二次函数的极值求法攻略

二次函数的极值求法攻略

求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。

其攻略途径为：第一，写出二次函数的解析式并化为顶点式；

第二，确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用

实线，外的用虚线；

第三，判定x =a

b 2-是否在其范围内，若在，则极值为顶点纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值。

y=a x 2

+b x +c (a,b,c 是常数，且a ≠0)= 2)2(a b x a -+a b ac 442

-，顶点坐标为（-a b 2，a b ac 442-），对称轴为x =-a

b 2。 一、当x =-a b 2在自变量范围内时，当x =-a

b 2时，最值为y =a b a

c 442-。 二、当x=-

a

b 2不在自变量范围内时 1、 若≤≤x m n 〈-a b 2（n m 〈） （1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增

大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

2、若-a

b 2〈≤≤x m n （n m 〈） （1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的右边y 随x 的增

大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

三、举例

（10湖北武汉）23．(本题满分10分)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?

解：(1) y =50-

10

1x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。 (2) W =(50-101x )(180+x -20)= -10

1x 2+34x +8000； (3) W = -101x 2+34x +8000= -10

1(x -170)2+10890， 170=x 不在其范围内，=a -101，开口向下，在对称轴的左边W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，

∴当x =160时，W 最大=10880，当x =160时，y =50-

101x =34。 答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。