第六章 含耦合电感电路的计算

134第六章 含耦合电感电路的计算本章摘要：重点介绍耦合电感和理想变压器两种元件的VCR ，还介绍互感、耦合系数、耦合电感的同名端，以及空心变压器的概念，并讨论含耦合电感电路的分析方法。

6.1 耦合电感耦合电感（Coupled inductor ）是耦合线圈的电路模型。

所谓耦合，在这里是指磁场的耦合。

是载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的一种物理现象。

一般情况下，耦合线圈由多个线圈组成。

不失一般性，这里只讨论一对线圈的耦合情况，它是单个线圈工作原理的引伸。

图6.1即为一对载流耦合线圈。

设耦合线圈的自感分别为L 1、L 2，匝数分别为N 1、N 2。

当各自通有电流i 1和i 2时（称i 1、i 2为施感电流），其产生的磁通和彼此相交链的情况要根据两个线圈的绕向、相对位置和两个电流i 1、i 2的参考方向，按右手螺旋定则来确定。

设线圈1中的电流i 1产生的磁通为φ11，方向如图6.1所示。

在穿过自身的线圈时，所产生的磁通链设为ψ11，并称之为线圈1的自感磁通链。

由于线圈1、2离得较近， φ11中的一部分或全部与线圈2交链产生的磁通链设为ψ21，并称之为互感磁通链。

同样的道理，电流i 2会在线圈2中产生自感磁通链ψ22，并在线圈1产生互感磁通链ψ12。

这样，每个线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链两部分的代数和。

设线圈1、2中的磁通链分别为ψ1、ψ2， 则有12111ψψψ±= （6-1）图6. 1 耦合线圈及其电压、电流和磁通的参考方向13522212ψψψ+±= （6-2） 2111Mi i L ±=ψ (6-3) 2212i L Mi +±=ψ （6-4） 式(6-3)、(6-4)中M 称为互感(mutual inductance)，单位为亨（H ）。

(6-3)，(6-4)式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链的叠加。

M 前的“±”号说明磁耦合中互感与自感作用的两种可能性。

“+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感磁通链对自感磁通链起“加强”作用。

“-”号则相反，表示互感的“消弱”作用。

如果i 1、i 2为变动的电流，各线圈的电压、电流均采用关联参考方向，亦即沿线圈绕组电压降的参考方向与磁通的参考方向符合右手螺旋定则，根据电磁感应定律，由(6-3)，(6-4)可得dt diM dt di L dt d t u 21111)(±==ψ (6-5) dtdiL dt di M dt d t u 22122)(+±==ψ (6-6)式(6-5)、(6-6)表示两耦合电感的电压、电流关系。

其中自感电压di L u 1111=，dt di L u 2222=。

互感电压dt di M u 212±=，dtdi M u 121±=，u 12是变动电流i 2在L 1中产生的互感电压，u 21是变动电流i 1在L 2中产生的互感电压。

所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠加的结果。

这里互感电压也有两种可能的符号，取决于两线圈的相对位置，绕向和电流的参考方向。

但在实际工程中，线圈往往是密封的，从外部看不到线圈的真实绕向，并且在电路图中绘出线圈的绕向也很不方便。

为了便于反映互感的这种“加强”或“消弱”作用和简化图形表示，常采用同名端标记法。

即对两个有耦合的线圈各取一个端子，均标上一个“.”号或“*”号，如图6.2（b ）所示。

这种标有“.”号或“*”的端钮称为同名端，1M(a)(b)图6. 2 耦合电感及同名端136如图6.2（b ）中的端钮1、2为一对同名端。

另一对不加“.”号或“*”的端钮也是一对同名端。

端钮1、2＇或端钮1＇、2则为异名端。

对标有同名端的耦合线圈而言，如果电流的参考方向由一线圈的同名端指向另一端，那么由这电流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端。

如图6.3（a ）、(b)所示。

两个耦合线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对位置判别，也可以通过实验的方法确定。

引入同名端的概念后，两个耦合线圈可以用带有同名端标记的电感（元件）L 1和L 2表示，如图6.2（b ）所示，其中M 表示互感。

当有两个以上互感彼此之间存在耦合时，同名端应当一对一对地加以标记，每一对应用不同的标记符号。

当每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将等于自感磁通链与互感磁通链的代数和。

凡是与自感磁通链方向相同的互感磁通链，求和时该项前面取“+”号，反之取“-”号。

与此相应的耦合电感的电压亦为自感电压与互感电压两部分的叠加。

∑∑≠≠±=+=j k j kjkkjk kj kk k dtdi M dt di L u u u 式中自感电压u kk 与i k 为关联参考方向时取“+”，互感电压u kj 可以根据同名端以及指定的电流和电压的参考方向来判断正负号。

当施感电流的进端与互感电压u kj 的正极性端互为同名端时，则有dt di M u jkj =否则应为 dtdi M u jkj -=例如有两个耦合电感，其同名端和电流参考方向如图6.4所示。

当图6.4（a ）中的 1线圈通以电流i 1时，在2线圈中产生的电压为 dtdi M u 121=；当图6.4(b)中的2线圈通以电流i 2时，在1线圈中产生的电压为dtdi Mu 212-=,当施感电流为同频率正弦量时，在正弦稳态情况下电压、电流方程可用相量形式表示，以图6.2(b)为例i 2(t ) 12 1' MM i 1(t ) (a) (b)图6. 3 同名端的含义1372111I M j I L j U ωω+= 2212I L j I M j U ωω+=例6-1 电路如图6.5所示，试确定开关打开瞬间，22′间电压的真实极性。

解 设电流i 及互感电压M u 的参考方向如图中所示，则根据同名端的含义可得 dt di M u M =，当S 打开瞬间，正值电流减小，dtdi ＜0，故知M u ＜0，其极性与假设相反，即2′为高电位端，2为低电位端。

互感电压的作用还可以用电流控制的电压源CCVS 表示。

对图6.2(b)的耦合电感，用CCVS 表示的电路图如图6.6所示。

（相量形式）工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链比值的几何平均值定义为耦合系数，记为K22111212ψψψψdefKM 图6. 5 例6-1题图 II12图6. 6 用CCVS 表示的耦合电感电路M i 1(t )(a)i 2(t ) 11'M (b)图6. 4 互感电压的正负号138由于 12122222121111,,,Mi i L Mi i L ====ψψψψ，代入上式后有 121≤=L L M K （6-7） K 的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。

如果两个线圈靠得很紧或密绕在一起（或线圈内插入用铁磁材料制成的芯子），则K 值可能接近于1；反之，如果它们相隔很远，或者它们的轴线互相垂直，则K 值就很小，甚至可能接近于零。

由此可见，改变或调整它们的相互位置可以改变耦合系数的大小，当L 1、L 2一定时，这就相应的改变了互感M 的大小。

6.2 含耦合电感电路的计算当电路中存在耦合电感时，称其为含耦合电感电路。

含耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法，但要考虑互感的作用。

在KVL 的表达式中，应计入由于互感的作用而引起的互感电压。

当某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关，必要时可引用CCVS 表示互感电压的作用。

6.2.1 耦合电感的串联图6.7(a)、(b)所示为两个有耦合的实际线圈的串联电路，其中R 1、L 1、R 2、L 2分别表示两个线圈的等效电阻和电感，M 为互感系数。

图6.7(a)中电流是从两个电感的同名端流入（或流出）称为顺接串联，简称顺串 。

图6.7(b)中电流对其中的一个电感是从同名端流入（流出），而对另一电感是从同名端流出（流入），称为反接串联，简称反串。

根据图中电流、电压的参考方向，由KVL ，线圈的端电压u 1和u 2分别为⎪⎩⎪⎨⎧±+=±+=±+=±+=dtdiM L i R dt di M dt di L i R u dt diM L i R dt di Mdtdi L i R u )()(2222211111 上式中“+”对应顺串，“-”对应反串。

总电压u 为dtdi M L L i R R u u u )2()(212121±+++=+=对正弦稳态电路，应用相量法可得I Z I Z I M j I L j R U M ±=±+=1111)(ωω139I Z I Z I M j I L i j R UM ±=±+=2222)(ωω )2()(2121M L L j I R R U±+++=ω M j Z M ω=称为互感阻抗，111L j R Z ω+=、222L j R Z ω+=分别为每一耦合电感的自阻抗。

两耦合电感串联的等效电感为M L L L eq 221±+= （7-8）图6.7（a ）（b ）的等效电路如图6.8（a ）(b)所示。

顺串时等效电感增强，反串时等效电感减小，这说明反串时互感消弱自感的作用，互感的这种作用称为互感的“容性”效应。

在一定的条件下，可能有一个电感小于互感M ，但L 1+L 2≥2M 。

因为121≤L L M ，21L L M ≤，M 小于两电感的几何平均值，就一定小于两电感的算术平均值（L 1+L 2）/2，所以整个电路呈电感性。

6.2.2 耦合电感的并联图6.9（a ）（b ）所示为耦合电感的并联电路。

图6.9（a ）电路中同名端在同一侧，称为同侧并联；图6.9（b ）电路称为异侧并联。

在正弦稳态情况下，按照图中所示的电压、 电流参考方向可得L 2u 2 R 2 L 2u 2 R 2(a) (b)图6. 7 耦合电感的串联u 2 R 2 u 2R 2(a)(b)图6 . 8 串联耦合电感的等效电路140⎭⎬⎫±+=±=±+=±=12221222111211)()(I M j I L j R I Z I Z U I M j I L j R I Z I Z U M M ωωωω （6-9）（6-9）式中M Z 前的“+”号对应同侧并联，“-” 号对应异侧并联。

解方程组（6-9）可得U Z Z Z Z Z I MM 22121-=， UZ Z Z Z Z I MM 22112-= 因为 21I I I += 所以 U Z Z Z Z Z Z I MM 221212-++= 两个耦合电感并联后的等效阻抗为M M Z Z Z Z Z Z IU Zeq 221221 +-== 当R 1=R 2=0时ML L M L L j Zeq 221221 +-=ω所以耦合电感并联的等效电感为ML L M L L Leq 221221 ++-=对于只有一个公共端钮相联接的耦合电感如图6.10（a ）所示，我们可以用三个电感组成的无互感的T 形网络作等效替换，如图6.10（b ）所示，这种处理方法称为互感消去法（或去耦法）。