求解连续函数优化问题的改进蚁群算法及仿真
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第 21 卷第 6 期 2009 年 3 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 6 Mar., 2009
求解连续函数优化问题的改进蚁群算法及仿真
周建新，杨卫东，李 擎
(北京科技大学信息工程学院, 北京 100083)
摘 要：蚁群算法是近几年优化领域中新出现的一种启发式仿生类并行智能进化算法，该算法采用
若蚂蚁k在本次循环 中经过城市i和城市j
(4)
⎪
⎪⎩ 0
否则
其中：Q 为常数， Lk 为蚂蚁 k 在本次循环中所行走路径的 总长度，在式(1)中， α 表示蚂蚁在行进过程中所积累的信 息素对它选择路径所起的作用程度，ηij 表示由城市 i 转移到 城市 j 的期望程度，可根据某种启发算法而定，例如，可以
τ
α ir
(t
)ηiβr
(t
)
j ∈Tablek
(1)
⎪
⎪⎩
0
否则
其中 Tablek 表示蚂蚁 k 下一步允许行进的城市集合，它随蚂 蚁 k 的行进过程而动态改变。信息素强度 τij (t) 随时间的推 移会逐步消逝，用 ρ 表示它的消逝程度。ηij (t) 为启发函数， 其表达式如下：
ηij (t)
9
p(a,b)
=
τ
k ab
/(
∑
τ
k ay
)
(6)
y=0
其中，p(a,b) 表示从当前城市 a 转移到下一层的城市 b 的概率。 蚂蚁在城市上建立路径的过程中，要不断地在经过的路
径上按公式(7)减弱上面残留的信息，这样可以减小下一只蚂 蚁选择同样路径的概率，除非经过多次循环后已确定一条极
优的路径，这个过程叫做残留信息的局部更新。本文采用文
取 ηij = 1/ dij ， β 表示 ηij 的作用。当 α = 0 时，算法就是传 统的贪心算法，而当 β = 0 时，算法就成了纯粹的正反馈的 启发式算法。可以用试验的方法确定参数 α ， β 的最优组
合。在经过若干次循环以后，可以根据适当的停止条件来结
束计算。
2 连续空间寻优的改进蚁群算法
数寻优问题的改进蚁群算法；Dreo J 等提出了一种基于密集 非递阶的连续交互式蚁群算法；Pourtakdoust S H 等提出了 一种仅依赖信息素的连续域蚁群算法；陈烨等提出的用于连 续优化的蚁群算法等。本文对应用蚁群算法求解连续空间优 化问题作了一些探索性研究，对基本蚁群算法作了一系列改 进，对信息素更新方式进行了优化，采用动态局部信息素更 新方式和自适应调节信息素挥发的全局信息素更新方式相 结合，并将各条寻优路径上可能的残留信息素数量限制在一 个最大最小区间，使其能在较大搜索空间条件下避开局部最 优解，提高收敛速度，在全局优化的实现过程中能够比较迅 速地找到连续空间优化问题的全局最优解。
导, 研究方向为控制理论在生产过程控制中的应用, 智能控制; 李擎
(1975-), 男, 河北唐山人, 副教授, 研究方向为控制理论与应用。
城市，n 只蚂蚁，采用 dij (i, j = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, m) 表示城市 i 和城市 j 之间的距离， τij (t) 表示在时刻 t 城市 i 和城市 j 之间的路径 上的残留信息素强度，以此来模拟实际蚂蚁的分泌物。蚂蚁 k 在行进过程中，根据各条路径上的信息素强度来决定下一
1 基本蚁群算法
以 TSP 问题为例说明基本蚁群算法的框架。设有 m 个
收稿日期：2007-11-09
修回日期：2008-05-09
基金项目：国家高技术产业化专项项目 (2005-1)
作者简介：周建新(1977-), 男, 辽宁沈阳人, 博士, 研究方向为控制理论
wenku.baidu.com
与应用、复杂系统过程控制; 杨卫东(1952-), 男, 辽宁沈阳人, 教授, 博
Abstract: Ant colony algorithm is a novel category of bionic meta-heuristic algorithm and parallel computation and positive feedback mechanism are adopted in this algorithm. The ant colony algorithm has strong robustness and easy to combine with other methods in optimization. Although the ant colony algorithm for the heuristic solution of discrete space optimization problems enjoys a rapidly growing popularity, but few are reported for the heuristic solution of continuous space optimization problems. Based on the introduction of the mechanism and mathematical model of basic ant colony algorithm, the pheromone updating rules were improved. The dynamic local pheromone updating rule and the adaptive global pheromone updating rule were combined. In order to enhance the global convergence performance of the improved ant colony algorithm, meeting search strategy was adopted in the improved ant colony algorithm, and the range of possible pheromone trails on each solution component was limited to a maximum—minimum interva1. The numerical simulation results demonstrate that the improved ant colony algorithm can find better global solution for continuous space optimization problems and this new algorithm presents a feasible and effective way to solve various continuous space optimization problems. Key words: ant colony algorithm; continuous space optimization; pheromone; traveling salesman problem (TSP)
Improved Ant Colony Algorithm and Simulation for Continuous Function Optimization
ZHOU Jian-xin, YANG Wei-dong, LI Qing
(Institute of Information Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)
最差路径上的信息量需要适当抑制蚁群算法中的正反馈，在
搜索的初始阶段加入少量负反馈信息量，以减小局部最优解
与最差解对应路径上的信息素的差别，扩大算法的搜索范
围；在过程中间，φ (t) 适当的增大，以保证搜索速度；过程 的最后，路径基本确定，这时 φ (t) 继续加大，使算法迅速收 敛。
⎧⎪−0.0001, ⎪
x
∈[1,
N 5
]
φ
(
x)
=
⎪ ⎪⎪ ⎨
y1,
x
∈
(
N 5
,
N 3
)
(8)
⎪ ⎪
y2
,
x
∈
(
N 3
,
4N 5
)
⎪ ⎪ ⎪⎩
y3
,
x
∈
(
4N 5
,
N
)
x 为本次迭代的次数，N 为总迭代次数。 当所有蚂蚁都按上面的步骤完成了一次循环，这时就对
路径上的信息进行全局更新。文献[3]中提出的算法只对最好 路径上的信息素进行加强，减小了蚂蚁选择城市的随机性，
• 1685 •
第 21 卷第 6 期 2009 年 3 月
系统仿真学报
Vol. 21 No. 6 Mar., 2009
步所行进的路径，采用 pikj (t) 表示在时刻 t 蚂蚁 k 由城市 i
转移到城市 j 的概率，则有：
⎧
τ
α ij
(t
)ηiβj
(t
)
∑ ⎪
pikj
(t )
=
⎪ ⎨
r∈Tabelk
=
1 dij
(2)
式中，dij 表示相邻两个城市之间的距离。对蚂蚁 k 而言，dij 越小，则ηij (t) 越大， pikj (t) 也就越大。
为避免残留信息素过多引起残留信息淹没启发信息，在
每只蚂蚁走完一步或者完成对所有 n 个城市的遍历后，对残
留信息素进行更新处理。
τij (t + 1) = (1 − ρ) ⋅τij (t) + Δτij
对解空间的划分方式参考文献[3]。若蚂蚁 n 当前所在的
城市为 T (n, k −1) = a ，根据如下公式选择每只蚂蚁下一步应
该到达的城市：
T
(n, k )
=
⎧arg ⎨
max{τ
akb }
如果 q < Q0
(5)
⎩
Sr
否则
其中，q 为随机数， Q0 是一个[0，1]上的常数，用于确定伪 随机选择的概率； Sr 表示用伪随机选择来确定下一步要走 的城市，也就是根据下式计算选择下一层中要走的城市。
(3)
m
其中： Δτ ij
=
∑ Δτ
k ij
k =1
ρ
为信息素挥发系数，取值范围为：ρ
⊂
[0,1)
，Δτ
k ij
表
示蚂蚁 k 在本次循环中在城市 i 和城市 j 之间的路径上留下
的信息素，其计算方法可以根据计算模型而定，在最常用的
Ant Circle System 模型中：
⎧Q
Δτ ij
=
⎪⎪ Lk ⎨
引 言1
蚁群算法(ant colony algorithm)是一种基于种群的启发 式仿生类并行智能进化算法[1]。蚁群算法最早成功应用于解 决 NP 难题中著名的旅行商问题(traveling salesman problem， 简称 TSP)。由于它采用分布式并行计算机制，易于与其它 方法结合，具有较强的鲁棒性[2]，最近几年蚁群算法开始引 起了国内外专家学者的关注，近些年公开发表的研究成果已 显示出蚁群算法在求解离散空间优化问题方面的强大优越 性。蚁群算法在求解连续空间优化问题方面的研究相对较 少，主要有 Bilchev G A 等最早提出了一种结合遗传算法的 蚁群算法；高尚等提出了一种基于网格划分策略的连续蚁群 算法；Wang L 等将离散域蚁群算法中的“信息量留存”过程 拓展为连续域中的“信息量分布函数”并定义了用于连续函
分布式并行计算和正反馈机制，易于与其它方法结合，目前虽然已经在离散空间优化领域中得到了广
泛应用，但是在求解连续空间优化问题方面的研究相对较少。在介绍基本蚁群算法机制原理和数学模
型的基础上，对信息素更新方式进行了改进，采用动态局部信息素更新方式和自适应调节信息素挥
发的全局信息素更新方式相结合，并将各条寻优路径上可能的残留信息素数量限制在一个最大最小
区间，以提高改进后蚁群算法的全局收敛性能。仿真实验表明，提出的改进蚁群算法能更快地找到
连续空间优化问题更优良的全局解，从而为蚁群算法求解这类问题提供了一条可行有效的新途径。
关键词：蚁群算法；连续空间优化；信息素；旅行商问题
中图分类号：TP301.6
文献标识码：A
文章编号：1004-731X (2009) 06-1685-04
献[9]提出的]自适应信息素全局更新方式，将其稍做修改用 于局部信息素更新。
信息素的更新方式采取动态更新方式。在每一次迭代
中，信息素按下式进行局部更新：
τ (i, j) = (1 − ξ ) ⋅τ (i, j) + ξ ⋅φ(x)
(7)
其中 φ (t) 是一个随迭代次数的增加而变化的函数，在搜索过 程的起始阶段，为了避免陷入局部最优解，缩小最优路径和
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 6 Mar., 2009
求解连续函数优化问题的改进蚁群算法及仿真
周建新，杨卫东，李 擎
(北京科技大学信息工程学院, 北京 100083)
摘 要：蚁群算法是近几年优化领域中新出现的一种启发式仿生类并行智能进化算法，该算法采用
若蚂蚁k在本次循环 中经过城市i和城市j
(4)
⎪
⎪⎩ 0
否则
其中：Q 为常数， Lk 为蚂蚁 k 在本次循环中所行走路径的 总长度，在式(1)中， α 表示蚂蚁在行进过程中所积累的信 息素对它选择路径所起的作用程度，ηij 表示由城市 i 转移到 城市 j 的期望程度，可根据某种启发算法而定，例如，可以
τ
α ir
(t
)ηiβr
(t
)
j ∈Tablek
(1)
⎪
⎪⎩
0
否则
其中 Tablek 表示蚂蚁 k 下一步允许行进的城市集合，它随蚂 蚁 k 的行进过程而动态改变。信息素强度 τij (t) 随时间的推 移会逐步消逝，用 ρ 表示它的消逝程度。ηij (t) 为启发函数， 其表达式如下：
ηij (t)
9
p(a,b)
=
τ
k ab
/(
∑
τ
k ay
)
(6)
y=0
其中，p(a,b) 表示从当前城市 a 转移到下一层的城市 b 的概率。 蚂蚁在城市上建立路径的过程中，要不断地在经过的路
径上按公式(7)减弱上面残留的信息，这样可以减小下一只蚂 蚁选择同样路径的概率，除非经过多次循环后已确定一条极
优的路径，这个过程叫做残留信息的局部更新。本文采用文
取 ηij = 1/ dij ， β 表示 ηij 的作用。当 α = 0 时，算法就是传 统的贪心算法，而当 β = 0 时，算法就成了纯粹的正反馈的 启发式算法。可以用试验的方法确定参数 α ， β 的最优组
合。在经过若干次循环以后，可以根据适当的停止条件来结
束计算。
2 连续空间寻优的改进蚁群算法
数寻优问题的改进蚁群算法；Dreo J 等提出了一种基于密集 非递阶的连续交互式蚁群算法；Pourtakdoust S H 等提出了 一种仅依赖信息素的连续域蚁群算法；陈烨等提出的用于连 续优化的蚁群算法等。本文对应用蚁群算法求解连续空间优 化问题作了一些探索性研究，对基本蚁群算法作了一系列改 进，对信息素更新方式进行了优化，采用动态局部信息素更 新方式和自适应调节信息素挥发的全局信息素更新方式相 结合，并将各条寻优路径上可能的残留信息素数量限制在一 个最大最小区间，使其能在较大搜索空间条件下避开局部最 优解，提高收敛速度，在全局优化的实现过程中能够比较迅 速地找到连续空间优化问题的全局最优解。
导, 研究方向为控制理论在生产过程控制中的应用, 智能控制; 李擎
(1975-), 男, 河北唐山人, 副教授, 研究方向为控制理论与应用。
城市，n 只蚂蚁，采用 dij (i, j = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, m) 表示城市 i 和城市 j 之间的距离， τij (t) 表示在时刻 t 城市 i 和城市 j 之间的路径 上的残留信息素强度，以此来模拟实际蚂蚁的分泌物。蚂蚁 k 在行进过程中，根据各条路径上的信息素强度来决定下一
1 基本蚁群算法
以 TSP 问题为例说明基本蚁群算法的框架。设有 m 个
收稿日期：2007-11-09
修回日期：2008-05-09
基金项目：国家高技术产业化专项项目 (2005-1)
作者简介：周建新(1977-), 男, 辽宁沈阳人, 博士, 研究方向为控制理论
wenku.baidu.com
与应用、复杂系统过程控制; 杨卫东(1952-), 男, 辽宁沈阳人, 教授, 博
Abstract: Ant colony algorithm is a novel category of bionic meta-heuristic algorithm and parallel computation and positive feedback mechanism are adopted in this algorithm. The ant colony algorithm has strong robustness and easy to combine with other methods in optimization. Although the ant colony algorithm for the heuristic solution of discrete space optimization problems enjoys a rapidly growing popularity, but few are reported for the heuristic solution of continuous space optimization problems. Based on the introduction of the mechanism and mathematical model of basic ant colony algorithm, the pheromone updating rules were improved. The dynamic local pheromone updating rule and the adaptive global pheromone updating rule were combined. In order to enhance the global convergence performance of the improved ant colony algorithm, meeting search strategy was adopted in the improved ant colony algorithm, and the range of possible pheromone trails on each solution component was limited to a maximum—minimum interva1. The numerical simulation results demonstrate that the improved ant colony algorithm can find better global solution for continuous space optimization problems and this new algorithm presents a feasible and effective way to solve various continuous space optimization problems. Key words: ant colony algorithm; continuous space optimization; pheromone; traveling salesman problem (TSP)
Improved Ant Colony Algorithm and Simulation for Continuous Function Optimization
ZHOU Jian-xin, YANG Wei-dong, LI Qing
(Institute of Information Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)
最差路径上的信息量需要适当抑制蚁群算法中的正反馈，在
搜索的初始阶段加入少量负反馈信息量，以减小局部最优解
与最差解对应路径上的信息素的差别，扩大算法的搜索范
围；在过程中间，φ (t) 适当的增大，以保证搜索速度；过程 的最后，路径基本确定，这时 φ (t) 继续加大，使算法迅速收 敛。
⎧⎪−0.0001, ⎪
x
∈[1,
N 5
]
φ
(
x)
=
⎪ ⎪⎪ ⎨
y1,
x
∈
(
N 5
,
N 3
)
(8)
⎪ ⎪
y2
,
x
∈
(
N 3
,
4N 5
)
⎪ ⎪ ⎪⎩
y3
,
x
∈
(
4N 5
,
N
)
x 为本次迭代的次数，N 为总迭代次数。 当所有蚂蚁都按上面的步骤完成了一次循环，这时就对
路径上的信息进行全局更新。文献[3]中提出的算法只对最好 路径上的信息素进行加强，减小了蚂蚁选择城市的随机性，
• 1685 •
第 21 卷第 6 期 2009 年 3 月
系统仿真学报
Vol. 21 No. 6 Mar., 2009
步所行进的路径，采用 pikj (t) 表示在时刻 t 蚂蚁 k 由城市 i
转移到城市 j 的概率，则有：
⎧
τ
α ij
(t
)ηiβj
(t
)
∑ ⎪
pikj
(t )
=
⎪ ⎨
r∈Tabelk
=
1 dij
(2)
式中，dij 表示相邻两个城市之间的距离。对蚂蚁 k 而言，dij 越小，则ηij (t) 越大， pikj (t) 也就越大。
为避免残留信息素过多引起残留信息淹没启发信息，在
每只蚂蚁走完一步或者完成对所有 n 个城市的遍历后，对残
留信息素进行更新处理。
τij (t + 1) = (1 − ρ) ⋅τij (t) + Δτij
对解空间的划分方式参考文献[3]。若蚂蚁 n 当前所在的
城市为 T (n, k −1) = a ，根据如下公式选择每只蚂蚁下一步应
该到达的城市：
T
(n, k )
=
⎧arg ⎨
max{τ
akb }
如果 q < Q0
(5)
⎩
Sr
否则
其中，q 为随机数， Q0 是一个[0，1]上的常数，用于确定伪 随机选择的概率； Sr 表示用伪随机选择来确定下一步要走 的城市，也就是根据下式计算选择下一层中要走的城市。
(3)
m
其中： Δτ ij
=
∑ Δτ
k ij
k =1
ρ
为信息素挥发系数，取值范围为：ρ
⊂
[0,1)
，Δτ
k ij
表
示蚂蚁 k 在本次循环中在城市 i 和城市 j 之间的路径上留下
的信息素，其计算方法可以根据计算模型而定，在最常用的
Ant Circle System 模型中：
⎧Q
Δτ ij
=
⎪⎪ Lk ⎨
引 言1
蚁群算法(ant colony algorithm)是一种基于种群的启发 式仿生类并行智能进化算法[1]。蚁群算法最早成功应用于解 决 NP 难题中著名的旅行商问题(traveling salesman problem， 简称 TSP)。由于它采用分布式并行计算机制，易于与其它 方法结合，具有较强的鲁棒性[2]，最近几年蚁群算法开始引 起了国内外专家学者的关注，近些年公开发表的研究成果已 显示出蚁群算法在求解离散空间优化问题方面的强大优越 性。蚁群算法在求解连续空间优化问题方面的研究相对较 少，主要有 Bilchev G A 等最早提出了一种结合遗传算法的 蚁群算法；高尚等提出了一种基于网格划分策略的连续蚁群 算法；Wang L 等将离散域蚁群算法中的“信息量留存”过程 拓展为连续域中的“信息量分布函数”并定义了用于连续函
分布式并行计算和正反馈机制，易于与其它方法结合，目前虽然已经在离散空间优化领域中得到了广
泛应用，但是在求解连续空间优化问题方面的研究相对较少。在介绍基本蚁群算法机制原理和数学模
型的基础上，对信息素更新方式进行了改进，采用动态局部信息素更新方式和自适应调节信息素挥
发的全局信息素更新方式相结合，并将各条寻优路径上可能的残留信息素数量限制在一个最大最小
区间，以提高改进后蚁群算法的全局收敛性能。仿真实验表明，提出的改进蚁群算法能更快地找到
连续空间优化问题更优良的全局解，从而为蚁群算法求解这类问题提供了一条可行有效的新途径。
关键词：蚁群算法；连续空间优化；信息素；旅行商问题
中图分类号：TP301.6
文献标识码：A
文章编号：1004-731X (2009) 06-1685-04
献[9]提出的]自适应信息素全局更新方式，将其稍做修改用 于局部信息素更新。
信息素的更新方式采取动态更新方式。在每一次迭代
中，信息素按下式进行局部更新：
τ (i, j) = (1 − ξ ) ⋅τ (i, j) + ξ ⋅φ(x)
(7)
其中 φ (t) 是一个随迭代次数的增加而变化的函数，在搜索过 程的起始阶段，为了避免陷入局部最优解，缩小最优路径和