几何与代数-极大无关组_向量组秩与矩阵秩

§4.2.2 向量组的极大线性无关组与秩
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足以下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关;
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
i1 , i2 , …, ir 线性表示,
则称 i1 , i2 , …, ir 为1, 2, …, s的一个
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
我们在谈论一个向量组的线性相关性或 其极大无关组或其秩时，没有强调这个 向量组是行向量组还是列向量组. 为什么？
1, 2, …, s作为列向量组线性相关
1T, 2T, …, sT 作为行向量组线性相关 事实上， k11 + k22 + …+ kss= .
定义4.5 向量组1, 2, …, s中极大无关组
中向量的个数称为这个向量组的秩，记为
秩{1, 2, …, s} 或r{1, 2, …, s}.
注：1. r{1, 2, …, s} ≤ s, 向量i的维数； 2. 向量组1, 2, …, s线性无关 <=> r{1, 2, …, s} = s .
第四章 n维向量
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
§4.2.3 向量组的秩与矩阵的秩
A= …
=
…
A的行向量组
问3：A的列向量组 与AT的行向量组有 何关系？
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
初等
引理4.1 如果A 行变换 B,则 A 与B的行向量组 等价, 从而，A与B的行向量组的秩 相等.
引理4.3 阶梯形矩阵行向量组的秩等于矩阵 的秩.
例如
12 4 3 5 03 1 2 0 00 0 2 1 00 0 0 0
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
初等
引理4.1 如果A 行变换 B,则 A 与B的行向量组 等价, 从而，A与B的行向量组的秩 相等.
引理4.3 阶梯形矩阵行向量组的秩等于矩阵 的秩.
第四章 n维向量
如何判定 向量组线 性相关?
§4.2 向量组的线性相关性
定义
解齐次方程组Ax=
r(A)<个数 特殊情形
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
回顾： n × s 的矩阵 A 的列空间
T = { ηRn | 存在x∈Rs 使得η= Ax }
x1
η= Ax =(1,2,s) x2
极大线性无关组.
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
等价定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足以下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关; (2’) 在 i1 , i2 , …, ir中添加1, 2, …, s中
任一向量所得的向量组都线性相关.
由引理4.1 和 引理 4.3 ，以及转置运算 可得
定理4.6 对于任意矩阵A，
行向量组的秩 = 列向量组的秩 = r(A)
( 行秩 = 列秩 = r(A)
)
第四章 n维向量
无关, 则 t = s .
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
定理4.4 给定一个向量组，其任意两个极 大无关组均含有相同个数的向量.
极大无关组中向量 的个数是一个不变量
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
定理4.4 给定一个向量组，其任意两个极 大无关组均含有相同个数的向量.
k11T + k22T + …+ kssT= .
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
另外，
= k11+k22+…+kss ,
T = k11T + k22T + …+ kssT.
总结：原则上它们可被视为同一个向量组， 但在一些结论的表述上有所区别. 建议做题 时交待一句：“不妨假设…是列向量组.”
§4. 2 向量组的线性相关性
定理 4.5 如果向量组 1, 2, …, t 可由 1, 2, …, s 线性表示，则
r{1, 2, …, t } ≤ r{1, 2, …, s }.
推论 4.3 如果向量组 1, 2, …, t 与 1, 2, …, s 等价，则
r{1, 2, …, t } = r{1, 2, …, s }
则称 i1 , i2 , …, ir 为1, 2, …, s的一个
极大线性无关组.第四章 n维向量源自§4. 2 向量组的线性相关性
例 分析下列哪些部分组是极大无关组?
1
0
1
1
1= 0 , 2 = 1 , 3 = 1 , 4 = -1
0
0
0
0
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
定理 4.3 如果向量组 1, 2, …, t 可由 1, 2, …, s 线性表示，而且 t >s, 则 1, 2, …, t 必定线性相关 推论 4.1 如果向量组 1, 2, …, t 可由 1, 2, …, s 线性表示，并且1, 2, …, t 线性无关, 则 t ≤ s . 推论 4.2 如果向量组 1, 2, …, t 与 1, 2, …, s 等价，并且它们均线性
…
xs
=x11 + x22++xss T 可看成是1,2,s“生成”的空间 又记 T = L{1,2,s}
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
例 寻找下列向量组所生成的空间的 “最小生成元”
1
0
1
1
1= 0 , 2 = 1 , 3 = 1 , 4 = -1
0
0
0
0
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§4. 2 向量组的线性相关性
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
§4.2.3 向量组的与秩 与矩阵的秩
A= …
=
…
A 的行向量组
问1：A的行向量 组的转置是否等于 其列向量组？
A 的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
§4.2.3 向量组的与秩 与矩阵的秩
A= …
=
…
A的行向量组
问2：A的行向量组 与AT的列向量组有 何关系？
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
例 如果向量组 1, 2, …, s 的秩为r, 证明: 1, 2, …, s中的任意r个线性无关的向量
都是其极大无关组.
如果向量组 1, 2, …, s 的秩为r, 那么在 1, 2, …, s中的任意r个线性无关的向量
中添加任意一个向量都会变得线性相关.