最基本的图形--点和线(提高)知识讲解

最基本的图形--点和线（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 理解点和线是最基本的图形；

2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；

3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；

4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；

5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.

【要点梳理】

要点一、点、线、面、体

长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.

要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法

1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：

（1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.

（2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．

要点诠释：

（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．

（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.

（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）线段、射线、直线都没有粗细．

2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.

要点诠释：

（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；

图4

端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．

（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

要点三、直线、线段的基本性质

1. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线． 要点诠释：

（1）点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O ；

②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P .

（2）两条不同的直线相交只有一个交点.

2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．

要点诠释：

（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点四、线段的长短比较

1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

图7

图5

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．

法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．

要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.

2.线段的比较：

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

要点诠释：类似于数，线段也可以相加减．

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线

段AB的中点，则

1

2

AC CB AB

==，或AB＝2AC＝2BC．

要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．

【典型例题】

类型一、点、线、面、体

1．（浙江宁波）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；

(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；

(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题. 【答案与解析】

解：(1)6， 6， V+F-E＝2；

(2)20；

(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为243

36

2

⨯

=条，

根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，

∴ x+y＝14．

【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2

举一反三：

【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）

A. B. C. D.

【答案】B

类型二、线段、射线、直线的概念及表示方法

2.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．【答案与解析】

解：直线有一条：直线AD；

射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；

线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．

【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．

举一反三：

【高清课堂：直线、射线、线段397363拓展4】

【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.

【答案】