PPT-专题部分-第六章 变质量动力学
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将动量定理式投影到轴Ox上，有
式中
d(mv) dm v F dt dt
m m0 x， dm m0 , dx m0
l
dt l dt l
化简后分离变量得
m0 vdv F dx
l
x
利用初始条件 x 1 时v 0 当x 1 时，
2
v2 2lF ln 2
m0
（2）当有摩擦时
由于 mv dv d(1 mv2 ) v2 dm
2
2
d(1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
(v1
v )dm
或
d(
1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
Fa
dr
－－变质量质点的动能定理
变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其 牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的 元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作 的元功之和。
，各级火箭
内的燃料质量为
，载荷质量为 ，
各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反、
大小分别为
，不计重力。
由例6-1式（b）可以求得第 i 级火箭在燃料喷射完毕时 所增加的速度
（a） 令
（b）
则得第 n 级火箭燃料燃烧完毕时的速度 设火箭的总质量为m，利用式（d）
（c） （d）
（e）
应用拉格朗日乘子法，作函数
v)
式中 dm1为漏斗流入到传送带上的砂子质量元
dm2 为从传送带上流出的砂子质量元
v2 为dm2 流出时的绝对速度 有
mv2 常数 2
dm1 dm2 q
dt
dt
v2 v dm dm1 dm2 0
0 mg sin ds qdt v1v sin qdtv2
为常量，则
的不同分配将影响火箭的速度。如何
分配 的比例使 最大，是二级火箭必须要解决的
问题。
将（a）代入式（b），并将式（b）用m表达： 将式（c）对 求导令
将式（d）中后一项按幂级数展开
式（e）的近视值为
（f）
将式（f）代入式（c），略去高阶小量
ε＝０.８
大于
例 6－3
多级火箭
设各级火箭的质量分别为
式中 r 为从点O 指向该质点的矢径
LO r mv
点O 为定点
dLO d (r mv) dr mv r d (mv) r d (mv)
dt dt
dt
dt
dt
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
dLO dt
r
F
r
Fa
－－变质量质点的动量矩定理
－－变质量质点动量定理的积分形式
如果并入或放出质量的绝对速度1 0
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
显然
t
mv m0v0
Fdt
0
即使 F 0 v 也不是常量
2.变质量质点的动量矩定理
d (mv) F dt
v m0v0 / m
变质量质点对任一点O 的动量矩为
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
质点系在瞬时t的动量为
p1 mv dm v1
质点系在瞬时t+dt的动量为
p2 (m dm)(v dv) 根据动量定理
d p p2 p1 F (e)dt
(m dm)(v dv) (mv dm v1) F (e)dt 将上式展开得
m
dv dt
mg
dm dt
vr
设初始时刻t=0时 v v0 m m0 且 vr 为常量
v
v0
gt
vr
ln
m0 m
例 6－2
二级与多级火箭
二级火箭由 3部分组成：第一级火箭、第二级火箭和
载荷。设第一级火箭总质量为 ，其内携带的燃料质量
为 ，且 携带的燃料质量为
；第二级火箭总质量为 m2 ，其内
－－火箭的特征速度
它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度
N m0 evf / vr mf
－－齐奥尔科夫斯基公式
它表明在 r已知时，欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上
运动，称为齐奥尔科夫斯基第二类问题。
运动微分方程在铅直方向上的投影为
dt
F
dm dt
v
r
dp dt
dm dt
v
F
dm dt
vr
m
dv dt
F (e)
F
记并入（或放出）质量的绝对速度为 v1 即
v 1 v vr
dp dt
F
dm dt
v1
记
Fa
dm dt
v1
称Fa 为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力
dp dt
d dt
(mv )
mdv dm v dm dv dm v1 F (e)dt
略去高阶微量 dm dv 并以dt除各项 得
m
dv dt
dm dt
v
dm dt
v1
F (e)
或
m
dv dt
dm dt
(v1
v)
F (e)
式中(1 ) 是微小质量dm在并入前,对于质点m得相对速度 r
（n）
为求各级火箭的质量分配，令 在式（d）中设i=n，有
（O） （p）
之后再在式（d）中令i=n-1，依次求下去得
由式（q）可得
（q） （r）
由式（g）（r）可得各级火箭的质量分配。
§ 6－2 变质量质点的运动学普遍定理
1.变质量质点的动量定理
dp d(mv) dm v m dv
dt dt dt
，且
；载荷的质量为
。设燃料从火箭喷出的相对速度 =常数，方向与火
箭速度方向相反，每秒喷出的燃料质量也为常数。火箭由
静止开始运动，略去重量，由例6-1式（b）可得第一级火
箭的燃料全部喷射完毕时火箭的速度为
（a）
当第二级火箭的燃料也全部喷射完毕时，速度为
如果取
,
则由式（a）及（b）可得
（b）
设二级火箭的总质量（不含载荷质量)
v1 v v2 vr v
d(1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
vr
vdm
F dr F dr
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连 运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力 所作的元功之和。
例 6－4
已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v1
令
F
dm dt
v
r
－－反推力
m dv dt
F (e)
F
－－变质量质点的运动微分方程
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
m m0 (1 t) ， t 1
由
dm dt
m0
知
其反推力为
F
dm dt
vr
m0 vr
（2）质量按指数规律变化
m m0e t
m d
dt
r
dm dt
或
d r dm
m
（a）
设初始时刻t=0时 0 m m0 将式（a）积分得
0
r
ln
m0 m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为mf 速度为v 令
N m0 mf
－－质量比 有些资料取 N mf /m0 为质量比
令
vf vr ln N
由
dm dt
m0e t
知
其反推力为
F
dm dt vr
m0e tvr
a
F m
vr
例 6－1
单级火箭。
气体相设对火于箭速在度真空r中的运大动小且不不变受，任方何向外与力火作箭用运，动其方喷向射相出反的，
此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题。
变质量质点的运动微分方程，在运动方向上的投影为
d(mv) dm v F fmg dt dt
化简后得到
v dv (Fl fgm0x)
dx
m0 x
利用初始条件x 1时 v 0利用 x 1 时， 有 2
v2 2lF ln 2 fgl 1.386 lF fgl
m0
m0
块互相接触而不连接，初始静止，小方块最外端在桌 边，如图加一水平的常力 F 。
求：在如下两种情况下，当小方块已经有一半离开桌面时 留在桌面上的小方块的速度。 （1）忽略桌面上的摩擦力 （2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f
解： 研究仍在桌面上的一群小方块
小方块离开桌面瞬时 vr 0 选坐标Ox （1）由于 vr 0 且无摩擦
（f）
多级火箭的总质量为最小的条件
（g）
将（g）式代入（c）式得 如果各级火箭的燃料相同有 式（h）简化为
此时式（g）为
（h） （i）
（j） （k）
由式（j）及式（k）解得
（l）
(m) 式 (m)表明：欲使火箭总质量为最小，火箭中每一级火 箭燃烧完毕所增加的速度 值应相同。即欲使火箭达到给定 的最终速度，使火箭总质量为最小值的条件是：火箭中每 一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同。满足这一条 件时总质量为
F
Fa
－－变质量质点动量定理的微分形式
变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外 力与由于并入（或放出），质量的绝对速度而引起的反推 力的矢量和。
设t=0时质点质量为m0 速度为0 得
t
t
t
m
mv m0v0
Fdt
0
0 Fadt
Fdt
0
m0 v1dm
因此有
qvm 或 m l q
l
v
l v
百度文库qg
sin
ds dt
qv1v sin
qv2
0
即
v2 (lg v1v) sin
得
arcsin[(lg v1v) / v2 ]
例 6－5
已知：总质量为 m0 ，总长度为l的一排方块放在如图所示水
平面上，设小方块长度极短，数量很多，相邻的小方
流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜
面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。
求：若使砂子在斜面上的速度v 为常数，倾角应为多少？
解： 研究传送带上的砂子
mv2 d(
2
)
v2 2
dm
F
dr
dm1(v1
v)
dm2 (v2
变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出） 质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
3.变质量质点的动能定理
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
将上式各项点乘 dr 得
m
dv dt
v
dm dt
F
dm dt
v1
mv dv dmv v F dr dmv1 v
式中
d(mv) dm v F dt dt
m m0 x， dm m0 , dx m0
l
dt l dt l
化简后分离变量得
m0 vdv F dx
l
x
利用初始条件 x 1 时v 0 当x 1 时，
2
v2 2lF ln 2
m0
（2）当有摩擦时
由于 mv dv d(1 mv2 ) v2 dm
2
2
d(1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
(v1
v )dm
或
d(
1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
Fa
dr
－－变质量质点的动能定理
变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其 牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的 元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作 的元功之和。
，各级火箭
内的燃料质量为
，载荷质量为 ，
各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反、
大小分别为
，不计重力。
由例6-1式（b）可以求得第 i 级火箭在燃料喷射完毕时 所增加的速度
（a） 令
（b）
则得第 n 级火箭燃料燃烧完毕时的速度 设火箭的总质量为m，利用式（d）
（c） （d）
（e）
应用拉格朗日乘子法，作函数
v)
式中 dm1为漏斗流入到传送带上的砂子质量元
dm2 为从传送带上流出的砂子质量元
v2 为dm2 流出时的绝对速度 有
mv2 常数 2
dm1 dm2 q
dt
dt
v2 v dm dm1 dm2 0
0 mg sin ds qdt v1v sin qdtv2
为常量，则
的不同分配将影响火箭的速度。如何
分配 的比例使 最大，是二级火箭必须要解决的
问题。
将（a）代入式（b），并将式（b）用m表达： 将式（c）对 求导令
将式（d）中后一项按幂级数展开
式（e）的近视值为
（f）
将式（f）代入式（c），略去高阶小量
ε＝０.８
大于
例 6－3
多级火箭
设各级火箭的质量分别为
式中 r 为从点O 指向该质点的矢径
LO r mv
点O 为定点
dLO d (r mv) dr mv r d (mv) r d (mv)
dt dt
dt
dt
dt
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
dLO dt
r
F
r
Fa
－－变质量质点的动量矩定理
－－变质量质点动量定理的积分形式
如果并入或放出质量的绝对速度1 0
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
显然
t
mv m0v0
Fdt
0
即使 F 0 v 也不是常量
2.变质量质点的动量矩定理
d (mv) F dt
v m0v0 / m
变质量质点对任一点O 的动量矩为
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
质点系在瞬时t的动量为
p1 mv dm v1
质点系在瞬时t+dt的动量为
p2 (m dm)(v dv) 根据动量定理
d p p2 p1 F (e)dt
(m dm)(v dv) (mv dm v1) F (e)dt 将上式展开得
m
dv dt
mg
dm dt
vr
设初始时刻t=0时 v v0 m m0 且 vr 为常量
v
v0
gt
vr
ln
m0 m
例 6－2
二级与多级火箭
二级火箭由 3部分组成：第一级火箭、第二级火箭和
载荷。设第一级火箭总质量为 ，其内携带的燃料质量
为 ，且 携带的燃料质量为
；第二级火箭总质量为 m2 ，其内
－－火箭的特征速度
它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度
N m0 evf / vr mf
－－齐奥尔科夫斯基公式
它表明在 r已知时，欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上
运动，称为齐奥尔科夫斯基第二类问题。
运动微分方程在铅直方向上的投影为
dt
F
dm dt
v
r
dp dt
dm dt
v
F
dm dt
vr
m
dv dt
F (e)
F
记并入（或放出）质量的绝对速度为 v1 即
v 1 v vr
dp dt
F
dm dt
v1
记
Fa
dm dt
v1
称Fa 为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力
dp dt
d dt
(mv )
mdv dm v dm dv dm v1 F (e)dt
略去高阶微量 dm dv 并以dt除各项 得
m
dv dt
dm dt
v
dm dt
v1
F (e)
或
m
dv dt
dm dt
(v1
v)
F (e)
式中(1 ) 是微小质量dm在并入前,对于质点m得相对速度 r
（n）
为求各级火箭的质量分配，令 在式（d）中设i=n，有
（O） （p）
之后再在式（d）中令i=n-1，依次求下去得
由式（q）可得
（q） （r）
由式（g）（r）可得各级火箭的质量分配。
§ 6－2 变质量质点的运动学普遍定理
1.变质量质点的动量定理
dp d(mv) dm v m dv
dt dt dt
，且
；载荷的质量为
。设燃料从火箭喷出的相对速度 =常数，方向与火
箭速度方向相反，每秒喷出的燃料质量也为常数。火箭由
静止开始运动，略去重量，由例6-1式（b）可得第一级火
箭的燃料全部喷射完毕时火箭的速度为
（a）
当第二级火箭的燃料也全部喷射完毕时，速度为
如果取
,
则由式（a）及（b）可得
（b）
设二级火箭的总质量（不含载荷质量)
v1 v v2 vr v
d(1 2
mv2
)
1 2
v2dm
F
dr
vr
vdm
F dr F dr
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连 运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力 所作的元功之和。
例 6－4
已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v1
令
F
dm dt
v
r
－－反推力
m dv dt
F (e)
F
－－变质量质点的运动微分方程
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
m m0 (1 t) ， t 1
由
dm dt
m0
知
其反推力为
F
dm dt
vr
m0 vr
（2）质量按指数规律变化
m m0e t
m d
dt
r
dm dt
或
d r dm
m
（a）
设初始时刻t=0时 0 m m0 将式（a）积分得
0
r
ln
m0 m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为mf 速度为v 令
N m0 mf
－－质量比 有些资料取 N mf /m0 为质量比
令
vf vr ln N
由
dm dt
m0e t
知
其反推力为
F
dm dt vr
m0e tvr
a
F m
vr
例 6－1
单级火箭。
气体相设对火于箭速在度真空r中的运大动小且不不变受，任方何向外与力火作箭用运，动其方喷向射相出反的，
此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题。
变质量质点的运动微分方程，在运动方向上的投影为
d(mv) dm v F fmg dt dt
化简后得到
v dv (Fl fgm0x)
dx
m0 x
利用初始条件x 1时 v 0利用 x 1 时， 有 2
v2 2lF ln 2 fgl 1.386 lF fgl
m0
m0
块互相接触而不连接，初始静止，小方块最外端在桌 边，如图加一水平的常力 F 。
求：在如下两种情况下，当小方块已经有一半离开桌面时 留在桌面上的小方块的速度。 （1）忽略桌面上的摩擦力 （2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f
解： 研究仍在桌面上的一群小方块
小方块离开桌面瞬时 vr 0 选坐标Ox （1）由于 vr 0 且无摩擦
（f）
多级火箭的总质量为最小的条件
（g）
将（g）式代入（c）式得 如果各级火箭的燃料相同有 式（h）简化为
此时式（g）为
（h） （i）
（j） （k）
由式（j）及式（k）解得
（l）
(m) 式 (m)表明：欲使火箭总质量为最小，火箭中每一级火 箭燃烧完毕所增加的速度 值应相同。即欲使火箭达到给定 的最终速度，使火箭总质量为最小值的条件是：火箭中每 一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同。满足这一条 件时总质量为
F
Fa
－－变质量质点动量定理的微分形式
变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外 力与由于并入（或放出），质量的绝对速度而引起的反推 力的矢量和。
设t=0时质点质量为m0 速度为0 得
t
t
t
m
mv m0v0
Fdt
0
0 Fadt
Fdt
0
m0 v1dm
因此有
qvm 或 m l q
l
v
l v
百度文库qg
sin
ds dt
qv1v sin
qv2
0
即
v2 (lg v1v) sin
得
arcsin[(lg v1v) / v2 ]
例 6－5
已知：总质量为 m0 ，总长度为l的一排方块放在如图所示水
平面上，设小方块长度极短，数量很多，相邻的小方
流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜
面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。
求：若使砂子在斜面上的速度v 为常数，倾角应为多少？
解： 研究传送带上的砂子
mv2 d(
2
)
v2 2
dm
F
dr
dm1(v1
v)
dm2 (v2
变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出） 质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
3.变质量质点的动能定理
dp dt
d dt
(mv )
F
Fa
将上式各项点乘 dr 得
m
dv dt
v
dm dt
F
dm dt
v1
mv dv dmv v F dr dmv1 v