第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u

q k

x

∂=-∂ （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相

反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k

x ∂=-∂，y u q k y ∂=-∂，z u

q k z

∂=-∂

或

q k u =-∇

即热流密度矢量q 与温度梯度u ∇成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质x 位置处在t 时刻的温度(,)u x t 。

第二步，取局部。在介质内部隔离出从x 到x x +∆一段微元长度，在t 到t t +∆时间内温度的变化(,)(,)u u x t t u x t ∆=+∆-。

第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A ，质量密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 。

第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t 到t t +∆时间内吸收的热量为：

Q c m u c A x u ρ=⋅∆⋅∆=⋅∆⋅∆ （8-1.2）

在t 到t t +∆时间内，同过x 位置处的横截面的热量为：

1x x x Q q A t k u A t =⋅⋅∆=-⋅∆ （8-1.3）

在t 到t t +∆时间内，同过x x +∆位置处的横截面的热量为：

2x x x

x x

Q q A t k u A t +∆+∆=⋅⋅∆=-⋅∆ （8-1.4）

如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为(,)F x t ，则该热源在微元内产生的热量为：

(,)3Q F x t t A x =⋅∆⋅∆ （8-1.5）

第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。

123Q Q Q Q =-+

即

(,)x x

x x x

c A x u k u A t k u A t F x t t A x ρ+∆⋅∆⋅∆=-⋅∆+⋅∆+⋅∆⋅∆

(,)x x

x x

x

u u u c k F x t t

x

ρ+∆-∆⋅⋅

=+∆∆

得到：

(,)t xx k F x t u u c c ρρ

=

+ 令

a =

(,)(,)F x t f x t c ρ=

则得到热传导方程为

(,)2t xx u a u f x t =+ （8-1.6）

当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为

2t xx u a u = （8-1.7）

8.1.2 扩散方程的建立

扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。 8.1.3 热传导问题的定解条件

与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。 初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布(,)0u x 其边界条件有三种：

第一边界条件：已知细杆端点的温度(,)0u t 或者(,)u l t 。

第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的x u 。例如：当介质x =0端和外界绝热，此时(,)00x u t =。

第三边界条件：例如，已知端点x =l 与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为(,)u l t ，与其接触的介质的温度为()1t θ，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x =l 流入介质的热量为

[(,)()]1Q h u l t t A θ=-

由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x =l 流出热量为：

(,)x Q ku l t A '=-

由Q Q '=，就可以得出第三边界条件为

(,)(,)()()1x ku l t hu l t h t t θθ+==

其中，k 为热传导系数，h 为热交换系数。

第二节 混合问题的傅里叶解

8.2.1 混合问题的解

对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：

()200(0,0),

(8 2.1)0,0

(0),(8 2.2)(0).

(8 2.3)

t xx x x l t u a u x l t u u t u x x l ϕ===⎧=<<>-⎪⎪

==>-⎨⎪=<<-⎪⎩ 第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。 令

)()(),(t T x X t x u =

将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：

()()20T t a T t λ'+= （8-2.4）

0)()(=+''x X x X λ （8-2.5）

第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。 将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得()X x 的边界条件：

0)0(=X ，0)(=l X （8-2.6）

第三步,求解本征值问题

通过讨论分析得出只有0>λ时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此，0>λ时解（8-2.5）式得

()X x A B =+.

将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有

0;sin 0.A A B =⎧⎪⎨

+=⎪⎩

即0;

0.

A B =⎧⎪⎨=⎪⎩ 于是

0sin =l λ，即πλn l = () ,3,2,1=n .

得到本征值：

2

⎪⎭

⎫

⎝⎛=l n n πλ () ,3,2,1=n

相应的本征函数是：

x l

n x X n πsin

)(= 第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：

对于每一个本征值n λ，解（8-2.5）式得出相应的)(t T n :

2

(

)()n a t l

n n T t C e

π-=.

得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: