高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习讲义新人教A版选修211231029

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习讲义新人教A版

选修211231029

知识系统整合

规律方法收藏

求轨迹方程的几种常用方法

(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．

(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．

(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．

(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．

学科思想培优

一、圆锥曲线的定义、方程及性质

(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；

(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；

(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．

总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．

[典例1] 已知抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，P (1，m )是抛物线C 上的一点，且|PF |＝2.

(1)若椭圆C ′：x 24＋y 2

n

＝1与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C ′的方程；

(2)设抛物线C 与(1)中所求椭圆C ′的交点为A ，B ，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程．

解 (1)因为P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，所以PF ＝1＋p

2＝2，p ＝2，

故抛物线的方程为C ：y 2

＝4x .

又由椭圆C ′：x 24＋y 2n ＝1，可知4－n ＝1，所以n ＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

4＋y 2

3

＝1，

y 2＝4x ，

消去y 得到3x 2

＋16x －12＝0，解得x 1＝23

，x 2＝－6(舍去)．

所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，236，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3，－236，则双曲线的渐近线方程为y ＝±6x .

由渐近线6x ±y ＝0，可设双曲线方程为6x 2

－y 2

＝λ(λ≠0)． 由点P (1，m )在抛物线C ：y 2

＝4x 上， 解得m 2

＝4，P (1，±2)，

因为点P 在双曲线上，所以6－4＝λ＝2， 故所求双曲线方程为3x 2

－y 2

2＝1. 拓展提升

(1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用．

二、直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．

(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长 |AB |＝(1＋k 2

)(x 1－x 2)2

或

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可

由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．

[典例2] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．

解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a

2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2

－1，0)．

由题设，知|a 2

－1＋22|2＝3，解得a 2

＝3.

故所求椭圆的方程为x 2

3＋y 2

＝1.

(2)设点P 为弦MN 的中点．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋m ，x 23

＋y 2

＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2

－1)＝0，

由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2

<3k 2

＋1.① 所以x P ＝

x M ＋x N

2＝－3mk

3k 2＋1

.

从而y P ＝kx P ＋m ＝m

3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋1

3mk

.

又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN .

则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k

，即2m ＝3k 2

＋1.②

把②代入①得2m >m 2

，解得0