北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程
合集下载
二阶阶微分方程的解法及应用课件
分方程转化为关于参数 的常微分方程，从而求解。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
数学物理方法课件：二阶常微分方程级数解法
）R
0
（ k2 2）
当： 0 （欧拉型常微分方程）
2
d2R
d 2
dR
d
m2R
0
R（）
E F ln E m F m
（m 0） （m 0）
当： 0
（m 阶贝塞尔方程）（x ）
x2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
m 2）R
0
§9·2 常点邻域上的级数解法
讨论用级数解法求解带初始条件的
d2Z dz 2
Z
0
d2R
d 2
1
dR
d
（
m2
2
）R
0
Z（z） Ce z De z
对R（）作变量代换：x dR dR dx dR
dx d
d dx d
dx
d 2R
d 2
d（ dR ）
d d
d（ dx
dR ）dx
dx d
d 2R dx2
m
阶贝塞尔方程：
x
2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
0
同乘 2 移项：
RZ
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
2
Z
d2Z dz 2
k2 2
1
d 2
d 2
分解成两个方程：
d 2
d 2
0
构成本征值问题
（ 2） （）（自然周期条件）
本征值： m2 （m 0，1，2，3，）
本征函数：（） Acos m B sinm
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
数学物理方法课件：9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题
2R' 'R'm2R 0
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解
Z C Dz
E F ln , (m 0) R E m F m, (m 0) P11819表
（二）波动方程 (边条均齐次化)
utt a22u 0 (9.1.26 )
u(r,t) T (t)v(r ),
T" a 2T
Dv v
k 2
2v k 2v 0, ——称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 T ' 'k2a2T 0,
0
Z''Z 0
z
(ii) 方向齐次边界条件, z 方向非齐次边界条件，
a
令： x, ( 0)
d 2R dx 2
1 x
dR dx
1
m2 x2
R
0
即 x2R' 'xR' x2 m2 R 0
(9.1.22)
x
——称为 m 阶 Bessel
方程。
y
Z''Z 0
(iii) 0
Z'' 0
Z Ce z De z
T" a 2T
D2v v
k 2
(3)
分解为两个 方程：
T"k 2a2T 0 (4)
D2v k 2v 0 (5)
(5)式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示 式为:
2v 1 v 1 2v k 2v 0 (5’)
2 2 2
26
设 v(,) R()() (6)
19ii19p189表条件圆柱侧面上的齐次边界分离变量结果方程球坐标柱坐标helmhotz方程laplace方程sincossincossincossincos21本节小结拉普拉斯方程drdrsinsincrdrcossinsinsin22拉普拉斯方程cossindxdxcossindxdx23亥姆霍兹方程uklklmsinsindrdrdxdx24亥姆霍兹方程cossincossindxdx25本节小结特殊函数方程dxdxdxdxdrdrdxdx阶勒让德方程921021149311526第190页tt解
北京大学数学物理方法(上)课件_6 二阶线性常微分方程的幂级数解法
∞
w1(z) = (z − z0)ρ1
ck(z −gw1(z) ln(z − z0)
∞
+ (z − z0)ρ2
dk(z − z0)k
k=−∞
(10) (11)
其中 ρ1, ρ2 和 g 为复常数.
Proof 为简单起见, 假设奇点为 z0 = 0. 方程的两个线性无关的解为 w1(z), w2(z). 不失一般性, 设解为多值函数, z0 = 0 为枝点. 沿正实轴方向作割线, 规定割线上岸的辐角值为 arg z = 0.
即
正是我们要证的形式. 下面来构造 w(z), 设
b1, b2 为待定系数. 则
∞
w(z) = zρ
cnzn
n=−∞
w = b1w1 + b2w2
w(ze2πi) = b1w1(ze2πi) + b2w2(ze2πi) = (b1a11 + b2a21)w1(z) + (b1a12 + b2a22)w2(z) = λw(z) = λb1w1(z) + λb2w2(z)
=0
如果 z0 是方程的奇点, 则 z0 点可能是方程的解的奇点: 可能为解的极点, 本性奇点; 如果解为多值函数, 还 可以是解的枝点.
Theorem 6.3. 如果 z0 是二阶线性微分方程的孤立奇点, p(z), q(z) 在区域 0 < |z − z0| < R 内解析, 则在 环形区域 0 < |z − z0| < R 内, 方程有两个线性无关的解.
w1(ze2πi) = a11w1(z) + a12w2(z) w2(ze2πi) = a21w1(z) + a22w2(z)
梁昆淼_数学物理方法第9章
2
d m 2 0 d 2
2
A cos m B sin m
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
(m 0,1,2,3)
R Cr Dr
l
( l 1)
（2）、柱坐标系
u 1 u 1 u u u 2 2 2 2 z
2u 2u 2 2u 2u 2 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 x xy y
上面第一式两边除以 2
1 2u 2u 2u 2u 1 u u 2 2 2 ( cos sin ) 2 2 x y x y
u 1 u 1 u u 在柱坐标系中 u 2 2 2 2 z
2 2 2
在极坐标系中
u 1 u 1 u u 2 2 2
2 2
（2）、球坐标系中
1 2 u 1 u 1 u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin 2 2
令
1 d sin d d (sin ) l (l 1) sin 2 d 2 d d
2
d 0 2 d d d 2 sin (sin ) [l (l 1) sin ] 0 d d
2
d 0 2 d d d sin (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
第九章 二阶常微分方程级数解法变换法
本征值问题
§9.1 §9.2 正交曲线坐标系 特殊函数常微分方程
§9.3 常点邻域的级数解法 §9.4 正则奇点邻域上的级数解法
d m 2 0 d 2
2
A cos m B sin m
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
(m 0,1,2,3)
R Cr Dr
l
( l 1)
（2）、柱坐标系
u 1 u 1 u u u 2 2 2 2 z
2u 2u 2 2u 2u 2 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 x xy y
上面第一式两边除以 2
1 2u 2u 2u 2u 1 u u 2 2 2 ( cos sin ) 2 2 x y x y
u 1 u 1 u u 在柱坐标系中 u 2 2 2 2 z
2 2 2
在极坐标系中
u 1 u 1 u u 2 2 2
2 2
（2）、球坐标系中
1 2 u 1 u 1 u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin 2 2
令
1 d sin d d (sin ) l (l 1) sin 2 d 2 d d
2
d 0 2 d d d 2 sin (sin ) [l (l 1) sin ] 0 d d
2
d 0 2 d d d sin (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
第九章 二阶常微分方程级数解法变换法
本征值问题
§9.1 §9.2 正交曲线坐标系 特殊函数常微分方程
§9.3 常点邻域的级数解法 §9.4 正则奇点邻域上的级数解法
9-5二阶线性常系数微分方程-PPT课件
2 y p y qy 0 p q0
特征根的情况
实根 1 实根
通解的表达式
复根 1,2
1
2
y C e C e 1 2
x 1
x 2
i
2
x y e (C1 cos x C2 sin x )
x 1 y C C xe 1 2
代入(9.70)得
2 x p qe 0
ex 0
特征方程
故有 特征根
2 q 0 p
1 ,2
p p2 4q , 2
0 ) (1) 有两个不相等的实根 (
2 p p 4q p p 4 q 特征根为 1 , , 2 2 2
n阶常系数线性齐次方程解法
特征方程为
p p p0
n n 1 1 n 1 n
特征方程的根
若是 k重根
通解中的对应项
k 1 x ( C C x C x e 0 1 k 1 )
m 1 C C x C x ) cos x 若是m重共轭 [( 0 1 m 1
例1 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 解 特征方程 2 3 0 ,特征根: 1 , 3 , 1 2
x 3 x 因此原方程的通解为 y C e C e 1 2
0 ) (3) 有一对共轭复根 (
特征根为
1 2
i , i 0 .
复根 i
m 1 x ( D D x D x ) sin x ] e 0 1 m 1
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对 应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
特征根的情况
实根 1 实根
通解的表达式
复根 1,2
1
2
y C e C e 1 2
x 1
x 2
i
2
x y e (C1 cos x C2 sin x )
x 1 y C C xe 1 2
代入(9.70)得
2 x p qe 0
ex 0
特征方程
故有 特征根
2 q 0 p
1 ,2
p p2 4q , 2
0 ) (1) 有两个不相等的实根 (
2 p p 4q p p 4 q 特征根为 1 , , 2 2 2
n阶常系数线性齐次方程解法
特征方程为
p p p0
n n 1 1 n 1 n
特征方程的根
若是 k重根
通解中的对应项
k 1 x ( C C x C x e 0 1 k 1 )
m 1 C C x C x ) cos x 若是m重共轭 [( 0 1 m 1
例1 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 解 特征方程 2 3 0 ,特征根: 1 , 3 , 1 2
x 3 x 因此原方程的通解为 y C e C e 1 2
0 ) (3) 有一对共轭复根 (
特征根为
1 2
i , i 0 .
复根 i
m 1 x ( D D x D x ) sin x ] e 0 1 m 1
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对 应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
(
x
),
y x2Qm ( x)ex .
综上讨论
0 不是根
设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
y
2
A
p
q
e x
A xex
2 p
,
A x2ex 2
不 是 特 征 方 程 的 根 是特征方程的单根 , 是 特 征 方 程 的 重 根
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例3 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
k
0 1
j不是根 j是单根,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例4 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
作辅助方程 y y 4e jx , j 是单根, 故 y* Axe jx ,
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y* ,
其中 是常数，Pm ( x)是x的m次多项式.
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件 3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量
1 (r2 u) 1 (sin u ) 1 2u 0
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
令 u(r, ,) R(r)Y( ,)
4
Y r2
r
(r2
R) r
R
r2 sin
(sin
Y
u f ( ,)
u
ra r0
有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条 件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标： 2 2 2
x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l1m2 1 x2 Nhomakorabeay
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法
二阶微分方程教学课件
（9)
(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，此时 y1 er1x 和 y2 xer1x方程(2)的特解，且线性无关，所以方程(6)的通解为：
y (C1 C2 ,2=α±βi ， 这时y1 e(i)x
和 y2 e(i)x 是方程(6)的两个特解，但这两个解含有复数，
y ( sin x Cx C2 )dx cosx C1x2 C2 x C3
C
(C1
) 2
这就是所求方程的通解．
4
2. y f (x, y)型
方程
y f ( x, y)
(3)
的右边不显含未知函数 y ．如果设y p( x) ,那么
y dp p, dx
因而方程(3)就变为
p f ( x, p)
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2 ；
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程 (6)的通解：
特征方程 r2 pr q 0 的根
两个不相等的实根r1 r2 两个相等的实根r1 r2 r
一对共轭复根 r1,2 i
方程 y py qy 0 通解
y C1er1x C2er2x
两端积分并进行化简，得 p C1 y 或 y C1 y
再一次分离变量并积分，得
ln y C1x lnC2 或 y C2eC1x
如果P = 0，那么立刻可得 y = C，显然它也满足原方程．但 y =C
已被包含在解 y C2eC1x 中了 (令C1 0就可得到它).
所以方程的通解为 y C2eC1x
因为，erx 0 所以上式要成立就必须有
r2 pr q 0
(8)
这就是说，如果函数 y erx 是方程(6)的解，那么 r 必须满
二阶常微分方程
( n) ( n1)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0 p, q 为常数；
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x ) p, q 为常数。
7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法
y py qy 0
可设 y x vn ( x )e
m
,
x
n次多项式
0 不是根 m 1 是单根 2 是重根
22
代入原方程用待定系数法求得特解。
3 y 5 y 6 y x 2 x 1 通解。 例6、求
例7、求 y 2 y 3 y (3 4 x )e x 通解。
例2、求 y 6 y 9 y 0 通解。
例3、求 y 4 y 0 满足 y(0) 0 y(0) 1 特解。
13
n 阶常系数齐次线性微分方程解法
标准形式
y( n) p1 y( n1)
其特征方程为
pn1 y pn y 0
p1 , p2 , , pn 为常数,
5
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程
d2y dy p( x ) q( x ) y f1 ( x ) 2 dx dx 的解, 2 d y dy p( x ) q( x ) y f 2 ( x ) 2 dx dx 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是线性微分方程
pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x )
1
二阶线性微分方程解的结构:
1、二阶齐次线性微分方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0 p, q 为常数；
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x ) p, q 为常数。
7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法
y py qy 0
可设 y x vn ( x )e
m
,
x
n次多项式
0 不是根 m 1 是单根 2 是重根
22
代入原方程用待定系数法求得特解。
3 y 5 y 6 y x 2 x 1 通解。 例6、求
例7、求 y 2 y 3 y (3 4 x )e x 通解。
例2、求 y 6 y 9 y 0 通解。
例3、求 y 4 y 0 满足 y(0) 0 y(0) 1 特解。
13
n 阶常系数齐次线性微分方程解法
标准形式
y( n) p1 y( n1)
其特征方程为
pn1 y pn y 0
p1 , p2 , , pn 为常数,
5
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程
d2y dy p( x ) q( x ) y f1 ( x ) 2 dx dx 的解, 2 d y dy p( x ) q( x ) y f 2 ( x ) 2 dx dx 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是线性微分方程
pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x )
1
二阶线性微分方程解的结构:
1、二阶齐次线性微分方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0
二阶常系数线性微分方程的解法-19页PPT文档资料
是特征方程的重根
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
复习 目录 上页 下页 返回 结束
故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
复习 目录 上页 下页 返回 结束
故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
二阶常微分方程
分解为两个方程：
1 ∂ 2Y 1 ∂ ∂Y (sin θ )+ + l (l + 1)Y = 0 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
d 2 dR (r ) + [k 2 r 2 − l (l + 1)]R = 0 dr dr
(17) (18)
方程(17)就是球函数方程，把它进一步分离变数将得到解； 常微分方程(18)叫作l阶球贝塞尔方程。
20
线性二阶常微分方程(2) 在常点z0的邻域 z − z 0 < R 上存在唯一的解析解，就把它表成此邻域上泰勒级 数的形式，
(5)
令 Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) 代入球函数方程(5)，得
dΘ Φ d Θ d 2Φ (sin θ )+ + l (l + 1)ΘΦ = 0 2 2 dθ sin θ dθ sin θ dϕ
sin 2 θ 两边同乘以 ΘΦ
sin θ d dΘ 1 d 2Φ (sin θ )+ + l (l + 1) sin 2 θ = 0 dθ Θ dθ Φ dϕ 2
(9)
方程(9)化为
d 2Θ dΘ m2 (1 − x 2 ) 2 − 2 x + [l (l + 1) − ]Θ = 0 2 dx 1− x dx
(10)
当 m = 0 时，
——l 阶连带勒让德方程 (11)
11
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
其中z为复变数，z0为选定的点，C0, C1为复常数。 一、方程的常点和奇点 如果方程(2)的系数函数p(z)和q(z)在选定的点z0的 邻域中是解析的，则点z0叫作方程(2)的常点。 如果选定的点z0是p(z)或q(z)的奇点，则点z0叫作方 程(2)的奇点。
第九章二阶微分方程的解法
y(x) an (x x0 )n n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
数学物理方程与特殊函数
第九章
系数的确定
➢ 将解的级数形式代入方程，合并同幂次项； ➢ 令合并后的各系数分别找零，找出系数之间的递推关系； ➢ 用已知的初始调试条件确定系数，从而求得级数解
以l 阶勒让德方程为例进行分析
a1
a7
（5l7）(6l 6)
a5
(5l )(3l（) 1l )(l 2)(l 4)(l 6) 7！
a1
………
a2k 1
（2(k2k11l）)((l2k2)k )
a2k 1
(2k 1l )（1l )(l 2)(l 2k ) (2k 1)！
a1
数学物理方程与特殊函数
得到l 阶勒让德方程解：
第九章
y
定理
如果方程 y'' p(x) y' q(x) y 0
的系数 p (x) , q (x) 在点 x0的邻域 x x0 R 内解析，则
方程在这圆内存在唯一的解析的解 y (x)，满足初始条件
y(x0 ) C0 , y(x0 ) C1. （C0 , C1为任意复常数）
表示成泰勒级数的形式
数学物理方程与特殊函数
第九章
第九章 二阶常微分方程的级数解法
• 概述 • 常点邻域上的级数解法 • 正则奇点邻域上的级数解法 • 本章小结
数学物理方程与特殊函数
第九章
一、概述
分离变量法
直角坐标系、平面极坐标 本征函数是三角函数
实际 正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系） 拉普拉斯方程的分离变量
数学物理方程与特殊函数
a2k x2k