第三章向量专项测试题参考答案(1)

爱

启

航

在

线

考研

第三章 向量

1. 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则向量组（ ） A. 12233441,,,++++αααααααα线性无关 B. 12233441,,,−−−−αααααααα线性无关 C. 12233441,,,+++−αααααααα线性无关 D. 12233441,,,++−−αααααααα线性无关 【答案】C

【详解】（法一 定义法）新向量组中1234,,,αααα各出现两次，易得 A 选项，()()()()12233441+−+++−+=αααααααα0 B 选项，()()()()12233441−+−+−+−=αααααααα0 D 选项，()()()()12233441+−++−+−=αααααααα0

由排除法选C. 对于C 选项，设()()()()112223334441k k k k ++++++−=αααααααα0，整理得

()()()()141122233344k k k k k k k k −++++++=αααα0

由向量组1234,,,αααα线性无关，即得齐次线性方程组

1412

23340000

k k k k k k k k −=⎧⎪+=⎪⎨

+=⎪⎪+=⎩ 该齐次方程组只有零解，即12340k k k k ====，故12233441,,,++−−αααααααα线性无

关.

（法二 利用分块矩阵乘法）

A 选项，()()1223344112341

011100,,,,,,01100

011⎛⎫ ⎪ ⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭

αααααααααααα

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考

研

因为1234,,,αααα线性无关，即矩阵()1234,,,αααα列满秩，由左消去律，

()1223344110011

100,,,401100

01

1r r ⎛⎫ ⎪

⎪

++++=< ⎪ ⎪⎝⎭

αααααααα ， 所以12233441,,,++−−αααααααα线性相关，A 选项错误. 同理验证BCD ，仅C 选项正确.

（注：在类似问题中，往往法二更具有一般性.）

2. 设向量组123,,ααα线性无关，且1234k ++ααα，1232+−ααα，23+αα线性相关，

则k =__________.

【答案】5 【详解】(1234k ++ααα, 1232+−ααα, 23+αα)()123120,,11411k ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪−⎝⎭

ααα ，

由123,,ααα线性无关，所以

r (1234k ++ααα, 1232+−ααα, 23+αα)120113411r k ⎛⎫ ⎪

=< ⎪ ⎪−⎝⎭

即有120

111020411

k k =−=−，得5k =.

3. n 维列向量12,,

,s ααα线性无关的充要条件是（ ）

A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0

B. 添加向量β后，12,,,,s αααβ线性无关

C. 去掉任一向量i α后，111,,,,

,i i s −+αααα线性无关

D. 121311,,,

,s −−−ααααααα线性无关

【答案】D

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考研

【详解】

A 选项，与向量组线性无关定义不符. 反例，1212101,,011⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

αααα设则，但

12,αα线性相关；

B 选项，为12,,

,s ααα线性无关的充分不必要条件. 若12,,,s ααα线性无关，添加向量

β后，可能使12,,

,,s αααβ线性相关.

C 选项，为12,,,s ααα线性无关的必要不充分条件. 反例，1211,,00⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

αα设去掉其

中任一向量，剩余向量组无关，但12,αα线性相关； D 选项，正确. 设()()()112213311s s k k k k +−+−+

+−=ααααααα0，

有()1212233s s s k k k k k k −−−+++

+=αααα0，

121311,,,

,s −−−ααααααα线性无关，当且仅当12230s s k k k k k k −−

−===

==

当且仅当120s k k k ====，即12,,

,s ααα线性无关.

4. 判别下列向量组是否线性相关：

（1）()()()()12342,0,0,0,2,1,1,1,1,1,2,1T

T

T

T

====−αααα； （2）()()()1231,2,1,2,2,3,1,3,4,1,1,7T

T

T

=−=−=−βββ； （3）()()()123,1,,0,0,,0,,2,3,,4,,5,6T

T

T

a b c d e f ===γγγ. 【答案】（1）线性相关；（2）线性相关；（3）线性无关； 【详解】

（1）4个3维向量线性相关；

（2）()1231241

2

4231011,,1110002370

00⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

βββ 由()123,,23r =<βββ，所以123,,βββ线性相关.