数学发展史教案

数学发展史和三大数学危机

(2个课时)

数学的发展包括数学的萌芽期、常量数学时期、变量数学时期、近代数学时期。

一、数学的萌芽期（小学数学）主要以记数为主，还未形成独立的学科。这一时期贡献最大的国家有：中国，古巴比伦，埃及，印度。

主要贡献：十进制记数法，记数符号，三角形、梯形和圆的面积的计算，立方体和柱体的体积，截棱锥体的体积公式等。

二、常量数学时期（中学数学）这一时期又称为初等数学时期，主要发展了算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）等。主要代表人物:毕达哥拉斯、祖冲之、杨辉、笛卡儿、韦达等。

三、变量数学时期（大学数学）这一时期又称为高等数学时期。

主要创立了解析几何和微积分，这是数学史上最伟大的贡献。主要代表人物：牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、傅里叶。

四、近代数学时期（数学研究） 20世纪40-50年代，电子计算机的出现和非欧几何的建立，使整个数学王国蓬勃发展。主要贡献：1.纯数学方面：拓扑学（也称位置几何学、橡皮几何学。画在橡皮上的几何图形，图中的某些性质不变，如封闭性等）、泛函分析、抽象代数等。2.应用数学方面：非标准分析、模糊数学、突变理论、计算机理论、运筹学、优选法、对策论（博奕论）、排队论等。主要代表

人物：黎曼、冯.诺依曼、华罗庚、陈省身。

刚才给大家简单介绍了整个数学的发展史，实际上，数学发展到今天，并不是一帆风顺的，其中至少面临了3次大的危机。第一次是公元前5世纪（距今约2500年），古希腊毕达哥拉斯学派的理论被推翻；第二次危机是17世纪，微积分理论的基础受到质疑；第三次是19世纪，数学家罗素提出了集合理论的悖论。

首先，我们来看一下第一次数学危机——毕达哥拉斯学派的理论被推翻。

生平轶事：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他出生在爱琴海中的萨摩斯岛（现在希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学。相传他小时候有一次背着木柴从街上走过，一位长者看见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”毕达哥拉斯特别向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——古巴比伦和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个所谓集政治和宗教于一身的团体——毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯在那个时代是一位思想非常进步的学者：因为他允许妇女来听他的课。他认为妇女和男人一样都有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者，这是其他学派所没有的现象。他认为每一个人都应该懂一些数学几何知识。有一次他看到一个穷人，他想教他学习几何，因此对这个人说：如果你能学懂一个定理，那么我就给你三块银币。这个人看

在钱的份上就和他学几何了，过了一个时期，这个穷人对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，他跟毕达哥拉斯说：如果老师你多教我一个定理，我就给一个银币。没过多长时间，毕达哥拉斯就把他以前给那穷人学生的钱全部收回了。毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，他们认为“一切数都可表示成整数或者整数之比”。

主要成就：毕达哥拉斯在数论和几何上有很多成就，其中有2大成就特别突出。一是他发现了勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，可画图讲解一下）。二是他提出了著名的“万物皆数”理论，毕达哥拉斯认为世界上所有的数都可以表示成整数或者整数之比，大家觉得这个理论正确吗？当然是错误的，因为毕达哥拉斯所说的数仅仅包含有理数，除了有理数之外，其实还有无理数的存在。大家能说说自己知道的无理数吗？

我们发现的第一个无理数是√2（念做根号二），他的发现者叫希帕索斯

生平轶事：希帕索斯是毕达哥拉斯的学生，他提出了一个问题：

边长为1的直接三角形的斜边长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数√2（1.414215686）来表示（可推理）。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

希帕索斯之死：无理数的出现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击,也严重伤害了当时全体希腊人的信仰。一个数,是无限又不循环的,永远不能绝对精确呈现。这样的数毁灭了当时人们的信仰、破坏了他们的安全感、导致了严重的认识危机。毕达哥拉斯的门徒们恼羞成怒，将希帕索斯扔进了大海。从现有的资料来看,因无理数而死的人还不止希帕索斯一个,因为古希腊数学家普罗科拉斯在给《几何原本》作注时写道：“首先泄露无理数秘密的人都丧了命,因为对所有不能表达的和不定形的东西,都要严守秘密,凡是揭露和过问的人,必会遭到毁灭,并万世都被永恒的波涛吞噬。”

希帕索斯还有很多其他的数学家以自己的生命为代价使得无理数的真理为世人所知，为数学的发展做出了重大贡献，如果没有他们的英勇牺牲，我们今天可能都还不知道无理数的存在。

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

接着我们来看数学史上的第二次大危机——微积分的基础受到质疑。

微积分的概念：以大家熟悉的速度路程问题来看，一辆小汽车在一段颠簸不平的路上行走，每时每刻的速度其实都是不一样的，微分学就是把车子走过的路程分成无穷多个小段（无穷小量，趋近于0但不等于0，像划分一根1米长的绳子，每次减掉绳子的1/2,划分无数次以后剩下的长度就是一个大于0 的无穷小量），然后计算车子在经过每一个小段（无穷小量）时的速度的过程。积分学就是将这些无穷多个小段加总起来后得到车子行驶的总路程的问题，微分学和积分学可以简单看做一组逆运算。微积分理论可以计算出物体任何时刻的瞬时速度（解决“0/0没有意义，但是物体每一个时刻都是有速度”的问题，可适当引导），还可以计算曲线（画一条曲线）的长度、曲面的面积等等，有了微积分，我们就可以推断轮船、火箭、卫星的运行轨迹。

微积分理论的创建者：牛顿（英国人）和莱布尼兹（德国人）。左边是牛顿，右边是莱布尼兹，外国人都长得长不多（哈哈哈）。关于他们俩谁先创立的微积分理论，还有一段有名的争论。

1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的