中考数学经典总复习专题直角三角形完美

[中考点金] 当题目中存在直角三角形时，注意根据题干给出的诸如 30°角、斜边上的中点等信息选择合适的定理来计算．
第18讲┃ 直角三角形
变式题 如图 18－4，将一个有 45°角的三角板的直角
顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带
的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直
第18讲 直角三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 直角三角形 1．在 Rt△ABC 中，若∠A 为直角，则∠B＋∠C＝ ___9_0_°___． 2．在△ABC 中，若∠A 与∠B 互余，则△ABC 是___直__角___ 三角形．
第18讲┃ 直角三角形
【归纳总结】 1．直角三角形的两个锐角__互__余____． 2．有一个角是__直___角___的三角形是直角三角形． 3．有两个角__互__余____的三角形是直角三角形．
为___3_0____cm2.
第18讲┃ 直角三角形
【归纳总结】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一__半____．它常与
矩形的对角线相联系，用来说明两条线段之间的数量关系．
第18讲┃ 直角三角形
考点3 含30 °角的直角三角形的性质 1．已知某山的高度是 100 米，如果小明沿倾斜角为 30°
图 18－5 第18讲┃ 直角三角形
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[解析] 在 Rt△ACB 和 Rt△DCE 中利用勾股定理来求 如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米，梯子的底端在水平方向沿 一条直线滑动的距离．
解：在 Rt△ACB 中，BC＝3，AB＝5， 由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2＝4(米)， ∴DC＝4－1＝3(米)． 在 Rt△DCE 中，DC＝3，DE＝5， ∴CE＝ DE2－DC2＝4(米)， ∴BE＝CE－CB＝1(米)．即梯子底端也滑动了 1 米．
第18讲┃ 直角三角形
【归纳总结】
1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝____c2____.
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是__直__角____三角形．
3．勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个 __正__整__数__．
第18讲┃ 直角三角形
【知识树】 第18讲┃ 直角三角形
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 直角三角形的性质在计算中的应用 例 1 如图 18－3，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，DE 垂 直平分斜边 AC，交 AB 于点 D，E 为垂足，连接 CD，若 BD＝1，求 AC 的长．
图 18－3 第18讲┃ 直角三角形
线成 30°角，则三角板的最大边的长为
( D)
A．3 cm
图 18－4 B．6 cm
C．3 2 cm D．6 2 cm
第18讲┃ 直角三角形
探究二 勾股定理及其逆定理的应用 例 2 如图 18－5，一架长 5 米的梯子 AB 斜立在一竖直
的墙上，这时梯子底端距墙底 3 米．如果梯子的顶端沿墙下 滑 1 米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 米 吗？请你用所学知识，论证你的结论．
的山坡从山脚步行到山顶，那么他共走了___2_0_0___米． 2．在△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD 平分
∠ABC 交 AC 于点 D，若 AD＝6，则 CD＝____3____.
第18讲┃ 直角三角形
【归纳总结】 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它
所对的直角边等于斜边的___一__半_____．它实际上反映了 30°角的正弦值．反之，在直角三角形中也可以由直角边 与斜边的一半关系得到该直角边所对的锐角度数为 30°.
第18讲┃ 直角三角形
考点4 勾股定理及其逆定理
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a＝9，b＝12，则 c
的长为
(C)
A．6 B．9 C．15 D. 63
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，
不能构成直角三角形的一组是
(C)
A．3，4，5 B．6，8，10
C. 3，2， 5 D．5，12，13
[解析] 利用直角三角形两锐角互余，确定∠ACB 的 度数，再利用线段垂直平分线的性质，得到 AD＝CD，所 以∠A＝∠ACD＝30°，再求得∠BCD＝30°，进而解 Rt△BCD，求得 BC 的长，再在 Rt△ABC 中，利用 30° 的角所对的直角边等于斜边的一半，求得 AC 的长．
第18讲┃ 直角三角形
解：∵DE 是线段 AC 的垂直平分线，∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝30°. ∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝30°. 在 Rt△BCD 中，BD＝1，∠DCB＝30°，∴DC＝2， 由勾股定理得 BC＝ 3. 在 Rt△ABC 中，∵∠A＝30°，BC＝ 3， ∴AC＝2BC＝2 3.
第18讲┃ 直角三角形
第18讲┃ 直角三角形
考点2 直角三角形斜边上的中线的性质
1．如图 18－1，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，若 CD＝4，则 AB＝____8____．
图 18－1
图 18－2
2．如图 18－2，Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，
CE⊥AB 于点 E，若 CE＝5 cm，CD＝6 cm，则△ABC 的面积
第18讲┃ 直角三角形
[中考点金] 勾股定理指出了直角三角形中三边的数量关系，据此
可由已知的直角三角形两边的长度求出第三边的长度．其 逆定理是由三角形的三边之间的数量关系证明一个三角形 是直角三角形，它是判定直角三角形的一种重要方法．
第18讲┃ 直角三角形
变式题 某住宅小区有一块草坪如图 18－6 所示，已知 AB＝3 米，BC＝4 米，CD＝12 米，DA＝13 米，且 AB⊥BC， 求这块草坪的面积．
图 18－6
第18讲┃ 直角三角形
解：连接 AC，由勾股定理得 AC＝5 米． 因为 AC2＋DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°. 这块草坪的面积 ＝SRt△ABC＋SRt△ACD ＝12AB·BC＋12AC·DC ＝12×(3×4＋5×12) ＝36(平方米)．
第18讲┃ 直角三角形