二次函数各种题型汇总

二次函数各种题型汇总

一、利用函数的对称性解题

（一）用对称比较大小

例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y1与y2的大小

解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x2-3/2＞0，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称

轴的右侧，

由已知条件x2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2＞y1

（二）用对称求解析式

例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此

抛物线的解析式。

解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离

为6，所以两交点的横坐标分别为：

x1=－1－3=－4，x2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；

设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。

所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4

（三）用对称性解题

例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（）

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标

为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，

因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5

例2、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x

轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）

A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）

解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。

设点B的横坐标为x B

，∵点A的坐标为（0，3），所以，（0+x B）/2=2，x B=4 ∴B点坐标为（4，3）

例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若

其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少

解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2是多少；

解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）

∴关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x1=3或x2=－1．故填空答案：x1=-1

例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解法1：将P代入得：9a+3b+c=0

由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0

即a+2a+c=0 则 a-b+c=0

解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A．

例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________

解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).

例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．

求抛物线的解析式．

分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称．

解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b

因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k 2+1)和F(-k-1，-k 2+1)．纵坐标相同，∴点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴ 抛物线的解析式为y=1/2x 2+x+4

例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y ＝ax2+bx+c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；．

分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA+MC 最小，只要MC+MB 最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．

解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。

又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1，

所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2

∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3

由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC,交对称轴x=1于点M. ∵点M 在对称轴上，MA=MB ,

∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b ， 由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.

当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

例8、二次函数图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。 分析：由观察可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线x =-1是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为y a x =++()132（顶点式），所以

1113122=++=-a a ()，。从而可确定二次函数的解析式为

y x =-++12132()。 例9. 已知抛物线

y ax bx c a =++≠20()经过点A （-3，-5），且b a =2。试求抛物线经过除A 点以外的另一定点的坐标。

分析：按照常规思维写出解析式

y ax bx c =++2，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到