97-5-3整函数与亚纯函数(更新)
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主要贡献 他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，
对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方
向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列 问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓 扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫 定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建 立黎曼几何学。
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定理5.3.3 若 f 是 上的亚纯函数 f 的可去
奇点或极点,则 f 一定是有理函数. 证: f 在 上除去极点 z1, z2, , zn 外是全纯的.令 1,2, ,n 是相应的极点阶数,则(z z1)a1 (z z2 )a2 (z zn )an f (z) 是整函数,以 为可去奇点或极点.
n1
n1
k 1
n1
k 1
(ii)举例说明：
级数
z j 0.
当 | z | 1 时 , 发 散 ; 令
1 z2n1 2n1
,
z2n
1 2n
,则
lim
n
|
zn+1 zn
|
lim
n
|
z2n z 2n 1
|
2 ,但
|
n 1
zn| 收敛.
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复变函数
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5.3 整函数与亚纯函数
定理5.3.1 若 是整函数 f 的可去奇点,则
f 是常数函数.
证: 显然.
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定理5.3.2
若 是整函数 f 的 m * 阶极点,则 f 是 m 次
多项式函数. 证: 显然.#
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他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎 曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯 特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。
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附加: 习题讲解
设 zn
\
0
，
n
N
，且
lim
n
z n+1 zn
q ，证明：
（i）当 q 1时，则 zn 绝对收敛. n 1
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是整函数, 是其可去奇点,从而是常数函数.于是 f 是有理函数.
定理5.3.4 Aut( ) {az b : a,b , a 0}
证: 设 f Aut( ) ,则 是整函数 f 的极点,故 f 是 多项式.再由 f 的单叶性,便知它是一次多项式.
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超越整函数 若 是整函数 f 的本性奇点,则
称 f 是超越整函数,它在z 0 处的Taylor级数 有无限多个非零项.
例如：ez ,sin z, cos z 都是超越整函数。
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亚纯函数 若函数 f 在区域 D 上除了极点
外,在其它点处都全纯,则称 f 是 D上的亚纯函 数.例如,有理函数就是 上的亚纯函数.
(ii) 当 q 1时，则 zn 可能收敛也可能发 n 1
散.
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证明：（i）取 r 使得 q r 1, N ,当 n N 时,
有
|zn+1 |zn |
|
r
|zN+k
|
rk |zN
|
N
NΒιβλιοθήκη Baidu
| zn|=| zn | |zN+k| | zn|+|zN | rk .
习题5.3( ) P196 4,5.
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波恩哈德·黎曼资料
Georg Friedrich Bernhard Riemann Born: September 17, 1826，in Breselenz, Kingdom of Hanover, Germany Died: July 20, 1866, in Selasca,Italy.
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设 a1z a2z2 amzm 是 (z z1)1 (z z2)2 (z zn)n f (z)在 附近的Laurent展开式的主要部
分,则
(z z1)1 (z z2)2 (z zn)n f (z) (a1z a2z2 amzm)
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定理5.3.5 Aut(
)
{ az b cz d
:
a,b,c, d
,
det
a,b
c,
d
0}
证: 设 f Aut( ) ,则 是 f 的可去奇点或极点,
故 f 是有理函数(定理5.3.3).再由 f 的单叶性,便
知它是分式线性变换.
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波恩哈德·黎曼资料
生平： 波恩哈德·黎曼（Riemann ，Georg Friedrich Bernhard,1826～1866）德 国数学家，物理学家 。 1826年9月17日生于汉诺威 布列斯伦茨，1866年7月20 日卒于意大利塞那斯加 。
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对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方
向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列 问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓 扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫 定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建 立黎曼几何学。
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定理5.3.3 若 f 是 上的亚纯函数 f 的可去
奇点或极点,则 f 一定是有理函数. 证: f 在 上除去极点 z1, z2, , zn 外是全纯的.令 1,2, ,n 是相应的极点阶数,则(z z1)a1 (z z2 )a2 (z zn )an f (z) 是整函数,以 为可去奇点或极点.
n1
n1
k 1
n1
k 1
(ii)举例说明：
级数
z j 0.
当 | z | 1 时 , 发 散 ; 令
1 z2n1 2n1
,
z2n
1 2n
,则
lim
n
|
zn+1 zn
|
lim
n
|
z2n z 2n 1
|
2 ,但
|
n 1
zn| 收敛.
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5.3 整函数与亚纯函数
定理5.3.1 若 是整函数 f 的可去奇点,则
f 是常数函数.
证: 显然.
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定理5.3.2
若 是整函数 f 的 m * 阶极点,则 f 是 m 次
多项式函数. 证: 显然.#
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附加: 习题讲解
设 zn
\
0
，
n
N
，且
lim
n
z n+1 zn
q ，证明：
（i）当 q 1时，则 zn 绝对收敛. n 1
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是整函数, 是其可去奇点,从而是常数函数.于是 f 是有理函数.
定理5.3.4 Aut( ) {az b : a,b , a 0}
证: 设 f Aut( ) ,则 是整函数 f 的极点,故 f 是 多项式.再由 f 的单叶性,便知它是一次多项式.
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超越整函数 若 是整函数 f 的本性奇点,则
称 f 是超越整函数,它在z 0 处的Taylor级数 有无限多个非零项.
例如：ez ,sin z, cos z 都是超越整函数。
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亚纯函数 若函数 f 在区域 D 上除了极点
外,在其它点处都全纯,则称 f 是 D上的亚纯函 数.例如,有理函数就是 上的亚纯函数.
(ii) 当 q 1时，则 zn 可能收敛也可能发 n 1
散.
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证明：（i）取 r 使得 q r 1, N ,当 n N 时,
有
|zn+1 |zn |
|
r
|zN+k
|
rk |zN
|
N
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| zn|=| zn | |zN+k| | zn|+|zN | rk .
习题5.3( ) P196 4,5.
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Georg Friedrich Bernhard Riemann Born: September 17, 1826，in Breselenz, Kingdom of Hanover, Germany Died: July 20, 1866, in Selasca,Italy.
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设 a1z a2z2 amzm 是 (z z1)1 (z z2)2 (z zn)n f (z)在 附近的Laurent展开式的主要部
分,则
(z z1)1 (z z2)2 (z zn)n f (z) (a1z a2z2 amzm)
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定理5.3.5 Aut(
)
{ az b cz d
:
a,b,c, d
,
det
a,b
c,
d
0}
证: 设 f Aut( ) ,则 是 f 的可去奇点或极点,
故 f 是有理函数(定理5.3.3).再由 f 的单叶性,便
知它是分式线性变换.
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生平： 波恩哈德·黎曼（Riemann ，Georg Friedrich Bernhard,1826～1866）德 国数学家，物理学家 。 1826年9月17日生于汉诺威 布列斯伦茨，1866年7月20 日卒于意大利塞那斯加 。
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