高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用

知识汇总

一、求导数方法

1.利用定义求导数

2.导数的四则运算法则

3.复合函数的求导法则

若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且

dx

du du dy dx dy ⋅= 即 [])()(x x f y φφ'⋅'='

4.反函数的求导法则

若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )

(1)(y x f φ'='，即dy

dx dx dy 1= 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数

dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出dx

dy 即可。 6.对数求导法

对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：

(1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如y=34)3(5

2)2)(1(---++x x x x x ,3)2)(53()32)(1(--+-=x x x x y ,55225+-=x x y 等等。

7.由参数方程所确定函数的求导法则

设由参数方程⎩

⎨⎧==)()(t y t x ϕφ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ϕφ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且dt

dx dt dy

t t dx dy

=''=)()(φϕ

8.求高阶导数的方法

二、求导数公式

1.基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμ

μx x

(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='

(5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2

csc )(cot -='

(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -='

(9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log =' (12) x x 1

)(ln ='

， (13) 211)(arcsin x x -=' (14) 211

)(arccos x x --=' (15) 21

(arctan )1x x '=+ (16) 21

(arccot )1x x '=-+

2.常见函数的高阶导数

(1) n n x n x -+-⋅-⋅-⋅=αααααα)1()2()1()()(

(2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) ()(sin )sin 2n x x n π⎛⎫

=+⋅ ⎪⎝⎭ (5) ⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅+=2cos )(cos )(πn x x n (6) ()1(1)!ln()(1)()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1)()(!)1()1(++-=+n n

n n b ax a n

b ax

3.两个函数乘积的n 阶导数公式(莱布尼兹公式)

()()()()(0)(1)'(2)''0(1)()2!n n k n k k n n n n k n n u v C u v u v nu v u v ---=-⋅==++

+

∑

()()(0)()(1)(1)!n k k n n n n k u v u v k ---++++

三、微分在近似计算中的应用

1.微分可以用来求函数在某点的近似值：

当|Δx|很小时， f (x 0+Δx)≈f (x 0)+f '(x 0)Δx

2.微分可以用来求函数增量的近似值

当|Δx|很小时，Δy≈dy=f '(x 0)Δx

3.微分可以用来求函数的近似公式

当|x|很小时，特别当

时, 有近似公式

常用的近似公式有

sinx ≈x (x 以弧度为单位)，tanx ≈x ，ln(1+x) ≈x ，e x ≈1+x ，(1+x)n ≈1+nx

四、导数的应用

1.函数单调性的判别法

设],[)(b a C x f ∈且在),(b a 内可导，

（1）若在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递增；

（2）若在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递减.

∆说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.

2.函数取极值的充分条件

第一充分条件：设函数设)(x f 在)(0x U 内可导且0)(0='x f （或)(x f 在)(0x U

内 可导且在0x 处连续），

（1）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(>'x f ；当0x x >时，0)(<'x f ，则)(x f 在0x

处取得极大值)(0x f ；

（2）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(<'x f ；当0x x >时，0)(>'x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；

（3）若在)(0x U 内，)(x f '在0x 的左右同号，那么0x 不是)(x f 的极值点.

3.曲线凹凸性的判定法

设函数)(x f y =在区间),(b a 内二阶可导，

（1）若在),(b a 内0)(">x f ，则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的．

（2）若在),(b a 内0)("

案例分析

一、利用导数定义计算若干问题

1.利用导数定义求极限

如果)(/x f 存在)()()(lim /0x f x f x f =-+⇔→口

口口 注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同

例1设)(x f 在0x 点可导，求下列极限

（1）h

h x f h x f h 2)2()2(lim 000--+→ （2）已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限x

x x 1)2πsin(lim 0-+→ 解：（1）00000000(2)(2)(2)()[(2)()]lim lim 22h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h

→→+--+----= 000000(2)()(2)()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h

→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=