仿射变换——椭圆变圆
高中数学技巧之仿射变换
159仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b 在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题160例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴ 设直线l【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵ 如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换1615．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】 曲线C 的方程为2221yx m． 当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0； 当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2 （2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题。
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
椭圆仿射变换公式
椭圆仿射变换公式椭圆的仿射变换公式可以通过矩阵运算来表示。
假设我们有一个原始的椭圆，其方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
现在，我们进行仿射变换，可以通过以下矩阵运算来实现：1.平移：通过平移操作，我们可以将椭圆在平面上移动到指定位置。
假设平移的向量为 (h, k)，则椭圆的新方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，x'和y'为平移后的椭圆上的点，与原始坐标之间的关系为：x' = x + h y' = y + k2.缩放：通过缩放操作，我们可以改变椭圆的大小。
假设缩放的比例因子为 (s_x, s_y)，则椭圆的新方程为：((x'/a)^2)/s_x^2 + ((y'/b)^2)/s_y^2 = 1其中，x'和y'为缩放后的椭圆上的点，与平移后的坐标之间的关系为：x' = s_x * x y' = s_y * y3.旋转：通过旋转操作，我们可以改变椭圆的方向。
假设旋转角度为θ，则椭圆的新方程为：((x'/a)^2 + (y'/b)^2)/cos^2(θ) - ((x'/a)^2 - (y'/b)^2)sin^2(θ) = 1其中，x'和y'为旋转后的椭圆上的点，与缩放后的坐标之间的关系为：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)通过以上的仿射变换公式，我们可以对椭圆进行平移、缩放和旋转操作，得到新的椭圆。
这些操作可以帮助我们在几何计算和图形处理中对椭圆进行变换和调整。
巧用仿射变换解决椭圆相关问题调查实践
巧用仿射变换解决椭圆相关问题的调查与实践【摘要】利用仿射变换的性质作为桥梁，椭圆通过适当的仿射变换可化为圆。
充分应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。
从仿射变换的代数法、综合法入手，从图形形变的参照图形入手解决方法分类问题。
通过对中学生的调查，发现只有少部分学生知道运用此方法，本文从仿射变换的实验特点入手介绍仿射性质，推广此方法广泛用于中学教学中。
【关键词】仿射变换椭圆圆不变性不变量代数法综合法本项目通过对其他专家及学者关于仿射变换在初等几何中的运用这方面的研究作了综合性的分析，并对中学生对仿射变换的知识理解和运用情况进行了调查，得出了仿射变换在初等几何中的应用还没有得到广泛的推广，同时还只是停留在原始的解题方法基础上。
我们在此，为了将仿射变换能够更好的推广到中学的初等几何教学中去，我们认为有必要对这方面进行进一步的研究。
为了能让中学教师和学生能认识到仿射变换在中学教学中的重要意义，我们进行了如下分析。
1、代数法当题型只涉及到关系式，没有图形时，可以采用代数法来解决。
代数法也是我们数学当中常用的方法。
我们对以下两个例子做了调查和分析例1：已知：点p（x， y）在椭圆上运动，求的最大值解：令，，则，，问题化为：q（x’， y’）是单位圆上的点，求的最大值。
设a（2，0），则u即为直线aq的斜率k。
设过点a的圆的切线为ab、ac，（b、c为切点），当q和c重合时k取最大值，此时∴时优点：对于本题，通过与传统的解题方法作比较，它的优点在于比我们利用中学的传统方法解决要简单很多，计算量也不大。
调查方法：我们对部分中学生作了抽样调查，将此题给中学生做，并将数据进行统计。
调查结果：通过回收试题进行了总结，发现只有极少数的同学运用了仿射变换的方法来解决的，而更多的是利用传统的解题方法。
不足之处：此方法在知识上的跳跃性比较强，让中学生接受起来比较困难。
仿射变换在椭圆中的应用
仿射变换在椭圆中的应用仿射变换在椭圆中的应用仿射变换是一种将图像在平面上进行旋转、伸缩、平移和斜切等操作。
在计算机视觉和图像处理中，仿射变换被广泛应用于图像的几何变换和纹理映射等方面。
而在椭圆方面，仿射变换也有着广泛的应用。
一、椭圆的表示椭圆通常用以下标准方程进行表示：aa2+aa2=1其中，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。
通常情况下，我们可以将椭圆沿着x轴旋转一个角度θ来表示，得到以下方程：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1二、椭圆的仿射变换对于椭圆的仿射变换，我们首先需要明确仿射变换的定义：仿射变换是指保持两条直线的交点和两线段比例不变的线性变换。
对于椭圆的仿射变换，我们可以通过将椭圆变换为单位圆，进行仿射变换后再变回原椭圆来实现。
例如，我们要将一椭圆沿着任意角度旋转，我们可以通过矩阵运算进行仿射变换，即：变换前：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1 变换后：[a′a′][a′a′]=a[aa]其中，M为2x2的矩阵，其表示旋转和缩放的变换，a’和b’为旋转后的长轴和短轴。
三、椭圆的应用1. 物体跟踪物体跟踪是指在视频中跟踪物体的位置和运动轨迹。
在物体跟踪中，椭圆被广泛应用于表示物体的位置和姿态。
通过椭圆的长轴和短轴可以确定物体的大小和方向，在跟踪过程中可以根据椭圆的变化来实时更新物体的位置和姿态。
2. 图像去畸变图像畸变是指图像在拍摄或扫描过程中由于光学等原因造成的形变。
对于图像去畸变，可以通过将畸变的图像拟合为椭圆，进行仿射变换后将图像变换为正常的图像。
这种方法被广泛应用于摄像机等设备中。
总之，仿射变换在椭圆中有着广泛的应用，可以用于物体跟踪、图像去畸变等方面。
在实际应用中，需要结合具体场景和问题进行变换及其参数的优化和调整，以达到最佳效果。
仿射变换下一类椭圆问题的简单解法
仿射变换下一类椭圆问题的简单解法和椭圆相关的定点、定值、最值问题一直是高考的热点和重点．这类题目通常以压轴题的形式出现，并且由于计算量很大而具有很强的区分度．仿射变换可将椭圆转换为圆，而圆具有椭圆不具备的许多特殊性质，并且和圆有关的问题还可以借助初中平面几何知识解答，从而可以回避繁杂的计算，降低解题难度．因此，和椭圆相关的解析几何问题可以先转化为和圆相关的问题来研究，然后再回到椭圆中解决．本文给出仿射变换中的几个性质，再举若干例子展示其应用，旨在展示解题规律，揭示解题方法．以人教A版教材为例，课本在选修4-4中给出了坐标变换的概念：设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点在坐标变换门x'=沾从>O,下，y =µy,µ> 0点P(x,y)的对应点为P'(x',y'),称中为平面直角坐标系中的伸缩变换．笔者发现，高中数学解题过程中，仿射变换常用到的性质主要包括以下四点[l]性质1A,B ,C三点在仿射变换下的对应点分别为A',B',c立若A,B,C三点共线，则A'' B',C'也三点共线，且满足对应线段的比值不变，如AB A'B'及＝霆·性质2仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）．性质3直线在仿射变换前的斜率k与仿射变换后的斜率k'满足关系：k'=且k.入性质4变换前图形的面积S与变换后图形的面积s'满足关系：S'=扣s.下面我们来看一些应用（为节省篇幅和突出问题本身，部分例题作了必要的简化）．．十一十叶一十。
十•I "I• I "I• 十•I "I•• 十～十..十一一十·•I"I•• 十"I"I" I" I•• 十一十..十～十..十～十“十"I"I•• 十心十“十“十一十“十"I••I" I" I" I" I·+·+·(A)ab =O (B)a+b=O(C)a=b (D)a2+b2=0原解由奇函数的定义得f(—x)= -f(x) ,x ER, 即八—x)=—xi—X +a l+b=—f(x) =—x I x+a l-b.讨论可得a=b=O,即a2+b2 =0. 反之，亦可得证，选D.定义是对数学概念的确切而简要的说明，在解题过程中考虑定义就是回归问题的本质．简洁明快的解题方法，往往蕴涵在对定义的深刻理解之中．评析王老师如何“讨论可得“，笔者不得而知，想必也要费点功夫．对于解选择题，特殊值法的重要性不用多说．由奇函数性质八0)=O, 解得b=O; 而对于f(x) = x I x + a I, 由f(—a)=—f(a), 即0=-2a I a I得a=O.例7已知O为c,.ABC内一点，角A,B,C的..对边分别是a,b,c,若a OA+bOB +cOC=O, 求证心是�ABC的内心．评析在书中，王金战老师详细介绍了他经过多番努力，终于解答出这道题的经过．其实此题并不困难，考查的是向量形式的定比分点公式和角平分线逆定理．要真正看透这道题的本质，需要用到重心坐标的思想，这在笔者的《绕来绕去的向量法》中有详细叙述．.. .. .. ..证明 a OA +bOB +cOC =0, 即二仁b+c OAb ——>一勹十－－— Cb+c OB+ OC=O, 从这个式子容易看出，b +c .. ..b -沪 C在BC上有点仄满足OD=-OB+b+c b+c oc, BD C --DC b一－＝—,且OD与OA共线简而言之，延长A O交BD CBC于D,则—-=-DC b ．而BD= S纽BAD=DC S凶CAD c• ADsin乙BAD Cb• ADsin乙CAD b＝—（此即角平分线的性质），可得乙BAD=乙CAD.同理可证其他．参考文献[1]王金战，许永忠，李锦旭．王金战教你玩转数学：数学是怎样学好的（魅力与方法篇）[M]. 北京：北京大学出版社，2010.讨论十二次之多的方法来解决这个问题．另外，三个三角形两两相似，且没有任何已知的明确的对应关系，考生们情急之下无从下手，备感焦躁．倘若运用先排除再分类的方法，那么问题可迎刃而解．由于对应元素中，对应角是最易入手的，因此我们不妨从角入手，找到解题的突破口．解假设存在这样的点Q,使得l:c,.(1.刀，b.QOA和b.QAB中的任意两个三角形均相似．因为乙QAB=乙AOQ+乙AQO,所以乙QAB>乙AOQ,乙QAB>乙AQO.因此，要使i:c,.QOA与b.QAB相似，只能乙QAO=乙BAQ= 90勹即QA_ix轴．因b>趴故AB>0儿从而乙QOA>乙ABQ,所以只能乙AOQ=乙AQB.此时乙CQB = 90°0由QA_l X轴知QA II Y轴，故乙COQ=乙心A.故要使b.QOA与b.CQC相似，只能乙oco = 90° 或乙CQC= 90°.心当乙OCQ=90° 时，b.CQO竺b.AOQC图4八所以AQ=W=一．b4b 2由AQ2=OA•AB, 得口）=b-1. 解得b= 8士4/3.因为b>趴所以b=8+4祁．故点Q的坐标是(1,2+祁）．＠当乙心C=90° 时，b.OCO U) b.AOQC图5), 故岱＝沿，即心=OC• AQ.yC01 A B X 01 A图4图5又002= OA• O B, 所以CX•AQ =OA•bO B, 即—•AQ =l Xb. 解得AQ=4,此时b= 17 4＞么符合题意，故点Q的坐标是(1,4).综上可知，存在点Q(l,2+戎-)或Q(l,4)'使得60C0,6QOA和6QAB中的任意两个三角形均相似从解答过程中可以看到，先对6AOQ与6ABQ进行探讨，通过“外角”进行第一次排除，明确一对对应角．一般情况下，得知一对相等的角后，常常会分两种情况继续讨论．但此处通过“大边对大角”进行第二次排除，最终筛选出唯一的那一种情况．两次“排除”需要大胆的尝试，续密的逻辑思维，以及对图形敏锐的洞察，难度较大，但难而不繁．此题也显露出命题者构思的巧妙与布局的精当．继对6AOQ与6ABQ的探讨之后，再对6AOQ与6COQ进行探讨．这里的讨论方法就是先确定一组角对应相等，再分两种情况继续讨论的方法．但是，这看似轻松的讨论，因需要用到前面讨论中得到的"QA上x轴”这一结论，故而不能孤立存在．最后，通过“先排除再讨论"'把一个复杂的问题变得简单明了．，十..+ .. I.. I.. • ·-+•-+•-+·-+---+·I .. I.. I•-+·-+---+---+---+---+•-+·-+•-+•-+---+---+•-+•-+---+---+·-+·-+---+·-+·-+--令..I•-+---+·-+--I ..I• I..I·I .. I•-+·-+· （上接笫42页）点评圆中有许多优美的性质和结论，通过仿射变换可以十分完美地拓展到椭圆，蝴蝶定理只是其中的一支奇葩，有兴趣的读者不妨多多研究这类问题笔者最后要指出的是，尽管仿射变换性质的运用或许已经超出高中学生所学的知识范畴，但随着新课改的推进，越来越多的高等数学的知识与方法渗透到中学数学之中已成为不争的事实．作为一名中学教师，能从高等数学的角度剖析初等数学试题，站得高、看得远，有利于理解中学数学问题的来龙去脉，看清问题的本质[3].基于这一点，笔者认为本文的研究具有一定的现实意义．参考文献。
高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案
第 1讲 仿射变换知识与方法在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，我们运用坐标变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则可以得到圆222x y a ''+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题【例1】设直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A 、B 两点，则AOB 的面积的最大值为_______.【解析】解法1：当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x t =()0a t a t −<<≠且 联立22221x tx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，所以2221222AOBb a t t abSt a −+==≤⋅=，当且仅当222a t t−=，即2t =时取等号，所以()max 2AOB ab S =当直线l 斜率存在时，设其方程为()0y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,y B x ， 联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22222222220a k b x kma x a m a b +++−=，判别式()()()2242222222222222444k m a a k b a m a b a b a k m b ∆=−+−=−+①，所以12AB x x =−=，原点O 到直线l 的距离d =，从而1122AOBSAB d =⋅==2222222222ab a k m b m aba kb −++≤⋅=+ 当且仅当22222a k m b m −+=时取等号，此时22222a k b m +=，代入①知22240a b m ∆=>，故()max 2AOB abS =，综上所述，AOB 的面积的最大值为2ab . 解法2：作变换x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆222x y a ''+=，如图，因为21sin sin 22A OB a SO A O B A O B A O B '''''''''''''=⋅⋅∠=∠， 所以当90A O B '''∠=︒时，A O B S '''∠取得最大值22a ，因为a S S b '=，所以bS S a'=，从而AOB S的最大值为222a b aba ⋅=.【答案】2ab 【例2】已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为_______.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14−，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '+=，如图，在圆O '中，显然A B ''是直径，所以P A P B ''''⊥，从而1P A P B k k ''''⋅=−， 又2P A PA k k ''=，2P B PB k k ''=，所以41P A P B PA PB k k k k ''''⋅=⋅=−，故14PA PB k k ⋅=−.【答案】14−【例3】已知过点11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆22:142x y C +=交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为_______.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，而1OM k =，所以12AB k =−，从而直线l 的方程为111222y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即2430x y +−=解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '''+=，如图2，在圆O '中，M '仍为A B ''中点，所以O M A B ''''⊥，且122M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线O M ''的斜率为，从而直线A B ''的斜率为2，故直线A B ''的方程为1222y x ⎫''−=−−⎪⎝⎭，即24x y ''+−=，将x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入可得024x −=，即2430x y +−=，所以直线AB 的方程为2430x y +−=【答案】2430x y +−=【例4】已知椭圆22:12x C y +=的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为12−，其中O为原点，点P 在射线OA 上，且2OP OA =，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BP BQ=_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图，则O A OA k ''=，O B OB k ''=，由题意，所以21O A O B OA OB k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O A O B ''''⊥，显然O P ''=O B ''=，O Q ''=，所以P B ''==，作O G P B '''⊥于G ，则O P O B O G P B ''''⋅'=''，B G '=O B O Q ''''=，所以G 为B Q ''的中点，从而25B Q B G ''''==，故52B P B Q ''=''，所以在变换前的图形中，52BP BQ =.【答案】52【反思】在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，若涉及到了两直线的斜率之积为22b a−，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1−，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练1.（★★★★）已知椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是_______.【解析】解法1：如图1，()0,1A ，()2,0B ，所以A 、B 两点到直线MN的距离分别为1d =，2d =y kx =代入2214x y +=化简得：()22144k x +=，解得：x =以MN =AMBN 的面积()122121122k S MN d d ⎛⎫+=⋅+=+====≤=当日仅当14k k =，即12k =时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变成圆22:4O x y '''+=，如图2，显然4M N ''=，由图可知A '和B '到直线M N ''的距离之和在A B M N ''''⊥时取得最大值，且最大值为A B ''=A M B N ''''的面积S '的最大值为11422M N A B '''⋅=⨯⨯= 因为2S S '=，所以四边形AMBN的面积的最大值是【答案】2.（★★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则MON 的面积为_______.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限， 由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，设()0OM k k k =>，则13ONk k =−，联立2213y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22133k x +=，解得：x =，所以M x =，故M y =M ，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以2MONS⎛⎫== ⎝. 解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:3O x y '''+=，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，变换后，O M OM k ''=，O N ON k ''=，所以31O M O N OM ON k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O M O N ''''⊥，故1322M O N S'''==，又3M O N MONS S'''=，所以MONS=【答案】23.（★★★★）已知椭圆22:12x C y +=上有点2P ⎝⎭，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为_______.【解析】作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '+=，如图1中，作PQ x ⊥轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q x '''⊥轴，由题意，在图1中，MPQ NPQ ∠=∠，所以在图2中，M P Q N P Q ''''''∠=∠，所以M Q N Q ''''=，故Q '是M N ''的中点，从而O Q M N ''''⊥，在图1中，由对称性可得2Q ⎛ ⎝⎭，所以在图2中，2Q '⎝⎭，从而O Q k ''=，所以3M N k ''=，又M N MN k ''=，所以6MN k =.4.（★★★★）已知A 、B 、C 是椭圆22:12x E y +=上的三个动点，则ABC 的面积的最大值为_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆E 变成圆22:2O x y '''+=，如图，显然当A B C '''的面积取得最大值时，应有C D A B '''⊥，且C D O D O C ''''=+设(0O D d d '=≤，则C D d '=，A B ''==所以((1122A B C S A B C D d d ''''''=⋅=⨯=+， 从而()()()()23221233A B C S dd ddd ddd '''=−+=−+=++41327344d d d d ⎛⎫++≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭故A B C S'''≤，当且仅当3d d =时取等号，此时，d =，所以A B C '''，又2A B C ABCS S'''=，所以ABC 的面和的最大值为4.2.5.（★★★★）设A 、B 两点在椭圆22:12x C y +=上，且AB 的中点为12Q ⎫⎪⎪⎝⎭，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为_______. 【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图在图2中，22Q ⎛' ⎝⎭，且P A ''和P B ''的中点都在圆O '上，所以点P '在A B ''的中垂线y x ''=上，显然原点O '也在直线y x ''=上，从而直线O P ''的斜率为1，因为O P OP k ''=，所以2OP k =.6.（★★★★）已知直线:20l x +−=与椭圆22:12x C y +=相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l '与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若2PT PA PB λ=⋅，则λ=_______.【解析】解法1：联立222012x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，因为l '与直线l 平行，所以可设:l x m '=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,O x y ，联立20x m x ⎧=+⎪⎨−=⎪⎩解得：)24m y −=，所以)024m y −=，从而0PT y =−=−=，故2238PT m =))10201222344m m PA PB y y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−⋅=−−=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，联立2212x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：22420y m ++−=①,因为1y 、2y 是方程①的两根，所以()()2212424y m y y y y ++−=−−②， 在②中令)24m y −=可得())))22122222242416444m m m m m y y ⎛⎫−−−−⋅++−=−− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得：))21222448m m m y y ⎛⎫⎛⎫−−−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而238mPA PB ⋅=，所以2PT PA PB =⋅，故1λ=.解法2：作变换联立222012x x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以2T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，从而变换后，()1,1T '，直线O T ''和直线A B ''的斜率为1，直线P T ''的斜率为1−， 从而P TP T PT x x P T x x ''−==''−，又由变换过程知P P x x '=，T T x x '=，所以2PT P T =''，同理可得，PA P A ==''，PB P B ==''， 所以2234PT P T ''=，34PA PB P A P B ''''⋅=⋅，从而22PT P T PA PB P A P B ''=''''⋅⋅， 在图2中，由切割线定理，2P T P A P B ''''''=⋅，所以21P T P A P B ''=''''⋅，故21PTPA PB=⋅，因为2PT PA PB λ=⋅，所以21PTPA PBλ==⋅.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决。
用仿射变换解决高考中解析几何问题研究
用仿射变换解决高考中解析几何问题研究
作者：张天柱李松雪
来源：《新教育时代·学生版》2018年第14期
解析几何在高考中有着重要的地位，其中，与椭圆有关的问题出现频率很高。
在人教版选修4-2矩阵与变换中详细介绍了仿射变换，但在实际教学中，这部分内容往往被孤立起来，没有与其他知识形成体系。
如果将此部分知识运用到解析几何的解题中，可以通过仿射变换将椭圆变换成圆，再将与圆有关的性质应用到椭圆上，从而另辟蹊径，使得问题解决起来得心应手。
一、仿射变换的概念
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变为另一个向量空间。
在人教版选修4-2《矩阵与变换》中，开篇介绍了几类特殊线性变换及其二阶矩阵。
其中包括：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换。
本文将两题为例将以上几种特殊的仿射变换应用到与椭圆有关的解析几何的问题中，从而回避繁杂的计算，降低解题难度。
二、仿射变换的性质
不难证明，仿射变换具有以下性质：
性质一仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）。
性质二仿射变换前直线与直线平行（相交、重合），伸缩变换后直线与直线依然平行（相交、重合）。
从仿射变换的性质上来看，我们的目的是将一般的几何图形变换为具有一定特殊性质的图形（例如将椭圆变换成圆，将一般三角形变换成正三角形，将平行四边形变换为正方形），根据其特殊性质来进行求解。
对于数学素养较高，数学能力较强的学生，接受起来还是比较容易的。
又因为此类学生很有可能参加数学联赛、自主招生等选拔考试，运用仿射变换解决相应题目，可以提高学生的解题能力。
2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用(解析版)
教材上的仿射变换背景及应用一．引例．(《人教A 版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题)如图，DP ⊥x 轴，垂足为D，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32，当点P 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．二．知识与方法在椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 中，我们运用坐标变换x =x y =a b y，则可以得到圆x 2+y 2=a 2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x 0,y 0 P x 0,aby 0 直线的斜率k k =a b k图形的面积SS =a b S点与点的位置关系AB 中点为MA B 中点为M线与线的位置关系直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 平行直线m 和直线n 平行点与线的位置关系点A 在直线l 上点A 在直线l 上点A 不在直线l 上点A 不在直线l 上等倾斜程度线段长的关系AB AC=λABAC=λ总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用（解析版）如何操作.三．更多案例1(2023届合肥一模)已知曲线C：x2+y2=2，从曲线C上的任意点P x,y作压缩变换x =xy =y2得到点Px ,y．(1)求点P x ,y所在的曲线E的方程；(2)设过点F-1,0的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线x=-2的位置关系，并写出分析过程．2在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4经过伸缩变换φ:x =xy =12y后，得到曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且AD=2.求△ABD面积的最大值.3(2023届广东省一模)已知点A ，点B 和点C 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足OA +OB +OC=0，求△ABC 的面积.4(23届南京盐城一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率2，直线l 1:y =2x +43与双曲线C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线l 2平行于l 1，且交双曲线于M ,N 两点，求证：ΔAMN 的垂心在双曲线C 上.下证：若ΔABC 的顶点在反比例函数xy =m 的图像上，则ΔABC 的垂心也在反比例函数的图像上.5设直线l与椭圆相交于A、B两点，则△AOB的面积的最大值为.6已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积为.7已知过点M12,12的直线l与椭圆C:x24+y22=1交于A、B两点，若M恰好为AB的中点，则直线l的方程为.8已知椭圆C:x22+y2=1的A、B两点满足直线OA、OB的斜率之积为-12，其中O为原点，点P在射线OA上，且OP=2OA，若PB与椭圆交于另一点Q，则BPBQ=.四：强化训练1已知椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ，上顶点为B ，直线y =kx k >0 与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是.2已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则△MON 的面积为.3已知椭圆C :x 22+y 2=1上有点P 22,32，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为.4已知A 、B 、C 是椭圆E :x 22+y 2=1上的三个动点，则△ABC 的面积的最大值为.5设A 、B 两点在椭圆C :x 22+y 2=1上，且AB 的中点为Q 22,12，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为.6已知直线l :x +2y -2=0与椭圆C :x 22+y 2=1相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l 与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若PT 2=λPA ⋅PB ，则λ=.教材上的仿射变换背景及应用一．引例．(《人教A 版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题)如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32，当点P 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解析：设点M 的坐标为x ,y ，点P x 0,y 0 ，由题意可知y 0≠0，则由题可得x =x 0y =32y 0 ，即x 0=xy 0=23y ，∵点P 在圆x 2+y 2=4上运动，∴x 2+23y 2=4,(y ≠0)，即点M 的轨迹方程为x 24+y 29=1,(y ≠0)，点M的轨迹为椭圆，除去与x 轴的交点．这个问题就是用仿射变换把圆变换为椭圆．二．知识与方法在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 中，我们运用坐标变换x =x y =a b y ，则可以得到圆x 2+y 2=a 2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x 0,y 0 P x 0,a by 0 直线的斜率k k =a b k图形的面积SS =a b S点与点的位置关系AB 中点为MA B 中点为M线与线的位置关系直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 平行直线m 和直线n 平行点与线的位置关系点A 在直线l 上点A 在直线l 上点A 不在直线l 上点A 不在直线l 上等倾斜程度线段长的关系AB AC=λABAC=λ总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.三．更多案例1(2023届合肥一模)已知曲线C ：x 2+y 2=2，从曲线C 上的任意点P x ,y 作压缩变换x =xy=y2得到点Px,y．(1)求点P x ,y 所在的曲线E 的方程；(2)设过点F -1,0 的直线l 交曲线E 于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆与直线x =-2的位置关系，并写出分析过程．解析：(1)由x =x y =y 2得x =x y =2y ，代入x 2+y 2=2得x 22+y 2=1，∴曲线E 的方程为x 22+y 2=1．(2)由题知，当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +1 ，由x 22+y 2=1y =k x +1 消去y 整理得，1+2k 2x 2+4k 2x +2k 2-2=0．设A x 1,y 1，B x 2,y 2，则x 1+x 2=-4k21+2k 2x 1x 2=2k 2-21+2k 2，∴以AB 为直径的圆的圆心横坐标为-2k 21+2k 2．又∵AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-4k 21+2k 22-4⋅2k 2-21+2k 2=221+k 2 1+2k 2，∴以AB 为直径的圆的半径为R =21+k 2 1+2k 2，圆心到直线x =-2的距离为d =2-2k 21+2k 2=2k 2+21+2k 2，d -R =2k 2+21+2k 2-21+k 2 1+2k 2=2-2 1+k 21+2k 2>0，即d >R ，∴以AB 为直径的圆与直线x =-2相离．当直线l 的斜率不存在时，易知以AB 为直径的圆的半径为22，圆的方程是x +1 2+y 2=12，该圆与直线x =-2相离．综上可知，以AB 为直径的圆与直线x =-2相离．2在同一平面直角坐标系xOy 中，圆x 2+y 2=4经过伸缩变换φ:x =xy =12y 后，得到曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且AD =2.求△ABD 面积的最大值.解析：(1)设圆x 2+y 2=4上任意一点M x ,y 经过伸缩变换ω:x =xy =12y得到对应点M x ,y .将x =x ，y=2y 代入x 2+y 2=4，得x 2+2y 2=4，化简得x 24+y 2=1.∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1；(2)△ABD 面积得最大值为2.3(2023届广东省一模)已知点A ，点B 和点C 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足OA +OB +OC=0，求△ABC 的面积.解析1：(仿射变换)考虑变换φ:x =x y =a b y ，则在φ的作用下椭圆x2a 2+y 2b2=1对应圆x 2+y 2=a 2，则在压缩变换下，x O y 平面对应封闭图形面积S 是原来xOy 平面上封闭图形面积S 的a b 倍，即S =abS ．设点A ,B ,C 分别对应点A ,B ,C , 由O 为ΔA B C 的重心，又O 为ΔA B C的外心，从而ΔA B C 为正三角形．易得圆x 2+y 2=a 2的内接正三角形的面积为定值S ΔP AB=334a 2⋅S ΔP ABS ΔPAB =ab从而S ΔPAB =b a S ΔP AB=334ab 为定值．一般地，已知ΔABC 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心O ，那么ΔABC 的面积为定值，即S ΔABC =334ab4(23届南京盐城一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率2，直线l 1:y =2x +43与双曲线C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线l 2平行于l 1，且交双曲线于M ,N 两点，求证：ΔAMN 的垂心在双曲线C 上.下证：若ΔABC 的顶点在反比例函数xy =m 的图像上，则ΔABC 的垂心也在反比例函数的图像上.证明：由于点A 、B 在反比例函数xy =m (m ≠0)的图像上，所以x A y A =m ,x B y B =m .故y A −y B =m x A −m x B =m (x B −x A )x A x B ，则k AB =y A −y B x A −x B =−mx A x B =−y A y B m.由于k AB =−mx A x B ，则过点C 与直线AB 垂直的直线l C 的斜率为x A x B m，所以l C 为.x A x B x -my =x A x B x C-my C同理，过点B 且与直线AC 垂直的直线l B 为x A x C x −my =x A x B x C −my B .联立l B 、l C 的方程解得x H =m y B -y C x A x B -x C =m 2x A x B x C ,y H =x A x B x C m 2=-m 2y A y B y C .故x H y H =m ，即垂心H 也在反比例函数图象上.5设直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最大值为.解法1：直接法当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t -a <t <a 且t ≠0联立x =tx 2a2+y 2b2=1解得：y =±ba a 2-t 2，所以S △AOB =12⋅2b a a 2-t 2⋅t =b a a 2-t 2 t 2≤b a ⋅a 2-t 2+t 22=ab 2C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，当且仅当a 2-t 2=t 2，即t =22a 时取等号，所以S △AOB max =ab2当直线l 斜率存在时，设其方程为y =kx +m m ≠0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +mx 2a2+y 2b2=1消去y 整理得：a 2k 2+b 2 x 2+2kma 2x +a 2m 2-a 2b 2=0，判别式Δ=4k 2m 2a 4-4a 2k 2+b 2 a 2m 2-a 2b 2 =4a 2b 2a 2k 2-m 2+b 2 ①，所以AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅2ab a 2k 2-m 2+b 2a 2k 2+b 2，原点O 到直线l 的距离d =mk 2+1，从而S △AOB =12AB ⋅d =12⋅1+k 2⋅2ab a 2k 2-m 2+b 2a 2k 2+b 2⋅m k 2+1=ab a 2k 2-m 2+b 2 m 2a 2k 2+b 2≤ab a 2k 2+b2⋅a 2k 2-m 2+b 2+m 22=ab 2当且仅当a 2k 2-m 2+b 2=m 2时取等号，此时a 2k 2+b 2=2m 2，代入①知Δ=4a 2b 2m 2>0，故S △AOB max =ab2，综上所述，△AOB 的面积的最大值为ab2.解法2：仿射变换作变换x =xy =a b y ，则椭圆C 变成圆x 2+y 2=a 2，如图，因为S △AO B=12O A ⋅O B ⋅sin ∠A O B=a 22sin ∠A O B ，所以当∠A O B =90°时，S ∠AO B取得最大值a 22，因为S=a bS ，所以S =b a S ，从而S △AOB 的最大值为a 22⋅b a =ab 2.6已知椭圆C :x 24+y 2=1的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为.解法1.第三定义本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为-14，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，解法2.仿射变换其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换x =x y =2y ，则椭圆C 变换成圆O :x 2+y 2=4，如图，在圆O 中，显然A B 是直径，所以P A ⊥P B ，从而k P A⋅k P B=-1，又k P A=2k PA ，k P B=2k PB ，所以k P A⋅k P B=4k PA ⋅k PB =-1，故k PA ⋅k PB =-14.7已知过点M 12,12 的直线l 与椭圆C :x 24+y 22=1交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为.解法1：点差法如图1，由中点弦结论，k OM ⋅k AB =-12，而k OM =1，所以k AB =-12，从而直线l 的方程为y -12=-12x -12，即2x +4y -3=0解法2：仿射变换作变换x =xy =2y，则椭圆C 变换成圆O :x 2+y 2=4，如图2，在圆O 中，M 仍为A B 中点，所以O M ⊥A B ，且M 12,22，所以直线O M的斜率为2，从而直线A B 的斜率为-22，故直线A B 的方程为y-22=-22x -12 ，即22x +y -324=0，将x =x y=2y 代入可得22x +2y -324=0，即2x +4y -3=0，所以直线AB 的方程为2x +4y -3=08已知椭圆C :x 22+y 2=1的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为-12，其中O 为原点，点P 在射线OA 上，且OP =2OA ，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BPBQ=.解析：作变换x =xy =2y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图，则k O A=2k OA ，k O B=2k OB ，由题意，所以k O A⋅k O B=2k OA ⋅k OB =-1，从而O A ⊥O B ，显然O P =22，O B =2，O Q=2，所以P B =O B2+O P 2=10，作O G ⊥P B 于G ，则OG =O P ⋅O BPB=2105，BG =O B2-O G 2=105，因为O B =O Q ，所以G 为B Q 的中点，从而B Q =2B G =2105，故BPB Q=52，所以在变换前的图形中，BP BQ=52.【答案】52【反思】在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 中，若涉及到了两直线的斜率之积为-b 2a2，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为-1，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.四：强化训练1已知椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ，上顶点为B ，直线y =kx k >0 与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是.【解析】解法1：如图1，A 0,1 ，B 2,0 ，所以A 、B 两点到直线MN 的距离分别为d 1=1k 2+1，d 2=2k k 2+1，将y =kx 代入x 24+y 2=1化简得：1+4k 2x 2=4，解得：x =±21+4k 2，所以MN =1+k 2⋅41+4k2，从而四边形AMBN 的面积S =12MN ⋅d 1+d 2 =12⋅1+k 2⋅41+4k 21k 2+1+2kk 2+1=21+2k 1+4k 2=21+4k +4k 21+4k 2=21+4k 1+4k 2=21+41k+4k ≤21+421k⋅4k =22，当日仅当1k=4k ，即k =12时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是2 2.解法2：作变换x =xy =2y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=4，如图2，显然M N =4，由图可知A 和B 到直线M N 的距离之和在A B ⊥M N 时取得最大值，且最大值为A B =22，所以四边形A M B N 的面积S 的最大值为12M N ⋅A B =12×4×22=42因为S =2S ，所以四边形AMBN 的面积的最大值是2 2.2已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则△MON 的面积为.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限，由椭圆的第三定义，k PA ⋅k PB =-13，又k OM =k PB ，k ON =k PA ，所以k OM ⋅k ON =-13，设k OM =k k >0 ，则k ON =-13k ，联立y =kx x 23+y 2=1消去y 整理得：1+3k 2 x 2=3，解得：x =±31+3k 2，所以x M =31+3k 2，故y M =3k 1+3k 2，从而M 31+3k 2,3k 1+3k 2，同理可得N -3k 3k 2+1,13k 2+1，所以S △MON =1231+3k 2⋅13k 2+1--3k 3k 2+1⋅3k 1+3k2=32.解法2：作变换x=xy =3y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=3，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，k PA ⋅k PB =-13，又k OM =k PB ，k ON =k PA ，所以k OM ⋅k ON =-13，变换后，k O M =3k OM ，k O N =3k ON ，所以k O M ⋅k O N=3k OM ⋅k ON =-1，从而O M ⊥O N ，故S △MON=12×3×3=32，又S △MON=3S △MON ，所以S △MON =32.3已知椭圆C :x 22+y 2=1上有点P 22,32，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为.【解析】作变换x =xy =2y ，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图1中，作PQ ⊥x 轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q ⊥x 轴，由题意，在图1中，∠MPQ =∠NPQ ，所以在图2中，∠M P Q =∠N P Q ，所以M Q=N Q ，故Q 是M N的中点，从而O Q ⊥M N ，在图1中，由对称性可得Q 22,-32，所以在图2中，Q22,-62 ，从而k OQ=-3，所以k MN=33，又k MN=2k MN ，所以k MN =66.4已知A 、B 、C 是椭圆E :x 22+y 2=1上的三个动点，则△ABC 的面积的最大值为.【解析】作变换x =xy =2y ，则椭圆E 变成圆O :x 2+y 2=2，如图，显然当△A B C 的面积取得最大值时，应有C D ⊥A B ，且C D =O D +O C设O D =d 0≤d <2 ，则C D =d +2，A B =2O A 2-O D 2=22-d2所以S △A BC=12A B ⋅C D =12×22-d 2×d +2 =2-d 2×d +2 ，从而S △A BC 2=2-d 2 d +2 2=2-d 2+d 3=1332-3d 2+d 2+d 2+d≤13⋅32-3d +2+d +2+d +2+d 44=274故S △A BC≤332，当且仅当32-3d =2+d 时取等号，此时，d =22，所以△A B C 的面积的最大值为332，又S △A BC=2S △ABC ，所以△ABC 的面和的最大值为364.【答案】364【反思】圆的内接三角形中，正三角形面积最大，等于334R 2.5设A 、B 两点在椭圆C :x 22+y 2=1上，且AB 的中点为Q 22,12，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为.【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x =xy=2y ，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图在图2中，Q 22,22，且P A 和P B 的中点都在圆O 上，所以点P 在A B 的中垂线y =x 上，显然原点O 也在直线y =x 上，从而直线O P 的斜率为1，因为k O P=2k OP ，所以k OP =22.【答案】226已知直线l :x +2y -2=0与椭圆C :x 22+y 2=1相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l 与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若PT 2=λPA ⋅PB ，则λ=.【解析】解法1：联立x +2y -2=0x 22+y 2=1解得：x =1，y =22，所以T 1,22 ，直线OT 的斜率为22，因为l与直线l 平行，所以可设l :x =2y +m ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，O x 0,y 0 ，联立x =2y +mx +2y -2=0 解得：y =22-m4，所以y 0=22-m4，从而PT =1+-2 2⋅22-y 0=3⋅22-22-m 4=64m ，故PT 2=38m 2PA ⋅PB =1+2 2⋅y 1-y 0 ⋅1+2 2⋅y 2-y 0 =3y 1-22-m 4y 2-22-m 4，联立x =2y +mx22+y 2=1消去x 整理得：4y 2+22my +m 2-2=0①,因为y 1、y 2是方程①的两根，所以4y 2+22my +m 2-2=4y -y 1 y -y 2 ②，在②中令y =22-m4可得4⋅22-m 216+22m ⋅22-m 4+m 2-2=422-m 4-y 1 22-m 4-y 2化简得：22-m4-y 122-m 4-y 2=m 28，从而PA ⋅PB =3m 28，所以PT 2=PA ⋅PB ，故λ=1.解法2：作变换联立x +2y -2=0x 22+y 2=1解得：x =1，y =22，所以T 1,22 ，直线OT 的斜率为22，从而变换后，T 1,1 ，直线O T 和直线A B 的斜率为1，直线P T 的斜率为-1，从而PT PT=1+-22 2⋅x P -x T1+-1 2⋅x P -x T=32⋅x P -x Tx P-x T，又由变换过程知x P=x P ，x T=x T ，所以PT P T =32，同理可得，PA P A=1+2221+12=32，PBP B=1+2221+12=32，所以PT 2=34P T 2，PA ⋅PB =34P A ⋅P B，从而PT 2PA ⋅PB =P T 2P A ⋅P B，在图2中，由切割线定理，P T 2=P A ⋅P B，所以P T 2P A ⋅P B=1，故PT 2PA ⋅PB=1，因为PT 2=λPA ⋅PB ，所以λ=PT 2PA ⋅PB=1.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决.。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
2023届高三数学二轮复习椭圆的仿射变换与应用专题课件
仿射性质的应用
• 由上述性质可以看出，仿射变换对斜率、长度、面积等
重要的几何度量由很好的传承关系，但是无法很好的表
达角度关系，所以许多有关角度的问题不宜使用仿射变
换解决，但是如果可以将角度转化成斜率关系，仿射变
换或许可以派上用场
• 直径所对角为直角
• 圆上的半径与切线垂直
• 垂直平分弦的直线过圆心
椭圆的仿射变换与应用
知临中学
思考引入
• 一个正圆压扁了”或
者“一个正圆拉长
了”，椭圆面积？
• S=πab
仿射变换的定义
如果我们对平面上所有点
1
1
做一个变换 x′= x, y′= y ，
便可以称其为一个仿射变
换性质•来自1.有关向量的性质•
向量 =(, ) ，则仿射变换后的向量变为 ‘=(,)
•
2.有关直线斜率的性质
•
设直线AB： Ax+By+C=0 ,AB在仿射变换后变成了A‘B’ :Aax′+Bby′+C=0，那么 斜率从 −B
A
变成了
•
•
Aa
−Bb，也就是说，斜率变成了原来的
。
3.有关面积的性质
一个图形的面积是S，则变换后图形的面积
S
=ab
S′
。
性质
•
4.有关同向线段长度比
• 以上垂直关系可以等价为两直线斜率乘积为
=-1,通
2
过仿射变换，可以得到一系列与 − 2 有关的结论，
例题
大招7仿射变换
大招7仿射变换 大招总结仿射变换,通俗来讲,就是将一个空间内的图形按照一定法则变换,就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中,我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,经过仿射变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则椭圆变为了圆222x y a ''+=,并且变换过程有如下对应关系：(1)点()00,P x y 变为00,a P x y b ⎛⎫' ⎪⎝⎭(2)直线斜率k 变为ak k b '=(3)图形面积S 变为aS S b''=(4)点、线、面位置不变(中点依然是中点,相切依然是相切)(5)弦长关系满足||A B AB ''=因此同一条直线上线段比值不变. 仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果,对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丟掉步骤分,因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理:(1)面积问题(尤其是有一个顶点是坐标原点的时候);(2)斜率之积出现22b a-之类;(3)同一条线段的比例问题;(4)其他与之相关联的问题.典型例题例1.(2014-新课标)I 已知点(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2F 是椭圆的右焦点,直线AFO 为坐标原点.+ (I)求E 的方程;(II)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 分析:这里第二问出现OPQ ∆面积最大,因此可以联想仿射变换化椭为圆去做..解(I)设(,0)F c ,由条件知2c =得c =,又2c a =,所以2222,1a b a c ==-=,故E 的方程2214x y +=.(II)方法1:依题意当l x ⊥轴不合题意,故设直线:2l y kx =-,设()()1122,,,P x y Q x y 将2y kx =-代入2214x y +=,得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,即234k >时,21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143||114k k PQ k x x k+⋅-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+,所以OPQ ∆的面积221443||214OPQk S d PQ k∆-==+,设243k t -=,则2440,144OPQt t S t t t∆>==++,当且仅当72,2t k ==±等号成立,且满足0∆>, 所以当OPQ ∆的面积最大时,l 的方程为:722y x =-或722y x =--. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩,椭圆E 变为圆:224x y ''+=,,此时P Q ''过点(0,4)A '-,此时,2OPQ OPQ S S ∆'∆+=因此OPQ S ∆最大时,OP Q S ∆''同样最大.1sin 2sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ∆''='⋅'∠''=∠''当且仅当2P OQ π∠''=时最大 设直线P Q ''方程为4y k x '=''-,那么O 到直线P Q ''距离2421d k '==+17722PQ k k k ⇒'=±⇒='=± ∴直线l 的方程为722y x =±- 总结思考:当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于,A B 两点时,AOB ∆面积最大值2ab,当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点P 是圆内点,则有两种情况:(1)如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于22a ,那么面积最大值仍然是;(2)2ab如果作仿射变换之后P '到圆心距离小于22a ,那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值.例2.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求12PF PF ⋅的取值范围;(2)设(2,0),(0,1)A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 解(1)由题意可知2,1a b ==,∵c ==∴12(F F 设 (,)P x y∴2212(,),)3,PF PF x y x y x y ⋅=-⋅=+-+()2221133844x x x =+--=-由椭圆的性质可知,2228384x x -⇒--*()212138[2,1]4PF PF x ∴⋅=-∈- (2)方法1:设()()1122,,,E x kx F x kx ,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得()22144k x+=12x x ∴==(2,0),(0,1)A B∴直线AB 的方程为:220x y +-=根据点到直线的距离公式可知,点,E F 到直线AB 的距离分别为1212k h ++==2212k h +==∴12h h+=∴||AB ==∴四边形的面积为()1211||22S AB h h =+===4212214k k=++(当且仅当14k k =即12k =时,上式取等号,所以S 的最大值为22. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩之后椭圆变为圆,方程为224x y ''+=+此时(0,2),22,4B A B E F '''=''=当且仅当E F A B ''⊥''时面积取到最大此时1222ABBF AE B F S S '''==四边形四边形例 3.(2017-肇庆三模)已知圆221:(1)16F x y ++=,定点2(1,0),F A 是圆1F 上的一动点,线段24F A的垂直平分线交半径1F A 于P 点.(I)求P 点的轨迹C 的方程;(II)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线,EG FH过原点O ,若34BG FH k k ⋅=-,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值.解(1)解:因为P 在线段2F A 的中垂线上,所以2||PF PA =. 所以211112||4PF PF PA PF AF F F +=+==>所以轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆,且1,2c a ==,所以3b =。
透视仿射对应,仿射对应,仿射变换及其关系,图形的仿射性质和仿射变换的特例。
章主要讨论透视仿射对应，仿射对应，仿射变换及其关系，图形的仿射性质和仿射变换的特例。
关键词：透视仿射对应，仿射变换，仿射对应，仿射坐标，图形的仿射性质，单比，同素性，结合性，平行性;引言在欧氏平面上建立仿射坐标系，研究仿射变换下图形的仿射性质（单比，同素性，结合性，平行性）及仿射变换的特例（正交变换，位似变换，相似变换，压缩变换等）为以后学习射影变换和图形的射影性质打下基础。
1. 预备知识单比定义1：设1P ,2P 是有向直线上的两个定点， P 是这有向直线的另一点，P 分有向线段12p p 为两个有向线段1p p 和2p p ，则其量数的比12P P P P叫做三点12,,P P P 的单比；记为()12PP P ，即()12PP P =12P P P P，其中 1P ，2P 叫做基点，P 叫做分点显然 当P 在1P ,2P 之间时,()120p p p 〈当P 在1P ,2P 之外时, ()120p p p 〉 当P 与1P 重合时,()120p p p = 当P 与2P 重合时, ()12PP P 不存在 当P 为线段1P 2P 的中点时, ()12PP P =-1.如果已知一直线上三点的单比()12PP P ,另一直线上两点12,p p '',则在第二直线上可以唯一地确定一点p '而使()12p p p '''=()12PP P 。
现在我们将共线三点的单比用坐标表示。
定理：设共线三点123,,P P P 的仿射坐标顺次为()()()112233,,,,,,x y x y x y 则单比 ()123p p p =31313232x x y y x x y y --=--； 这就是单比的坐标表示。
透视仿射对应1.2.1. 透射仿射对应的分类 一般透射仿射对应可以分为两个： （1）二直线间的透视仿射对应 定义1：在一平面上设有直线a 和a '，l 为此平面上与a ，a '均不平行的另一直 线，通过直线a 上各点,,A B C分别作与l 平行的直线，顺次交a '于,,A B C '''这样 （图1）使得到直线a 上点到a '上点的一个一一对应,称为透视仿射对应。
解答题：利用“仿射变换”化椭为圆
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b y a x C 中，令a x x ='，by y =',，则椭圆方程变为单位圆 1'22=+y x C ： ，该变换过程称为仿射变换。
相当于在xoy 与'''y o x 两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。
但最后要还原到椭圆中去解决问题。
变化前后点的坐标对应变化：),()','(),(bya x y x y x =→ )','(),()','(by ax y x y x =→二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线 （2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上 （3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线也平行 2、原弦长||AB ,斜率k ，后弦长|''|B A ，22211||k k m AB ++=|''|B A （其中ba m =） 3. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）已知直线0:=++C Bx Ax l ，椭圆1:2222=+b y a x C ，讨论直线与椭圆的位置关系。
由a x x ='，byy =',仿射变换后，直线0:=++C Bx Ax l 变为0:'=++C Bbx Aax l 。
（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为1'22=+y x C ： ，由直线与圆的位置关系易得答案。
例1 已知直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D. 相切或相交解：由2'x x =，y y ='仿射变换后，直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x 分别变为直线03''2=-+y x 、椭圆1''22=+y x ，而直线03''2=-+y x 到圆1''22=+y x 的距离15312|3|22>=+-=d ，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 （ 鞍山 114007）
摘
要
仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射
变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质 的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。 关键词 仿射变换 不变性 不变量 椭圆
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆 比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有 关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身 的定义要比圆复杂， 椭圆的性质和定理就很少， 解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆 有关的相应的问题困难得多。在初等几何中， 有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的 方法来解决， 这就给我们解题带来了不少麻烦。 因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有 关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而 由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变 换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问 题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关 圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到 椭圆中去，即可达到我们解题的目的。 为实现上述目的，我们还应该明确，为什 么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？ 命题 圆的仿射对应图形是椭圆 y=rsinθ 证明：设有以原点为中心，r 为半径的一 个圆，它的参数方程为：x =rcosθ
关键词仿射变换不变性不变量椭圆圆和椭圆都是初等几何中常见的图形圆比椭圆更特殊它有很多很好的性质与圆有关的定理举不胜举但椭圆则不然因其本身的定义要比圆复杂椭圆的性质和定理就很少解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多
2007 年 3 月
电大理工 Dianda Ligong
18. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧仿射变换
大招六 仿射变换仿射变换，通俗来讲，就是将一个空间内的图形按照一定法则变换，就会在另一个空间内得到与之对应的新图形。
在高考数学解析几何题目中，我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题，这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题，从而使问题的解决过程大大简化。
椭圆222210x y a b a b +=>>（），经过仿射变换''ax x by y=⎧⎨=⎩，则椭圆变为了圆22(')(y')1x += 有如下对应关系：（1） 点00(,)P x y 变为00'(,)x y P a b（2） 直线斜率k 变为'a k k b =（3） 图形面积S 变为1'S S ab= （4） 点、线、面位置不变（中点依然是中点、相切依然是相切）注：仿射变换高考中如果使用，有可能扣分，勇哥建议大家可以利用仿射变换快速得出答案，过程还是采用正常方法。
例1、 设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)若P 是该椭圆上的一个动点,求的取值范围; (2)设,是它的两个顶点,直线与AB 相交于点D,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 例2、已知圆,定点,A 是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于P 点.(Ⅰ)求P 点的轨迹C 的方程;(Ⅱ)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线EG,FH 过原点O,若,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值.例3、已知A,B 分别为椭圆的左、右顶点,P 为椭圆C 上异于A,B 两点的任意一点,直线PA,PB 的斜率分别记为,(1)求; (2)过坐标原点O 作与直线PA,PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点M,N,问:的面积是否为定值?请说明理由.例4、平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m=+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.（ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.。
专题15 利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练
专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点132M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________. 7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．参考答案：1． 12−4 2 1【分析】作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，进而依次计算可得.【详解】作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩此时椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，并且最大为21222⨯=，此时1122OM ON OM ON OM ON k k k k ''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，MON M ON S ''=△△ 由于OM ON '⊥'，1212'''',''x y OM ON y x =⎧=∴⎨=⎩， ∴2222221212114x x x x x y +='+'='+'=，22222222122212222y y x y y y '+''+'+=+===， 因为OP OM ON λμ=+，所以222222OP OM ON OM ON λμλμ=++⋅ ()222244,1λμλμ∴=+∴+=.故答案为：12−4；2；1.2．32##1.5【分析】利用仿射变换，将椭圆变换为圆，利用圆的性质求出A OB ''△面积的最大值，从而可求出AOB 面积最大值【详解】作变换2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y ''+=，()1,0F '， 由于1OF '=<=，因此AB OF '''⊥时面积最大， 此时11122A OB S OF A B'''''=⋅⋅=⨯⨯=△ 那么322AOB A OB S S ''==△△，故答案为：323．92##4.5【分析】作变换''x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案.【详解】作变换'''x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 22sin 2sin 333A B C A B C A B C SR R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B Cπ===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此24A B C S '''===，又因为ABC A B C S bS a'''=，∴3922ABC A B C b SS a '''===. 故答案为：92.4．1【分析】设()()1100,,,P x y D x y ，由AD DP λ=以及111020,y kx y k x ==解出11111x y ==，代入椭圆方程求出2λ；同理可得2μ；进而求出22λμ+的值．【详解】解法1：可得点()A ，设()()1100,,,P x y D x y ，则111020,y k x y k x ==， 由AD DP λ=可得()()010010,x x x y y y λλ=−=−，即有0101x y y λλ+==， 111k x y =，0202111y k x k x λλλλ⎛++∴== ⎝⎭，两边同乘以1k，可得211121112k x k k x x λλ⎛⎫⎛⎫=−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11111x y ==，将()11,P x y 代入椭圆方程可得221112k λ=+，由AE EQ μ=可得22221121212k k k μ==++，可得221λμ+=； 故答案为：1．解法2：作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为222x y '+'=，))21QP OQ OP OQ OP OQ k k k k OP OQ ''⋅=⋅=⋅=−⇒'⊥'，设,P A O Q A O αβ∠''=∠''=，则124P A Q P A Q παβ+=∠'''=∠'''=，,,2cos ,2cos cos cos R RD PE Q A P R A Q R αβαβ''=''=''=''=，∴22cos 1cos 2AD A D A P D P DP D P D P λαα''''−''====−=''''， 22cos 1cos 2AE A E A Q E Q EQ E Q E Q μββ''''−''====−=''''，∴22222222cos 2cos cos 2cos 2cos 2sin 212πλμαβαααα⎛⎫+=+=+−=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1．5．124⎛− ⎝⎭或124⎛− ⎝⎭. 【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为6−，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A ，B 坐标，设出点P ，则可表示出P A ，PB 中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P 坐标.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， A ，B 是椭圆C 上两点，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y +−++−=，1,24M ⎛⎝⎭是AB 中点，则)121204x x y y −−=，即1212y y x x−=−， 故直线AB斜率为AB 方程为12y x⎫=−⎪⎝⎭，即y x =+， 将直线方程代入椭圆得220x x −−=，解得121,2x x =−=， 则可得(),2,0A B ⎛− ⎝⎭， 设(),P m n ，则P A 中点为12,24m n ⎛− ⎝⎭，PB 中点为2,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭，PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则()(()22222111616+21164n m m n ⎧−⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，P ∴的坐标为⎝⎭或⎝⎭.故答案为：⎝⎭或⎝⎭. 【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A ,B 坐标，再结合题意求解. 6．02⎛ ⎝⎦， 【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为M N P Q ''''、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换，令,ax x y y b''==，可得仿射坐标系x O y '''，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222x y a ''+=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于M N P Q ''''、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q '''的面积为M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到即可.当c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.故答案为：02⎛ ⎝⎦，. 7．(1)2214x y +=；2；(2)证明见解析.【分析】(1)由顶点可求a 和b ，由c =c ，则椭圆C 的方程可求，离心率为c e a=可求；(2)设0(P x ，0)y ，求出PA 、PB 所在直线方程，得到M ，N 的坐标，求得||AN ，||BM ．由1||||2ABNM S AN BM =⋅⋅，结合P 在椭圆上求得四边形ABNM 的面积为定值．（1）由题可知2a =，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e =（2）设0(P x ，0)y ，则02PA y k x =−，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =−−， 取0x =，得0022M y y x =−−； 001PB y k x −=，PB 所在直线方程为0011y y x x −=+，取0y =，得01N x x y =−． 0000022||2211N x y x AN x y y −−∴=−=−=−−，00000222||1122M y x y BM y x x +−=−=+=−−． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x −−+−=⋅⋅=⋅⋅−− ()()()()()2222000000000000000000000022242444484111212222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +−+−++++−−+=−⨯=⨯=⨯−−+−−+−−()0000000042211422222x y x y x y x y +−−=⨯=⨯=+−−． ∴四边形ABNM 的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关； (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b −+−=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆−，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=−+，， 可得223{21.3m x m y =−=+， 所以P 点坐标为（222,133m m −+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，. 由方程组22163{12x y y x m +==+，， 可得2234(412)0x mx m ++−=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆−，由>0∆，解得22m −<<. 由②得212124412=,33m m x x x x −+−=.所以123m PA x =−−，同理223m PB x =−−， 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=−−−− 21212522(2)(2)()433m m x x x x =−−−++ 225224412(2)(2)()43333m m m m −=−−−−+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．9．(1)[]2,1−(2)【分析】（1）由题意可知1F 、2F 的坐标，设(,)P x y ，表示出1PF ，2PF ，代入向量的数量积可得2121(38)4PF PF x ⋅=−，由二次函数的性质计算可得.（2）设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立直线与椭圆方程消去y 整理可得22(14)4k x +=，解方程可求1x ，2x ，根据点到直线的距离公式可求，点E ，F 到直线AB 的距离1h ，2h ，代入四边形AEBF 的面积为121||()2S AB h h =+，结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解：由题意可知2a =，1b =，2c a =−∴1(F ，2F ，设(,)P x y ，∴1(3,)PF x y =−−，2(3,)PF x y =−，∴2212(,),)3PF PF x y x y x y ⋅=−−⋅−=+−222113(38)44x x x =+−−=− 由椭圆的性质可知，22x −≤≤204x ∴≤≤，∴238214x −−≤≤，故1221PF PF −≤⋅≤，即[]122,1PF PF ⋅∈−. (2)解：设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得22(14)4k x +=，∴1x =2x(2,0)A ，(0,1)B ，∴直线AB 的方程为：220x y +−=，根据点到直线的距离公式可知，点E ，F 到直线AB 的距离分别为1h =2h ∴12h h +||AB ∴∴四边形AEBF 的面积为1211||()22S AB h h =+==221=，当且仅当14k k =即12k =时，上式取等号，所以S 的最大值为.10．（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，定值为 【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到P 点的轨迹C 的方程；（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，求出四边形EFGH 的面积，即可证明结论. 【详解】（1）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =． 所以2112124PF PF PA PF AF F F +=+==>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=． （2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为 y kx m =+，11(,)E x y ，22(,)H x y ．联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=， 则122834km x x k +=−+，212241234m x x k −=+．① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==−， 得221212121212()()()34kx m kx m k x x km x x m x x x x +++++==−．② 由①、②，得222430m k −−=．③设原点到直线EH的距离为d =，12|EH x x =−42EOH EFGH S S EH d ==⋅△四边形．④ 由③、④，得EFGH S =四边形，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此类问题一般要涉及根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.。
仿射变换——椭圆变圆
仿射变换—椭圆变圆
1、过0,1作直线l与椭圆
2
21
2
y
x交于,C D两点，与x交于点P，左顶点为A，右顶
点为B且AC与BD交于点Q.求证P Q
x x为定值.
2、作斜率为1
3
的直线l与椭圆
22
:1
364
x y
C交于,A B两点，点P32,2在直线l的
左上方.证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.
3、,A B是椭圆
2
2
:1
3
x
C y上两点，且3
AB，求AOB面积的最大值.
4、已知动直线l 与椭圆2
2:132x y C 交于11,P x y 、22,Q x y 两个不同点，且OPQ 的面积62OPQ S ,其中O 为坐标原点. （1） 证明2212x x 和2212y y 均为定值；
（2） 设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；
（3） 椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得62ODE ODG OEG S S S ？若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
5、点,M N 是椭圆2
2:13
x C y 上两个不同点，点A 是椭圆C 上顶点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积为23
，求证直线MN 过定点.。
仿射变换视角下椭圆的极点极线
仿射变换视角下椭圆的极点极线
王昌林;邵星峰
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2022()9
【摘要】椭圆是高中数学教学中一个十分重要的知识点,与椭圆的极点极线有关的性质与推论在已有的文献中的证明方式都显得较为繁琐,文1介绍了极点极线的概念与部分性质,但证明不详细;文2~3给出了新的推论并给出了详细的证明,但过程较为繁琐且不易理解.运用仿射变换将椭圆变换成圆,在圆中来研究与椭圆有关的性质,可以较好的解决证明过程繁琐且不易理解的问题.
【总页数】4页(P30-33)
【作者】王昌林;邵星峰
【作者单位】四川电影电视学院实验中学;成都市第三中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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仿射变换—椭圆变圆
1、过()0,1作直线l 与椭圆2
2
12y x +=交于,C D 两点，与x 交于点P ，左顶点为A ，右顶点为B 且AC 与BD 交于点Q .求证P Q x x ×为定值.
2、作斜率为13的直线l 与椭圆22
:1364x y C +=交于,A B 两点，点P (在直线l 的左上方.证明：PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.
3、,A B 是椭圆2
2:13
x C y +=上两点，且AB AOB 面积的最大值.
4、已知动直线l 与椭圆22
:132
x y C +=交于()11,P x y 、()22,Q x y 两个不同点，且OPQ 的
面积2
OPQ S = ,其中O 为坐标原点. （1） 证明2212x x +和2212y y +均为定值；
（2） 设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ×的最大值；
（3） 椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得2
ODE ODG OEG S S S D D D ===？若存在，判断DEG D 的形状；若不存在，请说明理由.
5、点,M N 是椭圆2
2:13
x C y +=上两个不同点，点A 是椭圆C 上顶点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积为23，求证直线MN 过定点.。