边坡稳定性分析方法

边坡稳定性分析方法
1.1 概述
边坡稳定性分析是边坡工程研究的核心问题，一直是岩土工程研究的的一个热点问题。

边坡稳定性分析方法经过近百年的发展，其原有的研究不断完善，同时新的理论和方法不断引入，特别是近代计算机技术和数值分析方法的飞速发展给其带来了质的提高。

边坡稳定性研究进入了前所未有的阶段。

任何一个研究体系都是由简单到复杂，由宏观到微观，由整体到局部。

对于边坡稳定性研究，在其基础理论的前提下，边坡稳定分析方法从二维扩展到三维，更符合工程的实际情况；由于一些新理论和新方法的出现，如可靠度理论和对边坡工程中不确定性的认识，边坡稳定分析方法由确定性分析向不确定性分析发展。

同时，由于边坡工程的复杂性，边坡稳定评价不能依赖于单一方法，边坡的稳定性评价也由单一方法向综合评价分析发展。

1.2 边坡稳定性分析方法
边坡稳定性分析方法很多，归结起来可分为两类：即确定性方法和不确定性方法, 确定性方法是边坡稳定性研究的基本方法,它包括极限平衡分析法、极限分
析法、数值分析法。

不确定性方法主要有随机概率分析法等。

1.2.1 极限平衡分析法
极限平衡法是边坡稳定分析的传统方法，通过安全系数定量评价边坡的稳定性，由于安全系数的直观性，被工程界广泛应用。

该法基于刚塑性理论，只注重土体破坏瞬间的变形机制，而不关心土体变形过程，只要求满足力和力矩的平衡、Mohr-Coulomb准则。

其分析问题的基本思路：先根据经验和理论预设一个可能形状的滑动面，通过分析在临近破坏情况下，土体外力与内部强度所提供抗力之间的平衡，计算土体在自身荷载作用下的边坡稳定性过程。

极限平衡法没有考虑土体本身的应力—应变关系，不能反映边坡变形破坏的过程，但由于其概念简单明了，且在计算方法上形成了大量的计算经验和计算模型，计算结果也已经达到了很高的精度。

因此，该法目前仍为边坡稳定性分析最主要的分析方法。

在工程实践中，可根据边坡破坏滑动面的形态来选择相应的极限平衡法。

目前常用的极限平衡法有瑞典条分法、Bishop法、Janbu法、Spencer法、Sarma法Morgenstern-Price法和不平衡推力法等。

1.2.2 极限分析法
极限分析理论是在20世纪50年代初由Durcker和Prager等人将静力场和运动场结合起来并提出极值原理以后建立起来的，为土坡塑性极限分析方法开辟
了新的途径。

极限分析法应用理想塑性体或刚塑性体处于极限状态的极小值原理和极大值原理来求解理想塑性体的极限荷载的一种分析方法。

它在土坡稳定分析时，假定土体为刚塑性体，且不必了解变形的全过程，当土体应力小于屈服应力时，它不产生变形，但达到屈服应力，即使应力不变，土体将产生无限制的变形，造成土坡失稳而发生破坏。

其最大优点是考虑了材料应力—应变关系，以极限状态时自重和外荷载所做的功等于滑裂面上阻力所消耗的功为条件，结合塑性极限分析的上、下限定理求得边坡极限荷载与安全系数。

门玉明[68]应用塑性力学中的极限分析法原理，推导了滑动面为折线形状土坡稳定性极限分析公式，采用了屈服准则的概念，考虑了与应力—应变关系相适应的流动法则，求出了滑动面为折线时的土坡稳定性分析公式(上限解)。

通过实例分析证明，这一公式可有效地用于斜坡的稳定性评价。

陈祖煜等[69]系统分析了土力学理论中的极限分析上、下限解，认为边坡稳定极限分析的垂直条分法和斜条分法分别建立于塑性力学下限和上限原理之上，常用的斯宾塞法、Morgenstern-Price法等总在提供一个偏安全的解，同时认为上、下限解的安全系数偏差在3%左右。

如果极限分析的上限解理论能在数学上得到证明，将对工程上一直采用的竖直条分法提出具有深远意义的改进，这对边坡稳定性分析具有更实际的价值。

李小强等[70]依据平衡体系势能变化最小的原理，从整个边坡的势能变化求得一个满足势能的最小位移，并直接
求出滑面上的法向力分布，用此分布可求出合理的安全系数。

陈佳等[71]在危岩体崩塌稳定性极限分析上限法分析中，从变形协调条件出发,通过建立优化的斜分条机动许可速度场,依据外力功率和内能耗散率相平衡的原理以此得到危岩体崩塌的稳定系数。

1.2.3 数值分析法
数值分析方法也是目前岩土力学计算中使用较普遍的分析方法。

它分析边坡稳定的本质是单元离散，即通过计算网格将岩体分成若干个小单元体。

对于二维问题可采用三节点三角形单元、四节点四边形单元等；三维情况主要运用四节点四面体单元、六节点五面体单元、八节点六面体单元等。

离散后，将任一可能滑动面分成若干微段，根据每一微段的方位，通过应力张量变换，运用追踪法或位移法或强度比值法或平面应力投影法来求得相应微段的正应力和切向剪应力，再建立力矩平衡。

该法以土坡在失稳之前伴随的较大变形为依据，将稳定和变形紧密的联系起来。

并考虑到土的非线性本构关系，然后求出每一计算单元的应力及应变，根据不同的强度指标确定破坏区的位置及其扩展情况，并设法将局部破坏和整体破坏联系起来。

求得合适的临界滑裂面位置，最后根据极限平衡法推求整体的稳定性系数。

离散化的思想始终贯穿在这种方法之中，因此，该方法是一种典型的数值
计算方法，一般需要通过岩土工程数值模拟来实现。

应该明确，虽然数值方法在模拟土坡变形破坏机理等方面有着独特的优点，且不需要假定滑动面，但由于土体的不均质性和复杂性，该方法的应用目前仍受到一定的限制。

主要包括有限元法(FEM)、边界元法(BEM)、离散元法(DEM)、快速拉格朗日分析法(FLAC)、块体理论(BT)和数值流形法(NMM)等
1.2.4 随机概率分析法
随机概率分析法在边坡稳定性分析中的出现约在20世纪70年代初, 一方面是由于一些新理论和方法如可靠性理论、模糊数学、灰色预测系统、分形几何、人工智能等的出现；另一方面是由于在边坡工程中涉及的大量不确定性因素越来越被人们认识到, 如岩体性质、荷载等物理方面的不确定性取样、试验的统计不确定性计算模型的不确定性和人为过失造成的不确定性等, 这些不确定性造成的影响尽管通过提高岩石测试和计算技术的精度能在一定程度上减少, 但局部试验的精确性、确定性并不能消除岩石性状宏观判断上的随机性和模糊性, 而且不可能无限度提高单项试验的精度、规模和完善确定性计算方法。

基于对岩体的复杂性和工程的复杂性的认识, 对边坡工程的不确定性和非线性研究已成为当今边坡工程稳定性分析研究的趋势。

边坡稳定性随机概率分析法主要包括可靠性法和模糊分析方法。

可靠性分析引入边坡，通过计算边坡的可靠性指标和破坏概率，充分地反映了各种不确定性因素对边坡的影响情况，能够更全面地体现边坡的稳定情况，避免了安全系数使用过程中的绝对化。

模糊分析方法认为边坡性质及稳定性的界限是不清楚的，具有相当的模糊性，因此可采用模糊理论对边坡稳定性进行研究。

刘明等[72]用模糊划分矩阵与Bayse 方法相结合，给出由小样本试验数据确定岩土参数的概率分布。

模糊理论是应用模糊变换原理和最大隶属度原则，综合考虑被评事物或其属性的相关因素，进而进行等级或级别评价。

该方法难点在于相关因素及各因素的边界值的确定。

1.3 边坡稳定性极限平衡分析法
1.3.1 瑞典条分法
瑞典条分法是由W.Fellenious等人于1927年提出的，也称为费伦纽斯法。

它主要是针对平面问题，假定滑动面为圆弧面。

根据实际观察，对于比较均质的土质边坡，其滑裂面近似为圆弧面，因此瑞典条分法可以较好的解决这类问题。

但该法不考虑各土条之间的作用力，将安全系数定义为每一土条在滑面上抗滑力矩之和与滑动力矩之和的比值，一般求出的安全系数偏低10~20%。

其基本原理如下：
a) 滑动面上的力和力臂b)土条上的力
图4.1 瑞典条分法计算简图
如图4.1所示边坡，取单位长度土坡按平面问题计算，设可能的滑动面是一圆弧AD，其圆心为O，半径为R。

将滑动土体ABCD分成许多竖向土条，土条宽度一般可取b=0.1R，作用在土条i上的作用力有(见图4.1)：①土条的自重W i，其大小、作用点位置及方向均已知。

②滑动面ef上的法向反力N i及切向反力T i，假定N i、T i作用在滑动面ef的中点，他们的大小均未知。

③土条两侧的法向力E i、E i+1及竖向剪切力X i、X i+1，其中E i和X i可由前一个土条的平衡条件求得，而E i+1和X i+1的大小未知，E i的作用点也未知。

可以看出，土条i的作用力中有5个未知数，但只能建立3个平衡条件方程，故为静不定问题。

为了求得N i、T i的值，必须对土条两侧作用力的大小和位置做出适当假定。

瑞典条分法是不考虑土条两侧的作用力，也即假设E i和X i的合力等于E i+1和X i+1的合力，同时它们的作用线重合，因此土条两侧的作用力相互抵消。

这时，土条i仅有作用力W i、N i及T i，根据平衡条件可得：
cos i i i N W α= (4.1)
sin i i i T W α= (4.2)
滑动面ef 上土的抗剪强度为：
11tan (tan )(tan )i i i i i i i i i i i i
c N c W c l l τσϕϕϕ=+=+=+ (4.3)
式中：i α—土条i 滑动面的法线(亦即圆弧半径)与竖直线的夹角；
i l —土条i 滑动面ef 的弧长；
i c 、i ϕ—滑动面上土的粘聚力及内摩擦角。

土条i 上的作用力对圆心O 产生的滑动力矩M s 及稳定力矩M r 分别为：
sin s i i i M T R W R α== (4.4) 整个土坡相应于滑动面AD 的稳定性系数为：
11(cos tan )sin n i i i i i i r s n s i
i i W c l M F M W αϕα==+==∑∑ (4.5)
1.3.2 Bishop 法
瑞典条分法作为条分法中的最简单形式在工程中得到了广泛运用，但实践表明，该方法计算出的安全系数偏低。

实际上，若不考虑土条间的作用力，则无法满足土条的稳定。

随着边坡分析理论与实践的发展，许多学者致力于条分法的改进。

毕肖普(A.W.Bishop, 1955)提出了安全系数的普遍定义，将土坡稳定安全系
数F s 定义为各分条滑动面抗剪强度之和τf 与实际产生的剪应力之和τ之比，即
s f F ττ
= (4.6) 这不仅使安全系数的物理意义更加明确，而且使用范围更为广泛，为以后非圆弧滑动分析及土条分界面上条间力的各种假定提供了有利条件。

Bishop 法假定各土条底部滑动面上的抗滑安全系数均相同，即等于整个滑动面的平均安全系数，取单位长度边坡按平面问题计算，如图4.2所示。

设可能的滑动圆弧为AC ，圆心为O ，半径为R 。

将滑动土体分成若干土条，取其中的任何一条(第i 条)分析其受力情况，土条圆弧弧长为l i 。

土条上的作用力如瑞典条分法，其中孔隙水压力u i l i 。

O
a)滑动面上的力和力臂 b)土条上的力
图4.2 Bishop 法计算简图
对i 土条竖向取力的平衡得：
0cos )(sin =+'--∆+i i i i i fi i i l u N T X W αα (4.7)
式中：fi T —土条i 底面的抗剪力；
i N '—土条i 底面的有效法向反力；
i X ∆—作用土条两侧的切向力差。

当土体尚未破坏时，土条滑动面上的抗剪强度只发挥了一部分，若以有效应力表示，由Mohr-Coulomb 准则，得土条滑动面上的抗剪力为
s
i i s i i s i fi fi F N F l c F l T ϕτ''+'==
tan (4.8) 式中：i c '—土条i 有效粘聚力； i ϕ'—土条i 有效内摩擦角。

代入式(3.7)，可解得i N '为
)sin (1i s i i i i i i i F l c l u X W m N i αα'--∆+=
(4.9) 式中)tan tan 1(cos s
i i i F m αϕαα'+= 然后就整个滑动土体对圆心O 求力矩平衡，此时相邻土条之间侧壁作用力的力矩将相互抵消，而各土条的N i 及u i l i 的作用线均通过圆心，故有
0=-∑∑R T x W fi i i (4.10)
由以上各式可得
[]
∑∑'∆+-+'=i
i i i i i i i s W X l u W b c m F i
αϕαsin tan )(1 (4.11) 此为Bishop 条分法计算边坡稳定安全系数的普遍公式，Bishop 证明，若忽略土条两侧的剪切力，所产生的误差仅为1%，由此可得到安全系数的新形式
[]∑∑'-+'=
i
i i i i i i s W l u W b c m F i
αϕαsin tan )(1
(4.12)
与瑞典条分法一样，对于给定滑动面对滑动体进行分条，确定土条参数。

由于式中αm 也含有F s 值，故需要迭代求解。

首先假定一个安全系数F s =1，求出αm 后代入计算公式得出安全系数F s ，若计算的F s 与假定的F s 不等，则重新计算，知道前后两次F s 值满足所要求的精度为止。

通常迭代3～4即可求得合理的安全系数。

1.3.3 Janbu 法
在实际工程中常常会遇到非圆弧滑动面的突破稳定分析，如土坡下面有软弱夹层，或土坡位于倾斜岩层面上，滑动面形状受到夹层或硬层影响而呈现非圆弧形状。

此时若采用前述圆弧滑动面法分析就不适应。

下面介绍N. 扬布（Janbu ，1954，1972）提出的非圆弧普通条分法(GPS)，也称为简布法。

如图4.3所示土坡，滑动面任意，划分土条后，其假定：①滑动面上的切向力T i 等于滑动面上土所发挥的抗剪强度τfi , 即T i =τfi l i =(N i tan φi +c i l i )/F s ; ②土条两侧法向力E 的作用点位置为已知，且一般假定作用于土条地面以上1/3高度处。

分析表明，条间力作用点的位置对土坡稳定安全系数影响不大。

X E i
i
i+1
a)滑体示意图 b)土条上的力
图4.3 Janbu 法条分法的计算简图
取任一土条如上图所示，h ti 为条间力作用点的位置，αti 为推力线与水平线的夹角。

需求的未知量有：土条底部法向反力N i (n 个)；法向条间力之差△E i (n 个)；切向条间力X i (n -1个) 及安全系数F s 。

可通过对每一土条力和力矩平衡建立3n 个方程求解。

对每一土条取竖向力的平衡，则
i fi i i i i T X W N ααsin cos -∆+=
或者
i fi i i i i T X W N ααtan sec )(-∆+= (4.13)
再取水平向力的平衡，有
i fi i i i T N E ααcos sin -=∆=i fi i i i T X W ααsec tan )(-∆+ (4.14)
由图4.3可以看出土条条块侧面的法向力E ，显然有11E E ∆=，2
12E E E ∆+∆=依次类推，有：
∑=∆=n
i i i E E 1
(4.15)
对土条中点取力矩平衡，并略去高价微量，则
i ti ti i i i i E h b E b X ∆+-=αtan
或者
i i ti i t i i b E h E X /tan ∆+-=α (4.16)
再由整个土坡0=∑i E 可得
0sec tan )(=-∆+∑∑i fi
i
i
i
T
X W αα (4.17)
根据安全系数的定义和摩尔-库伦破坏准则
s
i
i i i i s
i
fi fi F N b c F l T ϕατtan sec +=
=
(4.18)
联合求解式(4.13)及式(4.18)，得
i
m X W b c F T i i i i i s fi αϕ1
)
tan )((1∆++=
(4.19) 式中：)tan tan 1(cos s
i i i F m i αϕαα+
= 将式(4.19)代入式(4.17)，得
i
i
i i i i i s X W
X W b c m F i
αϕαsin )()
tan )((1
∑∑∆+∆++=
(4.20)
显见，Janbu 法中边坡稳定安全系数的求解仍需采用迭代法，可按以下步骤进行；
(1) 先设0=∆i X (相当于简化的毕肖普总应力法)，并假设F s =1，算出i m α代入
式(4.20)求得F s ，若计算F s 值与假定值相差较大，则由新的F s 值再求i m α和
F s ，反复逼近至满足精度要求，求出F s 的第一次近似值。

(2) 将0=∆i X 和F s 的第一次近似值代入由式(4.19)求出相应的fi T ；再由式(4.14)，求相应的i E ∆。

(3) 用式(4.15) ∑=∆=n
i i i E E 1分别求条块间的法向力。

(4) 将i E 和i E ∆代入式(4.16)求得i X 及i X ∆。

(5) 用新求的i X ∆重复步骤1，求出F s 的第二次近似值，并以此值重复上述计算每一土条的fi T 、i E ∆、i X ∆，直到前后计算的F s 值达到某一要求的计算精度ε。

简布条分法可以满足所有的静力平衡条件，但推力线的假定必须符合条间力的合理要求(即满足土条间不产生拉力和剪切破坏)。

目前在国内外应用较广，但也必须注意，在某些情况下，其计算结果又可能不收敛。

边坡真正的安全系数还要计算很多滑动面．进行比较，找出最危险的滑动面．其安全系数才是真正的安全系数。

工作量相当浩繁。

一般要编成程序在计算机上计算。

1.3.4 郎畏勒法
对于任意形状的滑动面，如图4.4所示，在这个滑动面上各点的曲率半径不同。

郎畏勒法根据毕肖普(Bishop)法的原理推导出了适用于任意形状滑动面的边
坡稳定性安全系数计算公式。

a)滑动面上的力和力臂 b)条块上的作用力
图4.4 郎畏勒法计算简图
郎畏勒法假定一个任意指定的极点O ，滑动面上各作用力绕点O 的抵抗力矩应当等于滑动体自重W i 和各土条上外荷载P i 引起的滑动力矩，即
u i fi i i i i i i a d a T f N y P x W 2
2
1)(+
+=+∑∑∑ (4.21) 式中：x i ，y i ，a u 分别为土条W i 、P i 及静水压力对的极点O 力臂。

W i 水位线以下的条块取浮重，水位以上取土的天然重量。

又由Mohr-Coulomb 准则可得
s
i i i i s i i s
i
fi fi F l u N F l c F l T ϕτ'
-+'=
=
tan )
( (4.22) 将式(4.22)代入式(4.21)得
[]∑∑∑--+'-+'=
u
i i i i i i i
i i i i i
i s a d f N y P x W a l u N l
c F 2
21)(tan )(ϕ (4.23) 取土条竖向力的平衡，有
i i w i i i i z b X X W P γψ+-+++)(cos 1
[]i i i i i s
i i i i i i i w N l c F l u N z l αϕααγsin tan 1
cos )(cos ''+'+
+'+= (4.24) 式中：γw 为水的重度，i N '=i i i l u N -为土条滑弧底面有效法向力
从式(4.24)可得到条块滑弧底面有效法向力i N '
i
a i i s
i i i i i i i i m b F c b u X X W P N αψtan )(cos 1'
---++=
'+ (4.25)
式中：s
i
i i F m i αϕααtan tan cos '+
=
将式(4.25)代入式(4.23)可得
[]∑∑∑⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡'-'+∆++-+'-∆+++'=
i
i
a i
s i i i i i i i i i i i i i i a i
i
i i i i i i i i s m f F b c l u X W P y P x W m a l u X W P l c F αϕψϕψtan )tan (cos )(tan )cos ( (4.26)
式中：1+-=∆i i i X X X ，如果是圆弧滑动面的话，就变成了Bishop 法。

考虑滑动土体的整体平衡有
⎪
⎭
⎪
⎬⎫-=-=-∑∑++202
1
1
d E E X X w
i i
i i
γ (4.27)
由平行于土条底面的斜面力的平衡，有
i i i w i i i i i i i i i fi z b X W P E E P αγψαψτsin )cos (cos )cos (1+∆+++-+=+ (4.28)
从而
i i i w i i i
i i i
i fi i i z b X W P E E αγααψατtan )(cos )
sin(sec 1-∆+-++=-+ (4.29)
联立式(4.22)、式(4.23)和式(4.26)可得
[][]s
i i i i i i i i i s fi F m m b u X W P b c F i ='-∆+++'=
αϕψτ1tan )cos (1
(4.30) 式中：[][]
i
m b u X W P b c m i i i i i i i i i αϕψ1
tan )cos ('-∆+++'= 将式(4.30)和式(4.29)代入式(4.27)，可得
[]0tan )(cos )
sin(sec =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∆+++-∑i i i i i i i i s X W P F m αααψα (4.31)
如同毕肖普方法一样。

实践表明，如令X i －X i +1=0，计算误差不大，而计算方法大为简化。

从而由(4.26)可得
=-=
1
23
Q Q Q F s
[][]∑∑∑⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡''-'++-+'-++'i
i
a i
s
i
i i i i i i i i i i i i a i
i
i i i i i i i m f F b c l u W P x W y P m a l u W P b c αϕψϕψtan )tan (cos tan )cos ( (4.32)
1.3.5 Spencer 法
斯宾塞(Spencer ，1967)法是E.Spencer 提出的一种极限平衡分析法。

假定任意滑动面，且E i 与 X i 之间有一个固定的常数关系，即各条间的合力方向相互平行，从而减少了n -1个未知量。

θtan 1
1
==++i i i i E X E X (4.33) 如图4.5所示，根据垂直土条底部方向力的平衡，有
1()sin()cos 0i i i i i i N P P W αθα++---= (4.34)
再根据土条底部方向力的平衡，有
1()cos()cos 0fi i i i i i T P P W αθα++---= (4.35)
i +1
F 1
F
a)条块上的作用力 b)求解简图
图4.5 Spencer 法分条上的作用力
当土体尚未破坏时，土条滑动面上的抗剪强度只发挥了一部分，若以有效应力表示，由Mohr-Coulomb 准则，可得土条滑动面上的抗剪力为
s
i i i i s i i fi F l u N F l c T ϕ'
-+'=
tan )( (4.36) 上列各式整理后有
'1'
sec sin tan cos()[1tan()]
i i
i i i s
i i i
i i s
c l m W F P P F ααϕαθαθ++--=-+- (4.37) 其中，'
tan (cos sec )i i i i i i s
m W u b F ϕαα=-
其次，对整个滑动土体来说，为了保持整个滑动土体的平衡，必有力的平衡方程，即
1
1()cos 0()sin 0i i i
i P P P P
θθ++⎫-=⎪
⎬-=⎪⎭
∑∑ (4.38)
因为θ是一个常数，sin θ和cos θ不可能为0，因此式(3.38)实际上是同一个
平衡条件，即
1
()0i
i P P
+-=∑ (4.39)
同样，对整个滑动土体，还必须满足力矩平衡条件，即
1
()cos()0i
i i i P P
R αθ+--⋅=∑ (4.40)
式中：R i 为各土条底部中点离转动中心的距离。

如果取滑动面为圆柱面，R i 即为圆弧半径，而且对所有土条都是常数，因此上式可写成
1
()cos()0i
i i P P
αθ+--=∑ (4.41)
将式(4.37)分别代入式(4.39)和(4.41)，可得
''
1
sec sin 0tan cos()[1tan()]
i i
i i i
n
s
i i i i s
c b m W F F ααϕαθαθ=+-=-+-∑ (4.42) ''
1sec sin 0tan [1tan()]
i i
i i i
n
s
i i i s
c b m W F F ααϕαθ=+-=+-∑ (4.43) 当土坡的几何形状及滑动面已定，同时土质指标又已知时，只有θ和F s 两个未知数。

用式(4.42)与(4.43)可以求出两个未知数F s 和θ，斯宾塞法具体步骤如下：
(1) 任选滑动面，划分土条，量得各土条的高h i 及条底倾角αi 。

(2) 选若干θ，由式(4.42)和式(4.43) 分别求出F sf (满足力平衡方程的F s )和
F sm (满足力矩平衡方程的F s )。

(3)作出F sf－θ及F sm－θ曲线，如图4.5所示，两条曲线的交点为两式均满
足的F s和θ。

(4)再以此F s和θ代入式(4.37)，可从上往下逐条求出条间力的合力、方向力、
剪切力，然后根据分界面上土的抗剪强度指标，求出抗剪安全系数F v和
条间力作用点的位置(可对条底中点求矩而得)，作为检验。

(5)重新假定滑动面，重复上述步骤，从中求得F s, min。

1.3.6 其他方法
1.3.6.1 Morgenstern-Price法
Morgenstern-Price法对任意曲线形状的滑裂面进行分析，推导出了既满足力平衡又满足力矩平衡条件的微分方程，是国际公认的最严密的边坡稳定性分析方法。

虽获得了数学形式上的严格，但计算起来很不方便，一些学者对其进行了改进，陈昌富[67]在他们的基础上，不改变其基本假定，建立了便于计算的非微分形式的Morgenstern-Price法。

如图4.6所示，作用在土条上的作用力有：①土条的自重W i。

②条块底面的法向反力N i、抗剪力T fi及孔隙水压力u i l i。

③土条两侧的法向力E i、E i+1及竖向剪切力X i、X i+1。

④土条重心作用着水平地震惯性力KG i，K 称为地震加速度。

-可编辑修改-
a)滑动面上的力和力臂 b)条块上的作用力
图4.6 Morgenstern-Price 法计算简图
取土条底面切向力的平衡，有
i i i i i i i i i i i i fi E E KW P X X W P T αψαψcos )sin (sin )cos (11++-+++-++= (4.44) 根据安全系数的定义和摩尔-库伦破坏准则
s
i i i i s i i fi F l u N F l c T ϕ'
-+'=
tan )( (4.45) 取土条底面法向力的平衡，有
i i i i i i i i i i i i i E E KW P X X W P N αψαψsin )sin (cos )cos (11++-+++-++= (4.46)
在Morgenstern-Price 法中，假定各条块之间的条间力E 和X 存在以下函数关系：
E x f X )(λ= (4.47)
式中：λ为任意常数；f (x )为条间力函数，它与边坡坡面形状和滑动面形态有关，当f (x )为常数，即为Spencer 法；如取f (x )=0，即为Bishop 法。

其中x 为线性
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归一化后滑动体水平方向的坐标。

联立式(4.44)～式(4.47)，最终可得条间力E 的递推公式
i
i i i
i i i i i i i i i i i i i B f A D P C K A B G E B f A B f A E 111)(+++++-++++=
λλλ i =1,2, …,n (4.48)
式中：i s
i i i F A αϕαsin tan cos '
+
=，i s i i i F B αϕαcos tan sin '-= )cos(tan )sin(i i s i i i i F C αψϕαψ-'+
-=，i
s i
i i i i i F b c l u D αϕcos tan '-'= 若定义条间力矩为条间力对条间界面与滑动面的交点的力矩，从而可得条间力矩为
⎩⎨
⎧==+++1
11i i i i
i i z E M z E M (4.49) 因而得条间力矩递推公式
i i i i i i i i i i i i i i i i i h P h KW E f b E f b M M ψλαλαsin 2
1
)(tan 2)(tan 2111-+-+-+
=+++(4.50) 由式(4.48)和式(4.50)可得一非线性方程组，未知量为λ和F s ，解此方程组便可解得安全系数F s 。

求解上述方程组应满足边界条件
⎩⎨
⎧======++b
b b n b n a
a a a z E M M E E z E M M E E 1111,, (4.51) 式中：E a ，E
b ，M a ，M b 分别为端部条间力和力矩。

这样，式(4.48)和式(4.50)组成的方程组可简化为如下形式
⎩⎨
⎧=-==-=++0
),(0
),(1211b n s b n s M M F g E E F g λλ (4.52)
其中，E n+1和M n+1分别称为不平衡推力和不平衡力矩，分别由式(4.48)和(4.50)递推求得。

方程组(4.52)只含有λ和F s，可利用Newton-Raphson法求解。

1.3.6.2 Sarma法
Sarma法(萨尔玛法)取用了一个在每土条的重心作用的水平地震惯性力系数K来判断边坡稳定性的安全系数。

Sarma法假想在每一土条重心作用着一个水平地震惯性力KW i，由于它的作用，使滑裂面恰好达到极限状态，也就是使滑裂面上的稳定安全系数F s=1，此时水平地震加速度K称为临界地震加速度，以K c 表示。

K c作为判断土坡稳定程度的一个标准。

当实际的K>K c时，即为F s<1，反之，F s<1。

同时，Sarma法还在假定沿两相邻土条的垂直分界面，所有平行于土条底面的斜面均处于极限平衡状态这个前提下，推导出切向条间力X的分布，从而使超静定问题变成静定的。

1.3.6.3 不平衡推力法
递系数法，是我国工程技术人员创造的一种
实用滑坡稳定分析方法。

该法适用于计算折
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线形滑面及当遇到有软弱夹层问题时，如在半填半挖路基中，填方部分一般顺山势填筑，山坡面即为交接面，山坡剖面通常为折线形。

如图4.7所示，边坡的坡面和滑动面均为任意形状，假定条间力的合力作用方向与上一土条的底面相平行，其作用点位于土条相邻分界面的中点。

然后根据平行于土条底面和垂直于土条底面两个方向的合力等于零以及最前缘一块的剩余推力为零进行求解，滑动面的破坏服从Mohr-Coulomb 准则。

但分析只满足静力平
衡条件，但是不满足力矩平衡条件。

先由垂直于条底方向上力的平衡条件有
0)sin(cos 11=-----i i i i i i P W N ααα (4.53)
再由垂直于条底方向上力的平衡条件有
0)cos(cos 11=---+--i i i i i i i P W P N ααα (4.54)
又因
''
tan ()
i i i fi i i i s s
c l T N u l F F ϕ=+- (4.55) 由式(4.53)、式(4.54)、式(4.55)、消去N i 、fi T ，得到满足力极限平衡得方程为
i i s i i i i i s i i i i i P F l u W F l c W P ψϕαα1tan )cos (sin -+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'-+'-= (4.56)
式中：i ψ—传递系数，)sin(tan )cos(11i i s
i i i i F ααϕααψ-'
-
-=--； 图4.7 不平衡推力法分条上的作用力
-可编辑修改-
i P —净剩滑力，i 条以i P 作用于(i +1)条，推动第(i +1)条下滑，i P 在土条界
面上作为滑体内力，总是成对出现的，其方向一般指向界面为正，背向界面为负。

对于上面的计算公式通常有两种解法，即强度储备法和超载法，又称不平衡推力法和简化不平衡推力法，在此只介绍工程上常用的简化法，也就是在目前的《岩土工程勘察规范》(GB 50021-2001)等推荐使用的方法。

[]i i i i i i i i i i i s i P l u W l c W F P ψϕαα1tan )cos (sin -+'-+'-= (4.57)
计算中，当P i 为负值时，下一条计算时取P i-1=0(因为条间不承受拉力)。

计算时，可假设一个F s ，由上向下逐条计算P n ，如P n ≠ 0，可再假设F s ，重新计算
P n ，直至P n =0，得到与其相应的F s 。

不平衡推力法没有考虑力矩平衡，且P i 的方向是硬性规定的，当滑动面坡度较大时，不宜应用。

1.4 极限平衡理论边坡稳定性分析方法的比较
基于极限平衡理论基础上的边坡稳定性分析方法，从起初应用的“简化方法”到后来发展起来的“通用方法”，历经数十年，经过众多专家学者的努力，理论已比较完善。

各种分析方法根据条间力作用点和作用方向的不同假定，得到相应的安全系数表达式，其各自的特点如表4.1。

表4.1 极限平衡理论边坡稳定性分析方法基本条件的比较
分析方法
满足平衡条件 条间力的假定
滑面形状
力的平衡
力矩平衡。