初中一元二次方程讲解
初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解
x2
−
7 10
x
+
49 400
−
49 400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
49
400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
+
49 40
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
111 40
．
∵
−10
x
−
7 20
2
0
，∴
−10
x
+
7 4
2
=
25 16
，
直接开平方，得 x + 7 = 5 ． 44
∴
x1
=
−
1 2
，
x2
=
−3
．
【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1，方程(2)的二次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是
关键
的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程： (1) x2 − 4x −1 = 0 ；
【答案与解析】 (1)移项，得 x2 − 4x = 1 ．
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 ．
《一元二次方程》数学教案8篇
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握
初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：① 方程两边都是关于未知数的等式② 只含有一个未知数③ 未知数的最高次数为2如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。
（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。
由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。
三、一元二次方程解法：1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。
2. 解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。
解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
初中数学教案模板一元二次方程(优秀7篇)
初中数学教案模板一元二次方程（优秀7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学九年级上册一元二次方程的应用--知识讲解(基础)
一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【答案与解析】(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1+x)2＝8.45．解得x 1＝30%，x 2＝-2.3(不合题意，舍去)．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．(2)这三年共投资5+5(1+x)+8.45＝5+5(1+0.3)+8.45＝19.95(亿元)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a(1+x)n ＝b(其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 是增长到的量)的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1+x)；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)＝a(1+x)2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)＝a(1+x)3；…；依次类推．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为： 600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案与解析】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案与解析】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。
一元二次方程的讲解
一元二次方程的讲解一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
一元二次方程的求解是解析几何、物理学等学科中的重要基础知识之一。
本文将从一元二次方程的定义、求解方法和应用等方面进行讲解。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
其中，a 称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程两边的式子分解成乘积的形式，令每个因式等于0，再求解得到方程的根。
2. 完全平方公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a=1，可以使用完全平方公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解方程的根。
3. 直接开平方法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的解可以通过开方得到，可以直接进行开平方运算求解。
4. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求解一元二次方程的根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线的建模：一元二次方程可以用来建立抛物线的数学模型。
抛物线的形状由方程中的二次项决定，常数项则决定了抛物线的平移。
2. 物体运动的轨迹：一元二次方程可以用来描述物体在抛体运动中的轨迹。
通过解一元二次方程，可以求得物体的落地时间、最高点高度等相关信息。
3. 经济学问题的分析：一元二次方程可以用来分析经济学中的一些问题，如成本、收益、利润等的关系。
4. 工程问题的求解：一元二次方程在工程问题的求解中也有重要应用，如电路中的电压、电流关系的建立等。
初中数学一元二次方程解法总结
初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。
本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。
求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。
2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。
3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。
4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。
具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。
2. 在坐标系中画出二次函数的图像。
3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。
五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。
2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。
3. 验证求得的根是否满足原方程。
六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
一元二次方程初中知识点总结
稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一元二次方程那些事儿。
一元二次方程呢，长得就像ax² + bx + c = 0 这样，这里的 a 可不能是 0 哦，不然就不是二次方程啦。
求根公式可得要记住，x = [b ± √(b² 4ac)] / （2a），这个公式超重要，能帮咱们算出方程的根。
判别式Δ = b² 4ac 也有大用处呢！要是Δ 大于 0 ，方程就有两个不相等的实根；等于 0 呢，就有两个相等的实根；要是小于0 ，那就没有实根，只有虚根啦。
配方法也别忽略，通过在方程两边加上一个数，能把方程变成完全平方式，这样也好求解。
还有因式分解法，把方程左边分解成两个式子相乘等于 0 的形式，那这两个式子分别等于 0 ，就能求出根啦。
一元二次方程在实际生活中的应用也不少哟！比如计算面积啦，利润问题啦等等。
一元二次方程虽然有点小复杂，但是只要咱们认真学，多练习，就一定能拿下它！加油哦小伙伴们！稿子二：宝子们，咱们来唠唠一元二次方程的知识点哈。
一元二次方程，就像是一个有点小脾气的家伙，得好好对付。
先看看它的一般形式ax² + bx + c = 0 ，这里面 a、b、c 都有自己的角色。
根的判别式可神奇啦，能告诉咱们根的情况。
大于 0 ，两个不同根；等于 0 ，两个一样的根；小于 0 ，没有实根，是不是很有趣？还有那个求根公式，一定要记牢哦，[b ± √(b² 4ac)] /（2a），有了它，啥样的方程咱都不怕。
配方法就像是给方程做个美容，让它变得更好看，也更好解。
因式分解法呢，就得有一双善于发现的眼睛，把左边分解好，问题就迎刃而解啦。
一元二次方程在解决实际问题的时候可厉害啦！比如算物体的运动轨迹，商品的销售利润，用处多着呢。
所以呀，咱们可别被它吓住，多琢磨琢磨，多做做练习题，相信咱们都能和一元二次方程成为好朋友的！冲呀！。
初中解一元二次方程的方法
初中解一元二次方程的方法
一元二次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程。
初中一元二次方程的解法有开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法等等。
1一元二次方程的解法
(一)因式分解法
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的积；
(3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
(二)配方法
(1)把原方程化为一般形式；
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
(三)求根公式法
(1)把方程化成一般形式ax²+bx+c=0，确定a,b,c的值(注意符号)；
(2)求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况。
当Δ>0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
初中数学-一元二次方程及其解法讲解
配方法和公式法是解一元二次方 程重要方法,要作为一种基本技能 来掌握.而某些方程可以用直接开 平方法、分解因式法简便快捷地 求解.
解方程：1 5x2 4x； 2 x 2 x x 2.
解：1 5x2 4x 0，
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
x1
0，x2
4. 5
解：2 x b2 c.
可利用直接开平方法求解.
1、x2 a x a
2、ax2 c 0 ax2 c x2 c
a x c
a
3、a x b2 c x b2 c
a xb c
a xb c
a
注意：在用直接开平 方法对方程1、2、3 求解时，字母系数要 满足什么条件？
解方程： x2 8x 9 0.
解: x2 8x 9 0.
x2 8x 9.
1.移项:把常数项移到方程的左边.
x2 8x 42 9 42.
2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 方.
x 42 25. 3.变形:方程左分解因式,右边合并同类.
例：3y2 2y 4 0. 用配方法解一元二次方程的步骤:
解：y2 2 y 4 0 33
y2 2 y 4 33
y2
2 3
y
1 3
2
4 3
1 3
2
y
1 3
2
13 9
y 1 13 33
y1
1 3
2a
2a
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解一元二次方程是初中数学中较为重要的知识点之一，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将对初三数学一元二次方程解题技巧进行详细分析，并给出实例进行解释，帮助学生更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的基本形式及代数解法一元二次方程的基本形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求解判别式。
下面将分别对这三种方法进行详解。
1. 因式分解法因式分解法是一种快速解一元二次方程的方法。
对于形如(x+m)(x+n)=0的方程，可以直接得到x=-m或x=-n为方程的解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3为方程的解。
2. 配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx +c = 0的方程，可通过适当的配方使其化为一个完全平方。
具体步骤如下：（1）将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和为b；（2）根据分解出的两个数进行配方，将二次项和一次项分别进行平方。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将6分解为2和3的乘积，得到x^2 + 2x + 3x + 6 = 0。
然后，根据配方，将前两项进行平方，得到(x + 2)^2 + 3x = 0。
继续进行化简，得到(x + 2)^2 = -3x。
由于方程左边是完全平方，所以方程有解。
3. 求解判别式求解判别式是解一元二次方程的一种常用方法。
判别式Δ=b^2 - 4ac 可以判断一元二次函式的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
例如，对于方程x^2 - 2x + 1 = 0，根据判别式Δ=（-2）^2 -4×1×1=0，因此方程有两个相等的实数根x=1。
初中数学 如何解一元二次方程
初中数学如何解一元二次方程解一元二次方程是数学中的重要内容，它涉及到方程的求解和应用。
在这篇文章中，我们将详细讨论解一元二次方程的各种方法，并提供实例进行说明。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的目标是找到方程成立的x的值。
接下来，我们将介绍几种常用的解一元二次方程的方法：1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，我们可以使用因式分解法求解。
例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0。
我们可以将这个方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
然后，我们令每个因式等于零，解得x = 2和x = 3。
因此，方程的解为x = 2和x = 3。
2. 配方法：配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
它的基本思想是通过对方程进行变形，将方程转化为一个完全平方的形式。
例如，考虑方程x^2 + 6x + 9 = 0。
我们可以将方程写成(x + 3)^2 = 0。
然后，我们令(x + 3)^2 = 0，解得x = -3。
因此，方程的解为x = -3。
3. 完全平方公式：完全平方公式是解一元二次方程的常用方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以将方程中的a、b、c代入完全平方公式，计算得到x = (4 ± √(16 - 12)) / 2。
进一步计算，得到x = (4 ± √4) / 2，即x = (4 ± 2) / 2。
最终，解方程，得到x = 3和x = 1。
因此，方程的解为x = 3和x = 1。
4. 公式法：公式法是解一元二次方程的一种直接方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
初中数学一元二次方程公式法
初中数学一元二次方程公式法初中数学中，一元二次方程是一个非常重要的概念。
在解一元二次方程时，我们通常会使用公式法。
本文将详细讲解一元二次方程公式法的原理和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知数，且a ≠ 0。
为了求解这个方程，我们首先需要掌握一元二次方程的求根公式：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
在应用公式法解一元二次方程时，我们需要进行以下几个步骤：1. 确定方程的系数：根据给定的一元二次方程，我们需要确定方程中的a、b、c的值。
2. 计算判别式：判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的值可以帮助我们判断一元二次方程的根的性质。
- 若Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；- 若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；- 若Δ < 0，则方程无实根。
3. 根据判别式的值确定方程的解的情况。
- 若Δ > 0，则根据求根公式，可以得到两个不相等的实根；- 若Δ = 0，则根据求根公式，可以得到两个相等的实根；- 若Δ < 0，则方程无实根。
4. 计算方程的解。
- 若方程有两个不相等的实根，则根据求根公式，分别计算出两个实根；- 若方程有两个相等的实根，则根据求根公式，计算出唯一的实根；- 若方程无实根，则根据求根公式，计算出虚根。
通过上述步骤，我们可以利用一元二次方程公式法快速求解一元二次方程。
这种方法适用于各种类型的一元二次方程，例如求解直线与抛物线的交点、解决物理问题中的运动方程等。
在实际应用中，一元二次方程公式法也有一些注意事项：1. 当判别式Δ的值为负数时，方程无实根，但可以求得虚根，虚根的形式为x = (-b±√(-1)·√(|Δ|))/(2a)。
2. 在计算过程中，要注意避免除以0的情况，即要保证a ≠ 0。
3. 在解方程时，要进行合理的化简和因式分解，以便更快地求得方程的解。
一元二次方程七大应用题讲解
一元二次方程七大应用题讲解一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。
其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
求解一元二次方程的方法有多种，如因式分解法、完全平方公式法、韦达定理、二次三项式的配方法等。
二、一元二次方程的求解方法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，即(ax+m)(nx+k)=0。
根据乘积为零的性质，可得到方程的解。
2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，如(x+m)=n。
利用完全平方公式，可求得方程的解。
3.韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0，其根与系数的关系为：x+x=-b/a，xx=c/a。
根据这一关系，可以求解一些与根有关的问题。
4.二次三项式的配方法：将一元二次方程转化为二次三项式方程，如ax+bx+c=a(x+m)+n。
利用二次三项式的配方法，可以求解方程。
三、一元二次方程的应用1.面积问题：根据一元二次方程的根与系数的关系，可以求解几何图形的面积，如求解抛物线的面积。
2.几何图形问题：利用一元二次方程描述几何图形的性质，如求解圆的标准方程、椭圆的标准方程等。
3.物理问题：一元二次方程在物理中的应用广泛，如求解物体运动的轨迹、速度、加速度等。
4.函数问题：一元二次方程可以表示为二次函数，通过求解二次函数的极值、对称轴等问题，可以应用于优化问题、最值问题等。
5.线性方程组问题：一元二次方程与线性方程组有密切关系，通过求解一元二次方程，可以求解线性方程组。
6.实际问题：一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如求解距离问题、速度问题等。
7.综合问题：在各类综合问题中，一元二次方程作为一种基本工具，可以解决许多复杂问题。
初中数学 什么是一元二次方程的实数解和虚数解
初中数学什么是一元二次方程的实数解和虚数解在初中数学中，一元二次方程的实数解和虚数解是我们在求解方程时经常遇到的两种情况。
本文将详细介绍一元二次方程的实数解和虚数解的定义、区别和求解方法。
1. 一元二次方程的定义和形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
方程的解即为方程的根。
2. 实数解的定义和性质一元二次方程的实数解是指能够在实数范围内找到的方程的解。
如果一元二次方程存在实数解，那么实数解的性质如下：a) 当判别式Δ = b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有两个交点，表示方程有两个解。
b) 当判别式Δ = b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有一个交点，表示方程有一个解。
实数解是我们在数学问题中最常见的解形式，可以直接用来表示问题的答案。
3. 虚数解的定义和性质一元二次方程的虚数解是指方程的解不属于实数范围，而是属于复数范围。
如果一元二次方程没有实数解，那么方程的解为虚数解。
具体而言：当判别式Δ = b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
这种情况下，方程的图像与x轴没有交点，表示方程没有实数解。
虚数解通常以i来表示，其中i是虚数单位，定义为i^2 = -1。
方程的复数解可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
虚数解在数学中也具有重要的应用，特别是在复数、电路理论和物理问题中。
4. 求解一元二次方程的实数解和虚数解的方法a) 实数解的求解：当判别式Δ = b^2 - 4ac ≥ 0时，方程有实数解。
实数解可以通过求解公式来计算。
给定方程ax^2 + bx + c = 0，方程的两个实数解可以分别表示为：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a其中，√Δ表示判别式的平方根。
数学九年级上册一元二次方程讲解
数学九年级上册一元二次方程讲解一、课题数学九年级上册一元二次方程讲解二、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的概念，包括它的一般形式。
2. 使学生能够识别一元二次方程中的各项系数，并且知道二次项系数不能为0的原因。
3. 培养学生从实际问题中抽象出一元二次方程模型的能力。
三、教学重点&难点1. 教学重点一元二次方程的概念及其一般形式。
根据实际问题列出一元二次方程。
2. 教学难点理解一元二次方程中二次项系数不为0的必要性。
从复杂的实际问题中准确地抽象出一元二次方程模型。
四、教学方法1. 讲授法：直接向学生讲解一元二次方程的概念、形式等基础知识。
2. 问题引导法：通过提出一系列有针对性的问题，引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用。
3. 小组讨论法：针对一些较难理解的问题，组织学生小组讨论，让他们在交流中加深对知识的理解。
五、教学过程1. 引入同学们，咱们生活中有很多有趣的数学问题。
比如说，一个正方形的花坛，它的边长增加2米后，面积就增加了20平方米。
那咱们怎么用数学式子来表示这个事儿呢？咱们设原来正方形花坛的边长是x米，那原来的面积就是x²平方米。
边长增加2米后，边长就变成了(x + 2)米，面积就是(x + 2)²平方米。
根据面积增加了20平方米，咱们就能得到这么个式子(x + 2)² - x² = 20。
这式子可有点复杂，咱们把它展开化简一下，x²+4x + 4 - x² = 20，最后得到4x+4 = 20。
那要是问题再复杂一点呢？比如一个长方形的长比宽多3米，它的面积是54平方米，咱们设宽是x米，长就是(x + 3)米，那面积就是x(x + 3)=54，展开就是x²+3x - 54 = 0。
像这样的方程啊，就是咱们今天要学的一元二次方程。
2. 一元二次方程的概念讲解一元二次方程啊，就是只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程。
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23.1 一元二次方程类型1、一元二次方程的概念解题要点：（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。
（2）有些方程需要先整理，再判断。
（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。
题型1、一元二次方程的判别例1．下列是一元二次方程的是（ ）A ．322-+x xB ．2152=+x x C ．2)2)(1(x x x =-+ D ．)1(2)1(2-=+t t t 例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。
（1）012=+x （2）21112=++x x ； （3）012=++y x ； （4）0123=+-x x （5）46)53(22+=-x x x （6）5)3)(2(=--x x题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。
例3．方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2±=mB ．2=mC ．2-=mD ．2±≠m例4．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程的条件是什么？题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集例5．若0352=+-x ax 是一元二次方程，且a 满足不等式063>+a ，则a 的取值范围是（ ）A ．2->aB ．2-<aC ．2->a 且0≠aD ．21->a（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。
（2）先化为一般形式：02=++c bx ax ，后确定各项系数和常数项，一般形式中0≠a ，b 、c 可以等于0。
（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。
题型1、化方程为一元二次方程的一般形式例6．把方程2)23)(12(2+=-+y y y 化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题例7、a 为何值时，关于x 的方程04)3()3(1||=+++--x a x a a ，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？例8、方程08)4(2||=+++-a x x a a 是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
例9、若一元二次方程0)32()8(22=--++k x k x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求k 的值。
（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。
（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。
题型1、判断一元二次方程的根例10．下列哪些数是一元二次方程342-=-x x 的根？3-，2-，1-，0，1，2，3，4题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。
例11、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 的值。
例12、已知2=x ，6=x 是关于x 的一元二次方程02=++b ax x 的根，求a 和b 的值。
题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
例13、已知1=x 是一元二次方程0402=-+bx ax 的一个根，且b a ≠，求ba b a 2222--的值。
例14、已知a 是方程0120102=+-x x 的一个根，试求12010200922++-a a a 的值。
题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。
例15、已知关于x 的方程02=++q px x 与)(02q p p qx x ≠=++有一个公共根，求2009)(q p +的值。
类型4、列一元二次方程解题要点：一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：（1）设一个未知数x ，由其他未知量与这个未知数的关系，用x 表示其他量。
（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。
例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm 3，高为6cm ，底面的长比宽多5cm ，若设这个粉笔盒的底面的宽为x cm ，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。
例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为k (10<<k )，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的74，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（ ）A ．17474742=++k k B ．17474=+k C ．174742=+k k D ．17874=+k23.2 一元二次方程的解法类型5、直接开平方法解题要点：（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。
（2）对于形如)0(2≥=p p x 的一元二次方程，常用直接开平方法求解，方程的根是p x ±=，当0=p 时，021==x x 。
（3）对于形如)0,0()(2≥≠=+p m p n mx 的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为m p n x ±-=，当0=p 时，mn x x -==21。
（4）解题时，一定要注意方程有两个根。
题型1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件例18、用直接开平方法解方程b c x a =+2)(，方程有根的条件是（ ）A ．0>aB ．0>bC ．0,0≥>b aD ．a 、b 同号或0≠a ，题型2、用直接开平方法解一元二次方程例19、求一元二次方程0)3(2=-x 的根。
例20、求一元二次方程22)3()12(x x -=-的根。
类型6、因式分解法解题要点：（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”。
（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左边是因式的积，右边等于0。
（3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。
题型1、用因式分解法解形如)0(02≠=+a bx ax 的一元二次方程。
例21、用因式分解法解下列方程：（1）5552-=-x x （2）)2(2)2(32+=+x x题型2、用因式分解法解形如0)(2=++-ab x b a x （a 、b 为常数）的一元二次方程。
例22、用因式分解法解下列方程。
（1）01662=--x x ； （2）06)32(2=++-x x题型3、用因式分解法解形如)0(02≠=++a c bx ax 的一元二次方程。
例23、用因式分解法解下列方程：（1）01562=+-x x ； （2）061362=++x x ；题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用例24、当x 为何值时，代数式222222-++x x x 的值等于0。
例25、已知△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程01072=+-x x 的根，求△ABC 的周长。
类型7、配方法解题要点：（1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±和直接开平方法解一元二次为依据。
（2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。
（3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。
题型1、用配方法解形如)04(022≥-=++c b c bx x 的一元二次方程例26、用配方法解下列方程（1）0142=--x x （2）0752=-+x x题型2、用配方法解形如)04,0(022≥-≠=++c b a c bx ax 的一元二次方程例27、用配方法解下列方程：（1）08432=-+x x ；（2）04722=--x x ；（3）07542=--x x类型8、公式法解题要点： （1）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。
（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的过程。
入求根公式求出一元二次方程的根。
题型1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。
例28、方程242=+x x 的正根为（ ）A ．63-B ．62+C ．63+D ．62+-例29、用公式法解方程：x x x 8101442--=-+题型2、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程例30、用公式法解下列方程：（1）3132212=-+-x x ； （2）01.03.02.02=++x x ；题型3、用公式法解一元二次方程的综合应用例31、已知关于x 的方程0122=+-kx x 的一个根与方程4112=-+xx 的根相同。
（1）求k 的值；（2）求方程0122=+-kx x 的另一个根。
类型9、根的判别式解题要点（1）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，再确定根的判别式与0的大小关系。
（2）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=，当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
（3）通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。
（4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的取值情况。
题型1、由根的判别式来确定根的情况例32、不解方程，判断下列关于x 的一元二次方程的根的情况。
（1）x x 54542=+； （2）0)1(422=-+-m mx x ； （3）832-=x x题型2、由根的情况来确定方程中的待定系数。
例33、已知方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实根，那么k 的最大整数值是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1例34．当m 取何值时，一元二次方程012)14(222=-++-m x m x（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。
题型3、根的判别式与三角形的综合应用例35、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程0)(2)(2=++++b a cx x b a 的根的情况是（ ）A ．没有实根B ．可能有且仅有一个实根C ．有两个相等的实根D ．有两个不相等的实根例36．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程0))(())(())((=--+--+--a x c x c x b x b x a x 有两个相等的实根，试判断△ABC 的形状。