）＋ｙ］５，二项展开式的通项公式为Ｔ

ｋ＋１＝Ｃｋ５（ｘ２＋ｘ）５－ｋｙｋ（ｋ＝０，１，…，５），则ｘ５　ｙ２项在Ｔ２＋１＝Ｃ２５（ｘ２＋ｘ）３　ｙ２的展开式中，而（ｘ２＋ｘ）３展开式的通项公式为Ｃｒ３（ｘ２）３－ｒｘｒ＝Ｃｒ３ｘ６－ｒ（ｒ＝０，１，２，３），故ｘ５　ｙ２的系数为Ｃ２５Ｃ１３＝３０，正确选项为（Ｃ）．点评　并项后需要二次展开，如本题并项后还需要写出（ｘ２＋ｘ）３的二项展开式，要特别注意正确计算两次展开后各项的系数．

题型二：与二项式系数有关的问题．

例５　（２０１３年全国课标卷Ⅰ理９）设ｍ为正整数，（ｘ＋ｙ）２　ｍ展开式的二项式系数的最大值为ａ，（ｘ＋ｙ）２　ｍ＋１展开式的二项式系数的最大值为ｂ．若１３ａ＝７ｂ，则ｍ＝（ ）（Ａ）５．（Ｂ）６．

（Ｃ）７．（Ｄ）８．

解析　（ｘ＋ｙ）２　ｍ的展开式共有２ｍ＋１项，最

中间项即第ｍ＋１项的二项式系数最大，故ａ＝Ｃｍ２

　ｍ

；

３

４

·复习参考· 数学通讯———２０１８年第２期（上半月）

（ｘ＋ｙ）２　

ｍ＋１的展开式共有２ｍ＋２项，

最中间项即第ｍ＋１、ｍ＋２项的二项式系数相等，

并列最大，故ｂ＝Ｃｍ

２　

ｍ＋１．由１３ａ＝７ｂ得１３Ｃｍ２　ｍ＝７Ｃｍ

２　

ｍ＋１，解得ｍ＝６，故选（Ｂ）．点评　二项式系数Ｃ０ｎ，Ｃ１ｎ，…，Ｃｎ

ｎ的值的变化

规律是两边对称，且越靠近中间越大，于是可得ａ＝

Ｃｍ２　ｍ，ｂ＝Ｃｍ

２　

ｍ＋１，这是求解的关键．例６　（２００７年高考重庆卷理４）若（ｘ＋１ｘ）

ｎ展开式的二项式系数之和为６４，则展开式的常数项为（ ）

（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．

（Ｄ）１２０．

解析　根据题意，（ｘ＋１ｘ

）ｎ展开式的二项式系数之和为２ｎ

＝６

４，解得ｎ＝６，故展开式的通项公式为Ｔｋ＋１＝Ｃｋ６ｘ６－ｋ（１ｘ

）ｋ＝Ｃｋ６

ｘ６－２ｋ

（ｋ＝０，１，…，６），故常数项为Ｔ３＋１＝Ｃ３

６＝２

０，选（Ｂ）．点评　（ａ＋ｂ）ｎ

的二项展开式中各项的二项式系数之和为Ｃ０ｎ＋Ｃ１ｎ＋…＋Ｃｎｎ＝２ｎ

，且奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即Ｃ０ｎ＋Ｃ２

ｎ

＋Ｃ４ｎ

＋…＝Ｃ１ｎ

＋Ｃ３ｎ

＋Ｃ５ｎ

＋…＝２ｎ－

１．

题型三：与某些特定项的系数有关的问题．

例７　（２０１６年全国课标卷Ⅰ理１４题）

（２ｘ＋槡ｘ）５

的展开式中，ｘ

３

的系数是．

（用数字填写答案）

解析　（２ｘ＋槡ｘ）５

的展开式的通项为Ｃｒ

５

（２ｘ）５－ｒ（槡

ｘ）ｒ＝２５－

ｒＣｒ５ｘ５－ｒ

２（ｒ＝０，１，２，…，５），令５－ｒ２

＝３，得ｒ＝４，所以，ｘ３的系数是２Ｃ４

５＝１

０．例８　（２０１７年全国课标卷Ⅰ理６）（１＋１ｘ２）（１＋ｘ）６

的展开式中ｘ２

的系数为

（ ）

（Ａ）１５．（Ｂ）２０．

（Ｃ）３０．（Ｄ）３５．

解析　（１＋１ｘ２）（１＋ｘ）

６的展开式中含ｘ２

的项为１·Ｃ２６ｘ２＋１ｘ２·Ｃ４６

ｘ４＝３０ｘ２，故ｘ２

的系数为３０，选（Ｃ）．

例９　（２０１４年高考全国Ⅰ卷理１３）（ｘ－ｙ）

（ｘ＋ｙ）８的展开式中ｘ２　ｙ７

的系数为

（用数字填写答案）．

解析　要求得ｘ２　ｙ７

项，可将ｘ－ｙ中的ｘ与（ｘ＋ｙ）８的展开式中的ｘｙ７

项相乘，或者将ｘ－ｙ中的－ｙ与（ｘ＋ｙ）８的展开式中的ｘ２　ｙ６项相乘，再合并同类项即可，即为ｘ·Ｃ７８ｘｙ７＋（－ｙ）·Ｃ６８ｘ２　ｙ６＝－２０ｘ２　ｙ７，故ｘ２　ｙ７

的系数为－２

０．例１０　（２０１０年高考辽宁卷理１３）（１＋ｘ＋ｘ

２

）（ｘ－１ｘ

）６的展开式中的常数项为．

解析　要得到常数项，可将１＋ｘ＋ｘ２

中的１与（ｘ－１ｘ

）６的展开式中的常数项相乘，或将１＋ｘ＋ｘ２

中的ｘ与（ｘ－

１ｘ

）６

的展开式中的ｘ－１项相乘，或将１＋ｘ＋ｘ２中的ｘ２

与（ｘ－１ｘ）６的展开式中的ｘ

－２项相乘，再合并同类项即可．

而（ｘ－１ｘ）６的展开式的通项公式为Ｔｋ＋１＝Ｃｋ

６

·ｘ６－ｋ·（－１ｘ）ｋ＝Ｃｋ６·（

－１）ｋ·ｘ６－

２ｋ（ｋ＝０，１，…，６），故（１＋ｘ＋ｘ２

）（ｘ－１ｘ

）

６的展开式中的常数项为１·Ｃ３６·（－１）３＋ｘ２·Ｃ４６·（－１）４

·ｘ－２＝－５．　点评　求解这类问题的关键仍然是二项展开式的通项公式，

涉及多项式相乘的问题时抓住多项式相乘的运算规则即可找到指定项．

在利用二项展开式的通项公式进行多项式相乘时，要注意不能漏项，

也不能错添项．例１１　（２０１３年高考辽宁卷理７）使（３ｘ＋１槡ｘ　ｘ）ｎ

（ｎ∈Ｎ＋）的展开式中含有常数项的

最小的ｎ为

（ ）

（Ａ）４．（Ｂ）５．（Ｃ）６．

（Ｄ）７．

解析　（３ｘ＋

１槡

ｘ　ｘ）ｎ

的展开式中，通项公式为Ｔｋ＋１＝Ｃｋｎ·（３ｘ）ｎ－ｋ·（１槡

ｘ　ｘ）ｋ＝Ｃｋｎ·

３ｎ－ｋ·ｘｎ－５ｋ

２

（ｋ＝０，

１，…，ｎ）．欲使展开式中含有常数项，则ｎ＝５ｋ２即ｋ＝２５ｎ有解，

则ｎ最小为５，此时ｋ＝２，正确选项为（Ｂ）．

点评　本题中ｎ的取值不确定，使得ｋ的取值

范围也不确定，

从而使问题不容易理解．可以这样理４４数学通讯———２０１８年第２期（上半月） ·复习参考·