7.7二元函数的极值和最值解析
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。
二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。
2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。
具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。
3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。
3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。
3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
2017考研数学常考题型之求二元函数的极值和最值
2017考研数学常考题型之求二元函数的极值和最值
对于一元函数微分学而言，导数的应用相当广泛，我们研究了函数的单调性、极值、最值、拐点、凹凸性、渐近线等问题. 而对于多元函数微分学而言，其应用就少很多. 我们仅仅研究其极值和最值即可.
在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题. 与一元函数相类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系，因此我们以二元函数为例，来讨论一下多元函数的极值和最值.
类型一利用极值的定义来判别某点是否为极值点.
尽管有上述复杂情况，但在求解最小(最大)值应用问题时，若目标函数在问题讨论的定义域内只有唯一的驻点，且从问题的实际意义已知所求函数的最小(最大)值又是客观存在的，则可断言该驻点就是所求函数的最小(最大)值点，不必再作其他判定.
类型四求简单二元函数在有界闭区域上的最大值和最小值.
类型五求二元(多)元函数的无条件极值.
条件极值问题可以转化为无条件极值问题. 例如，在自变量的约束条件下能解出变量之间的某种简单关系，则可将其代入到目标函数中使得条件极值转化为无条件极值. 但是若是条件函数较为复杂的话，则需要采用拉格朗日乘数法进行求解.
关于多元函数的极值和最值问题的考查内容也就这么多，需要同学们在复习过程中，根据题目的已知信息，分析出题目所要考查的极值类型，进而相应的类型作出合适的判断或求解. 同学们一定要掌握最基本的方法，这是每年考研中必考的一种题型的题目.。
二元函数的概念二元函数的极限和连续性
性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数， 在 D 上一定有最小值和最大值。
性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何 值至少一次。
证明 要证f (x, y)在点（x0, y0 )连续，就是要证
lim f
x0
( x0
x,
y0
y)
f
( x0 ,
y0 )
0
y0
已知z f (x, y)在点(x0, y0 )可微，因而当
（x)2 (y)2 0
时有 z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
从而有
lim z 0
定理 7.5 如果函数 u (x, y)及v (x, y)都在点(x, y)可微，
函数z f (u, v)在对应于(x, y)的点(u, v)处函数z f (u, v)可微，
fxx 2z, fxz 2x, f yz 2z fzz 2 y, fzzx 0 所以 fxx(0,0,1) 2, f (1,0,2) 2
f yz (0,1,0) 0, fzzx (2,0,1) 0
§7.3 全微分及其在近似计算中的应用 教学目的：理解全 微 分 的 概 念 ， 了 解 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条
z
y
解
x 2xy x2
z
x
x1 2 1 1
y 1
z x2 1
y
x
因此
z y
x1 11 2
y 1
dz x1 dx 2dy
75新多元函数的极值与最值
第五节 二元函数的极值
一、二元函数的极值定义 二、最值应用问题 三、条件极值
高等数学教研室
2/19
回忆一元函数的极值
o
定义： 设 f x 在 U x0 内有定义，如果 xUx0 有 fxfx0或 fxfx0
则称 f x0 是 f x 的一个极大值或极小值
必要条件： f x 在 x 0 处可导，
高等数学
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11/19
例2 某厂要用铁板做一个体积为2 m 3的有盖长方体水
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
A2xy
y
2 xy
x
2 xy
2xy2 x2 y
x y
0 0
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0
证:因 z f(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )取得极值 , 故 zf(x,y0)在 xx0 取得极值 zf(x0,y)在 y y0 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 具有偏导数的 函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点.
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
7/19
例1 求函数 f( x ,y ) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x 的极值.
解: 第一步 求驻点.
解方程组
fx(x,y)3x26x90x 1, 3 fy(x,y) 3y26y0 y 0, 2
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
7.7二元函数的极值和最值
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
f (x, y)在点(1,0)取极小值， 极小值为 f (1,0) 5.
A fxx 6x 6, B fxy 0, C f yy 6 y 6
在(1,2)处A 12 0, B 0,C 6,
B2 AC 72 0, f (x, y)在点(1,2)无极值。
驻点有 (1,0),
闭区间上连续函数最值只能在极值点
和端点处取得.
y
而极值点只会在 驻点和不可导点处
所以闭区间上连续 函数最值只能在
x1
a
o
x2
x3 b x
驻点、不可导点和端点 处取得
1.求闭区间[a ,b]上连续函数最值的步骤：
(1)求出f (x)在[a,b]内的可疑最值点（驻 点、不可导点、区间端点)及其函数数值 注：对这些可疑最值点不需采用第一或第 二充分条件确认其是否为极大（小）值点
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
区间[a, c]上 max f ( x) f (c), min f (x) f (x2 )
可见, 闭区间上连续函数最值只能在极值 点和端点处取得. 为什么要单独考虑端点？ 因端点没有资格做极值点，但可能取最值
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步 对每一个驻点，根据 ABC 法则判断 其是否为极值点.
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数极值
例1 函数 z 3x2 4 y2在 (0,0) 处有极小值．
提示与分析: 画出图形便可得到结论. 解 该函数表示 的曲面为椭圆抛 物面.
（谷）极小值点
例2 讨论由 x2 y2 z2 1所确定的函数 9 25 16
z f ( x, y)的极值．
三、二元函数最值的应用
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
实际问题求最值的方法： 实际问题中，如果函数在D内仅有一个驻点，
那么该点即为所求的最值点.
例4 要做一个容积为a的长方体无盖容器， 问选择怎样的尺寸，才能使用料最省？
提示与分析: 本题即求表面积函数的最小值.
f ( x, y) (3 x y)x (4 x 2 y) y x2 2 y2 2 xy 3x 4 y.
D {( x, y) x, y 0}
将函数两边分别对 x, y求偏导.
fx ( x, y) 2 x 2 y 3 0 (1)
y)
y
2a x2
0
f y ( x,
y)
x
2a y2
0
x
3
2a
y 3 2a
唯一驻点
又由该实际问题的最小值一定存在，故而
驻点是最小值点，此时高为
a
a
3 2a
h
,
xy 3 2a 3 2a 2
综上，当长、宽、高分别是 3
3
2a，3 2a，
2a
时，
极值点
注意： 驻点
极值点
二元极值
.
x = x0 y = y0
驻点
A
B -3 -3
C 0 6
AC − B
2
结论 无极值 有极小值
（0,0） 0 （1,1） 6 结论
-9<0 27>0
f (0, 0) 无极值；f (1,1) 为极小值 ，且极小值f (1,1) = -1。
二元函数的最值:
存在性：有界闭区域上连续函数一定有最大值、最小值 ，
求解步骤：（1） 求出所有驻点及其函数值；
（2）求出偏导数不存在之点及其函数值；
（3）求出边界上的最值. 将（1）、（2）、（3）的函数值进行比较． 其中，最大的就是最大值；最小的就是最小值．
例2: 已知某工厂投入产出函数为 z = 6x y .
其中 x为资本投入，y为劳动力投入，z为产出。
1 1 3 2
a b c
x2 y2 z2 + 2 + 2 −1 = 0 2 a b c
a b c x= ,y= ,z= . 3 3 3
a b c 当x = 时立方体体积是否最大 ？ ,y= ,z= 3 3 3 对于这个问题，一般不再研究函数的二阶偏导数，
而是根据问题本身的实际意义,例如本题根据几何意 义，经过简单分析,得出最终的答案． 对于椭球的内接长方体的体积问题， 一方面椭球面所有的内接长方体中, 最大的体积一 定存在; 另一方面,最大体积一定在辅助函数的驻点达到. 由此可以断定驻点既是最值点： a b c ,y= ,z= 当x= 时立方体体积达到最大. 3 3 3
不受约束.因此这种极值又称为无约束极值． 但是在应用中更常见的情形是： 自变量 ( x, y ) 或 ( x, y , z ) 受到若干条件的限制． 在对于自变量的某些限制下求 函数极值称为条件极值问题． 求解条件极值问题不能直接沿用求局部极值的方法． 德国数学家拉格朗日创造了一种方法： 他通过引进 将条件极值问题化为无约束极值问题． 拉格朗日乘数，
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2 xy
x
2 xy
2xy2 x2 y
x y
0 0
令 Ax2(yx22)0得驻点 (3 2,3 2) Ay2(xy22)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0 证: 因 z f(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )取得极值 , 故
zf(x,y0)在 xx0 取得极值 zf(x0,y)在 y y0取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点.
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
z3x24y2在点 (0,0) 有极小值;
z z
z x2y2 在点 (0,0) 有极大值; x
y
zxy在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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定理1 (必要条件) 函数 zf(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )存在 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
第五节
第八章
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
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一、 多元函数的极值
定义: 若函数 zf(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )的某邻域内有 f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 )( 或 f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ))
二元函数极值
⼆元函数极值Δ=AC-B²
判断⼆元函数极值⽅法如下：
设：⼆元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
Δ=AC-B²
如果：Δ>0
A0,f(x0,y0) 为极⼩值4102；
如果：Δ0
f(0,0)=0 为最⼩1653值。
求解函数极值⽅法：寻求函数整个定义域上的最⼤值和最⼩值是数学优化的⽬标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最⼤值和最⼩值。
此外，整个定义域上最⼤值（或最⼩值）必须是域内部的局部最⼤值（或最⼩值），或必须位于域的边界上。
扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的⼀个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的⼀个极⼤值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的⼀个极⼩值。
极值的概念来⾃数学应⽤中的最⼤最⼩值问题。
根据极值定律，定义在⼀个有界闭区域上的每⼀个连续函数都必定达到它的最⼤值和最⼩值，问题在于要确定它在哪些点处达到最⼤值或最⼩值。
如果极值点不是边界点，就⼀定是内点。
因此，这⾥的⾸要任务是求得⼀个内点成为⼀个极值点的必要条件。
二元函数极值__概述说明以及解释
二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。
而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。
本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。
同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。
最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。
引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。
第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。
第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。
第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。
最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。
同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。
2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。
在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。
对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
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一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
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二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
极值与最值
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点
7.6极值与最值
2z x 2
6 6x
2z 0
xy
2z y2 6
在点(2,0) 处 A 6 B 0 C 6 B2 AC 36 0 在点(0,0) 处 A 6 B 0 C 6 B2 AC 36 0
(0,0)为极小值点。 且f (0,0) 0
(2)求出f ( x, y)在边界L1 {( x, y) | x2 y2 16, x 0}上的最小值。 限制在边界L1上函数为f ( x, y) 316 x3 48 x3
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可能点
驻点及偏导数不存在的点
边界上的最值点
例3 求 f ( x, y) 3x2 3 y2 x3 在 D {( x, y) | x2 y2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f ( x, y)在D内的极小值。
得驻点: (2, 0) , (0, 0) 。
在求解实际问题的最值时,如果从实际意义知道所求
函数最值存在, 且只有一个驻点P 时, 则该驻点就
是函数所求的最值点。
例4.某企业生产两种商品的产量分别为x单位和y单位, 利润函数为 L 64x 2x2 4xy 4 y2 32 y 14求最大利润.
解: 由极值的必要条件有：
Lx
Ly
64 4x 4 y 0 32 8 y 4x 0
每千件产品均消耗某种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，并要求
全部用完。问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润
为多少？
解： 此问题实际上是求在2000( x y) 12000,
也即x y 6 0的条件下，利润函数L( x, y)的最大值。
令F ( x, y, ) L( x, y) ( x y 6)
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例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例２
ห้องสมุดไป่ตู้(1)
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
3、多元函数取得极值的条件
y
y f ( x)
min f ( x ) f ( x2 )
a x1o
x2
x3 b c x
区间[a, c]上 max f ( x ) f (c ), min f ( x) f ( x2 ) 可见, 闭区间上连续函数最值只能在极值 点和端点处取得. 为什么要单独考虑端点？
因端点没有资格做极值点，但可能取最值
ABC法则
设z f ( x , y)在U ( P0 , )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ), 则
值，最小的即为最小值 闭区间上可导函数最值只存在于驻点、端点
一、多元函数的极值 1.引例 观察二元函数 z
xy e
x2 y2
的图形
二元函数极值播放
2、二元函数极值的定义
设点 ( x0 , y0 )是 z f ( x , y )在定义域的内点。 若存在 ( x0 , y0 )的某一邻域， 使得对于该领域内 异于 ( x0 , y0 ) 的任一点 ( x , y ) ：即P( x, y) U 0 ( P 0 ), （1）都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 )，则称函数 在 ( x0 , y0 )有极大值； （2）都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 )，则称函数 在 ( x0 , y0 )有极小值；
类似一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
驻点
在 (0,0) 处无极值．
(3)
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什 么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件）
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以一元函数 f ( x, y0 )在x x0处的导数为 0,
必有 f x ( x 0 , y0 ) 0 ; 同理可证 f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广 若三元函数 u f ( x , y , z )在 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有 偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有偏导数， 且在 点( x0 , y0 )处有极值， 则它在该点的偏导数必然为 零：
f x ( x0 , y0 ) 0 ，
f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
复习：一元函数的极值、最值.
（1）极值：由P146极值点定义： 端点没有资格做极值点 y 极值点一定在区间内部.
y f ( x)
（2）最值：
a x1 o
x2
x3
b cx
如果f (x)在闭区间[a ,c]上连续, 则f (x)
在[a ,c]上必定能取得最大值与最小值.
在区间[a, b]上，
max f ( x ) f ( x3 ),
A 0 时有极大值 (1)当AC B 0时, 有极值： A 0时有极小值
2
(2)当AC B2 0时, 没有极值 ;
(3)当AC B2 0时, 为可能极值 , 需另作讨论 . （证略）
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0
闭区间上连续函数最值只能在极值点 y 和端点处取得. 而极值点只会在 驻点和不可导点处
所以闭区间上连续 函数最值只能在
a
x1
o
x2
x3
b
x
驻点、不可导点和端点 处取得
1.求闭区间[a ,b]上连续函数最值的步骤： (1)求出f (x)在[a,b]内的可疑最值点（驻 点、不可导点、区间端点)及其函数数值 注：对这些可疑最值点不需采用第一或第 二充分条件确认其是否为极大（小）值点 (2)PK:以上各函数值中最大的即为最大
7.7 二元函数的极值与最值
一. 二元函数的极值
二. 二元函数的最大值和最 小值
三. 条件极值与拉格朗日乘 数法
教学要求：
1. 理解二元函数极值和条件极值的概念; 2. 掌握二元函数极值存在的必要条件、充分条件; 会求二元函数的极值. 3. 会用拉格朗日乘数法求条件极值. 4. 会求简单二元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题.
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
故有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ),
故有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ),
此时y0类似于常数k
求出实数解，得驻点.
第二步 求 f xx ( x , y ), f xy ( x , y ), f yy ( x , y ).
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第四步 对每一个驻点，根据 ABC 法则判断 其是否为极值点. ABC法则只适用于二元函数
例4求f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .