高考数学专题复习难点突破：概率与统计综合问题

高考数学专题复习难点突破名师讲练：概率与统计综

合问题

一、考点突破

近几年来新课程高考试卷把概率和统计的基础知识和方法——随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算，离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。考查学生分析问题和解决问题的能力；考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。

二、重难点提示

重点：利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差，用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。

难点：能分辨出随机变量服从哪种分布。

一、知识脉络图

二、知识点拨

离散型随机变量的期望和方差

1. 随机变量的分布列

设离散型随机变量ξ的可能取值为

ξ取每一个值的概率，则下表

称为随机变量ξ的概率分布，简称

ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列具有下述性质 （Ⅰ）

（Ⅱ）

2. 期望

若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称

为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望，

即分布列中随机变量ξ的一切可能值

与对应的概率

的乘积的和叫做随机变量ξ的

数学期望；反映了离散型随机变量取值的平均水平，是反映随机变量ξ集中趋势的指标（相当于质点分布的重心）；为常量。

期望的一个性质：若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)( 3. 方差

当随机变量ξ的分布列为时，

叫做随机变量ξ的均方差，简称方差；的算术平方根

叫做随机变量的标准差，

记作

，即

＝

。

与都反映了随机变量ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。越小，

稳定性越高，波动性越小；标准差 则反映随机变量ξ的取值与期望值的偏差大小。越小，则ξ与其期望值的偏差越小。

方差的性质：①ξξD a b a D 2

)(=+；②2

2

)(ξξξE E D -= 。 4. 特殊的分布列

（1）两点分布：

若随机变量X 的分布列:

则称X 的分布列为两点分布列.

（2）超几何分布：

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

(),0,1,,,min{,},,.k n k M N M

n

C C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中

为超几何分布列。

超几何分布的期望：若随机变量ξ服从超几何分布，即~H(n,M,N)ξ且则nM

E N

ξ= （3）二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

，其中k ＝0，1，2，…，n ，q ＝1－p 。

1

k

n

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布：记作ξ~B （n ，p ）， 其中n ，p 为参数，并记

二项分布的期望：若ξ~B （n ，p ），则

二项分布的方差：若ξ~B （n ，p ），则

（4）几何分布

设在一次试验中某事件发生的概率为p ，又设在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数为ξ，则“ξ＝k”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生，

，其中q ＝1－p ，k ＝1，2，3，…。 3 k

P

p

qp

…

…

我们称此时的ξ服从几何分布，并记

几何分布的期望：若随机变量ξ服从几何分布，且，则 几何分布的方差：若随机变量ξ服从几何分布，且，则

能力提升类

例1 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出

现的点数为b ，向量)2,1(--=，

①若向量),(b a -=，求当⊥时的概率；

②若向量),(b a =，又//=时，求向量ρ的坐标。

一点通：①本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a ，b ）共有6×6对，满足条件的事件是⊥得a －2b ＝0，即a ＝2b ，列举出所有满足条件的事件，根据等可能事件的概率得到结果。

②根据所给的条件，列出向量平行和向量的模长的关系式，得到两个关于a ，b 的方程，根据方程组解出a ，b 的值，得到要求的概率。

解：①由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a ，b ）

共有6×6＝36对，满足条件的事件是⊥m n 得a －2b ＝0，即a ＝2b ，

∴数对（a ，b ）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6），

∴向量＝（－1，2）、（－2，4）、（－3，6）只有3个，

此时的概率12

1

363=

=P ；

,5=

20,522222=+=+=b a b a ，

又//，

∴b ＝2a ，得a 2＝4 ∴a ＝2，b ＝4，

∴向量)4,2(=

点评：本题考查等可能事件的概率，考查向量的模长和向量平行的充要条件，是一道综合题，题目涉及向量的运算，使得运算过程中数字比较杂，不要在数字上出错。

例2 A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏：当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。 （1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望Eξ

一点通：（1）设出硬币正面出现的次数和出现反面的次数，根据题意列出不等式组，讨论m ，n 取值不同时，得到的对应的ξ的值，结果ξ的可能取值是5，7，9

（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由第一问知ξ的所有可能取值为：5，7，9。根据独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，算出ξ的数学期望。

解：（1）解法一：设硬币正面朝上的次数为m ，反面朝上的次数为n ， ①掷硬币的次数少于9次，某人已赢得所有卡片，游戏终止 则由题意得

∴当m ＝5，n ＝0或m ＝0，n ＝5时ξ＝5， 当m ＝6，n ＝1或m ＝1，n ＝6时ξ＝7， ②掷硬币的次数达9次，游戏终止，ξ＝9 ∴ξ的可能取值为5，7，9， 解法二：由题意有 又两位同学都持有奇数张（5张）卡片， ∴ξ不能为偶数 ∴ξ＝5，7，9

（2）注意到这里“ξ＝k”包括的三种情形： ，

，