数学建模选址问题

摘要

目前，社区的优化管理和最佳服务已经成为一种趋势，并且为城市的发展作出了一定的贡献。本文针对在社区中选址问题及巡视路线问题，分别建立了多目标决策模型、约束最优化线路模型，并分别提供了选址社区和巡视路线。

对于问题一，我们建立了单目标优化模型，考虑到各社区居民到收费站点的平均距离最小，我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在本题中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小,最终利用lingo 软件求得收费站建在M、Q、W三个社区。

对于问题二，同样是单目标优化模型，较之问题一不同的是，问题二不需要考虑人口问题，但需要确定选址的个数。接下来的工作分了两步，第一步，我们通过0－1变量列出目标函数，以超额覆盖等确定约束条件，用lingo 软件编程求出最小派出所站点的个数;第二步，我们利用第一步中求出的派出所个数作为新的约束条件，建立使总距离最小的优化模型，最终利用lingo 软件求得三个派出所分别建在W、Q、K社区。

对于问题三，我们建立了约束最优化线路模型，根据floyd 算法求得的任意两个社区之间的最短路径，建立了以w 点为树根的最短路径生成树，并据此对各点的集中区域进行划分，再利用破圈法得到最短回路。在本题中，我们初定了两种方案，并引入均衡度α对两种方案进行比较，最终采用了方案二。最后，我们用matlab编程求解方案二中各组的巡视路线为113百米，123百米，117百米，均衡度α＝8.13%。具体路线见

关键词：最短路径hamilton圈最优化floyd算法

在社区中缴费站的选址对于居民快速缴费和充分的利用公共设施的资源有很重要的指导意义。

某城市共有24个社区，各社区的人口（单位：千人）如下:

（注：横线上的数据表示相邻社区之间的距离，单位：百米）本题要解决的问题如下：

（1）方便社区居民缴纳煤气费，煤气公司现拟建三个煤气缴费站，问煤气缴费

站为了怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小。

(2) 市公安局拟在该城区建立若干个派出所，请为派出所分配管辖范围，使其

在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有警察（警车的时速为50km/h）到达事发地，问设置多少个派出所比较合理，位置选在哪？

(3) 社区W是市政府所在地，市领导从W出发巡视，分三组巡视所有社区，

为了尽快完成巡视，请问如何安排巡视路线。

2 模型假设与符号说明

2.1模型假设：

假设1：相邻两个社区之间的道路近似认为是直线，把城市地图抽象成由点和线组成的无向网络赋权图；

假设2：假设警车到达事发点的途中没有障碍，即不考虑路况和其他突发事件的影响，警车按照其行驶速度匀速行驶直至到达事件发生的地点。

假设3：巡视过程中，各个小组行驶的速度基本相同。

假设4：各个小组巡视过程中，不因特殊情况延误时间。

假设5：各个小组巡视过程中，不考虑小组在每个社区的停留时间。

假设6：不考虑警察的反应时间，即接到事故报警后，能够立即赶往事故发生地。

说明：“一”代表问题一中符号表示的意义，“二”表示问题二中符号所表示的意义。

3问题分析

3.1问题一分析

本问题的目标是从一个有多个社区组成的区域中，选出一定数目的社区设置收费站，建立所得收费站网络，实现居民与最近的收费站之间平均距离最小.

在多目标的选址问题中，宜采用单目标优化模型，并充分体现收费站的效率性。首先我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在问题一中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小

3.2问题二分析

第二问需要求出在相应的时间限制下，为了使中位选址问题达到最优需要，在该社区建立派出所站点的个数。根据警车的行驶速度50km/h以及反应时间限制在3分钟内，得出派出所站点与相应区域内的点的最大距离应小于d＝3×50/60km=25(百米)。运用中位点问题模型，采用参数规划的约束法，可以很好的解决该问题。

首先我们利用floyd算法算出每对顶点的最短距离，然后利用单目标最优化模型以派出所的个数的和为目标函数，保证每个点被覆盖一次，考虑某个社区派出所站点与社区是否被站点覆盖的关系，其它点到站点的最小距离小于等于25百米，利用lingo软件求出最少派出所的个数，最后以其它点到站点的最小总的距离为目标函数。在第一步的基础上加上站点的个数，最终利用lingo软件求出站点位置。

3.3问题三分析

此题研究的是最佳巡视路线设计问题，要求从w点出发分三组巡视完所有社区后，并尽快回到w点。此问题可以转化为推销员问题，再设计相应的算法求解。为了使三组能够在短时间内完成巡视，那么就要求三组所走总路程最小；同时，为了使三组能够在几乎等量的时间内完成巡视，我们就要求三组巡视路程尽可能的均衡。综上两点考虑，我们建立了以三组巡视路线总路程值最小和三组路程的均衡度两个目标函数的模型。首先我们可以利用第一问求出的w点到其余顶点的最短路, 建立了以w 点为树根的最短路径生成树,其中规定从w点出发的树枝称为干支，然后把所得的生成树按以下原则分成三组。

准则一：尽量使同一干支上及其分支上的点分在同一组；

准则二：应将相邻的干支上的点分在同一组；

准则三：尽量将长的干支与短的干支分在同一组。

然后利用hamilton算法分别构造出每组路线值最小的回路，如果两个目标值不佳，我们可以重新分组，经过多次调整达到较为合适的结果，最终找出该区域的最佳巡视路径。

4数据分析

4.1模型一的数据分析：