江苏省海安高级中学高一数学试卷
江苏省南通市海安县海安高级中学2023届数学高一上期末联考模拟试题含解析
B.②③
C.①④
D.③④
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．已知
f
x 是定义在
R
上的周期为
2
的奇函数，当 0
x
1 时，
f
x
3x
，则
f
5 2
___________.
12．已知幂函数 f (x) 的图象经过点 (3, 3) ，且满足条件 f (a) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是___
10、C 【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.
【详解】对于①， y x 是偶函数，且值域为0, ；
对于②， y x3 是奇函数，值域为 R ；
对于③， y 2 x 是偶函数，值域为1, ；
对于④， y x2 x 偶函数，且值域为0, ，
所以符合题意的有①④
2
则
f
17 3
A. 1
B. 3
2
2
C.1
D. 3
7．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
3
6
A. 3π
B. 1 π 3
C. 2 π 3
D. 4 π 3
8．已知 α 是第三象限的角，且 sin 1 ，则 sin( ) （ ）
3
2
A. 1 3
B. 2 2 3
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得
2
a
2
2a b b
2
c
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题苏教版
高一数学本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ． 3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++=5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________.6.答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则n m 41+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________． 12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器， 其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m(m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？ 若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。
江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题(创新班)Word版含答案
2019～2020学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．92． 设3log 2x ＝，则33223333x x x x ----的值为（ ） A ．2110 B ．2110- C ．1710 D ．13103． 幂函数()231m y m m x -=--在定义域内为偶函数，则m ＝（ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．14． 函数()(ln f x x +＝，若()()2540f a f b +++＝，则2a b +＝（ ）A ．－1B ．1C ．－9D ．95． 若等差数列{}n a 的公差d ≠0，且222268101216a a d a a +++＝，则{}n a 的前17项的和17S ＝（ ）A ．17B ．18C ．30D ．326． 已知15αβ+o ＝，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ---++-＝（ ）A B 2 C ．2 D 7． 函数()422x f x x +-＝ 的零点与()g x 的零点之差的绝对值不超过14，则()g x 的解析式可能是（ ）A ．()41g x x -＝B ．()()21g x x -＝C ．()e 1x g x -＝D ．()()1ln 2g x x -＝ 8． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23xy ＝，则t 的值为（ ）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9． 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等实数1x 、2x ∈R ，使得122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ ()()122f x f x +，则称函数()f x 为“创新函数”．则下列函数不是“创新函数”的是（ ）①()1,0,0,0,x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩＝＝ ②()f x x x ＝ ③()22f x x -＝ ④()21x f x -＝A ．①B ．②C ．③D ．④10．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()0,2 D ．(31,2⎤⎥⎦11．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定12．已知点O 是△ABC 内一点，满足2OA OB mOC +u u u r u u u r u u u r ＝，且47AOB ABC S S △△＝，则实数m 为（ ） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．若{}n a,均为公差为d 的等差数列，则n S ＝▲ ． 15．已知向量a 与b 的夹角为60o ，且1＝a ，2＝b ，实数k 满足a ＋k b 与k a ＋b 的夹角为钝角，则k 的取值范围为 ▲ ．16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）．（1）若{}1A B I ＝，求实数a 的值；（2）若A B A U ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin a c A C -+＝ ()sin sin b A B -．（1）求角C 的大小；（2）若2CB m ＝， 2CA m＝，O 为△ABC 的外心，且CO CB CA αβ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ＝，求αβ+的最大值．20．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性．（1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在区间[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 与公比为正数的等比数列{}n b 满足1122b a ＝＝，2310a b +＝，327a b +＝． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()11n n n c a b ++＝，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若()()111n n n n n n b A a b a b ++++⋅+＝，数列{}n A 的前n 项和n T ，且n T λ＞恒成立，求λ的最小值．22．（本小题满分12分）对于定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件： ① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-； ② ()11f ＝③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中 0＜a ＜1．（1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 CAACA6-10 DABDA11-12 BD13. 414.15.16. 617.18.19.22.。
2024届江苏省南通市海安县海安高级中学数学高一下期末检测模拟试题含解析
2024届江苏省南通市海安县海安高级中学数学高一下期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π2．在等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，点E 是线段BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则(λμ+= ) A ．52B ．54C ．12D ．143．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-,则点D 的坐标为（ ） A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,34．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．3C ．52D ．65．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．346．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤8．在ABC 中，若sin sin sin 34A B Ck ==，则下列结论错误的是（ ） A ．当5k =时，ABC 是直角三角形 B ．当3k =时，ABC 是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC 是钝角三角形D ．当1k =时，ABC 是钝角三角形9．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac >B ．ac bc >C ．22ab cb >D ．ab ac >10．已知点O 是边长为2的正三角形ABC 的中心，则OB OC ⋅=（ ） A ．16-B ．23-C ．12-D ．56-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√54．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣15．已知A={x|f(x)=1x−3+√2x−4}，B＝{x|x2﹣8x+15≤0}．则A∩B＝（）A．[2，5]B．[3，5]C．（3，5]D．（2，+∞）6．若两个正实数x，y满足x+y＝xy且存在这样的x，y使不等式x+4y＜m2+8m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，9）B．（﹣9，1）C．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C=Wlog2(1+SN)，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）（附：lg5≈0.6990）A．22%B．33%C．44%D．55%8．若函数f（x）={x|x+a|−5，x≤1，ax，x＞1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a+b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x，则f （x ）的最小值为 ． 16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求yz−y x的值．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217．（1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x5恒成立． （1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}解：对于A，因为π是无理数，所以π∉Q，故A错误；对于B，空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故B正确；对于C，集合{0，1}是数集，集合{（0，1）}是点集，所以{0，1}⊈{（0，1）}，故C错误；对于D，当a≠b时，点（a，b）与点（b，a）表示不同的点，所以{（a，b）}≠{（b，a）}，故D错误．故选：B．2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据充分条件，必要条件的定义，若”a＞2且b＞1”则”a+b＞3且ab＞2”是真命题，充分性成立．反之是假命题，比如当a＝1，b＝3时满足a+b＞3且ab＞2，但推不出a＞2且b＞1故选：A．3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√5解：因为a+1a=3，所以a＞0，a12+a−12＞0，（a 12+a−12）2＝a+1a+2＝5，∴a 12+a−12=√5．故选：B．4．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1 C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣1解：f （x 2﹣1）＝x 4+1＝[（x 2﹣1）+1]2+1，且x 2﹣1≥﹣1， 所以f （x ）＝（x +1）2+1＝x 2+2x +2，x ≥﹣1． 故选：B ．5．已知A ={x|f(x)=1x−3+√2x −4}，B ＝{x |x 2﹣8x +15≤0}．则A ∩B ＝（ ） A ．[2，5]B ．[3，5]C ．（3，5]D ．（2，+∞）解：由{x −3≠02x −4≥0，解得x ≥2且x ≠3，所以A ＝[2，3）∪（3，+∞）．由x 2﹣8x +15＝（x ﹣3）（x ﹣5）≤0，解得3≤x ≤5， 所以B ＝[3，5]，所以A ∩B ＝（3，5]． 故选：C ．6．若两个正实数x ，y 满足x +y ＝xy 且存在这样的x ，y 使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）解：由x +y ＝xy 可得1x +1y =1，则x +4y ＝（x +4y ）（1x +1y ）＝5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9，当且仅当x ＝2y 且1x +1y=1，即y =32，x＝3时等号成立，则使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，只需满足m 2+8m ＞9， 解得 m ∈（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）． 故选：C ．7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式C =Wlog 2(1+SN )，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ） （附：lg 5≈0.6990） A ．22%B ．33%C ．44%D ．55%解：技术提升前，C ＝W log 2（1+1000）≈W log 2103＝3W log 210，技术提升后，C 增加到C '，则C '＝（1+20%）W log 2（1+4000）≈1.2W log 2（4×103）＝2.4W +3.6W log 210， 所以C 大约增加了（C′C−1）×100%＝（2.4W+3.6Wlog 2103Wlog 210−1）×100%＝（0.8log 102+1.2﹣1）×100%＝[0.8（1﹣lg 5）+1.2﹣1]×100%≈[0.8（1﹣0.6990）+1.2﹣1]×100%≈44%． 故选：C ．8．若函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x ，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）解：函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x，x ＞1当a ＝﹣1时，f （x ）={x|x −1|−5，x ≤1，−1x ，x ＞1，当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =12，函数不是单调函数，不满足题意，排除B 、C ， 当a ＝1时，f （x ）={x|x +1|−5，x ≤1，1x，x ＞1，当x ∈（﹣1，1）时，f （x ）＝x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =−12，函数不是单调函数，排除D ； 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c解：对于A ：a ＞b ＞0＞c ，所以ac ＜bc ，故A 错误； 对于B ：由于a ＞b ＞0＞c ，故c ﹣a ＜c ﹣b ，故B 正确； 对于C ：当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣3时，选项C 错误；对于D ：由于a ＞b ＞0＞c ，故1b ＞1a，所以a ﹣1c ＞b ﹣1c ，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，集合{a ，b ，c }非空子集的个数为23﹣1＝7，故A 错误； 对于B ，当m ＝0时，√m 2+1=1∈N ，符合题意，故B 正确；对于C ，由条件可得m ＜3⇒m ＜4，反之，不成立，所以“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，因为2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则4＜2a ＜6，所以2＜2a +b ＜5，故D 正确． 故选：BCD ．11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32] 解：由不等式可知x ＝1显然不在解集内，A 错误；由函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1可得{f(−1)=3−a ＞0f(2)=2a ＞0，解得0＜a ＜3，B 正确； 数f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1与g （x ）＝x 2﹣1的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数，C 正确； 若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）中，﹣2≤2x ﹣1≤2， 解得−12≤x ≤32，D 正确． 故选：BCD ．12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a +b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A 选项：因为a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，所以12a+1b =(12a+1b)(2a +b)=2+b 2a+2a b≥2+2√b 2a⋅2a b=4当且仅当b2a=2a b，即b ＝2a 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项：∵2a +b ＝1，∴1=(2a +b)2=4a 2+b 2+4ab =4a 2+b 2+2√4a 2√b 2≤2(4a 2+b 2)， ∴4a 2+b 2≥12，当且仅当{a =14b =12时等号成立，故B 错误；对于C 选项：原式=11a +1+1b =1(2−b)+1+1b =13−b +1b =13(13−b +1b )(3−b +b)=13(3−bb +1+1+b 3−b )≥43（当且仅当b =32，a =2时取等号）．故C 正确； 对于D 选项．令{a +2=m b +2=n ，则{a =m −2b =n −2，由a +b ＝4，得m +n ＝8，则a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m +(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=4m+4n，而4m+4n=12(1m+1n)(m +n)=12(2+n m+m n)≥12(2+2√n m⋅m n)=2，当且仅当nm=m n，即n ＝m 时，等号成立，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ． 解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为：∃x ≥1，x 2＜1． 故答案为：∃x ≥1，x 2＜1．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ． 解：集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}＝{2，﹣2}， B ＝{x |ax ﹣2＝0}， a ＝0时，B ＝∅，a ≠0时，B ＝{2a}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， 则B ⫋A ，则a ＝0或2a=2或2a=−2，故a ＝0或a ＝1或a ＝﹣1， 故答案为：{﹣1，0，1}．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x ，则f （x ）的最小值为 ． 解：已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x)=5x +4x，① 则f(1x )+2f(x)=5x +4x ，②由①②可得：f(x)=x +2x，x ∈（0，+∞）， 又x +2x ≥2√x ×2x =2√2，当且仅当x =2x ，即x =√2时取等号， 即f （x ）的最小值为2√2． 故答案为：2√2．16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 解：令x ＝1，则4≤a +b +c ≤4，故a +b +c ＝4，对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ，则ax 2+（b ﹣2）x +c ﹣2≥0恒成立，∴Δ＝（b ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a +c ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a ﹣c +2）2≤0， ∴c ＝a +2，此时b ＝2﹣2a ，∴ab =a(2−2a)=2a(1−a)=−2(a −12)2+12≤12，当a =12，b =1，c =52时取等号， 此时2x 2−2x +4−(ax 2+bx +c)=32x 2−3x +32=32(x −1)2≥0成立， ∴ab 的最大值为12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求y z−yx的值．解：（1）原式=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2×17lg26lg3=1712； （2）由题意知，令3x ＝4y ＝6z ＝a ，则a ＞0， 所以x ＝log 3a ，y ＝log 4a ，z ＝log 6a ， 所以yz −y x=log 4a log 6a−log 4a log 3a=lna ln4×ln6lna−lna ln4×ln3lna=ln6ln4−ln3ln4=ln22ln2=12．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2时，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |1＜x ＜3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤3}；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⊆B ，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}≠∅， ∴{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[0，2]． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217． （1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． （1）解：因为f(x)=ax+b x 2+4，f （0）＝0，f(12)=217，所以{ b4=012a+b (12)2+4=217，解得{a =1b =0， 所以a ＝1，b ＝0；（2）证明：由（1）得f(x)=xx 2+4， ∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 由于﹣2＜x 1＜x 2＜2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2﹣4＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．（3）解：由f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0得f （a +1）＞f （2a ﹣1）又函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增，所以{−2＜a +1＜2−2＜2a −1＜2a +1＞2a −1，解得{ −3＜a ＜1−12＜a ＜32a ＜2，故−12＜a ＜1， 所以实数a 的取值范围是(−12，1)．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）对于任意x ∈[﹣2，2]，f （x ）≥a 恒成立，即x 2+ax +3﹣a ≥0对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，令g （x ）＝x 2+ax +3﹣a ，则有：①Δ＝a 2﹣4（3﹣a ）＝a 2+4a ﹣12≤0或②{Δ＞0−a 2≤−2g(−2)=7−3a ≥0或③{Δ＞0−a 2≥2g(2)=7+a ≥0，由①得﹣6≤a ≤2；由②得∅；由③得﹣7≤a ＜﹣6．综上，实数a 的取值范围为[﹣7，2]；（2）令m （a ）＝xa +x 2+3．当a ∈[4，6]时，m （a ）≥0恒成立，只需{m(4)≥0m(6)≥0，即{x 2+4x +3≥0x 2+6x +3≥0， 解得x ≤﹣3−√6或x ≥﹣3+√6．∴实数x 的取值范围是(−∞，−3−√6]∪[−3+√6，+∞)．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x 5恒成立．（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 解：（1）对于函数（Ⅰ），∵f （30）＝12＞6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，∴函数f （x ）=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数（Ⅱ），当x ∈[25，1600]时，f （x ）是增函数，且f （x ）max ＝f （1600）＝2×40﹣6＝74＜90，∴f （x ）≤90恒成立．设h （x ）=2√x −6−x 5=−15(√x −5)2−1，∵√x∈[5，40]，∴当√x =5时，h （x ）max ＝﹣1≤0，得f （x ）≤x 5恒成立．∴函数（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6符合公司要求．（2）∵a ≥2，∴函数g （x ）满足条件①，由函数g （x ）满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52，由函数g （x ）满足条件③得，a √x −10≤x 5对x ∈[25，1600]恒成立，即a ≤√x 5+10√x x ∈[25，1600]恒成立， ∵√x 5+√x ≥2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x ＝50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2，52]． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围；（3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．（1）证明：令x ＝y ＝0，得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1，令x 1＜x 2，即x 2﹣x 1＞0，则f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1+x 1）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1， 因为x ＞0时，f （x ）＜1，所以x 1＜x 2时，f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1＜0，所以f （x ）在R 上的单调递减；故f （x ）单调递减区间为R ，无单调递增区间．解：（2）由（1）知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）单调递减，又f （1）＝﹣2，则x ∈[﹣1，1]时，f （x ）min ＝f （1）＝﹣2，因为∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，所以f （x ）min ≤m 2﹣2am ﹣5，则m 2﹣2am ﹣5≥﹣2，即对∀a ∈[﹣1，1]，m 2﹣2am ﹣3≥0成立，设g （a ）＝﹣2am +m 2﹣3，（a ∈[﹣1，1]），则对∀a ∈[﹣1，1]，g （a ）≥0恒成立，即g （﹣1）＝m 2+2m ﹣3≥0，且g （1）＝m 2﹣2m ﹣3≥0，解得m ≥3或m ≤﹣3；故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（3）令y ＝﹣x ，得f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，又知f （0）＝1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，所以f （x ）＝2﹣f （﹣x ），因为f （1）＝﹣2，所以f （﹣1）＝2﹣f （1）＝4，f （﹣2）﹣f （﹣1）+f （﹣1）﹣1＝7．不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6等价于f （ax 2）﹣f （（a +2）x ）＜6，即f （ax 2）+[2﹣f （﹣（a +2）x ）]＜6⇒f （ax 2）+f （﹣（a +2）x ）＜8，又因为f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1，所以f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，故f （ax 2﹣（a +2）x ）+1＜8，则f （ax 2﹣（a +2）x ）＜7＝f （﹣2），因为f （x ）在R 上单调递减，所以ax 2﹣（a +2）x ＞﹣2，即ax 2﹣（a +2）x +2＞0⇒（ax ﹣2）（x ﹣1）＞0，①a ＞2时，0＜2a ＜1，解得x ＞1或x ＜2a ；②0＜a ＜2时，2a ＞1，解得x ＞2a 或x ＜1； ③a ＝0时，解得x ＜1；④a ＜0时，2a ＜0＜1，解得2a ＜x ＜1； 综上所述：不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6的解集为：a ＞2时，解集为（﹣∞，2a ）∪（1，+∞）；0＜a ＜2时，解集为（﹣∞，1）∪（2a ，+∞）；a ＝0时，解集为（﹣∞，1）；a ＜0时，解集为（2a ，1）．。
江苏省海安高级中学高一数学试卷(27)
江苏省海安高级中学高一数学试卷（）编制：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1． 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅=u u u r u u u r▲ ． 【答案】1522． 已知向量()1,3=-a ，则与a 反向的单位向量是 ▲ ． 【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3． 若()π3sin 25θ+=，则cos2θ= ▲ ．【答案】725- 4． 在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是 ▲ ． 【答案】钝角三角形5． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin c a C =，bc ＝4，则△AB C的面积等于 ▲ ． 【答案】16． 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，()1CP CB λ=-u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是▲ ．【答案】[0,2]7． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，则角B 为 ▲ ． 【答案】30°8．若5π3π,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ ．【答案】2cos θ9． 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是 ▲ ． 【答案】510．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为 ▲ ．【答案】31211．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设A α∠=，若1441S =，2440S =，则sin2α= ▲ ．【答案】11012．已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x ＝2时取得最小值，则a ＝ ▲ ．【答案】1413．已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ ．【答案】314．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()11,b a，那么称这两个不ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ等式为“对偶不等式”．如果不等式220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且()π,π2θ∈，那么θ= ▲ ．【答案】5π6二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知平面向量()1,x =a ，()23,x x =+-b ，x ∈R ． （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a －b |的值．【答案】（1）x ＝－1或x ＝3；（2）2或 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos sin cos f x x x x =+，x ∈R ． （1）求()π6f 的值；（2）若3sin 5α=，且()π,π2α∈，求()π224f α+．【答案】（1；（217．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()2cos cos b A C =． （1）求角A 的大小；（2）若角π6B =，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．【答案】（1）π6；（218．（本小题满分16分）设函数()2f x x a =-，a ∈R ．（1）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值； （2）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围． 【答案】（1）a ＝1；（2）32a <19．（本小题满分16分）某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域； （2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？【答案】（1）()90030150y x x x=+-<< （2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小. （3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()22n n S a n n *=-∈N ． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求证：12n T ≥．【答案】（1）122n n a +=-；。
江苏省南通市海安高级中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题含解析
江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析) 一、选择题：1。
化为弧度数为( ）A. B. C. D。
【答案】A【解析】【分析】利用角度化弧度公式可计算出答案.【详解】.故选：A。
【点睛】本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题. 2。
已知集合，集合,则中元素的个数为（）A。
B. C. D。
【答案】C【解析】分析】解不等式,求出整数的个数，即可得出答案。
【详解】解不等式，得，,的取值有、、、、、、，因此,中元素的个数为.故选：C。
【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（）A。
B. C。
D。
【答案】C【解析】【分析】计算出圆的半径,然后利用扇形的弧长公式可得出结果.【详解】设圆的半径为，则，，因此，这个圆心角所对的弧长为。
故选:C。
【点睛】本题考查扇形的弧长，解答的关键就是计算出圆的半径，考查计算能力,属于基础题。
4.函数的定义域为（)A. B。
C。
D.【答案】C【解析】分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域。
【详解】由题意可得，即，解得且，因此，函数的定义域为.故选：C。
【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解,考查运算求解能力，属于基础题.5。
计算：（）A。
B. C。
D。
【答案】B【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算律可计算出所求代数式的值.【详解】，,由换底公式可得,因此，原式.故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，解题时要充分利用换底公式、对数的运算律以及对数恒等式来进行化简计算，考查计算能力，属于基础题.6.若是上周期为的奇函数，且，则( ）A。
B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质得出,再由函数的周期性得出,利用奇函数的性质可计算出结果。
江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
2022-2023学年度第一学期高一年级阶段检测（一）数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合S 中的三个元素a ,b ,c 是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2． 设a ，b ∈R ，则“21a b ab +⎧⎨⎩＞＞”是“a ＞1且b ＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3． 已知a ，b ∈R ，若{}{}2,,1,,0b a a a b a+＝，则20212021a b +的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±14． 已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，则3a －b 的取值范围是（ ）A ．519,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]8,1- C ．[]1,8- D ．[]1,85． 函数224232x y x x ---＝的定义域为（ ） A ．)(112,,222⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ B ．)()112,,222⎡---⎢⎣C ．()(112,,222⎤---⎥⎦D ．)()112,,222⎡-⎢⎣ 6． 若a ＞0，b ＞0，则下面结论正确的有（ ）A ．()()2222a b a b ++≤ B ．若142a b +＝，则92a b +≥C ．若22ab b +＝，则4a b +≥D ．若a ＋b ＝1，则ab 有最大值127． 若不等式21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤38.已知命题P ：两个正实数x ，y 满足211x y+＝，且222x y m m ++＞恒成立，命题Q ：“{}12x x x ∃∈≤≤，使10x m ++≥”，若命题P 与命题Q 都为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．32m -≤<B ．32m -≤≤C ．42m -≤≤D ．3m ≥-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 已知p ：[]1,3x ∀∈，20x a -≤恒成立，则p 的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．9a ＞B ．9a ≤C ．10a ≥D ．10a ≤10．已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x -+⎧⎪⎨+⎪⎩≥＝＜若()52f f a ⎡⎤⎣⎦＝-，则实数a 的值可能为（ ） A ．73 B ．43- C ．－1 D ．11611．解关于x 的不等式：2(24)80ax a x +-->，则下列说法中正确的是（ ）A ．当0a =时，不等式的解集为{}4x x >B ．当0a >时，不等式的解集为{|4x x >或2x a ⎫<-⎬⎭C ．当0a <时，不等式的解集为24x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．当12a =-时，不等式的解集为∅12．已知a ，b 为正数，2243a b +＝，则（ ）A ．ab 的最大值为34B ．2211a b +的最小值为3C．74D ．11a b +三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，第16题双空，第一问2分，第二问3分． 13．1)1f x =-，则()f x = ▲ ．14．已知函数()f x 的定义域为[1,3]-，则()(2)g x f x =-+的定义域为 ▲ ． 15．已知正实数a ，b 满足11122a b a b+++＝，则a ＋b 的最小值为 ▲ ．16．已知集合(){}123123,,01A a a a a a a ＝≤≤≤≤，集合A 中的元素()123,,x x x x ＝，()123,,y y y y ＝，定义(),D x y 为11x y -，22x y -，33x y -中的最小值，记为：(),D x y ＝ {}112233min ,,x y x y x y ---．（1）若()113,,424x ＝，()10,,13y ＝，()111,,333z ＝，则()(),,D x y D y z +＝ ▲ ； （2）若()120,,23x ＝，()1,,2y m n ＝为集合A 中的元素，且()1,6D x y ＝，则n 的取值范围为▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合{}23A x x =-<≤，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<.（1）若2m =，求集合A B .（2）从集合B ，C 中任选一个，补充在下面的问题中.已知:p x A ∈，:q x ∈______，则p 是q 的必要不充分条件，若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分12分）已知正数a 、b 满足a ＋b －ab ＝0． （1）求4a ＋b 的最小值； （2）求911a ba b 的最小值． 19．（本小题满分12分）（1）若不等式2(3)2(3)60a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． （2）若不等式2(3)2(3)60a x a x -+--<对一切[]5,5a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围． 20．（本小题满分12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为32x w +＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本()33w w +万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为()304w+元/件．（1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？21．（本小题满分12分）（12a b+≤(,0a b ≥)．（2）对于4个正数a ，b ，c ，d 4a b c d+++≤．22．（本小题满分12分）已知二次函数()2f x x ax b ++＝（a ，b ∈R ），且关于x 的不等式()0f x ＞的解集是()(),24,-∞-+∞．（1）若不等式()81f x kx -+＜在[]0,2x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围； （2）设()()216x g x f x x ++＝，且对任意1x ，2x ∈R ，都有()()12g x g x m -≤，求实数m 的最小值．参考答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】AC 10.【答案】ACD 11.【答案】ABD 12.【答案】AB13.【答案】22(1)x x x -≥ 14.【答案】[1,3] 15.【答案】4316.【答案】16，516n ≤≤17.【答案】（1）由m =2及22210x mx m -+-<得：2430x x -+<，解得13x <<， 所以{}13B x x =<<，又{}23A x x =-<≤，所以{}13A B x x ⋂=<<. （2）若选B ：由22210x mx m -+-<，得()()110x m x m ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴11m x m -<<+，∴{}|11B x m x m =-<<+.由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集， ∴121213m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩（两端等号不会同时取得）， 所以m 的取值范围为[]1,2-.若选C ：由2x m -<，得22m x m -<<+，∴{}|22C x m x m =-<<+.由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集，220123m m m -≥-⎧⇒≤≤⎨+≤⎩（两端等号不会同时取得）， 所以m 的取值范围为[]1,2-. 18.【答案】解：（1）因为0a b ab +-=，所以111a b+=，又因为a 、b 是正数，所以()11444559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当23a b ==时等号成立， 故4a b +的最小值为9；（2）因为111a b+=且a 、b 为正数，所以1a >，1b >，所以10a ->，10b ->， 则91919919102102161111111ab a b a b a b ab a b ，当且仅当43a =、4b =时等号成立， 故911a ba b 的最小值为16． 19.【答案】解：（1）因为2(3)2(3)60a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立 ①当a =3时，-6<0恒成立，所以a =3符合题意②当3a ≠时，30a -<⎧⎨∆<⎩，则33a -<<综上，a 的取值范围为(3,3]-.（2）因为不等式2(3)2(3)60a x a x -+--<对一切[]5,5a ∈-恒成立 所以22(2)3660x x a x x +---<对一切[]5,5a ∈-恒成立 令22()(2)366f a x x a x x =+---，则2222(5)(2)(5)3660(5)5(2)3660f x x x x f x x x x ⎧-=+----<⎪⎨=+---<⎪⎩，解得312231x x x ⎧<->-⎪⎨⎪-<<⎩或 所以313122x x -<<--<<或 所以a 的取值范围为313122---（，）（，）. 20.【答案】（1）由题意可得x w w w w y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33304 x ww --+=903 2318263x x -+-= 所以()502318263≤≤-+-=x xx y ，. （2）∵()502318263≤≤-+-=x xx y ，， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=3336213333621263x x x x y ()27336322133=++⨯-≤x x ，当且仅当3363+=+x x ，即x =3时取等号. 此时27max =y .答：当推广促销费投入3万元时，此批产品的利润最大为27万元.21.【答案】（1）证明：分析法 要证2a b+≤只要证 a b ≤+只要证 0a b -≤只要证20-≤只要证20≥上式显然成立，当且仅当a =b 时等号成立．所以2a b+≤综合法 因为20≥所以0a b +- 所以a b +≥ 所以2a b+≤当且仅当a =b 时等号成立（2）证明：因为a ，b ，c ，d 均为正数，所以442a b c d +++≥=≥=当且仅当a =b =c =d 时取“=”22.【答案】（1）因为()0f x >的解集为()(,2)4,-∞-+∞，所以()0f x =的两根为2-和4，由韦达定理得(2)4(2)4ab -+=-⎧⎨-⨯=⎩，所以2,8a b =-=-，所以2()28f x x x =--，因为()()81f x kx --<在[0,2]恒成立， 所以2121x x kx -<--<在[0,2]恒成立 ①当0x =时，101-<<满足题意，②当(]0,2x ∈时，1122x k x x x--<<+-在(]0,2恒成立，即max min1122x k x x x ⎛⎫⎛⎫--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12y x x =--在(]0,2单调递增， 12y x x=+-在(]0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增，所以max 1122x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，min120x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以102k -<<； （2）()24x g x x +＝，()1144g x -≤≤，min12m ＝。
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．命题：“∃x∈R，x2+2x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x≤0B．∃x∈R，x2+2x≥0C．∀x∈R，x2+2x＞0D．∃x∈R，x2+2x＞03．若α的终边与−π6的终边垂直，且0＜α＜π，则cosα＝（）A．−12B．12C．−√32D．√324．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）与时间t（单位：年）近似满足关系式c＝k•a−t12（a＞0且a≠1）．已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为（）（参考数据：log25＝2.32）A．50B．52C．54D．56 5．函数y＝|x﹣2|+|2x﹣2|的最小值为（）A．0B．1C．32D．26．已知函数f（x）在R上的图象不间断，则“∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）”是“f（x）在（0，+∞）上是增函数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，d＝1，则（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c8．已知函数y＝f（x）+x2为偶函数，y＝f（x）﹣2x为奇函数，则f（log23）＝（）A．53B．98C．32D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．函数y=lgx−12x+1的零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知x ＞0，则（ ） A ．x （2﹣x ）的最大值为1 B ．3−x −1x的最大值为1C ．2√x 2+4的最小值为2D ．x +4x+1的最小值为3 11．将函数y ＝cos2x 的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度，再向上平移12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．函数y ＝g （x ）的周期为πB ．g （x ）在（0，π2)上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x =3π4对称 D ．g （x ）的图象关于点（0，12）中心对称12．设定义在R 上的函数f （x ）满足：①当x ＜0时，f （x ）＜1；②f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）为减函数C ．f （x ）+f （﹣x ）＝2D ．f （2x ）+f （2﹣x ）≥2f （1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届江苏省南通市海安市海安高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届江苏省南通市海安市海安高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列{}n a 为等比数列，且263a a π⋅=，则35a a ⋅=（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．43π 2．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A．B．3C．3D．3．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．若直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：(1)10x a y +--=垂直，则实数a =( ). A ．23B ．1-C ．2D ．1-或25．已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．66．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1397．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．189．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．3010．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数12345≥概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04则至少有两人排队的概率为（ ） A ．0.16B ．0.26C ．0.56D ．0.74二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南京市金陵中学、海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题
江苏省南京市金陵中学、海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0A =-，{}0,1B =，则A B = （）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知1a <=（）A ．－1B ．1C ．21a -D ．12a-3．已知函数()21f x x +=，则()1f -=（）A ．0B ．1C ．2D ．44．命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定为（）A ．0x ∃≥，20x <B ．0x ∃<，20x ≥C ．0x ∀<，20x ≥D ．0x ∀≥，20x <5．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．已知0m n <<，则（）A ．22m n <B ．2m mn<C ．33m n <D ．11m n --<7．已知9log 4a =，15log 10b =，23c =，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．c b a<<8．定义：{}min ,a b 表示a 、b 中的较小者．若函数(){}2min 12,11y x x =----在区间[],m n 上的取值范围为[]1,0-，则n m -的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A 、B 、C 、D 的单选题，他们的对话如下：甲：我选的A ；乙：我选的B ；丙：我选的C ；丁：我选的不是C ．已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，下列结论正确的是（）注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A ．若()f x ，()g x 均为增函数，则()()y f x g x =+也为增函数B ．若()f x ，()g x 均为减函数，则()()y f x g x =也为减函数C ．若()f x ，()g x 均存在零点，则()()y f x g x =也存在零点D ．若()f x ，()g x 均存在零点，则()()y f x g x =+也存在零点11．设x ，y 为正数，且log log 22log (034a a ax yx y a ++=>且1)a ≠，则（）A ．22y x x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是8116C ．2x y +的最大值是92D ．224x y +的最大值是818三、填空题12．函数y =的定义域为.13．已知23a=，2log 5b =，则15log 8=（用a 、b 表示）四、单选题14．已知0a >，关于x 的不等式260x ax -+≤的解集中有且仅有3个整数1n -，n ，1n +，则n =，a 的取值范围为．五、解答题15．已知全集U =R ，集合{}27100A x x x =-+<，{}11B x m x m =-<<+．(1)当3m =时，求()R A B ð；(2)若A B B = ，求m 的取值范围．16．已知a ∈R ，命题:1p x ∀>，121a x x -≤+-，命题:0q x ∃≥，2210x x a -+-=．(1)若p 为真命题，求a 的最小值；(2)若p 和q 恰好一真一假，求a 的取值范围.17．已知A 、B 为东西方向的海岸线上相距12km 的两地（B 在A 的东侧），C 是A 、B 之间距A 地3km 处的一地，在C 地正南方向3km 处有一海岛P ，由海岛P 开往海岸的小船以10km /h 的速度按直线方向航行.(1)某人在海岛P 上乘小船在距C 地正东方向4km 处的D 地登岸，登岸后以5km /h 的速度向东步行到B 地，求此人从海岛P 到达B 地的时间；(2)一快递员以km /h v 的速度从A 地向B 地骑行，同时某人乘小船从海岛P 向海岸出发，两人恰好相遇于C 、B 之间的E 地，且距C 地()km 09x x <<，求快递员的速度v 的最大值．18．已知函数()p x =，(21)q x x=-．(1)是否存在x ∈R ，使得(())0p q x =请说明理由；(2)设函数1()()(2f x p x q x =--，判断并证明()f x 在区间1(,)4+∞上的单调性；(3)设函数1(),1()4()2,12p x x g x q x x ⎧<<⎪=⎨⎪+≤<⎩证明：121(,2)4,x x ∀∈，且12x x ≠，1212|()()|||g x g x x x -<-．注：函数1y x x=+在[1,)+∞上单调递增．19．我们知道，任何一个正实数x 都可以表示成10(110,)n x a a n =⨯≤<∈Z ．当0n ≥时，记x 的整数部分的位数为()10n f a ⨯，例如()1.02102f ⨯=；当0n <时，记x 的非有效数字的个数为()10n f a ⨯，例如()21.02102f -⨯=．(1)求()21.0210f ⨯，()11.0210f -⨯，并写出()10nf a ⨯的表达式（不必写出过程）；(2)若1002x =，且取lg20.301=，求,n a 以及()10nf a ⨯；(3)已知*k ∈N ，猜想：()2kf 与()2k f -的大小关系，并证明你的结论．。
江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高一下学期阶段检测(一)数学试题(含答案解析)
(1)若向量 m 与 2a b 垂直，求实数 k 的值；
(2)若向量 c (1, 1) ，且 m 与向量 kb c 平行，求实数 k 的值．
18．设函数
f
(x)
cos x cos
x
π 6
3 sin 2x 3 3 ． 4
试卷第 3页，共 5页
(1)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形 ABCD 的边长为 2 ，则 AE BF ＝
（）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．已知函数
f
x
sin
x
sin
x
3
1 4
的定义域为m, nm
n
，值域为
1 2
,
1 4
，则
n m 的最小值是（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2 3
7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某
两条对称轴之间的距离为 2 ， 且其在 x 1 处取得最小值． 2
试卷第 4页，共 5页
(1)求参数 和 的值;
(2)若 A 1 ，求向量 2BC CD 与向量 BC 3CD 夹角的余弦值;
(3)若点 P 为
f
x 函数图象上的动点，当点 P 在 C，E 之间运动时，
BP PF 1 恒成立，
【详解】由于
0,
2
，所以
2
0, π
，所以
sin
2
0
由 sin
2
cos
4
化简得
2 sin 2 sin cos ，
{高中试卷}海安高级中学高一数学期末复习综合练习题一
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：海安高级中学高一数学期末复习综合练习题一一、填空题（每题5分，共70分）1、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是①若，则;②若，则③若，则；④若，则2、记等差数列的前项和为，若，，则3、若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为4、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是5、在中，AB=3，AC=2，BC=，则 _________6、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为7、将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________8、在数列在中，，，,其中为常数，则9、已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于10、若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为11、的最小值为12、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________13、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a +b的最大值为14、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点 (图2)．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)二、解答题（共6大题，计90分）15、在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．16、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）17、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.18、如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD ＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19、已知⊙由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q且满足（1）求实数a,b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。
江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数()()34i 12i z =+-，则z =（ ）A ．5B ．C ．10D ．2．在ABC V 中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，以{},b c r r 作为基底，则AD u u u r 等于（ ）A ．2133b c +r rB ．5233b c -r rC ．2133b c -r rD ．1233b c +r r3．已知||8a =r ，与a r 同向的单位向量为e r ，||4b =r ，,a b r r 的夹角为120o ，则向量b r在向量a r方向上的投影向量为（ ）A ．4e rB ．－4e rC ．2e rD ．－2e r4．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A B ．0C ．-D ．-5．若3πtan +24α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则223cos sin cos ααα+-=（ ）A ．1B ．75C ．1110D ．656．已知1sin cos (0π)5θθθ+=<<，则cos 2θ=（ ）A ．2425±B ．2425-C ．725±D ．725-7．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且AC BC ⊥， M 是圆 O 外一点，2OM =，则2MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值是（ ）A ．5B ．8C ．10D ．128．已知: ()()()sin 20sin 20sin 400θθθ-+++-=o o o，则tan θ=（ ）A．B ．C D二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{}12,e e r r中，1e r ，2e r 一定都是非零向量B ．在平面向量基本定理中，若0a r r =，则120λλ==C ．若单位向量1e r ，2e r 的夹角为23π，则1e r 在2e r 上的投影向量是212e -rD ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的10．已知π53,0,,cos(),sin()2135αβαβαβ⎛⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．12sin()13αβ+= B ．4cos()5αβ-=-C ．63sin 265α= D ．tan 33tan 7αβ= 11．中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为36︒的等腰三角形，；一种是顶角为108︒的等腰三角ABCDE 中，2AG =，记,AG AF θ<>=u u u r u u u r，则（ ）A ．AG FI =u u u r u u rB ．1AG AF ⋅=u u u r u u u rC ．AG u u u r 在AF u u u r AFu ur D ．1cos 2cos 4cos6cos 20242θθθθ++++=-L三、填空题12．已知()tan π2θ+=，则πcos 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．13．向量,,a b c r r r 满足||||2==r r a b ，||2a b -=r r ，|2|a c -r r||c b -r r 的最大值为. 14．记ABC V 的内角A ，B ，C ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++，求2sin sin A B-的取值范围为.四、解答题 15．已知5sin 13α=，()4sin 5αβ+=，π0π2βα<<<<. (1)求πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)求πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．已知向量,a b r r 满足1a b ==r r ，设a r 与b r 的夹角为θ， (1)若对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r rr r 恒成立，求cos θ的值； (2)根据（1）中a r 与b r 的夹角θ值，求a r 与2a b +r r夹角的余弦值．17．如图，已知直线12//l l ，,A C 分别在直线1l ，2l 上，B 是1l ，2l 之间的定点，点B 到1l ，2l 的距离分别为1，2，AB BC ⊥.设BAM θ∠=.(1)用θ表示边AB ，BC 的长度；(2)若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 的面积；(3)设l AB BC =+，问：是否存在θ，使得4l =？若存在，请求出tan θ的值；若不存在，请说明理由.18．如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .(1)求OA AB ⋅u u u r u u u r（结果用θ表示）； (2)若60θ=o①求CA CB ⋅u u u r u u u r的取值范围：②设(01)OM tOB t =<<u u u u r u u u r ，求COMBMAS S V V 的取值范围.19．定义非零向量(),OM a b =u u u u r的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =u u u u r称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM u u u u r ，若存在，求出与OM u u u u r共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点(),M a b满足：(ba∈，向量OM u u u u r 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．。
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题(含解析)
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每题5分，共50分）1.若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求（ ） A. {|32}x x -<<B. {|52}x x -<<C. {|33}x x -<<D.{|53}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题.2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)mi i n +-=，则m ni +的值为（ ） A. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m n m +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.3.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=- (()333-=-故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4.将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. 5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为2sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.5.设实数，y 满足的约束条件10200xy x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A. [1,1]-B. [1,2]-C. [1,3]-D. [0,4]【答案】C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z x y =+中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围.【详解】如图:做出满足不等式组的10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1;故选C【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围.6.若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. ()()()20f a f a f >> B. ()()()02f a f f a >> C. ()()()20f a f a f >> D. ()()()20f a f f a >>【答案】C 【解析】 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈R ，则“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要2．已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＜1}，B ＝{x |x ＜1或x ≥4}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ≤4}3．已知复数z 满足1+√3iz=3+4i ，则|z|=（ ）A ．2√55B ．√105C ．√25D ．254．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图．若A 1D 1平行于y 1轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，A 1D 1=1，则平面图形ABCD 的面积是（ ）A ．14B ．7C ．7√2D ．14√25．已知sin θ﹣5cos θ＝0，则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=（ ）A ．−85B ．85C ．−83D ．836．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点F ，若FE →=14AC →+mBD →，则m ＝（ ） A ．14B ．34C ．112D ．167．已知α∈(π4，π2)，a ＝（sin α）sin α，b ＝（sin α）tan α，c ＝（tan α）sin α，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．如图，河边有一座塔OP ，其高为20m ，河对面岸上有A ，B 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，而且A ，B 两点分别与塔底部O 连线成150°角，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．20mB ．10√3mC ．20√7mD ．10√42m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z ＝3+4i ，则（ ） A ．z 的共轭复数是3﹣4i B ．z 2对应的点在第二象限C ．z =izD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是610．已知向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，下列结论正确的是（ ） A ．若(a →+2b →)⊥c →，则λ＝2 B ．若a →=tb →+c →，则λ+t ＝﹣3C ．若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角，则λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠﹣5D ．|a →+μb →|的最小值为6√5511．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，若将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）的图象，则m 的值可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π412．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α，则（ ） A ．直线BD ∥平面αB ．直线EG ⊥直线AFC ．直线P A 与平面α所成的角为45°D ．截面四边形AEFG 的面积为4√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （﹣1，0），C ，D 为y 轴上两个动点，且|CD |＝2，则AC →⋅BD →的最小值为 ．14．如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2√2，AC ＝2，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，MN ＝1，则异面直线AC 与BD 所成的角是 ．15．设f(x)=cosxcos(30°−x)，则f （28°）+f （29°）+f （30°）+f （31°）+f （32°）＝ ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝90°，则cb−b 2b 2+c 2的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量a →=(2cosα，2sinα)，b →=(cosβ，sinβ)（α∈R ，β∈R ），且|a →−b →|=√7． （1）求向量a →与b →的夹角；（2）若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，求实数t 的值．18．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω＞0)且函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2．（1）求f （x ）的解析式及最小正周期；（2）若方程f(x)=35在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）求证：EF ⊥B 1C ．20．（12分）某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE区域为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），∠BCD ＝∠CDE ＝120°，∠BAE ＝60°，DE ＝2BC ＝2CD ＝6千米． （1）求小道BE 的长度；（2）设∠ABE ＝x ，试用x 表示△ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所△ABE 的面积最大值，并求出最大值．21．（12分）已知向量a →=(cosωx ，1)，b →=(−√3sinωx ，1)(ω＞0)，f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）在[0，π]上的单调递增区间；（2）将f （x ）的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移23π个单位得到g （x ）的图象，已知A （﹣2，2），B （2，5），则在g （x ）上是否存在一点Q ，使得QA →⊥QB →，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC ，垂足为D （D 在边BC 上且异于端点），设AD ＝h ，且满足b +c ＝a +h ． （1）若ℎ=12a ，求tan A 2的值； （2）求tan A2的最小值．2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈R ，则“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要解：由ln （x ﹣2）＜1，得到0＜x ﹣2＜e ，即2＜x ＜e +2，所以ln （x ﹣2）＜1时，能得出x ＞2，当x ＞2时，不妨取x ＝e 3+2， 此时ln （x ﹣2）＝lne 3＝3＞1，故x ＞2时，得不出ln （x ﹣2）＜1， 所以“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的充分不必要条件． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＜1}，B ＝{x |x ＜1或x ≥4}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ≤4}解：由题意可得：A ＝{x ||x ﹣1|＜1}＝{x |0＜x ＜2}，∁R B ＝{x |1≤x ＜4}， 所以A ∪（∁R B ）＝{x |0＜x ＜4}． 故选：B ． 3．已知复数z 满足1+√3i z=3+4i ，则|z|=（ ）A ．2√55B ．√105C ．√25D ．25解：由已知可得，z =1+√3i3+4i =(1+√3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3+4√3+(3√3−4)i 25=3+4√325+3√3−425i ， 所以，z =3+4√325−3√3−425i ，所以，|z|=√(3+4√325)2+(−3√3−425)2=25． 故选：D ．4．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图．若A 1D 1平行于y 1轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，A 1D 1=1，则平面图形ABCD 的面积是（ ）A ．14B ．7C ．7√2D ．14√2解：根据直观图画法的规则，直观图中A 1D 1平行于y 轴，A 1D 1＝1， 可知原图中AD ∥Oy ，从而得出AD ⊥DC ，且AD ＝2A 1D 1＝2，直观图中A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，可知原图中AB ∥CD ，AB =34CD =3， 即四边形ABCD 上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，故其面积S =12×(3+4)×2=7． 故选：B ．5．已知sin θ﹣5cos θ＝0，则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=（ ）A ．−85B ．85C ．−83D ．83解：由sin θ﹣5cos θ＝0，得到tan θ＝5， 故cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=(cos 2θ+sin 2θ)(cos 2θ−sin 2θ)sin 2θ−2sinθcosθ=cos 2θ−sin 2θsin 2θ−2sinθcosθ=1−tan 2θtan 2θ−2tanθ=1−2525−10=−85．故选：A ．6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点F ，若FE →=14AC →+mBD →，则m ＝（ ） A ．14B ．34C ．112D ．16解：画出图形，如图所示：因为平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点， 所以△ABF ∽△EDF ，AF EF=BF DF=AB DE=2，又BO ＝OD ，设OF ＝nFD ，则BF DF=OB+OF DF=BO DF+OF DF=DO DF+n =DF+OF DF+n =1+n +n =2，解得n =12，则FE →=12AF →=12(AO →+OF →)=12(12AC →+16BD →)=14AC →+112BD →，故m =112．故选：C ．7．已知α∈(π4，π2)，a ＝（sin α）sin α，b ＝（sin α）tan α，c ＝（tan α）sin α，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：因为α∈(π4，π2)，则0＜√22＜sinα＜1，tanα＞1，即sin α＜tan α，且y ＝（sin α）x 在定义域内单调递减，则（sin α）tan α＜（sin α）sin α＜（sin α）0＝1，即b ＜a ＜1， 又因为c ＝（tan α）sin α＞1，所以b ＜a ＜c ． 故选：B ．8．如图，河边有一座塔OP ，其高为20m ，河对面岸上有A ，B 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，而且A ，B 两点分别与塔底部O 连线成150°角，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．20mB ．10√3mC ．20√7mD ．10√42m解：在直角三角形P AO 中，∠P AO ＝45°，可得AO ＝PO ＝20， 在直角三角形PBO 中，∠PBO ＝30°，可得BO =POtan30°=20√3，且∠AOB ＝150°，可得AB 2＝AO 2+BO 2﹣2AO •BO cos ∠AOB ＝400+400×3﹣2×20×20√3×（−√32）＝2800，可得AB ＝20√7． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z ＝3+4i ，则（ ） A ．z 的共轭复数是3﹣4i B ．z 2对应的点在第二象限C ．z =izD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是6解：对于选项A ，由复数z ＝3+4i ，得z 的共轭复数是3﹣4i ，故选项A 正确；对于选项B ，由复数z ＝3+4i ，得z 2＝（3+4i ）2＝9+24i +（4i ）2＝9+24i ﹣16＝﹣7+24i ， 所以z 2对应的点为（﹣7，24）在第二象限．故选项B 正确；对于选项C ，z =3−4i ，iz ＝i （3+4i ）＝3i +4i 2＝﹣4+3i ，故选项C 错误； 对于选项D ，解法一：因为|z|=√32+42=5，利用复数模的三角不等式得|z 0﹣z |≤|z 0|+|z |＝1+5＝6． 解法二：如图，因为z ＝3+4i 在复平面上对应的点为A （3，4），|z 0﹣z |＝1表示在复平面上z 0对应的点到（3，4）的距离等于1，所以z 0表示的点的轨迹为圆心在（3，4），半径等于1的圆． 因为P A ＝1，OA =|z|=√32+42=5，所以当z 0对应的点在P 处时，|z 0|的最大值为OP ＝P A +OA ＝1+5＝6，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．已知向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，下列结论正确的是（ ） A ．若(a →+2b →)⊥c →，则λ＝2 B ．若a →=tb →+c →，则λ+t ＝﹣3C ．若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角，则λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠﹣5D ．|a →+μb →|的最小值为6√55解：向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，a →+2b →=(2，4)，(a →+2b →)⊥c →，则2λ+4＝0，解得λ＝﹣2，A 错误； tb →+c →=(2t +λ，t +1)，则由向量相等的条件可知，{2t +λ=−2t +1=2，解得t ＝1，λ＝﹣4，即λ+t ＝﹣3，B 正确；12a →+b →=(1，2)，2b →+c →=(4+λ，3)，依题意，(12a →+b →)⋅(2b →+c →)=λ+10＞0，解得λ＞﹣10且向量12a →+b →与向量2b →+c →不共线，当向量12a →+b →与2b →+c →共线时，2（4+λ）＝3，解得λ=−52，所以λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠−52，C 错误；a →+μb →=(2μ−2，μ+2)，则|a →+μb →|=√(2μ−2)2+(μ+2)2=√5(μ−25)2+365≥6√55，当且仅当μ=25时取等号，所以|a →+μb →|的最小值为6√55，D 正确．故选：BD ．11．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，若将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）的图象，则m 的值可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象， 可得A ＝2，14⋅2πω=5π12−π6，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，f （x ）＝2sin （2x +π6）．将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）＝2sin （2x −π3）＝2sin （2x ﹣2m +π6） 的图象， ∴﹣2m +π6=−π3+2k π，k ∈Z ．故令k ＝0，可得m 的值为π4；令k ＝﹣2，可得m =9π4． 故选：AD ．12．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α，则（ ） A ．直线BD ∥平面αB ．直线EG ⊥直线AFC ．直线P A 与平面α所成的角为45°D ．截面四边形AEFG 的面积为4√33解：由P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，则P A ⊥BD ，由P ﹣ABCD 的底面为正方形，则AC ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂面P AC ，故BD ⊥面P AC ， 因为PC ⊂面P AC ，故BD ⊥PC ，由平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α， 所以PC ⊥EG ，故BD ∥EG ，因为BD ⊄平面α，EG ⊂平面α，故BD ∥面α，A 正确；因为BD ⊥面P AC ，则EG ⊥面P AC ，AF ⊂面P AC ，所以EG ⊥AF ，B 正确； 由PC ⊥平面α，即PF ⊥面AEFG ，故∠P AF 为直线P A 与平面α所成角的平面角， 因为AF ⊂面AEFG ，则PF ⊥AF ，而AC =√AB 2+BC 2=2√2， 因为AC ⊂底面ABCD ，则P A ⊥AC ，所以PC =√PA 2+AC 2=2√3， 综上，12PA ⋅AC =12AF ⋅PC ，故AF =2√63，则cos ∠PAF =AF PA =√63， 显然，∠P AF 不为45°，C 错误；因为BC ⊂底面ABCD ，则P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ， 由AB ∩P A ＝A ，AB ，P A ⊂面P AB ，所以BC ⊥面P AB ， 而PB ⊂面P AB ，故BC ⊥PB ，由EF ⊂面AEFG ，则PF ⊥EF ，故Rt △PBC ～Rt △PFE ，即PF PB=PE PC，同理可证：PFPD=PG PC，而PB =PD =2√2，则PE ＝PG ，由上知：PF =√PA 2−AF 2=2√33，则PE =PC⋅PF PB =2√3×2√3322=√2，即PE =PG =√2，综上，△PBD 中有PEPB=PG PD=EG BD =12，则EG =12BD =12×2√2=√2， 所以截面四边形AEFG 的面积为12AF ⋅EG =12×2√63×√2=2√33，D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （﹣1，0），C ，D 为y 轴上两个动点，且|CD |＝2，则AC →⋅BD →的最小值为 ﹣3 ．解：设C （0，a ），D （0，b ），由|CD |＝2，则|a ﹣b |＝2，不妨设a ＞b ，则a ＝b +2，又AC →=(−2，a)，BD →=(1，b)，则AC →⋅BD →=ab ﹣2＝b 2+2b ﹣2＝（b ﹣1）2﹣3， 当b ＝1时，AC →⋅BD →取最小值﹣3． 故答案为：﹣3．14．如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2√2，AC ＝2，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，MN ＝1，则异面直线AC 与BD 所成的角是 45° ．解：取CD 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M 为BC 的中点，N 为AD 的中点，所以NE ∥AC 且NE =12AC ，ME ∥BD 且ME =12BD ， 所以∠NEM 即为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角， 又BD =2√2，AC =2，MN =1，所以NE =1，ME =√2，所以ME 2＝MN 2+NE 2，所以∠MNE ＝90°， 所以△MNE 为等腰直角三角形，所以∠NEM ＝45°； 故答案为：45°． 15．设f(x)=cosxcos(30°−x)，则f （28°）+f （29°）+f （30°）+f （31°）+f （32°）＝ 5√32．解：因为f(x)+f(60°−x)=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[30°−(60°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[−(30°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos(30°−x)=cosx+12cosx+√32sinx cos(30°−x)=32cosx+√32sinx cos(30°−x)=√3cos(30°−x)cos(30°−x)=√3， 即f(x)+f(60°−x)=√3，令x ＝28°，可得f(28°)+f(32°)=√3；令x ＝29°，可得f(29°)+f(31°)=√3； 令x ＝30°，可得f(x)=cos30°cos0°=√32； 所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2√3+√32=5√32． 故答案为：5√32． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝90°，则cb−b 2b 2+c2的最大值为 √2−12． 解：因为A ＝90°，所以C ＝90°﹣B ，可得sin C ＝sin （90°﹣B ）＝cos B ， 由正弦定理可得cb−b 2b 2+c 2=sinCsinB−sin 2B sin 2B+sin 2C=sinBcosB−sin 2B sin 2B+cos 2B=12sin2B −12(1−cos2B)=sin2B+cos2B−12=√2sin(2B+π4)−12， 因为B ∈(0，π2)，则2B +π4∈(π4，5π4)，当2B +π4=π2，即B =π8时，cb−b 2b 2+c 2取到最大值√2−12．故答案为：√2−12． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量a →=(2cosα，2sinα)，b →=(cosβ，sinβ)（α∈R ，β∈R ），且|a →−b →|=√7． （1）求向量a →与b →的夹角；（2）若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，求实数t 的值．解：（1）由题意可得：|a →|＝2，|b →|＝1，因为|a →−b →|=√7， 则(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=5−2a →⋅b →=7，解得a →⋅b →=−1， 可得cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−12，又〈a →，b →〉∈[0，π]，所以向量a →与b →的夹角为2π3；（2）由（1）可得：|a →|=2，|b →|=1，a →⋅b →=−1，若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，即(ta →−b →)2=√3(a →+tb →)2， 则t 2a →2−2ta →⋅b →+b →2=3(a →2+2ta →⋅b →+t 2b →2)，即4t 2+2t +1＝3（4﹣2t +t 2），整理得t 2+8t ﹣11＝0，解得t =−4±3√3， 所以实数t 的值为−4±3√3．18．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω＞0)且函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2．（1）求f （x ）的解析式及最小正周期；（2）若方程f(x)=35在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）． 解：（1）因为f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12=√32sin2ωx −1+cos2ωx 2+12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin(2ωx −π6)， 又函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2，所以T =π=2π|2ω|，又ω＞0，则ω＝1， 所以f(x)=sin(2x −π6)，最小正周期为π；（2）由题意可得sin(2x 1−π6)=35＞0，同理可得sin(2x 2−π6)=35＞0， 当0＜x ＜π时，则−π6＜2x −π6＜11π6，所以0＜2x 1−π6＜π，0＜2x 2−π6＜π， 令2x −π6=π2，得x =π3，因为f(x 1)=f(x 2)=35，所以点（x 1，f （x 1））、（x 2，f （x 2））关于直线x =π3对称， 所以x 1+x 2=2π3， 所以cos(x 1−x 2)=cos[x 1−(2π3−x 1)]=cos(2x 1−2π3)=cos[(2x 1−π6)−π2]=sin(2x 1−π6)=35． 19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）求证：EF ⊥B 1C ．证明：（Ⅰ）连接BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF 不包含于平面ABC 1D 1}⇒EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）根据题意可知：B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，B 1C ⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1=B}⇒B 1C ⊥面ABC 1D 1BD 1⊂面ABC 1D 1} ⇒B 1C ⊥BD 1EF ∥BD 1}⇒EF ⊥B 1C ．20．（12分）某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE 区域为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），∠BCD ＝∠CDE ＝120°，∠BAE ＝60°，DE ＝2BC ＝2CD ＝6千米． （1）求小道BE 的长度；（2）设∠ABE ＝x ，试用x 表示△ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所△ABE 的面积最大值，并求出最大值．解：（1）如图，连接BD ，在△BCD 中，BC ＝CD =DE2=3千米， ∠BCD ＝∠CDE ＝120°，由余弦定理得：BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD ＝27， ∴BD ＝3√3． ∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝30°， 又∠CDE ＝120°，∴∠BDE ＝∠CDE ﹣∠CDB ＝120°﹣30°＝90°，在Rt △BDE 中，所以BE =√BD 2+DE 2=√(3√3)2+62=3√7． （2）∵∠ABE ＝x ，∵∠BAE ＝60°，∴∠AEB ＝120°﹣x ． 在△ABE 中，由正弦定理，得AB sin∠AEB =AE sin∠ABE=BE sin∠BAE=√7√32=2√21，∴AB ＝2√21 sin （120°﹣x ），AE ＝2√21sin x ．∴S △ABE =12|AB ||AE |sin 60°=12×2√21×2√21×√32sin （120°﹣x ）sin x ＝21√3×{−12[cos （120°﹣x +x ）﹣cos （120°﹣x ﹣x ）]} =21√32cos （120°﹣2x ）+21√34∵0＜x ＜120°，∴﹣120°＜2x ﹣120°＜120°． ∴当x ＝60°时，S △ABE 取得最大值为21√32+21√34=63√34． 即球类活动场所△ABE 面积的最大值为63√34km 2．21．（12分）已知向量a →=(cosωx ，1)，b →=(−√3sinωx ，1)(ω＞0)，f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）在[0，π]上的单调递增区间；（2）将f （x ）的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移23π个单位得到g （x ）的图象，已知A （﹣2，2），B （2，5），则在g （x ）上是否存在一点Q ，使得QA →⊥QB →，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2=2(cosωx ，1)⋅(√3sinωx +cosωx ，0)−2=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx −2=2(√32sin2ωx +12sin2ωx)=2sin(2ωx +π6)−1，因为f （x ）的最小正周期为π，所以π=2π2ω，得ω＝1，所以f(x)=2sin(2x +π6)−1，由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，所以f （x ）单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ， 又因为x ∈[0，π]，所以0≤x ≤π6和2π3≤x ≤π，所以f （x ）在[0，π]上的单调增区间为[0，π6]，[2π3，π]．（2）将f(x)=2sin(2x +π6)−1的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，得到y =2sin(12x +π6)−1，再把整个图象向左平移23π个单位得到g(x)=2cos 12x −1，设Q(x ，2cos 12x −1)，A （﹣2，2），B （2，5），则QA →=(−2−x ，3−2cos 12x)，QB →=(2−x ，6−2cos 12x)， 则QA →⋅QB →=x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18，若x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0，即4cos 212x −18cos 12x +18=4−x 2，整理得：4(cos 12x −94)2=254−x 2，因为−1≤cos 12x ≤1，所以−134≤cos 12x −94≤−54， 所以2516≤(cos 12x −94)2≤16916，所以254≤4(cos 12x −94)2≤1694，而254−x 2≤254，所以254−x 2=254，x ＝0，此时y ＝1，则在g （x ）上存在一点Q （0，1），使得QA →⊥QB →．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC ，垂足为D （D 在边BC 上且异于端点），设AD ＝h ，且满足b +c ＝a +h ． （1）若ℎ=12a ，求tan A 2的值； （2）求tan A 2的最小值．解：（1）在△ABC 中，可得12bcsinA =12aℎ，所以bc =aℎsinA =a 22sinA ，又b +c =a +ℎ=3a2， 由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =94a 2−a 22bc−1=54a 2a 2sinA−1=54sinA −1，即54sinA −cosA =1，所以54×2sinA 2⋅cosA 2−2cos2A 2+1=1，又A ∈（0，π），所以A 2∈(0，π2)，故cos A2≠0， 所以52sinA2=2cos A2，得到tan A 2=45． （2）由b +c ＝a +h ，结合（1）可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−a 2−2bc 2bc =(a+ℎ)2−a 22aℎsinA−1=(1+ℎ2a)sinA −1， 所以1+ℎ2a =cosA+1sinA =2cos 2A2−1+12sin A 2cos A 2=1tan A 2， 如图，过点C 作CE ⊥BC ，使得CE ＝2h ，连接AE ，BE ，取CE的中点H，易得CH∥AD且CH＝AD，所以AH⊥CE，故AC＝AE，在Rt△BCE中，BE=√a2+4ℎ2，又a+h＝b+c＝AB+AE≥BE，即a+ℎ≥√a2+4ℎ2，解得0＜ℎa≤23，则1+ℎ2a=1tan A2∈(1，43]，所以tan A2∈[34，1)，所以tan A2的最小值为34．。
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={−1,0}，B={0,1}，则A∩B=( )A. {0}B. {−1,0}C. {0,1}D. {−1,0,1}3=( )2.已知a<1，则√ (a−1)2+√a3A. −1B. 1C. 2a−1D. 1−2a3.已知函数f(x+1)=x2，则f(−1)=( )A. 0B. 1C. 2D. 44.命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是( )A. ∀x<0，x2<0B. ∀x≥0，x2<0C. ∃x<0，x2<0D. ∃x≥0，x2<05.已知a，b∈R，则“ab=0”是“a2+b2=0”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.已知m<n<0，则( )A. m2<n2B. m2<mnC. m3<n3D. m−1<n−17.已知a=log94，b=log1510，c=2，则( )3A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a8.定义：min{a,b}表示a，b中的较小者.若函数y=min{1−|x−2|,(x−1)2−1}在区间[m,n]上的取值范围为[−1,0]，则n−m的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A，B，C，D的单选题，他们的对话如下：甲：我选的A；乙：我选的B；丙：我选的C；丁：我选的不是C．已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论正确的是( ) 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A. 若f(x)，g(x)均为增函数，则y=f(x)+g(x)也为增函数B. 若f(x)，g(x)均为减函数，则y=f(x)g(x)也为减函数C. 若f(x)，g(x)均存在零点，则y=f(x)g(x)也存在零点D. 若f(x)，g(x)均存在零点，则y=f(x)+g(x)也存在零点11.设x，y为正数，且log a x+2y3=log a x+log a2y4(a>0且a≠1)，则( )A. 2yx +x2y的最小值是2 B. xy的最大值是8116C. x+2y的最大值是92D. x2+4y2的最大值是818三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省海安高级中学2014-2015学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
命题、校对：王忠
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 命题“2
,10x x ∀∈->R Q ð”的否定是 ▲ ．
2．若双曲线()2
22103y x a a
-
=>的离心率为2，则a ＝ ▲ ． 3． 不重合的3个平面将空间分成n 个部分，则n 的取值集合为 ▲ ．
4． 已知椭圆
2212516
y x +=上一点P 到椭圆左焦点1F 的距离为3，则P 到右焦点2F 的距离为 ▲ ．
5． 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ▲ ． 6． 已知抛物线214
y x =，则它的焦点的纵坐标是 ▲ ．
7． 直三棱柱111ABC A B C -中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角
等于 ▲ ．
8． 集合{}
4A x x =≤，{}B x x a =<，则“A B ⊆”是“a ＞5”的 ▲ ．（填“充要条件”、
“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分又不必要条件”）
9． 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a a 的取值范围是 ▲ ．
10．若双曲线()222210,0y x a b a b
-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为 ▲ ．
11．给出如下四个命题：
①若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a ＞b ，则221a b >-”的否命题为“若a ≤b ，则221a b -≤”； ③设n *∈N ，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n ＝3； ④()10,3
x ∀∈，()
13
1
log 2x
x <恒成立．
其中不正确．．．
的命题的序号是 ▲ ． 12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿
着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为 ▲ cm ．
13．已知双曲线2
2
1x y -=，点1F 、2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则
12PF PF +的值为 ▲ ．
14．椭圆2214
x y +=的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于 ▲ ．
B
A
C
1
C 1
A 1
B
二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知(10,F
，(2F
，A ⎫
⎪⎝⎭
．
（1）求以1F 、2F 为焦点，且过点A 的椭圆的标准方程； （2）求以1F 、2F 为焦点，且过点A 的双曲线的标准方程．
16．（本小题满分14分）
如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点． （1）求三棱锥1C DD E -的体积； （2）求证：11D E A D ⊥． 17．（本小题满分14分）
设命题p :实数x 满足2
2
430x ax a -+<，其中0a ≠，命题q ：实数x 满足2
260,
280.
x x x x ⎧--⎪⎨+->⎪⎩≤
（1）若a ＝1，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，BC ＝B
1B ．
（1）求证：1A C ∥平面1AB D ；
（2）试在棱1CC 上找一点M ，使1MB AB ⊥． 19．（本小题满分16分）
已知点A 、B 是抛物线C ：()220y px p =>上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线30x y ++=的距离为 （1）求抛物线C 的方程；
（2）现给出以下三个论断：①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行x 轴．请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并
加以证明．
20．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，点F 为椭圆E ：
22143
y x +=的右焦点． （1）斜率为12的直线l 与椭圆E 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点()
31,2P ，设直线P A 、
PB 的斜率分别为PA k 、PB k ，求PA PB k k +的值；
（2）试问：是否存在一个定圆N ，与以椭圆E 上的任一点M 为圆心，以MF 为半径的 圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．
A E
B
C
D
1
A 1
D 1
C 1
B A
C
D
B 1A
1B
1C。