传热学与非稳态导热
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
稳态与非稳态传热对系统热传导的影响
稳态与非稳态传热对系统热传导的影响在热传导过程中，稳态和非稳态传热是两种不同的热传导状态。
了解稳态和非稳态传热的特点和对系统热传导的影响，对于热传导领域的研究和工程应用都具有重要意义。
1. 稳态传热稳态传热是指热传导过程中温度场随时间不变化，系统内部没有热量的积累或消耗的情况。
在稳态传热条件下，热量从高温区域流向低温区域，保持一个稳定的温度梯度。
这种热传导状态常见于长时间稳定的热传导系统，如导热棒、导热管等。
稳态传热对系统热传导的影响主要表现在两个方面。
首先，稳态传热可以维持一个恒定的温度场分布，使得热量在系统内有序地传递。
这对于保持系统的热平衡至关重要，特别是在需要保持恒定温度的应用中，如电子设备散热、制冷系统等。
其次，稳态传热过程中温度场的稳定性可以帮助我们更好地设计和优化热传导系统。
通过对系统中不同位置的温度场分布和热流分布的分析，可以得到系统的热传导特性，进而指导优化散热设备和热管理策略的设计。
2. 非稳态传热非稳态传热是指热传导过程中温度场随时间变化的热传导状态。
在非稳态传热条件下，系统内部存在热量的积累或消耗情况，温度场存在时间相关性。
这种热传导状态常见于热传导系统由冷态转变为热态，以及系统在温度变化较大的情况下。
非稳态传热的特点使系统的热传导过程更加复杂。
温度场的时间变化导致热量的传输速率不断变化，从而影响系统的热能储存和消耗。
此外，非稳态传热可能引起热应力和热膨胀等问题，对系统稳定性和工程设计提出了更高的要求。
非稳态传热对系统热传导的影响需要进行详细的分析和研究。
通过建立合适的数学模型和热传导方程，可以预测温度场的变化规律和热传导速率的时变特性。
这对于优化热管理和热设计具有重要意义，尤其是在高温、高功率应用中，如火箭发动机、核反应堆等。
综上所述，稳态和非稳态传热是热传导中两种常见的热传导状态。
稳态传热维持系统的热平衡和温度梯度，非稳态传热则导致系统温度场的变化和热传导速率的时变特性。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学第三章 非稳态导热
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
传热学第3章非稳态导热
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学课件 第三章 非稳定导热
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
传热学非稳态导热
第三章非稳态导热Transient Conduction第五讲13.1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的导热过程。
稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的导热过程。
对于非稳态导热，物体内各点的热流密度随时间改变不？第五讲2二、应用背景•加热炉、连铸、连轧，加热时间和工件质量•改变材料的力学特性热处理（淬火、正火、回火）；•机加工，零件的热应力、热变形；•微电子器件，瞬态、交变工作状态下的寿命、热应力；•热力设备的启动与停机；•表面处理、光盘的读写；•航天器的升空与降落过程；•子弹出膛时的升温过程；•。
第五讲3第五讲4工程上典型温度变化率的数量级第五讲6第五讲7第五讲8第五讲9无限大平板的初始温度为t 0。
τ= 0时刻，其左边温度突然上升为t 1并保持不变，右侧与温度为t 0的空气接触。
平板内温度变化过程？三、非稳态导热过程的特点第五讲10该阶段的温度变化规律是讨论的主要内容11二、非稳态导热问题作集总参数处理的条件•物体的尺寸比较小；•材料的热导率比较大；•表面传热系数比较小。
上述三条均为相对概念，并不能严格说明何时可以采用集总参数法。
那么应该用什么参数来作为判断准则呢？第五讲13第五讲16•Bi →∞导热热阻起决定作用，对流热阻极小，t w →t ∞, 第一类边界条件的瞬态问题•Bi →0 导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi 有限大小，内外热阻都起作用不同Bi数平板内温度变化（初温t 0、环境温度t ∞）第五讲24ρcV /hA 具有时间的量纲，称为时间常数τc.0/0.368θθ=用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线当τ=τc 时，第五讲26M ：与物体的几何形状有关的常数平板：M=1圆柱：M=1/2球：M=1/3四、集中参数法的适用范围当Bi V <0.1M时，物体内各点间的过余温度的偏差将小于5%。
五、多集总系统由两个或两个以上子系统构成的系统（如两个接触良好的固体或盛在容器中的液体)，集总参数法可以应用于其子系统。
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
传热学重要名词解释和简答题
辐射力： 单位时间内，物体的每单位面积向半球空间所发射全波长的总能量。 单色辐射力： 单位时间内，物体的每单位面积，在波长 附近的单位波长间隔内，向半
球空间发射的能量。
定向辐射力： 单位时间内，物体的每单位面积，向半球空间的某给定辐射方向上，在单
位立体角内所发射全波长的能量。
料。
温度场： 指某一时刻空间所有各点温度的总称。 热扩散率： a=
c
表示物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向均匀一致的能力。
临界热绝缘直径 d c ：对应于总热阻 R l 为极小值的保温层外径称为临界热绝缘直径。 集中参数法： 当 B i 0.1 时，可以近似的认为物体的温度是均匀的，这种忽略物体内部
传热过程： 热量从壁一侧的高温流体通过壁传给另一侧的低温流体的过程。 导热系数： 物体中单位温度降单位时间通过单位面积的导热量。
热对流： 只依靠流体的宏观运动传递热量的现象称为热对流。 表面传热系数： 单位面积上，流体与壁面之间在单位温差下及单位时间内所能传递的能
量。
保温材料： 国家标准规定，凡平均温度不高于 350 度导热系数不大于 0.12w/（m.k）的材
与管内任意点的温度t组成的无量纲温度好象温度会从物体的一部分逐渐向另一部分转播一样非稳态导热过程中导热体自身参与吸热或放热即导热体有储热现象所以即使对通过平壁的非稳态导热来说在与热流方向相垂直的不同截面上的热流量也是处处不等的而在一维稳态导热中通过各层的热流量是相等的
1. 导热基本定律 : 当导热体中进行纯导热时 , 通过导热面的热流密度 , 其值与该处温 度梯度的绝对值成正比 , 而方向与温度梯度相反。 2. 非稳态导热: 发生在非稳态温度场内的导热过程称为非稳态导热。 或： 物体中的温度分 布随时间而变化的导热称为非稳态导热。 3. 凝结换热 : 蒸汽同低于其饱和温度的冷壁面接触时 , 蒸汽就会在壁面上发生凝结过程 成为流液体。 4. 黑度 : 物体的辐射力与同温度下黑体辐射力之比。 5. 有效辐射: 单位时间内离开单位表面积的总辐射能。 6 ．稳态导热 : 发生在稳态温度场内的导热过程称为稳态导热。 7．稳态温度场 : 温度场内各点的温度不随时间变化。（或温度场不随时间变化。） 8 ．热对流:依靠流体各部分之间的宏观运行，把热量由一处带到另一处的热传递现象。 对流换热：流体与固体壁直接接触时所发生的热传递过程. 既 与假定整个肋片表面处在肋基温度 t o 时的理想散热量 o 的比值。
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学第3章非稳态热传导
穷级数的和。
tan n Bi
2 sin n ( x / , ) x e Fo cos(n ) 0 n 1 n sin n cos n
2 n
特征值 n
是超越方程
n
的根。
无量纲温度分布：
非稳态导热的 无量纲时间。
物理意义： Fo
a l2 l2
a
• 分子：非稳态导热过程从 0 ~τ的时间； • 分母：温度变化波及到 l 2 面积的时间。 非稳态导热过程中，Fo 越大，热扰动越深入 地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温度。
3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例
判断是否采用集中参数法的依据：
BiV 0.1M
其中；大平板M=1，长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。
集中参数法中特征长度的选取：
• 一般形状物体：
l V A
• 厚度为2δ的无限大平壁： l • 半径为R的圆柱： • 半径为R的圆球：
lR 2
lR
3
• 边长为b的立方体：l b 6
x0 x t 0 x t h(t t f ) x
解的唯一性定理：如果某一函数 t (x,y,z,τ) 满足 方程(a)及一定的初始条件与边界条件，则此函数 就是这一特定导热问题的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi 数对平板中温度分布的影响 1. 毕渥（Biot）数 定义： Bi h
( x, ) t t x f ( Bi, Fo, ) 0 t0 t
原导热微分方程的温度分布：
t f (a, , , , h, x)
简化未知数个数
2. 圆柱 问题：实心圆柱半径R，λ，a，фV=0, h，初始 温度t0，突置于流体中t∞，且t∞ < t0。
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
热传导的稳态与非稳态
热传导的稳态与非稳态热传导是物体内部热量传递的过程，它可以分为稳态和非稳态两种状态。
本文将详细介绍热传导的稳态和非稳态，并探讨它们的特点、原理和应用。
一、热传导的稳态稳态热传导是指物体内部温度分布保持不变的状态，即各点之间温度差保持不变。
在稳态下，物体内部的热量传导是平衡的，整个系统达到了热平衡状态。
1. 特点稳态热传导的主要特点如下：首先，稳态热传导过程中的温度分布是均匀且稳定的。
不论物体的形状和性质如何，温度分布都能保持相对稳定，各点之间的温度差保持不变。
其次，稳态热传导是一个持续的过程。
在稳态下，热量的传导是持续进行的，但整个系统的温度分布不会发生明显的变化。
最后，稳态热传导中的热流是定值且均匀的。
在稳态下，热流从高温区传导到低温区，并且在整个物体内部是均匀的，保持一定的传导速率。
2. 原理稳态热传导的原理可以通过热传导定律来解释。
热传导定律表明，热量的传导速率正比于导热系数和温度梯度，与物体的厚度无关。
因此，在稳态下，温度梯度保持不变，热量的传导速率也将始终保持不变。
3. 应用稳态热传导在工程领域有着广泛的应用。
例如，建筑物中的保温材料能够有效阻止热量的传导，维持室内的稳定温度；电子器件中的散热器能够将产生的热量迅速散发，防止过热导致设备损坏。
二、热传导的非稳态非稳态热传导是指物体内部温度分布随时间变化的过程。
在非稳态下，物体的温度分布会随着时间的推移发生变化。
1. 特点非稳态热传导的主要特点如下：首先，非稳态热传导过程中的温度分布是不均匀的。
由于物体内部温度分布不均匀，热量会从高温区向低温区传导，进一步改变温度分布。
其次，非稳态热传导是一个动态的过程。
随着时间的推移，整个系统的温度分布会发生变化，不再保持稳定。
最后，非稳态热传导中的热流是变化的。
在非稳态下，热量的传导速率随着时间的推移而变化，热流强度不再保持恒定。
2. 原理非稳态热传导的原理可以通过热传导方程来描述。
热传导方程描述了温度在空间和时间上的变化规律，能够准确模拟非稳态热传导过程。
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
传热学-非稳态热传导
=
−ρVc
dθ dτ
⎪⎩θ (τ
=
0)
=
t 0
− t∞
= θ0
导热方程 初始条件
方程式改写为：
dθ θ
=
−
hA ρ Vc
dτ
3.2 集中参数法
Bi = hlc λ
以lc为特征长度的毕渥数
Fo
=
aτ lc 2
以lc为特征长度的傅里叶数
物体中的温度
θ=
e−
hA ρVc
τ
= e− Bi⋅Fo
θ0
呈指数分布
o
Φ2 τ
3.1 非稳态导热的基本概念
非稳态导热过程的特点分析
两个阶段： （1）非正规状况阶段（起始阶段）
(右侧面不参与换热 )：温度分布显现出部分为
非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的
Φ1
混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分
布的影响较大 ．
也就是说，在这一阶段中物体中的温度分布受 初始温度分布很大的影响
)
ρcV
dt dτ
= −hA(t − t∞ )
表面散失热量
3.2 集中参数法
dθ θ
=
−
hA ρVc
dτ
积分 ⇒⇒
⇒ ⇒ ln θ θ
=
−
hA ρVc
τ
0
∫θ
θ0
dθ θ
=
−
hA ρVc
∫0τ
dτ
θ θ0
=
t t0
− t∞ − t∞
= e−ρhVAcτ
注意：V/A具有长度的量纲，故定义
lc
=
V A
过余温度比
在机器启动、停机及变动工况时，急剧的温度变化会使部件 内产生热应力而破坏，因此需要确定物体内部的瞬时温度场
传热过程中的稳态与非稳态特征对比
传热过程中的稳态与非稳态特征对比引言：传热是能量从高温区域到低温区域的传递过程，在工程和科学领域中具有重要的意义。
热传导可以在稳态或非稳态条件下发生，这取决于传热系统是否达到了平衡状态。
稳态和非稳态传热过程具有不同的特征和应用。
本文将对传热过程中的稳态与非稳态特征进行对比。
一、稳态传热过程特征：稳态传热过程指传热系统各物理性质在空间和时间上均不发生变化的情况下进行的传热过程。
在稳态条件下，热量的传递速率保持不变，即传热速率相对稳定。
稳态传热的特征表现为温度分布均匀、传热速率可预测以及传热区域的物理性质不随时间变化。
稳态传热过程的应用广泛，常见的包括热传导、传热管道设计、电力设备冷却等。
例如，热传导中金属导热问题中稳态传热是一个基本的假设。
在传热管道设计中，我们可以根据稳态传热的特征推导出管道的尺寸和传热流体的流速。
电力设备冷却中，稳态传热可用于计算散热器的工作效果以及传热流体的流速控制。
二、非稳态传热过程特征：非稳态传热过程指传热系统在达到稳态之前的传热情况。
在非稳态过程中，热量的传递速率不是恒定的，而是随着时间的变化而变化。
这种情况下，温度分布不均匀，传热速率不可预测，传热区域的物理性质会随时间发生变化。
非稳态传热过程的特征使其在许多领域中得到应用。
在微观尺度下，非稳态传热对于分子动力学和热力学研究有着重要的意义。
在工程中，非稳态传热常见于瞬态问题，如启动设备或在短期间内发生的传热过程等。
例如，在飞机的起降过程中，发动机表面的温度变化是非稳态传热过程的典型示例。
三、稳态传热与非稳态传热的比较：稳态传热与非稳态传热在特征和应用上存在一些明显的区别。
首先，稳态传热的热量传递速率是恒定的，而非稳态传热的热量传递速率随时间变化。
其次，稳态传热的温度分布均匀，而非稳态传热的温度分布不均匀。
此外，稳态传热的特征使其在许多工程设计中有可预测性，而非稳态传热更适用于瞬态问题和微观尺度的研究。
结论：传热过程中的稳态与非稳态特征对比表明两者在热量传递速率、温度分布以及应用方面存在明显的差异。
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热第三章非稳态导热第一节非稳态导热的基本概念图3-1 瞬态导热的基本概念图3-2 周期性导热的基本概念第二节无限大平壁的瞬态导热一、加热或冷却过程的分析解法图3－3 第三类边界条件下的瞬态导热图3-4 特征方程的根22xta t ∂∂=∂∂τ τ＞0， 0＜x ＜δ （1） 相应地初始条件为τ=0， t t =0 0≤≤x δ （2） 边界条件为xt∂∂｜x =0 = 0 (对称性) τ＞0 （3） xt∂∂-λ｜x =δ = h t (｜x =δ-t f ) τ＞0 （4） 引用新的变量()()θττx t x t f ,,=-，称为过余温度22x∂∂=∂∂θτθ τ＞0， 0＜x ＜0 （3-1） τ=0， θθ=0 0≤≤x δ （3-2）x∂∂θ｜x =0 = 0 τ＞0 （3-3） x∂∂-θλ｜x =δ= h θ｜x =δ τ＞0 （3-4 ) ()()()θτφτx X x ,= （5）τφφd d a 1=221dx Xd X （6）μτφφ=d d a 1 （7）μ=dxdXX 1 （8） ()φμτ=c a 1exp （9）()φετ=-c a 12exp （10）2221ε-=dxXd X （11） ()()X c x c x =+23cos sin εε （12） ()()()[]()θτεεετx A x x a ,cos sin exp =+-2 （3-5）x∂∂θ｜x =0 =()()A B a εεετsin cos exp 002+- ()()()θτεετx A x a ,cos exp =-2 （13） ()[]()()()---=-λεεδετεδετA a hA a sin exp cos exp 22 ()λεεδ=h cot （14）()εδδλεδh ⎛⎝ ⎫⎭⎪=cot （15）ββBi=cot （3-6）式（3-6）称为特征方程。
大学生精品课件：10.1导热-稳态与非稳态导热
t t t t c x x y y z z
直角坐标导热微分方程式的简化
式中2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中
a c
木材a =1.5×10-7 紫铜a = 5.33×10-5
称为热扩散率, 也称导温系数, 单位为m2/s。 其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
柱坐标导热微分方程式
• 柱坐标系常物性、含 内热源的三维非稳态 导热微分方程式：
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z 如果为常数： 2 2 2 t t 1 t 1 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
d t 0 2 dx
2
d dt (r ) 0 dr dr
t t a 2 x
2
t 1 t a ( ) r r r
• 常物性、有热源的零维非稳态导热微分方程式：
t c
导热微分方程式的边界条件
导热问题常见的边界条件分为三类： 1）第一类边界条件规定了边界上的温度场（如：边 界上的温度为零）； t f , x, y, z 2）第二类边界条件规定了边界上的热流场（如：边 界上的热流密度为零）；
q t n n
q gradt
• 负号表示温度梯度的方向与热流密度的方向 相反，保证导热系数取正值。
傅里叶定律
• 傅里叶定律：导热热流密度的大小与温度 梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度 的方向相反。
t A x
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
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区域面积？
起点位置？
4) 边界条件对温度分布的影响
下图是一个大平板的冷却过程，画出了三种不
同边界情况的温度分布曲线 讨论：（a）（b）（c）三种情况的特征？
？？
讨论：三者的差异性的统一表征量？
导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数， 称为毕渥数，即
Bi / h 1/ h
它表征了给定导热系统内的导热热阻与和环境之间 的换热热阻的对比关系。 上述三种情况则对应着
曲线（a）表示平板外对流换热热阻 1 h远大于平板内的导热热
阻 , 物体内部温度近似均匀，温度场仅是时间的函数，与空间
坐标无关。这样的非稳态导热系统称为集总参数系统。
曲线（c）表示平板外对流换热热阻 1 h 远小于平板内的导热热
分类：周期性和非周期性 特点：热流方向上热流量处处不等.
3) 非稳态导热问题研究任务 A、确定物体内部不同时间下温度分布规律； B、确定物体内部某点达到预定温度所需时间； C、期间所需供给或取走的热量；
平壁非稳态导热过程：
一平壁初始温度为t0，左侧表面 温度突然升高为t1并保持不变。 存在两个阶段: a.初始阶段：右侧不参与换热， 物体内分为非稳态导热规律控制 区和初始温度区；
(x, 0
)
2 exp( 12 Fo)
s
in
1
cos(
1
x
)
1 sin 1 cos 1
与位置有关
ln
(x,
)
ln[0
2 s in
1
1
c
os
(1
x
)
]
sin 1 cos1
12 F o
Bi，与边界条件有关
K f (Bi, x / )
ln K(Bi, x / ) m
m
12
a
2
当给定第三类边界条件（Bi）和位置（x）后，K和m 是常量。即过余温度对数值与时间是线性关系
3、半无限大物体的非稳态导热过程
半无限大物体：只有有一个边界面，在其深度方向无限延展 的物体。
对象：
1) 地下建筑物壁体； 2) 有限厚度平板，在研究时间内，平板另外一侧没有
受到影响，维持初始温度；
半无限大物体初始温度
t
a
2t x2
2t y2
2t z 2
c
边界条件？
1、常热流密度边界条件 2、周期性温度波动边界条件
t
a
2t x2
2t y2
2t z 2
c
讨论：
1、推导过程采用冷却方式，得到的结论 同样可以适应于加热。
2、从边界条件描述可以知道，该结论可用于 一侧绝热（h=0），一侧为第三类边界条件的情况。
3、Bi趋于无穷大时(h无穷大)，就变为t=tf的 第一类边界条件的非稳态解。
过余温度与中心过余温度的比值与时间没有关系，
集总参数法--Bi
能量值： V c t
能量增加量： d (V c t) d V c dt d
d
d
V c d d h A d d
dt d
Vc d hA d
讨论：负号？
Vc d hA d
0
过余温度分布规律
以初始温度变化率的速度
，从初始温度
变化到流体温度 所需要的时间
第四章 非稳态导热 1、非稳态导热的基本概念 2、无限大平壁的瞬态导热 3、半无限大物体的瞬态导热 4、集总参数法 5、周期性非稳态导热
非稳态导热：例如：在设备启动、停车、间歇运行等过程 中，温度场随时间发生变化，热流也随时间发生变化， 这样的导热过程称为非稳态导热。
1）基本特点:
非稳态过程必伴随加热或冷却的过程
阻 。从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物
体边界几乎无温差，此时可以认为 tw t f 即为第一类边界条件 下的非稳态导热。
曲线（b）表示平板外对流换热热阻 1 h
与于平板内的导热热阻 相差不大，
即为一般的第三类边界条件下的非稳态导 热。
2.无限大平壁的瞬态导热 分析解 1）分析解法 条件： 厚度 2 ，、a为常数；=0时温 度为 t0； 突然放入温度为 t的流体中冷却； 流体温度保持不变； 壁面与流体之间的表面传热系数为 h； 两侧换热情况相同，所以温度对称 分布，坐标原点建在平壁中心。
即 0 的初始温度已经没有影响，说明进入了正
规状态阶段。
物体各点温度虽然随时间变化，但是物体各点的 过余温度的比值与时间无关，这是正规状态阶段 的特点
总结：
的温度分布适合正规状态阶段，不适合 初始阶段
P63，图4.8 P64，图4.9
P64，图4.10 配合，图4.8、4.9使用
正规状态阶段规律分析：
exp( hA ) exp( )
0
cV
c
说明无量纲过余温度可以用毕渥数和傅立叶数来表达
讨论：
??
使用集总参数法的判别标准：
b.正规状况阶段： （1）温度变化到达右壁面 后，初始温度分布的影响消 失， （2）边界条件和材料本身 的性质起主导作用， （3）并最后进入稳定状态。
从左侧面导入的热流量Φ1及从右 侧面导出的热流量Φ2随时间变化 的曲线如右图。
在整个非稳态导热过程中， 这两个截面上的热流量是不相等 的，但随着过程的进行，其差别 越来越小。
t
a
2t x2
2t y2
2t z 2
c
周期性 延迟角度 衰减性
角速度
延迟时间
边界点 内部点
衰减后的波幅
表面波幅
延迟时间
周期性
周期性变化的壁面热流
(x, ) Aw exp(
x) cos(2 x
aT
T
)
aT
(UV ) UV UV
cos(A B) cos AcosB sin Asin B
ierfc(u)
erfc(u)du
1
exp( u2 ) u erfc(u)
u
erfc(u) 1 2 u
ierfc(u)
erfc(u)du
1
exp( u2 ) u erfc(u)
u
周期性非稳态导热现象(周期性、衰减性、延迟性)
ln K m
Fo 0.2
而此处的过余温度 是从正规阶段得到的，因此，该 结论用于正规阶段
t
a
2t x2
2t y2
2t z 2
c
0
n
s in( n
)
c os2
xdx
1
cos2xdx 2
x 2
sin 2x 4
2
4n
sin(2n
)
最后解
正规状态温度 （取第一项）