sp-5 离散时间信号的傅里叶分析

x(0) 1, x(1) 3, x(2) 2, x(3) 0, x(4) 4 x(n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) 4 (n 4)
(2)见例4.3
X (e j )
⑶由定义
1 x(n) 2

- j j n X ( e ) e d
其主要原因为：
信号覆盖了整个时间轴（时间受限信号除外） 信号是时间连续的（定义域是连续的） 信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外） 信号的频谱是连续的
时域要离散、有限！ 频谱要离散、有限！
DFT的推导
时域抽样
解决信号的离散化问题 通过与抽样信号相乘得到 连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓 工程上无法处理时间无限信号 通过窗函数对信号进行逐段截取 时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数 卷积 要使频率离散，就要使时域变成周期信号
频率归一的DTFT

用抽样序列的DTFT所得的频谱，是一个以抽样频率fs 为周期的周期频谱。为了研究方便，我们对这个周期 频谱进行频率归一化，用归一频率 作为新的频率变 量，于是 如果用角频率来表示就是 用归一化频谱求时域序列的逆变换的公式如下：
频率归一的DTFT


不必再关心信号的抽样间隔，而只需将得到的信号抽 样值顺次保存起来，再作变换即可，从而大大方便了 抽样信号在计算机等数字处理设备上的分析处理。因 此，今后，在不致引起混淆的情况下，我们用x(n)来 代表x(nT)。 为了与信号的实际物理频率区别开，我们称归一化处 理后的“频率”为数字频率（归一化频率 ），单位为 弧度/样本（对应数字角频率）或赫兹/样本（对应数字 频率）。
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 (t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
原函数
0
t 用于抽样
0
f
0
t 抽样后
0 叠加干涉
f
0
t
0
f
用于截断
0
t
0
f
截断后 0
有卷积波纹
0
t 用于延拓
f
0
t 延拓后
0
f
0
t 定义 DFT
c

c


1 x ( n) 2

1 jn c 1 1 c jn jn jc n jc n e d e ( e e ) e dj n c 2jn 2jn 2jn -c - c
c
1 c sin c n sin c n c Sa (c n) sin c n c n c n c n X (e j ) x ( n)


这就是序列x(nT)的"离散时间傅里叶变换"，记为 DTFT
关于DTFT公式的几点说明：
（1） 抽样信号的频谱仅从抽样值x(nT)即可算出。 （2） 是f的周期函数，周期为fs。即 因此，在进行频谱分析的时候，可以只关心奈奎 斯特频率区间[-fs/2，fs/2]。 （3） 如何求DTFT的逆变换？
第五章 离散时间信号的傅里叶分析
引言

本章主要讨论DTFT，DFT及其快速算FFT 离散化处理对信号的的真实频谱造成的影响


离散化时，信号原有的信息是否受损 如何计算抽样信号的频谱？ 信号截断时，信号的频谱会如何改变？ 如何利用离散信号的抽样值直接计算离散信号的谱 值呢？ 利用有限数目的离散谱值，如何恢复抽样信号？ 如何解决编程实现中的大计算量问题？
0
f
0
N
t 或 nTs
0
N
f 或 kf0
DFT的定义

设信号的数据长度为L，其N点DFT定义为信号的DTFT 在奈奎斯特区间 上N个等间距的频率点处的频 谱密度值，即信号的N点DFT结果是N个频谱密度值。 在奈奎斯特区间上均匀分布的N个DFT频率为
根据DFT的定义，将这些频率值代入DTFT的频谱公式中，得
抽样信号的频谱与连续时间信号的频谱的关系

抽样定理 fs>2fc 在奈奎斯特区间内，模拟信号的频谱可以

（1）满足抽样定理时，用抽样信号的频谱来还原； （2）若不满足，则用抽样信号的频谱来近似。
5.1 抽样信号频谱的数值计算 ——离散时间傅里叶变换DTFT

从抽样信号我们获得了——信号的一些离散值 如何利用抽样信号来计算抽样信号的频谱
DTFT (GN (n))
n
1 e jN 1 e j
e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) j / 2 j / 2 j / 2 e (e e ) sin( N / 2) j ( N 1) / 2 e X ( e j ) e j ( ) sin( / 2)
这也是窗函数序列的实际长度。
加窗序列的DTFT

一般来讲，加窗会对序列的频谱产生两种主要的影响：
（1） 信号的频谱分辨率将降低。可分辨的最小频率间隔受限于数 据记录的长度（实际上是窗函数的时间长度 ）。
（2） 将高频噪音引入了信号的频谱。这些高频分量是信号x(n)在 矩形窗的左右两个边缘因被截断而发生突变造成的。
总之，窗函数频谱的主瓣宽度决定了DTFT总的能达到的频率分 辨率，而窗函数的旁瓣则决定了DTFT总的频率泄漏。频率泄漏是加 窗操作引入的副作用，它可能与信号中那些较小的谐波分量处的主瓣 相混淆，因此应该尽可能的减少或减轻频率泄漏。
5.2 离散傅里叶变换DFT
连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字 计算机上进行计算。
用离散序列值计算抽样信号的频谱

具体的数值计算方法
（傅里叶变换定 义式，赫兹域）
（将抽样信号的 表达式代入） （将积分与求和 的次序互换）
（冲激函数的特 性）
用离散序列值计算抽样信号的频谱

式中， 是理想抽样后各冲激点冲激信 号的冲激强度值序列。因此，只要有了连续时间信号 的抽样序列，就能通过上式计算出抽样信号的频谱来！ 即
频率归一的DTFT

频率归一化的理解： （1） 对于序列而言，时间间隔Ts并非必须的，将其 视为1也就不会带来什么问题。 （2） 对于序列对应的连续频谱，都是周期的，这个 周期由信号的采样频率完全决定。而信号的采样频率 是可以变化的，也就是可以按照实际需要给出。换言 之，连续谱的周期并不是一个特别重要的限制条件。 （3） 对于周期谱，我们通常只需（也只能如此）关 心和存储一个周期的内容，因此，周期的具体大小没 什么影响。 因此，我们把频谱的周期统一归整为是可行的。 当然，在必要的时候，要恢复（求解）数字频率所对 应的实际物理频率也是非常容易的。

(6) 频域微分(时域线性加权)
DTFT的基本性质

(7) 卷积定理 设 时域卷积： 频域卷积：

(8) 帕斯瓦尔定理
例题

例4.1 求单位冲激序列的DTFT
DTFT ( (n))

n
j n ( n ) e 1

例4.2 求矩形脉冲序列的DTFT
j n j n G ( n ) e e N n 0 N 1
若令 ，则上式可以简记为
其中， 与DFT的点数N有关，称为DFT的旋转因子。 这可以看作是DFT的另一种更直接的定义式。
DFT的定义
从数学上看，序列的N点DFT可以看作是一个线性 矩阵变换，即将L维的时域向量变成N维的频域向量的 一种线性变换。即：
其中， L 是数据记录中时域样本的数目，它可能是无限的； N 则是对DTFT进行抽样的频率的数目。 通常在讨论DFT时，一般都假定L＝N。
DFT的定义

DFT是DTFT的一种特殊均匀抽样方式：（为什么说它 特殊呢？）它的频段范围是整个奈奎斯特பைடு நூலகம்间，因此， 要考察的频率点的位置仅与DFT要求的点数N有关 （因为抽取范围是固定的）。对所有的N点DFT来讲， 它们所涉及的频率点位置都是一样的，即
因此，通常我们可以将N点DFT直接写作
DFT的定义

n jn
1 1 ae j
0
1 2 3 4 5
n
x ( n)
a0
1 2
1 即 a u (n) 1 ae j
DTFT
3
4
5
n
以上序列的z变换为 1 za X ( z) 1 1 az 当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以
X ( e ) X ( z ) z e j
加窗序列的DTFT

加窗后可以认为信号在窗口外为零，在窗口内等于原 信号的值，即宽为L的矩形窗可定义为：
则加窗后的信号可定义为：
加窗序列的DTFT
这样加窗前后信号的频谱为
加窗序列的DTFT

加窗对序列频谱的影响
设矩形窗W(n)的DTFT频谱函数为 利用DTFT的卷积定理性质，序列加窗后的DTFT频谱密度函数为
DTFT的基本性质

(1) 周期性： 在数字频率意义下，奈奎斯特区间为 ，为研 究方便，通常使用 作为奈奎斯特区间。

(2) 线性：
，ak为常数

(3) 平移：

时移特性： 频移特性：
DTFT的基本性质

(4) 反褶、共轭：

反褶： 共轭：

(5) 时域扩展
序列的时域扩展定义如下：
它的DTFT为
c
2
DTFT
0 1
3 4
n
c
c


加窗序列的DTFT



到目前为止，在数字信号处理中，我们所得到的 是 X(f)的最好近似。然而，在工程上也仍是不可计算的， 还需要无穷多的抽样点x(n)， 。 为此，必须对X(f)作进一步的近似，即用有限数目抽样 样本的频谱来近似无穷多样本点序列的频谱！ 这种近似过程，实际上是对抽样信号在时域加窗的操 作。
j
j Im{z}
1 1 ae j
a 1
Re{z}
例题

例4.4 求有限长序列x(n)={4,3,2,1,2,3,4}的DTFT 解：

j0 那么X (e ) 为多少？
例题
例4.5 已知X(ejω)=DTFT{x(n)}，试求序列x(n)。
(1) X (e j ) 1 3e j 2e j 2 4e j 4
(2) X (e j ) 1 ( a 1) j 1 ae
1 0 c (3) X (e j ) 0 c
解：⑴由定义
X (e
j
)
n
x ( n )e

jn
x(0) x(1)e j x(2)e j 2 x(3)e j 3
DFT的定义
DFT的定义
因此，加窗序列的频谱将是原序列的频谱与窗序列频谱的卷积， 下面我们来看看这种频谱卷积对于原频谱的影响。 根据矩形窗的定义，将w(n)=1代入，可得
加窗序列的DTFT

加窗对序列频谱的影响
其幅度谱为
频谱示意图如下：
加窗序列的DTFT

加窗对序列频谱的影响
定义主瓣的宽度为
即主瓣宽度(频率分布范围) 由窗信号的持续时间(时间长度)唯一决定。 若频谱分析所要求的频率分辨率为 ，则所需信号样本的最小数目为：
抽样信号的频谱与连续时间信号的频谱的关系

用离散信号的频谱来分析研究连续信号的频谱（可认 为是对连续信号频谱的第一次近似）

设连续时间信号x(t)的频谱函数为X(f)，对信号按时间间隔T 抽样，得如下抽样信号：

利用每二章学过的知识，对上面的信号进行傅里叶变换，得


即：信号时域抽样（离散化），将使得频谱周期重复，抽样 信号的频谱等于原连续时间信号的频谱倍乘fs后周期重复。
（4） 数值近似问题。
关于DTFT公式的几点说明：
（5） 工程近似问题。 （a）在时域，只能保留x(nT)有限数目的值，如L个 样本，n=0,1……L-1。所以要用截断求和来近似上式：
（b）在频域，也只能保留有限的频谱值，即只在一 些离散的频率处对 取样，用有限的离散值来近似原 来的周期连续频谱(离散傅里叶变换DFT)。 （6） Z变换。从上式可以导出Z变换与DTFT的关系。 令 ，则
例题
G4 (n) x(n) R
1
0
1 2 3 4 5
X (e )
j
n
()
3 4
N4
0

2

34
0

2

例题
n 例4.3 单边指数序列 x(n) a u(n) a 1
x ( n)
a0
0
X (e )
n
j
n
x ( n)e

jn
a e
n0