特征值与特征根求法

2 1 1 例３ 设 A 0 2 0 ,求A的特征值与特征向量． 4 1 3
解
2 A E 0 4
1 2 1
2
1 0 3
( 1) 2 , 2 令 ( 1) 2 0
得A的特征值为1 1, 2 3 2.
ຫໍສະໝຸດ Baidu的非零解, 就是对应于 i的特征向量.
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思考题
思
考
题
设4阶方阵A满足条件: det3E A 0, AA 2 E , det A 0, 求A 的一个特征值.
T
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思考题解答
思 考 题 解 答
解 因为det A 0, 故A可逆.由 det( A 3 E ) 0知 1 3是A的一个特征值, 从而 是 A 1的一个特征 3 值. 又由 A AT 2 E得 det( A AT ) det(2 E ) 16,即 2 (det A) 16, 于是 det A 4, 但 det A 0,因此 det 4 A 4, 故 A 有一个特征值为 . 3
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1 1 0 例２ 求矩阵A 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为 1 1 3 0 0 ( 2 ) (1 ) ,
2
A E
4
1 0 2 所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n 阶方阵，其特征多项式为 f A E A n an1n1 a1 a0
求 AT 的特征多项式.
解
f AT E AT
T E A
E A
n an1n1 a1 a0
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 0).
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例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
m m (1) 是 A 的特征值 m 是自然数 .
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
(3)当A可逆时， -1|A|是A*的特征值。 证明
当 1 2时, 解方程( A 2 E ) x 0.由
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1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 0 得基础解系 p1 0 , 1 所以k p1 (k 0)是对应于 1 2的全部特征值 . 当 2 3 1时, 解方程( A E ) x 0.由 2 1 0 1 0 1 A E 4 2 0 ~ 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0
a1 n a2n 0 a nn
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0 为A的 特征方程 .
记 f A E , 它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
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4. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 , ,
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当 1 2时, 对应的特征向量应满足 3 2 1 x1 0 , 1 3 2 x 2 0
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x1 x 2 0, 即 x1 x 2 0. 1 解得 x1 x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 p1 . 1 当 2 4时,由
一、特征值与特征向量的概念
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵, 如果数 和n维非零列向量 x 使关系式 Ax x 成立, 那末, 这样的数 称为方阵 A的特征值 , 非零向 量x称为A的对应于特征值 的特征向量 .
言的. 说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而
3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 ,即 , 1 3 4 x 2 0 1 1 x 2 0
解得 x 1 x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 1 p 2 . 1
k k x1 p1 k x p 类推之，有 1 2 2 2 m x m pm 0. k 1,2,, m 1
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把上列各式合写成矩阵形式，得 m 1 1 1 1 m 1 1 2 2 x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0 1 m 1 m m 上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列
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2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
1 1 A Ax A x A x 1
A 1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
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(3)AA*=|A|E
A*=|A|A-1
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3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0
得基础解系
1 p2 2 , 1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值 .
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n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
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3 1 . 例 1 求A 的特征值和特征向量 1 3 解 A的特征多项式为 3 1 2 (3 ) 1 1 3 8 6 2 (4 )( 2 )
A*x=|A|A-1x=|A| -1x
所以-1|A|是A*的特征值。
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二、特征值和特征向量的性质
二、特征值与特征向量的性质
定理2 设1 , 2 ,, m 是方阵 A的m 个特征值 , p1 , p2 ,
, pm 依次是与之对应的特征 向量.如果 1 , 2 ,, m 各不相等 , 则 p1 , p2 ,, pm 线性无关 . 证明 设有常数 x1 , x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0. A x1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即 则 1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
1 Ax x 2 2 A x x A Ax Ax Ax x
m m A x x m 2 再继续施行上述步骤 次，就得
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
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2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A E
0的都是矩阵A的特征值.
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3. A E 0 a11 a12 a 21 a 22 a n1 an2
故对应于1 1的全体特征向量为 k p1 ( k 0).
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当2 3 2时, 解方程 A 2 E x 0.由
4 1 1 4 1 1 A 2 E 0 0 0 ~ 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0 得基础解系为： 0 1 p2 1 , p3 0 , 1 4 所以对应于 2 3 2的全部特征向量为:
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注意
１.
的．
属于不同特征值的特征向量是线性无关
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
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式,当各i不相等时, 该行列式不等于 0, 从而该矩阵 可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
即 x j p j 0 j 1,2,, m .但 p j 0,故 x j 0 j 1,2,, m .
所以向量组 p1 , p2 ,, pm 线性无关.
1 2 的特征向量,即有
Ax 1 x , 1 x 2 x 1 2 x 0,
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
Ax 2 x
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
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三、特征值与特征向量的求法
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四、小结
四、小
结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式det A E ;
2. 求特征方程det A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值;
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组
A i E x 0
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当1 1时, 解方程 A E x 0.由
1 1 1 A E 0 3 0 4 1 4 1 得基础解系 p1 0 , 1
1 0 1 ~ 0 1 0 , 0 0 0