中考数学：(第4讲)《二次根式及其运算》ppt课件
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二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
2019届人教版九年级中考复习《二次根式》课件(共29张PPT)
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2021/5/102021/5/102021/5/105/10/2021 5:30:41 PM
•
11、人总是珍惜为得到。2021/5/102021/5/102021/5/10May- 2110-M ay-21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/5/102021/5/102021/5/10Monday, May 13
∴x＞3时，
x x
2 3
在实数范围内有意义.
(3)由
x 3
5 x
0 0
x x
5 3
∴-5≤x＜3时，
x x
53在实数范围内有意义.
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4 .
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
注意：被开方数大于或等于零
Ø 典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2 x (2) x2;(3) x5
x3 3x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
(2)由
x x
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算： (3 484 27)2 3
解：原式 (3 4 3 - 4 3 3) 2 3 0； 例3 (1)计算：2 2 （1）0 2
(2)计算 12 2s5i6 n02( 52)0
精选-中考数学一轮复习第一单元数与式第4讲二次根式课件
(1)乘法: a · b = ab (a≥0,b≥0);
(2)除法: ba = ba (a >0,b ≥0).
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12
学法提点 二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,最后运算结果一 定要化成最简二次根式或整式,另外进行二次根式的加减运算时,切忌将原式的 被开方数直接加减.
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24
2.(2016·山西,16(1),5分)计算:(-3)2-
1 5
1
- ×8 +(2-2)0.
解析 原式=9-5- 16+1=9-5-4+1=1.
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25
3.(2015·山西,18,6分)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务. 斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这 列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的 一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意 想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万 寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有 很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
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3
3.同类二次根式 几个二次根式化成⑤最简二次根式后,如果被开方数⑥相同,那么这几个二次 根式叫做同类二次根式.
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4
1.(2018·曲靖)下列二次根式中能与2 3 合并的是 ( B )
A. 8 C. 18
B. 1 3
D. 9
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5
2.(2018·湖州)二次根式 x 3 中字母x的取值范围是x≥3.
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(2)除法: ba = ba (a >0,b ≥0).
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12
学法提点 二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,最后运算结果一 定要化成最简二次根式或整式,另外进行二次根式的加减运算时,切忌将原式的 被开方数直接加减.
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2.(2016·山西,16(1),5分)计算:(-3)2-
1 5
1
- ×8 +(2-2)0.
解析 原式=9-5- 16+1=9-5-4+1=1.
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3.(2015·山西,18,6分)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务. 斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这 列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的 一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意 想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万 寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有 很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
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3
3.同类二次根式 几个二次根式化成⑤最简二次根式后,如果被开方数⑥相同,那么这几个二次 根式叫做同类二次根式.
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4
1.(2018·曲靖)下列二次根式中能与2 3 合并的是 ( B )
A. 8 C. 18
B. 1 3
D. 9
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5
2.(2018·湖州)二次根式 x 3 中字母x的取值范围是x≥3.
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备战 中考数学基础复习 第4课 二 次 根 式课件ppt（26张ppt）
二、二次根式的运算 1.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含___分__母____. (2)被开方数中不含___能__开__得__尽__方____的因数或因式.
2.二次根式的乘除:
(1) a b =____a_b__(a≥0,b≥0).
a
(2) a =_____b__(a≥0,b>0).
考点2二次根式的化简及运算 例2.(2020·山西)计算:（ 2 3）2 24. 【解析】原式= 2 2 6 3 2 6 5.
变式1.(2020·青岛)计算: ( 12 4 ) 3.
3
【解析】原式= (2 3 2 3 ) 3
3 4 3 3 4.
3
变式2.(2020·威海)计算 3 12 （ 8 1）0. 【解析】 3 12 （ 8 1）0
【学前检测】
1.(2020·宁波)二次根式 x 2 中字母x的取值范围是 (
A.x>2
B.x≠2
C.x≥2
D.x≤2
2.(2020·台州)无理数 10 在 ( B )
A.2和3之间
B.3和4之间
C)
C.4和5之间
D.5和6之间
3.下列二次根式是最简二次根式的是 ( D )
A. 1 2
B. 12 C. 8 7
二次根式的整体思想 例4.已知x= 3 +1,y= 3 -1,求下列各式的值: (1)x2+2xy+y2;(2)x2-y2.
【解析】因为x= 3 +1,y= 3 -1, 所以x+y=2 3 ,x-y=2. (1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2 3 )2=12; (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=4 3 .
二次根式及其运算ppt课件
15
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
2024年中考数学一轮专题课件：第4讲+二次根式
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知识点5 二次根式的运算
例5 （2023·大连中考）下列计算正确的是( D )
A. 2 0 = 2
B.2 3 + 3 3 = 5 6
C. 8 = 4 2
D. 3 2 3 − 2 = 6 − 2 3
思路分析 根据零指数幂、二次根式的加法、二次根式的性质以及二次根
式的混合运算法则逐一判断。
易混淆点 二次根式的两个性质
性质1： a 2 = a a ≥ 0 ;
性质2：
a2 =∣ a ∣=
a a≥0 , −a a < 0 。
区别：（1）运算顺序不同： a 2先开方再平方， a2先平方再开方；
（2）取值范围不同： a 2中a为非负数时有意义， a2中a为任意实数都
有意义；（3）结果不同： a2的结果要根据a的取值情况进行分类讨论。
1.二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数
相同的二次根式合并;
2.二次根式的乘法： a ⋅ b = ab a ≥ 0, b ≥ 0 ;
3.二次根式的除法： a =
b
a b
a ≥ 0, b > 0
。
知识点4 二次根式的估算（夹逼法）
二次根式估算的一般步骤： （1）对二次根式进行平方，如 7 2 = 7; （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开平方能开得尽的整数，如 4 < 7 < 9; （3）对以上两个整数求算术平方根，如 4 = 2, 9 = 3; （4）确定这个二次根式值的范围，如2 < 7 < 3。
6.（2023·绥化中考）若式子
x+5有意义，则x的取值范围是__x__≥__−_5_且__x__
x
_≠__0__。
知识点5 二次根式的运算
例5 （2023·大连中考）下列计算正确的是( D )
A. 2 0 = 2
B.2 3 + 3 3 = 5 6
C. 8 = 4 2
D. 3 2 3 − 2 = 6 − 2 3
思路分析 根据零指数幂、二次根式的加法、二次根式的性质以及二次根
式的混合运算法则逐一判断。
易混淆点 二次根式的两个性质
性质1： a 2 = a a ≥ 0 ;
性质2：
a2 =∣ a ∣=
a a≥0 , −a a < 0 。
区别：（1）运算顺序不同： a 2先开方再平方， a2先平方再开方；
（2）取值范围不同： a 2中a为非负数时有意义， a2中a为任意实数都
有意义；（3）结果不同： a2的结果要根据a的取值情况进行分类讨论。
1.二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数
相同的二次根式合并;
2.二次根式的乘法： a ⋅ b = ab a ≥ 0, b ≥ 0 ;
3.二次根式的除法： a =
b
a b
a ≥ 0, b > 0
。
知识点4 二次根式的估算（夹逼法）
二次根式估算的一般步骤： （1）对二次根式进行平方，如 7 2 = 7; （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开平方能开得尽的整数，如 4 < 7 < 9; （3）对以上两个整数求算术平方根，如 4 = 2, 9 = 3; （4）确定这个二次根式值的范围，如2 < 7 < 3。
6.（2023·绥化中考）若式子
x+5有意义，则x的取值范围是__x__≥__−_5_且__x__
x
_≠__0__。
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
二次根式PPT课件
;
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2024年《二次根式的乘除运算》PPT免费课件
24
05 课程总结与回顾
2024/2/29
25
关键知识点总结
二次根式的概念和性质
包括二次根式的定义、性质，以及开 方运算的基本规则。
二次根式的除法运算
学习二次根式相除的技巧，理解除法 运算中的有理化过程。
二次根式的乘法运算
掌握二次根式相乘的方法，理解乘法 运算中的化简过程。
2024/2/29
26
27
学员自我评价报告
2024/2/29
01
学员可在此部分对自己的学习情 况进行自我评价，包括掌握程度 、薄弱环节、学习困难等方面。
02
通过自我评价，学员可以明确自 己的学习目标和方向，为下一阶 段的学习做好准备。
28
下一讲预告及预备工作
预告下一讲的学习内 容，包括二次根式的 混合运算、实际应用 等。
通过讨论和交流，激发学生的创造力 和求知欲。
23
练习题及答案解析
提供针对二次根式乘除运算的练习题，包括选择题、填 空题和解答题等。
针对易错点和难点进行重点讲解，提高学生的解题能力 。
答案解析详细、准确，帮助学生理解和掌握解题方法。
引导学生对练习题进行分类和总结，形成系统的知识体 系。
2024/2/29
《二次根式的乘除运算》 PPT免费课件
2024/2/29
1
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 乘除运算基础知识点梳理 • 乘除运算在二次根式中应用 • 复杂场景下二次根式乘除问题探讨 • 课程总结与回顾
2024/2/29
2
01 二次根式基本概 念回顾
2024/2/29
3
二次根式定义及性质
2024/2/29
Байду номын сангаас
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
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∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝ 42－3＝13
二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入 求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是 最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．
1．二次根式的性质：
(1)( a)2＝a(________)．
(2) a2＝|a|＝
（a≥0） ， （a<0）.
(3) ab＝________(a≥0，b≥0)．
(4) ab＝________(a≥0，b＞0)． 2．最简二次根式的概念：把满足被开方数不含分母，被开方
数中不含能开得尽方的________或________的二次根式，叫 做最简二次根式．
3．二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中，先要把 二次根式化成最简二次根式，类似于合并同类项，我们可以 把被开方数相同的二次根式进行合并． 4．二次根式的乘除法： (1)二次根式的乘法： a· b＝________(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法： ab＝________(a≥0，b＞0)．
A．x≥－12且 x≠1
B．x≠1
C．x≥－12
D．x＞－12且 x≠1
4．(2014·德州)若 y＝
x－1 4＋ 42
4－x－2，则(x＋y)y＝____．
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时， 首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他 限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式 (组)解决．
二次根式的简单计算
1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与 2合并的是(C )
1 A. 2
B. 8
C. 12
D. 18
2．(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ba＝ ab，②
a b·
ba＝1，③ ab÷
ba＝－b，其中正确
的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．二次根式的求值，二次根式性质的应用等． 3．主要体现类比转化的思想方法．
1．(2013·湖州)二次根式 x－1中字母 x 的取值范围是( D )
A. x＞1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
2．(2010·嘉兴)设 a＞0，b＞0，则下列运算中错误的是( B )
A. ab＝ a· b
B. a＋b＝ a＋ b
3．(2013·衡阳)计算： 8× 12＋( 2)0.
【解析】第1题将各二次根式化简，根据最简二次根式的 被开方数相同，可得答案；第2题由ab＞0，a＋b＜0先得出 a＜0，b＜0，再进行根号内的运算；第3题原式第一项利用 二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算， 即可得到结果．
解：原式＝2＋1＝3
第4讲 二次根式及其运算
1．了解二次根式、最简二次根式的概念． 2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会 用它们进行有关实数的简单四则运算．
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以 填空题、选择题形式出现．
1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以 整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二 次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合 并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的 乘除、乘方运算．
2．(2013·滨州)如图，△ABC中，AB＝17，AC＝10， BA边上的高CD＝8，求边BC的长．
185
根据图形特点，作辅助线构造出直角三角形，利 用勾股定理，转化为二次根式的计算．
二次根式的混合运算
1．已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【解析】先把 b 用含 10的式子表示，再代入求值． 解：∵3< 10<4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3，∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10
D．3
【解析】第1题根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等 式；第2题二次根式的被开方数是非负数，可以逐个代入， 也可以先判断x的取值范围．
1．二次根式的概念：形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件：要使二次根式 a有意义， 则 a≥0.
3．(2013·娄底)式子 x2－x＋1 1有意义的 x 的取值范围是( A )
二次根式混合运算，可以运用运算律或适当改变运 算顺序，使运算简便．
3．先化简，再求值： (a2－a1＋1－a a)÷a，其中 a＝ 2＋1.
原式＝(a2－a1－a－a 1)÷a＝a－a 1×1a＝a－1 1，当 a＝ 2＋1 时，
原式＝a－1 1＝
1＝ 2
2 2
4．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2－xy＋y2 的值．
2．(2014·襄阳)已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，求 x2＋y2－xy－ 2x＋2y 的值．
【解析】根据 x，y 的值，先求出 x－y 和 xy，再化简原式， 整体代入求值即可． 解：∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2，∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝ －2 2，xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝ (x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋ 42
二次根式的综合应用
1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点， 求CH的长．
【解析】连结AC，CF，根据正方形性质求出AC， CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°， 然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．
1．最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有 根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被 开方数的因数或因式的指数都为1. 2．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成 最简二次根式；(2)找出其中被开方数相同的二次根式；(3) 将被开方数相同的二次根式进行合并． 3．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数 化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二 次根式、整式或分式．
原式＝a2＋6a，当 a＝ 2－1 时，原式＝4 2－3
二次根式的概念和性质
1．(2014·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围是( C )
A．x＞0B．x＞3C．x≥3D．x≤3
2．(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 1－2x
有意义( A )
A．－2
B．1
C ．2
C．( a)2＝a
D.
ab＝
a b
3．(2014·金华)在式子x－1 2，x－1 3， x－2， x－3中，x 可
以取 2 和 3 的是( C )
1 A.x－2
1 B.x－3
C. x－2
D. x－3
4．(2010·绍兴)先化简，再求值：
2(a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)＋6，其中 a＝ 2－1.
解：
如图，连结 AC，CF，∵正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝ 2，CF＝3 2，∠ACD＝∠GCF ＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝ AC2＋CF2 ＝ （ 2）2＋（3 2）2＝2 5，∵H 是 AF 的中点，∴CH ＝12AF＝12×2 5＝ 5
4．(2014·台湾)算式( 6＋ 10× 15)× 3的值是( D )
A．2 42 B．12 5 C．12 13 D．18 2
5．(2013·永州)已知(x－y＋3)2＋ 2x＋y＝0，则 x＋y 的值为
(C)
A．0
B ．－1
C．1 D ．4
6．(2013·荆州)计算：4
原式＝ 3
12＋3
31－ 8.
二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入 求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是 最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．
1．二次根式的性质：
(1)( a)2＝a(________)．
(2) a2＝|a|＝
（a≥0） ， （a<0）.
(3) ab＝________(a≥0，b≥0)．
(4) ab＝________(a≥0，b＞0)． 2．最简二次根式的概念：把满足被开方数不含分母，被开方
数中不含能开得尽方的________或________的二次根式，叫 做最简二次根式．
3．二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中，先要把 二次根式化成最简二次根式，类似于合并同类项，我们可以 把被开方数相同的二次根式进行合并． 4．二次根式的乘除法： (1)二次根式的乘法： a· b＝________(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法： ab＝________(a≥0，b＞0)．
A．x≥－12且 x≠1
B．x≠1
C．x≥－12
D．x＞－12且 x≠1
4．(2014·德州)若 y＝
x－1 4＋ 42
4－x－2，则(x＋y)y＝____．
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时， 首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他 限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式 (组)解决．
二次根式的简单计算
1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与 2合并的是(C )
1 A. 2
B. 8
C. 12
D. 18
2．(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ba＝ ab，②
a b·
ba＝1，③ ab÷
ba＝－b，其中正确
的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．二次根式的求值，二次根式性质的应用等． 3．主要体现类比转化的思想方法．
1．(2013·湖州)二次根式 x－1中字母 x 的取值范围是( D )
A. x＞1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
2．(2010·嘉兴)设 a＞0，b＞0，则下列运算中错误的是( B )
A. ab＝ a· b
B. a＋b＝ a＋ b
3．(2013·衡阳)计算： 8× 12＋( 2)0.
【解析】第1题将各二次根式化简，根据最简二次根式的 被开方数相同，可得答案；第2题由ab＞0，a＋b＜0先得出 a＜0，b＜0，再进行根号内的运算；第3题原式第一项利用 二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算， 即可得到结果．
解：原式＝2＋1＝3
第4讲 二次根式及其运算
1．了解二次根式、最简二次根式的概念． 2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会 用它们进行有关实数的简单四则运算．
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以 填空题、选择题形式出现．
1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以 整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二 次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合 并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的 乘除、乘方运算．
2．(2013·滨州)如图，△ABC中，AB＝17，AC＝10， BA边上的高CD＝8，求边BC的长．
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根据图形特点，作辅助线构造出直角三角形，利 用勾股定理，转化为二次根式的计算．
二次根式的混合运算
1．已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【解析】先把 b 用含 10的式子表示，再代入求值． 解：∵3< 10<4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3，∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10
D．3
【解析】第1题根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等 式；第2题二次根式的被开方数是非负数，可以逐个代入， 也可以先判断x的取值范围．
1．二次根式的概念：形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件：要使二次根式 a有意义， 则 a≥0.
3．(2013·娄底)式子 x2－x＋1 1有意义的 x 的取值范围是( A )
二次根式混合运算，可以运用运算律或适当改变运 算顺序，使运算简便．
3．先化简，再求值： (a2－a1＋1－a a)÷a，其中 a＝ 2＋1.
原式＝(a2－a1－a－a 1)÷a＝a－a 1×1a＝a－1 1，当 a＝ 2＋1 时，
原式＝a－1 1＝
1＝ 2
2 2
4．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2－xy＋y2 的值．
2．(2014·襄阳)已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，求 x2＋y2－xy－ 2x＋2y 的值．
【解析】根据 x，y 的值，先求出 x－y 和 xy，再化简原式， 整体代入求值即可． 解：∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2，∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝ －2 2，xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝ (x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋ 42
二次根式的综合应用
1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点， 求CH的长．
【解析】连结AC，CF，根据正方形性质求出AC， CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°， 然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．
1．最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有 根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被 开方数的因数或因式的指数都为1. 2．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成 最简二次根式；(2)找出其中被开方数相同的二次根式；(3) 将被开方数相同的二次根式进行合并． 3．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数 化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二 次根式、整式或分式．
原式＝a2＋6a，当 a＝ 2－1 时，原式＝4 2－3
二次根式的概念和性质
1．(2014·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围是( C )
A．x＞0B．x＞3C．x≥3D．x≤3
2．(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 1－2x
有意义( A )
A．－2
B．1
C ．2
C．( a)2＝a
D.
ab＝
a b
3．(2014·金华)在式子x－1 2，x－1 3， x－2， x－3中，x 可
以取 2 和 3 的是( C )
1 A.x－2
1 B.x－3
C. x－2
D. x－3
4．(2010·绍兴)先化简，再求值：
2(a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)＋6，其中 a＝ 2－1.
解：
如图，连结 AC，CF，∵正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝ 2，CF＝3 2，∠ACD＝∠GCF ＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝ AC2＋CF2 ＝ （ 2）2＋（3 2）2＝2 5，∵H 是 AF 的中点，∴CH ＝12AF＝12×2 5＝ 5
4．(2014·台湾)算式( 6＋ 10× 15)× 3的值是( D )
A．2 42 B．12 5 C．12 13 D．18 2
5．(2013·永州)已知(x－y＋3)2＋ 2x＋y＝0，则 x＋y 的值为
(C)
A．0
B ．－1
C．1 D ．4
6．(2013·荆州)计算：4
原式＝ 3
12＋3
31－ 8.