中考数学：(第4讲)《二次根式及其运算》ppt课件

1．最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有 根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被 开方数的因数或因式的指数都为1. 2．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成 最简二次根式；(2)找出其中被开方数相同的二次根式；(3) 将被开方数相同的二次根式进行合并． 3．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数 化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二 次根式、整式或分式．
二次根式混合运算，可以运用运算律或适当改变运 算顺序，使运算简便．
3．先化简，再求值： (a2－a1＋1－a a)÷a，其中 a＝ 2＋1.
原式＝(a2－a1－a－a 1)÷a＝a－a 1×1a＝a－1 1，当 a＝ 2＋1 时，
原式＝a－1 1＝
1＝ 2
2 2
4．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2－xy＋y2 的值．
二次根式的混合运算
1．已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【解析】先把 b 用含 10的式子表示，再代入求值． 解：∵3< 10<4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3，∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10
二次根式的综合应用
1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点， 求CH的长．
【解析】连结AC，CF，根据正方形性质求出AC， CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°， 然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半即可求出．
1．二次根式的性质：
(1)( a)2＝a(________)．
(2) a2＝|a|＝
（a≥0） ， （a<0）.
来自百度文库
(3) ab＝________(a≥0，b≥0)．
(4) ab＝________(a≥0，b＞0)． 2．最简二次根式的概念：把满足被开方数不含分母，被开方
数中不含能开得尽方的________或________的二次根式，叫 做最简二次根式．
2．二次根式的求值，二次根式性质的应用等． 3．主要体现类比转化的思想方法．
1．(2013·湖州)二次根式 x－1中字母 x 的取值范围是( D )
A. x＞1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
2．(2010·嘉兴)设 a＞0，b＞0，则下列运算中错误的是( B )
A. ab＝ a· b
B. a＋b＝ a＋ b
解：
如图，连结 AC，CF，∵正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝ 2，CF＝3 2，∠ACD＝∠GCF ＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝ AC2＋CF2 ＝ （ 2）2＋（3 2）2＝2 5，∵H 是 AF 的中点，∴CH ＝12AF＝12×2 5＝ 5
∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝ 42－3＝13
二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入 求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是 最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．
A．x≥－12且 x≠1
B．x≠1
C．x≥－12
D．x＞－12且 x≠1
4．(2014·德州)若 y＝
x－1 4＋ 42
4－x－2，则(x＋y)y＝____．
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时， 首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他 限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式 (组)解决．
2．(2013·滨州)如图，△ABC中，AB＝17，AC＝10， BA边上的高CD＝8，求边BC的长．
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根据图形特点，作辅助线构造出直角三角形，利 用勾股定理，转化为二次根式的计算．
第4讲 二次根式及其运算
1．了解二次根式、最简二次根式的概念． 2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会 用它们进行有关实数的简单四则运算．
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以 填空题、选择题形式出现．
1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以 整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二 次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合 并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的 乘除、乘方运算．
二次根式的简单计算
1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与 2合并的是(C )
1 A. 2
B. 8
C. 12
D. 18
2．(2014·济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
①
ba＝ ab，②
a b·
ba＝1，③ ab÷
ba＝－b，其中正确
的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
D．3
【解析】第1题根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等 式；第2题二次根式的被开方数是非负数，可以逐个代入， 也可以先判断x的取值范围．
1．二次根式的概念：形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件：要使二次根式 a有意义， 则 a≥0.
3．(2013·娄底)式子 x2－x＋1 1有意义的 x 的取值范围是( A )
4．(2014·台湾)算式( 6＋ 10× 15)× 3的值是( D )
A．2 42 B．12 5 C．12 13 D．18 2
5．(2013·永州)已知(x－y＋3)2＋ 2x＋y＝0，则 x＋y 的值为
(C)
A．0
B ．－1
C．1 D ．4
6．(2013·荆州)计算：4
原式＝ 3
12＋3
31－ 8.
C．( a)2＝a
D.
ab＝
a b
3．(2014·金华)在式子x－1 2，x－1 3， x－2， x－3中，x 可
以取 2 和 3 的是( C )
1 A.x－2
1 B.x－3
C. x－2
D. x－3
4．(2010·绍兴)先化简，再求值：
2(a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)＋6，其中 a＝ 2－1.
3．(2013·衡阳)计算： 8× 12＋( 2)0.
【解析】第1题将各二次根式化简，根据最简二次根式的 被开方数相同，可得答案；第2题由ab＞0，a＋b＜0先得出 a＜0，b＜0，再进行根号内的运算；第3题原式第一项利用 二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算， 即可得到结果．
解：原式＝2＋1＝3
原式＝a2＋6a，当 a＝ 2－1 时，原式＝4 2－3
二次根式的概念和性质
1．(2014·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围是( C )
A．x＞0
B．x＞3
C．x≥3
D．x≤3
2．(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 1－2x
有意义( A )
A．－2
B．1
C ．2
3．二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中，先要把 二次根式化成最简二次根式，类似于合并同类项，我们可以 把被开方数相同的二次根式进行合并． 4．二次根式的乘除法： (1)二次根式的乘法： a· b＝________(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法： ab＝________(a≥0，b＞0)．
2．(2014·襄阳)已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，求 x2＋y2－xy－ 2x＋2y 的值．
【解析】根据 x，y 的值，先求出 x－y 和 xy，再化简原式， 整体代入求值即可． 解：∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2，∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝ －2 2，xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝ (x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋ 42