惯性技术习题答案1-5

K 0.1 K J
阻尼比
5 10 4 K
1
稳定时间
0
ln 1
20 1 2 e 100%
超调量：
1
2
响应曲线图示意如下：
Step Response 6
5
4
Amplitude
3
2
1
0
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
2.10 对图 2.19 所示的二自由度陀螺仪，陀螺仪绕外框轴和内框轴的转动惯量相等即
1.1 了解大地水准面，大地水准体，参考椭球的要领和各自的含义。 答：大地水准面：指在描述大地形状的时候，采用海平面作为基准，把“平静”的水平 面延伸到全部陆地所形成的表面。 大地水准体：指大地水准面所包围的几何体，也被称为“大地体”或“地球体” 。 参考椭球：进一步精确近似地球为一个旋转椭球，称其为参考椭球。 1.2 有哪几种描述地球垂线、纬度和高度的方法？ 答：经度，纬度和高程是近地航行载体的位置参数。地球表面某点常用的垂线和纬度一 般有以下几种：垂线（地心垂线，地理垂线，天文垂线，引力垂线） ；纬度（地心纬度， 地理纬度，天文纬度，引力纬度） ；高程：空中载体所在点沿该点对应于参考椭球体的 法线方向离地球真实地形线的距离。 1.3 理解子午圈和卯酉圈的含义，地球主曲率半径是如何确定的？ 答：子午圈：地平坐标系或赤道坐标系中的大圆，即在地平坐标系中经过北天极的地平 经圈， 或在赤道坐标系中经过天顶的赤经圈， 是地平坐标系和第一赤道坐标系中的主圈。 卯酉圈：地平坐标系中的大圆。即与子午圈相垂直的地平经圈，它与地平圈相交于东点 和西点。 子午圈面内主曲率半径为： Rm 卯酉圈面内主曲率半径为： Rm
M 。如果用陀螺动量矩 H 在惯性空间中的转动角速度 w 来表达 H 的矢端速度 v H ，则有
vH w H 。 结 合 莱 查 定 理 可 得 进 动 角 速 度 、 动 量 矩 及 外 力 矩 三 者 之 间 的 关 系 ：
w H M ，ห้องสมุดไป่ตู้为陀螺仪的进动方程。
2.4 二自由度陀螺仪产生进动的原因是什么？ 答：陀螺主轴的运动并不发生在力的作用平面内，而是与此平面垂直。 2.5 说明陀螺力矩的物理意义。 答： 陀螺力矩的实质是陀螺仪进动时惯性反抗而产生的哥氏惯性力矩。 它与一般定轴转动刚 体的惯性力矩不同，后者是刚体角加速度转动时的惯性反抗而产生的。如果转子没有自转， 陀螺仪就不存在进动性，陀螺力矩也不复存在。在这种情况上，如有外力矩绕框架轴作用在 陀螺仪上，将使它绕同一柜架轴作角速度转动；虽然此时仍然存在惯性力矩，但它不是哥氏 惯性力矩，而是转动惯性力矩了。 2.6 说明速率陀螺的结构、工作原理及应用。 答： 速率陀螺仪是测量载体相对于惯性空间的瞬时角速度， 其输出电信号与输入角速度成正
oxb yb zb 的原点，三个轴分别与载体的纵轴、横轴和竖轴相重合，组成右手坐标系。
坐标系间方位关系及表达式： 地心惯性坐标系 oxiyizi 和地球坐标系 oxeyeze 之间的变换矩阵：
cos iet sin iet 0 C sin iet cos iet 0 0 0 1
答：舒勒摆：德国教授舒勒在 1923 年提出了一个自然振荡周期等于 84.4min 能指示垂 线的装置，此装置不会受支点加速度的干扰,这样的摆称作“舒勒摆” 。
《惯性技术》2010 年 3 月 27 日星期五作业题答案
2.1 二自由度陀螺仪的基本特性是什么？ 答：二自由度陀螺仪的基本特性，通常称为陀螺效应。陀螺效应包括定轴性、进动、章动和 陀螺效应（陀螺力矩） ，其中定轴性、进动性和陀螺动力效应常被称为陀螺仪的三特性。 2.2 如何理解陀螺仪的定轴性？请举例说明。 答：陀螺仪不受任何外力矩作用时，它的主轴将保持其空间初始指向不变的特性，称作陀螺 仪的定轴性，或称为陀螺仪的稳定指向性。 （具体事例略，只要举出相关例子即可） 2.3 图 2.3 所示的陀螺发生的进动是在重力力矩的作用下发生的， 请分析出进动的力学方程。 答：根据莱查定理 v H M , v H 为陀螺动量矩 H 的矢端速度，等于作用在陀螺仪的外力矩
1.9 什么是重力异常和垂线偏斜？ 答：重力异常：由于地球形状不规则，质量分布不均匀，所以地球上某点实际测量的重力数 值与理论值有差别，大地测量把这种差别称为重力异常。 垂线偏斜：实测的重力方向(大地水准面的垂直方向)与该点在参考椭球处的法线方向也不一 致，这种偏差称为垂线偏斜。 1.10 当一个炮兵站在纬度 a 处水域中静止不动的船上，发现在正北方距离为 L 处有一个目 标。应当把炮瞄准哪一个方位（相对北向）才能命中它？假设地面是平的，并忽略所有作 用在炮弹上的空气动力，但不忽略地球的自转。
0 0 cos sin 0 cos 0 sin 1 C 0 1 0 0 cos sin sin cos 0 0 1 sin 0 cos 0 sin cos 0 cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos
a(1 e 2 ) (1 e 2 sin 2 φ)3 / 2
a (1 e 2 sin 2 φ)1 / 2
1.4 方向余弦：设 A 为有限维欧几里得仿射空间，(O,B)为 A 的标准正交笛卡儿坐标系，D 为 一轴,而 u 为 D 的单位向量。在基 B=(e1,e2,…,en)中 u 的所有分量正好是 u 与向量 e1,e2,…,en 的夹角的余弦，因此称之为轴 D 的方向余弦。 坐标变换阵：采用一定的数学方法将一种坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标，它 们之前的关系可以用矩阵的形式表示出来，该矩阵即为坐标变换阵。 1.5 掌握惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系和载体坐标系的定义，掌握坐标系间的方位 关系和这种关系的确切表达方式，掌握推导坐标系间坐标变换矩阵的方法。 答：惯性坐标系：惯性坐标系是牛顿定律在其中成立的坐标系 地球坐标系：也称为地心地球固联坐标系（Earth-Centered, Earth Fixed ECEF） ，坐标原点 在地心，与地球固联，随地球一起转动。 oz 轴沿地球自转轴方向且指向北极， ox 轴与
e i
地理坐标系 OENx 和地球坐标系 oxeyeze 之间的变换矩阵
sin C sin L cos cos L cos
n e
cos 0 sin L sin cos L cos L sin sin L
载体坐标系 oxbybzb 和地理坐标系 OENx 之间的变换矩阵
2
ep (2ωie ωep ) vep g ，包含运载体相对地球 答：加速度计输出的比力包含： f v
的速度在测量坐标系中的变化率， 测量坐标系相对地球转动所引起的向心加速度以及运 载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的哥氏加速度。 要从比力信息中提取所需的加速度信息， 必须从加速度计所测得的比力 f 中补偿掉有害 加速度 aB 的影响，才能得到运载体相对地球的加速度，经过数学运算进而获得运载体 相对地球的速度 v 及位置等导航参数。 1.14 说明舒勒摆的概念。
比的单自由度陀螺仪。又称微分陀螺仪、阻尼陀螺仪。一般用于改善载体姿态控制系统的动 态品质。 2.7 加速度计的工作原理。 答：加速度计依靠它对比力的测量，完成惯导系统确定载体的位置、速度以及产生跟踪信号 的任务。 2.8 加速度计的原理性误差有哪些？ 答：由于工艺上的原因，加速度计在制造和装配的过程中是有误差的，比如标度因数误差、 灵敏度误差、零位不稳定、测量范围的非线性等。加速度计的原理性误差主要有交叉耦合误 差及振动误差两种。 2.9 有一速率积分陀螺， 主要参数为： 转子角动量为 10 (m / s) ， 转动惯量为 10 g cm ，
J x J y ，如果陀螺仪仅受到绕内框轴的常值力矩 M y 作用，请在初始条件为零时，求解陀
螺仪的运动规律，即求解出 x (t ) 和 y (t ) 。 由二自由度陀螺仪的动力学方程：
J x x H y M x J y y H x M y
(4)
由于： t
L v0 cos
又炮弹发射出的轨迹可看成是自由落体运动，可得：
v0 cos gt
(5)
arccos
解得炮弹出发与水平方向的夹角为： 代入即可（略）
gt v0
1.11 举例说明产生哥氏加速度的条件。 答：动点对动参考系作相对运动；动参考系在作牵连转动。 （举例略） 1.12 什么是比力，其量纲是什么？ 答： 载体相对惯性空间的绝对加速度和引力加速度之差， 称作 “比力” 。 比力的量纲为 m / s 。 1.13 加速度计输出的比力包含哪些成分？如何由比力信息中提取所需的加速度信息？
N
L M

R
解：假设地球的半径为 R ，角速度为 ，炮弹的初速度为 v 0 。上图给出了题目中的相 应数量关系,其中 M 点位炮兵所在点。如下图所示：
A 点为在水域中的船，由图中所示，最终发射出的炮弹应该与船相遇在 B 点，才能命中 目标。假设从炮弹发射到炮弹成功击中目标的时间为 t，则有：
L1 (v1 v0 sin )t
5 2
2
2
阻尼系数为 10 2 N m / rad / s 。假设在时间 t 0 时，输入常值角速度 5rad / s ，试画出 陀螺输出角的时间响应曲线。在 t 0 以前，陀螺的输出角为零。 答：陀螺工作特性为二阶微分方程，设陀螺仪的等效弹性力矩系数 K 。 陀螺仪的固有频率 0