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江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

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江苏省海安高级中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

江苏省海安高级中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1．已知集合A ={x |-1≤x ≤3}，B ={x ∈Z|x 2<5}，则A ∩B=( )A ．{0，1}B ．{-1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{-2，-1，0，1，2} 2．函数f (xx +1)的定义域为 ( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3.2πsin()=3-（ ）A. B. 12- C. 2 D.124．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( ) A ．-15 B ．15 C ．-20 D ．20 5. 已知a =log52，b =log 73，c =12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a6．已知将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为( ) A ．(-π6，0) B ．(π6，0) C ．(-π12，0) D ．(π12，0)7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的 交点O 平分 BC,若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．68．已知函数f (x )=log a x (a >0，a ≠1)的图象经过点(2，12).若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[-2，2]时，有g (x )=f (x )，且函数g (x +2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )A ．g (π)<g (3)<g ．g (π)<g )<g (3) C ．g g (3)<g (π)D ．g )<g (π)<g (3)9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数且(1)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f +++++=（ ）A ．4B ．0C ．3D ．210．对于实数a ，b 定义运算“⊗”:22,b a a ba b b a a b -<⎧⊗=⎨-⎩≥，设f (x )=(2x -3)⊗(x -3)，若关于x 的方程f (x )=k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3则x 1x 2x 3取值范围为( )A ．(0，3)B ．(-1，0)C ．(-∞，0)D ．(-3，0)11．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞,(0,)+∞上都是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个 C ．把函数22xy =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像 D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 12．下列命题中，正确的是（ ）.A.已知非零向量,a b 满足4a b =，且()2b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为56π. B.若,,a b c 是平面内三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅；C.若(sin ,1a θ=+，()1,1cos b θ=-，其中3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则a b ⊥；D.若O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定经过ABC ∆的内心. 13．函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，下列结论：A.函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；B.函数()f x 在R 上单调递增；C.存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立；D.关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．正确结论为( ) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共20分． 14. 函数()f x =的单调递减区间为 ▲ ．15.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=_____▲______.16.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(016ω<<，02πϕ-<<),()04f π-=,对任意x R ∈恒有()()4f x f π≤且()f x 在区间(,)3216ππ上单调，则ϕ=____,ω的可能值有__________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y=}，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}．（1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．19．设a =(x ，1)，b =(2，-1)，c =(x -m ，m -1)(x ∈R ，m ∈R).（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式|a +c |<|a -c |.20．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足()88f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()g 14322x x =--（元）．(1)求该村的第x 天的旅游收入()p x ,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130x ≤≤，*N x ∈）； (2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．已知函数())f x x ϕ=+02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1).（1）求724f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像； （3）当5,248x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x k =恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )=af 1(x )+bf 2(x )，，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )，的生成函数. （1）给出函数f 1(x )=lg 10x，f 2(x )=lg(10x )，h (x )=lg x ，h (x )是否为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由.（2）设f 1(x )=log 2x ，f 2(x )=log 12x ，a =2，b =1，生成函数.若不等式3h 2(x )+2h (x )+t >0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； (2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.阶段测试（二）一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1． B 2． D 3. A 4． A 5. A 6．D 7． C 8. C 9． B 10． D 11． ACD 12． CD 13． AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 14. (],3-∞- ． 15. ________35___. 16. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．17 ϕ=__4π-__, ____3,7,11______．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．解：(1)()()[)3,,1,2,A B =+∞⋃-∞-=+∞则[)2,A B ⋂=+∞. (2) []1,3U C A =-，当[]{}[]4,4,;4,4;4,,4a C a a C a C a >===<=因为∁U A ⊆C ,则4,1a a <⎧⎨≤-⎩解得1a ≤-.19．解：（1）依题意得0a b ∙<且,a b 不反向共线，即210,2x x -<⎧⎨≠-⎩解得12x <且 2.x ≠- （2）依题意得0a c ∙<，即210x mx m -+-=当2,m =不等式的解集为空集； 当2m >，不等式的解集为()1,1m -；当2m <不等式的解集为()1,1m -.20．解：(1)依据题意，有()()()()8g 814322x f x x x p x ⎛⎫=⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭(130x ≤≤,*N x ∈) 即()**9688976,122,N 132081312,2230,N x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，1当*122,N x x ≤≤∈时，()96889769761152x p x x =++≥= (当且仅当11x =时，等号成立) ． 因此，()()p 111152min p x == (千元) ．2当*2230,N x x <≤∈时，()132081312p x xx =-++． 易知函数132081312xy x =-++ 在(]22,30上单调递减，于是，()()301116min p x p == (千元) ． 又11521116>，所以，日最低收入为1116千元．(2)该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=(千元)= 803.52 (万元)．因为803.52万元> 800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 21．【详解】（1）由题知()01fϕ==，∴cosϕ=，又02πϕ-<<，∴4πϕ=-，∴772242442fπππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)作图略（3）∵5,2,24843x xπππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当2,043xππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即在区间,248ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上f(x)为增函数; []20,,4xππ-∈即在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f(x)为减函数，又242fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，8fπ⎛⎫=⎪⎝⎭58fπ⎛⎫=⎪⎝⎭∴当方程()f x k=恰有两个不同实根时，2k∈⎣.22．解:(1)由题意得lg lg lg(10)()lg10xx a b x a b x b a=+=++-由1a bb a+=⎧⎨-=⎩解得1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数.（2）由题意得,2()log xh x=,令[]2log,1,2xm m=∈即232t m m>--在[]1,2m∈上恒成立解得5t>-.23．解;()1()2327mx nh xx+=+为奇函数()()h x h x ∴-=-，即22()327327mx n mx nx R x x -++=+∈-+恒成立，0n ∴=()h x 的图像过点()1,1A()11,h ∴=130m n+= 30,0m n ∴==()2有题意知()393x f x x x-=++，()f x 在[)3,+∞上单调递增证明：任取123x x ≤≤，则()()12331212129933x x f x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221123312933x x x x x x x x ----=+-123x x ≤≤210x x ∴->，129x x >，1233x x -<-()()21121290x x x x x x -∴-<123333x x --<()()12f x f x ∴<，函数()f x 在区间[3,)+∞上单调递增；()3当3x ≥时，()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时，()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭① 当0m ≤时， 3x ∀≥，()211111027327(3)mx mg x x h x x x ===≤++不满足条件()()2213,9903x mx g x k x -⎛⎫∀<==⋅> ⎪⎝⎭，舍；②当0 3m <<时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,0,x x m ∀<-≥()()(]221990,93x mg x k x -⎛⎫==⋅∈ ⎪⎝⎭由题可知(]0,0,918m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即918m ≤，162m ≤ 03m ∴<<③当3m ≥时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,30,x x m m ∀<->-≥()()32211990,933x mm g x k x --⎛⎤⎛⎫⎛⎫==⋅∈⋅ ⎥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎦ 由题可知310,0,9183m m -⎛⎤⎛⎤⎛⎫∈⋅ ⎥ ⎪⎥ ⎝⎦⎝⎭⎥⎝⎦，即5318mm -<令()5318xxH x -=-单调递减，()60H = 5318x x-<，可得6m < 36m ∴≤<综上:()0,6m ∈。

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考 数学

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考 数学

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝．AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()1311n n n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分 （2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==， 所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =- 由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，-------5分（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴.∴.所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分 已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。

2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析

2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析

2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若a<b<0，c>d>0，则一定有()A.>B.<C.>D.＜参考答案：D2. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{1，0} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={0，1}．故选：B．3. 已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为( )（A） (B) (C) (D) .参考答案：C略4. 已知的二项展开式中常数项为1120，则实数a的值是（）A －1 B. 1 C. －1或1 D. 不确定参考答案：C【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：C【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.5. 如果满足∠ABC=60 , AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是(A)k=8(B)0＜k≤12(C)k≥12(D)0＜k≤12或k=8参考答案：D6. 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， ?=4，点P在边CD上，则?的取值范围是（）A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞）C．[0，8] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．【解答】解：∵AB=4，AD=2， ?=4，∴||?||cosA=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴?的取值范围是[﹣1，8]，故选：A．7. 设，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.参考答案：A8. 等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】直接运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9. 若抛物线的焦点是的一个焦点，则p=（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：D【分析】根据焦点定义形成等式解得答案.【详解】若抛物线的焦点是的一个焦点故答案选D【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于基础题型.10. 已知正三棱锥P﹣ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h的关系，易求，V P﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a，连接CO交AB于F，过点D作DE∥PO交CF于E，连接BE，则∠BDE即PO与BD所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，∵点D为侧棱PC的中点，∴DE=h，∴BE=h，在正三角形ABC中，BF=a，EF=CF=a，在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，∴，∴V P﹣ABC===故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，充分利用线面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集。

2019-2020学年江苏省海安高级中学高二12月月考数学试题 含答案

2019-2020学年江苏省海安高级中学高二12月月考数学试题 含答案

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++L ＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 110．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．－1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()11ef '-＝，则a ＋b ＝ ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题．（1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数()1f x ax x b ++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中ABAB()C H()D GEF图1 BCDEFHGA图2BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分15分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．23．（本小题满分15分）已知椭圆C ：22214y x a+＝（a ＞2），直线l ：y ＝kx ＋1（k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，D 为AB 的中点（O 为坐标原点）．（1）若直线l 与直线OD 的斜率之积为12-，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO＝．若∠∠存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】BCD12．【答案】AD13．【答案】BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．【答案】9+15．【答案】116．【答案】) 312+17．【答案】1322升20122升三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）【答案】19．（本小题满分12分） 【答案】 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.20．（本小题满分14分） 【答案】21．（本小题满分14分） 【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分 又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =I所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，2AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面I BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE =································· 9分（3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==u r u u u r, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =r ，因为(1,0,1)BA =-u u u r ，(1,1,0)BC =-u u u r由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n =r ············································· 12分 所以||3cos 3||||m n m n θ⋅==u r r u r r ，即二面角C AB E --的余弦值为33 14分22．（本小题满分15分）【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝， 又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b 由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4）， 原点O 到直线l 的距离d ＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分15分）【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴. 所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴. 即，∴.由（1）知，，∴. ∴. 所以存在定点使得.------14分。

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

第二学期期中考试 高二数学试卷一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题） 1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4,5D.{}0,1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}1,2,3,4,5A =，{}0,1,2B =，则{}1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，考查了交集定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论. 【详解】1z i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题. 3.向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1），则a b ⋅=（ ） A. 5 B. 3C. 4D. -5【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式直接求解.【详解】解：因为向量a =（1，﹣2），b =（2，﹣1）， 所以12(2)(1)4a b ⋅=⨯+-⨯-=， 故选：C【点睛】此题考查平面向量的数量积计算，属于基础题. 4.函数()33xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】设()()33xf x x x =-⋅，判断函数()y f x =的奇偶性、零点，以及函数()y f x =在()0,1x ∈时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()33xf x x x =-⋅，该函数的定义域为R ，()()()()()3333x xf x x x x x f x -⎡⎤-=---⋅=--⋅=-⎣⎦，所以，函数()y f x =为奇函数，令()0f x =，得30-=x x ，即()210x x -=，解得0x =或1x =±.所以，函数()y f x =的零点为0、1、1-，排除A 、D 选项；当01x <<时，3x x <，则()()330xf x x x =-⋅<，排除B 选项.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题. 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.6.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小7.计算：0000sin 21cos9sin 69sin9+的结果为（ ）A. C. 12-D.12【答案】D 【解析】00000001sin21cos9sin69sin9sin21cos9cos21sin9sin302+=+︒=︒=， 故选D8.某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝（ ）A. 2231788C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B. 2237188C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C. 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D.27188⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，由此能求出结果. 【详解】解：因为某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(ξ＝3) ＝ 21788⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题.9.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A. 85 B. 84C. 57D. 56【答案】A 【解析】【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r rrr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.10.某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为( ) A. 9 B. 12C. 18D. 24【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为1863=⨯种； 故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖”的含义．还考查了分类思想，属于中档题.11.如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下列结论中正确的是 （ ）A. 11A C ⊥平面11BB D D ；B. 1BD ⊥平面1ACB ；C. 1BD 与底面11BCC B 2；D. 过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理、线面角的定义、异面直线所成角的的定义，即可得答案； 【详解】对A ，11111111111,,AC B D AC DD B D DD D ⊥⊥⋂=，∴11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对B ，1BD ⊥AC ，111B D AB ⊥，1AB AC A =，∴1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；对C ，1BD 与底面11BCC B 2，故C 错误； 对D ，异面直线AD 与1CB 成45，∴过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条，故D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理及空间线面角、异面直线所成角的相关知识，考查空间想象能力、运算求解能力.12.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 2()5P B =B. 15()11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】 【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,p A p A p A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A. 4p = B. DF FA =C. 2BD BF =D. 4BF =【答案】ABC【解析】 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360， //AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二．填空题(每小题4分，共16分)14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，则()2f -=______.【答案】13- 【解析】 【分析】根据题意求得()2f 的值，然后利用奇函数的定义可得出()2f -的值.【详解】当()0,x ∈+∞时，()321f x x x =++，()32222113f ∴=++=， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以，()()2213f f -=-=-. 故答案为：13-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.15.长方体的长、宽、高分别为4、3、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______. 【答案】26π 【解析】 【分析】设球O 的半径为R ，利用长方体的体对角线为球O 的直径可求得R ，然后再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球O 的半径为R ，由于长方体的体对角线为球O 的直径，则2R ==2R ∴=，因此，球O 的表面积为224426S R πππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：26π.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，利用长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 16.满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为_________； 【答案】7 【解析】 【分析】 由11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅，对左边化简，再利用二项式定理可得结果.【详解】解：因为11!(1)!!()!(1)!()!k n k n k k n n C n k n C k n k n k ---=⋅==⋅--⋅-⋅， 所以021112111212n n n n n n n n n n C C C n nC C C n-----=⋅+⋅++++⋅⋅⋅+=⋅， 所以12100n -<，因为67264,2128==，所以16n -≤，即7n ≤， 所以满足1212100n nn n n C C C n n n⋅+⋅++⋅<的正整数n 的最大值为7故答案为：7【点睛】此题考查组合数公式和二项式定理，考查计算能力，属于基础题. 17.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若()f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,∞+上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B .设函数()()()32221f x ax a x a x =--+-()0,x a R >∈.（1）若()f x A ∈，则实数a 的取值范围为 _________;（2）若()f x A ∈且()f x B ∉，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】 (1). []0,2 (2). (]1,2【解析】 【分析】（1）当0a =时，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-，利用二次函数的单调性得到02a <≤，即可得到答案. （2）首先利用导数求出满足()f x B ∈时a 的范围，再求出满足()f x A ∈且()f x B ∉时a 的范围即可.【详解】（1）当0a =时，()24f x x x =-，()41f x y x x==-，在()0,∞+上为增函数，当0a ≠时，()2()221f x y ax a x a x==--+-， 因为()f x A ∈，所以()2()221f x y ax a x a x==--+-为增函数， 即020a a a>⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得02a <≤.综上：()f x A ∈，则02a ≤≤.（2）()()2122f x a y ax a x x-==--+，21a y a x -'=- 若()f x B ∈，则210a a x --≥在()0,∞+恒成立， 即()0,x ∈+∞，21a x a-≤恒成立， 所以10a a-≤，解得01a ≤≤.因为()f x A ∈且()f x B ∉，所以12a <≤. 故答案为：[]0,2；(]1,2【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了二次函数的单调性，属于中档题.三．解答题.(共82分)18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）19；（2）分布列见解析，()76E ξ=. 【解析】 【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量ξ可取的值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：()111112339P A ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，()21220239P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121211241232339P C ξ⎛⎫==⨯+⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()21211211522332318P C ξ⎛⎫==⋅⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()211132318P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以，随机变量ξ的分布列如下：因此，随机变量ξ的数学期望为()2451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用33+模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了n 名学生进行调查. （1）已知抽取的n 名学生中有女生45名，求n 的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下22⨯列联表.（i ）请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系. （ii ）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 100n =，55人 (2) （i ）见解析；（ii ）35【解析】 【分析】 （1）根据题意可得451000450n =求解即可得出n 的值，进而可得抽取的男生人数； （2）（i ）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出2k 的值，结合临界值表即可的结果； （ii ）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d ；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得451000450n =，解得100n =， 则抽取的男生的人数为100550551000⨯=. （2）（i ）则22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii ）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A ，B ，4名女生，分别记为a ，b ，c ，d .从6名学生中随机抽取2名，有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd共15种情况，其中至少有1名男生的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共9种情况，故所求概率为93155=. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型. 20.在ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若sin 1cos 0A C +=⎭，求b a 的值. 【答案】（1）060B =（2 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理处理()()22222cos a c a b cab C --+=，即可得出答案．（2）展开sin 1cos 0A C ++=⎭，结合0180A B C ++=，和第一问计算出的角B 的大小，即可得出A 的值，结合正弦定理sin sin b B a A=，代入，即可． 【详解】（1）∵角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()22222cos a c a b cabc C --+=∴()()2222cos 2a c a c b b C ac-+-=，∴()2cos cos a c B b C -=∴cos 2cos b Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C===， ∴2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， ∴2sin cos 4sin 2sin cos R B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，∴2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ ()sin sin C B A =+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B = ∵()000,180B ∈，∴060B =.（2）∵sin 1cos 0A C +=⎭，∴3sin 102A C +--=，∴1sin 2A C =， ∵060B =，∴0018060C A =--， ∴0120C A =-，∴()1sin 1202A A -=，∴)1sin cos120cos sin120sin 2A A A +=∴131 sin3cos sin222A A A⎛⎫-⨯--=⎪⎝⎭∴311cos sin222A A-=∴()01cos302A+=∵000120A<<，∴0003030150A<+<∴030A=∵由正弦定理得：sin sina bA B=，060B=，030A=，∴3sin sin60231sin sin302b Ba A====.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大．21.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面111A AC C⊥底面ABC，四边形11AAC C为菱形，ABC是边长为2的等边三角形，160A AC︒∠=，点O为AC的中点.（1）若平面11A B C与平面ABC交于直线l，求证：//l AB；（2）求二面角11C A B C--的余弦值.【答案】(1) 证明见解析；（210【解析】【分析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC . 所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C平面=ABC l所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C底面ABC AC =.所以1A O ⊥平面ABC .又ABC 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =.()()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11133020x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()1,0,1n =设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=- 则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩取()1,3,1m = 所以10cos ,25n m n m n m⋅===⨯⋅.所以二面角11C A B C --的余弦值为105. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D . 已知椭圆E 的离心率为53，短轴长为4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD 面积的最大值.【答案】（1）22194x y +=；（2）证明见解析，直线方程为3x =；（3）274. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，则2200194x y +=，可知000x y ≠，求出直线AB 、AC 的斜率，进而可求得直线BD 、CD 的方程，联立直线BD 、CD 的方程，求得点D 的横坐标，即可得出结论；（3）由基本不等式可求得00x y 的最大值，进而可求得BCD 面积的最大值.【详解】（1）由题意可得222324c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆E 的标准方程为22194x y +=； （2）设点()00,B x y ，则点()00,C x y -，易知点()30A -,，则2200194x y +=且000x y ≠，直线AB 的斜率为003AB y k x =+，则直线BD 的方程为()00003x y y x x y +-=--， 同理可得直线CD 的方程为()00003x y y x x y --=+， 联立()()0000000033x y y x x y x y y x x y +⎧-=--⎪⎪⎨-⎪-=+⎪⎩，解得3x =，054y y =-，因此，点D 在一条定直线上，且定直线的方程为3x =；（3）由（2）知，点D 的坐标为053,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，02BC x =，000005192244BCD y S x y x y =⨯⨯--=△，由基本不等式可得2200001943x y x y =+≥=，则003x y ≤，当且仅当0032x y =时，等号成立，所以，0099273444BCD S x y =≤⨯=△. 因此，BCD 面积的最大值为274. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明以及三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.23.设常数a R ∈，函数2()2x x af x a+=-（1）当1a =时，判断()y f x =在(0,)+∞上单调性，并加以证明； （2）当0a ≥时，研究()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当0a ≠时，若存在区间[,]()m n m n <使得()y f x =在[,]m n 上的值域为2,2m n⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.证明见解析（2）见解析；（3）(){}3,01【解析】 【分析】（1）由函数的单调性定义即可证明． （2）由函数的奇偶性定义即可证明．（3）首先证明函数的单调性，当0a <时证明函数()f x 在R 上单调递增，即()2()2mnf m f n ⎧=⎨=⎩，解关于2x 一元二次方程即可；同理当0a >时，求出()f x 单调区间，当函数是单调递减时，则()2()2nmf m f n ⎧=⎨=⎩代入化简即可求解．【详解】解：（1）当1a =时，21()21x x f x +=-任取120x x <<则()()12121221212121x x x x f x f x ++-=--- ()()()()()()122112212121212121x x x x x x +--+-=--()()211211222121x x x x ++-=--∵12x x <∴2111x x +>+∴211122x x ++>∴2111220x x ++->∵1>0x ，20x >∴121x >，221x >∴1210x ->，2210x ->∴()()120f x f x ->即：()()12f x f x >∴()y f x =在(0,)+∞上是单调递减.（2）①当0a =时，2()12xx f x == ∵()1()f x f x -==∴()f x 为偶函数②当0a >时，2()2x x a f x a+=- 20x a -≠，则2log x a ≠01当0a >且1a ≠时，()f x 的定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞定义域不关于原点对称∴()f x 为非奇非偶函数2当1a =时，21()21x x f x +=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 定义域关于原点对称2112()()2112x xx x f x f x --++-===--- ∴()f x 为奇函数.（3）①当0a <时，2()2x x a f x a+=-定义域为R 222()122x x x a a a f x a a-+==+-- ∵2x a -单调递增，∴12x a -单调递减 ∴2()12x af x a =+-R 上单调递增由题意得：()2()2mn f m f n ⎧=⎨=⎩∴222222m m m n nn a a a a⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩222(1)202(1)20m m n n a a a a ⎧-+-=⇒⎨-+-=⎩ ∴12m x =，22n x =是一元二次方程：2(1)0x a x a -+-=的两个不等的正根∴21212(1)40100a a x x a x x a ⎧∆=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩30a ⇒<<②当0a >时，2()2x x a f x a+=-定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞∵当[,]x m n ∈时，()f x 的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦ ∴2log n m a >>，222()122x x x a a a f x a a-+==+-- 当2log x a >时，()0f x >∵2x a -单调递增，∴22x a a-单调递减 ∴()f x 在()2log ,a +∞上单调递减∴()2()2n m f m f n ⎧=⎨=⎩222222m n m n mn a a a a⎧+=⎪⎪-⇒⎨+⎪=⎪-⎩222222m m n n n m n n a a a a ++⎧+=-⋅⇒⎨+=-⋅⎩ ∴()2222m n m n a -=- ∵m n ≠∴220m n -≠∴1a =综上所述：a的取值范围是(){}3,01.【点睛】本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题．。

江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析

江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析

江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释），3，4，5}，集合A ={x |1≤x ≤4，x ∈N }，B ={x |5＜2x ＜33，x ∈N }，则（∁U A ）∩B =（ ） A.{0,5,6}B.{}0,5C.{}1D.{}52.已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()22m n m n +-，则λ=（ ）A.1-B.0C.1D.23.若椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的离心率为√32，则双曲线x 2a 2−y 2b2=1 的渐近线方程为A. y=±12x B. y =± 2x C. y =± 4x D. y =±14x4.函数y =e |x|3x的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.5.已知0.350.520.30.5a log b log c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c << B.a c b <<C.b a c <<D.c b a <<6.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1911a b +--的最小值为（ ）A. 16B. 9C. 6D. 17.“a ＜-2”是“∃x 0∈R ，a sin x 0+2＜0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：a n+2=a n+1+a n .记该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（ ）A. S 2019=a 2020+2B. S 2019=a 2021+2C. S 2019=a 2020−1D. S 2019=a 2021−19.设椭圆x 2m2+y 24=1与双曲线x 2a 2−y 24=1在第一象限的交点为T , F 1 , F 2为其共同的左右的焦点，且|TF 1|<4，若椭圆和双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则e 12+e 22的取值范围为 A. (2,269)B. (7,529) C. (1,269)D. (509,+∞)10.设集合A ={（x ，y ）|（x -4）2+y 2=1}，B ={（x ，y ）|（x -t ）2+（y -at +2）2=1}，如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]1,4B.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(]4,0(3-∞⋃,]+∞11.给出下列四个说法：①命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞>a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ） A.0B.1C.2D.312.设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =111,2,*21,21,n n a n k k N a n k k N --+=∈⎧⎨+=+∈⎩，若S m ＞999，则正整数m 的最小值为（ ） A.15B.16C.17D.14第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.设x ＞0，y ＞0，x +2y =7121x y++______．14.已知等差数列{a n }中，前m （m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a 1-a m =18，则数列{a n }的通项公式为a n = ______ ．15.若抛物线x 2=4y 的顶点是抛物线上到点A （0，a ）的距离最近的点，则实数a 的取值范围是______．16.不等式x 6-（x +2）3+2x 2-2x -4≤0的解集为______．三、解答题（题型注释）-A 1B 1C 1中，AC =BC ，点M 为棱A 1B 1的中点．求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ； （2）平面C 1CM ⊥平面A 1B 1C ．18.在△ABC 中，角C 为钝角，b =5，35sinA =，()1663tan A B -=． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长19.习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元． （1）每台充电桩第几年开始获利？（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,B m 在抛物线C 上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.21.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n 2+a n -2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =()21n nn na -（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．（3）是否存在实数λ使得T n +2＞λ•S n 对n ∈N +恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x =2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为（0，b ），求过点P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若1F P =1QF λ，且λ∈[133，]，求OP OQ ⋅的最大值．参考答案1.D【解析】1.可以求出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． ∵U ={0，1，2，3，4，5}，A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}， ∴∁U A ={0，5}，（∁U A ）∩B ={5}． 故选：D ． 2.B【解析】2.根据题意，首先求出2,2m n m n +-，然后利用向量平行的坐标运算，写出λ的关系式，计算求解即可.因为2m n +()34,4λ=+，2m n -()3,3λ=---，且(2)//(2)m n m n +-，所以()()()334430λλ-⋅+-⋅--=，0λ=．3.B【解析】3. 试题椭圆吕e=c a=√32，即c 2a 2=a 2−b2a 2=34，b a=12，所以双曲线x 2a 2−y 2b2=1的渐近线为y =±12x ．故选A ．4.C【解析】4.分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解. 详解：易知函数y=e |x|3x为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当x=1时，y=＜1，排除A ， 当x=4时，y =e 412>1，排除D ，故选：C ． 5.B【解析】5.利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． ∵0.350.520.30.5a log b log c ===，，，∴a =log 52＜log =12=0.5＜c =0.50.3＜0.50=1， b =log 0.50.3=log 12310＞log 1213=log 23＞log 22=1， ∴a ＜c ＜b ． 故选：B ． 6.C【解析】6. 法一、因为111a b+=，所以())111(a b ab a b +=⇒--=， 所以1911a b +--236≥=⨯=. 法二、因为111a b +=，所以a b ab +=，1911a b +--19911910(9)()10161061b a b a b a ab a b a b-+-==+-=++-≥-=--+.法三、因为111a b +=，所以111a b -=-，所以1911a b +--9(1)2361b b =-+≥=⨯=-，故选C. 7.A【解析】7.设f （x ）=a sin x +2，分类求得函数的值域，由∃x 0∈R ，a sin x 0+2＜0求得a 的范围，可知“a ＜-2”是“∃x 0∈R ，a sin x 0+2＜0”的不必要条件；取02x π=，当a ＜-2时，a sin x 0+2＜0成立，说明“a ＜-2”是“∃x 0∈R ，a sin x 0+2＜0”的充分条件．必要性：设f （x ）=a sin x +2，当a ＞0时，f （x ）∈[2-a ，2+a ]，∴2-a ＜0，即a ＞2； 当a ＜0时，f （x ）∈[2+a ，2-a ]，∴2+a ＜0，即a ＜-2． 故a ＞2或a ＜-2； 充分性：02x π=，当a ＜-2时，a sin x 0+2＜0成立．∴“a ＜-2”是“∃x 0∈R ，a sin x 0+2＜0”的充分不必要条件． 故选：A ． 8.D【解析】8.根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.因为S n=a1+a2+a3+⋯+a n=(a3−a2)+(a4−a3)+(a5−a4)+(a6−a5)+⋯(a n+2−a n+1)=a n+2−a2=a n+2−1，所以S2019=a2021−1，选D.9.D【解析】9.依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，写出e12+e22=2+32a4+8a2，再根据|TF1|＜4，求出a的范围即可．依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，∴e12+e22=m2−4m2+a2+4a2=2(a2+4)2a2(a2+8)=2+32a4+8a2，|TF1|+|TF2|=2√a2+8,|TF1|−|TF2|=2|a|,|TF1|=√a2+8+|a|<4，解得a2<1,∴0<a4+8a2<9,∴1a4+8a2>19,∴2+32a4+8a2>509∴e12+e22>2+329=509.故选：D．10.B【解析】10.由题命题P：A∩B≠∅为真命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．∵A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，B ={（x ，y ）|（x -t ）2+（y -at +2）2=1}，表示以N （t ，at -2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N 在直线ax -y -2=0上，如图．如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M 到直线ax -y -2=0的距离不大于2，≤2，解得0≤a ≤43． ∴实数a 的取值范围是[0，43]； 故选：B ． 11.C【解析】11.对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 对于①，命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，故①错>a b >”的逆命题为“若a b >>对于③，若1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C.12.A【解析】12.分成奇数项和偶数项分别考虑，奇数项构造等比数列可以求解析式，偶数项利用奇数项可以得到解析式，从而得到前m 项和，结合选项即可得到结果． 解：依题意，对于数列{a n }，①当n =2k +1时（k ∈N *），a 2k +1=2a 2k +1=2（a 2k -1+1）+1=2a 2k -1+3， ∴a 2k +1+3=2（a 2k -1+3），即212133k k a a +-++=2，∴数列{a 2k -1+3}成以4为首项，2为公比的等比数列， a 2k -1=2k +1-3，令n =2k -1，则k =12n +， 所以a n =322n +-3，即当n 为奇数时，a n =322n +-3；②当n =2k （k ∈N *）时，a 2k =a 2k -1+1=222n +-2，所以当m 为偶数时，S m =（a 1+a 3+……+a m -1）+（a 2+a 4+……+a m ） =（22-3+23-3+……+222m +-3）+（22-2+23-2+……+222m +-2）=2×241212m⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--52m=622m +-52m-8， 当m 为奇数时， S m =S m -1+a m =522m +-()512m --8+322m +-3=3322m +-552m --11， ∴S 15=3×29-51552⨯--11=1536-35-11=1500＞999， S 14=210-35-8=981＜999， 故选：A ． 13.8【解析】13.121x y ++展开，将x +2y =7整体代入，利用基本不等式即可解得最小值．121x y++≥8，当且仅当xy =4时等号成立．故答案为：8． 14.323n -+【解析】14.设公差等于d ，由题意可得偶数项共有12m -项，从而列出方程组求出m ，d ，a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式．∵等差数列{a n }中，前m （m 为奇数）项的和为77， ∴ma 1+()12m m d-=77，①∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有12m -项，公差等于2d ， 12m -（a 1+d ）+12222m m --⨯×2d =33，②∵a 1-a m =18，∴a 1-a m =18=-（m -1）d ，③由①②③，解得m =7，d =-3，a 1=20，故a n =a 1+（n -1）d =20+（n -1）×（-3）=-3n +23． 数列{a n }的通项公式为a n =-3n +23． 故答案为：-3n +23． 15.2a ≤【解析】15.将抛物线上的点离点A 的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值． 设点P （x ，y ）为抛物线上的任意一点，则点P 离点A （0，a ）的距离的平方为 |AP |2=x 2+（y -a ）2 =x 2+y 2-2ay +a 2 ∵x 2=4y∴|AP |2=4y +y 2-2ay +a 2（y ≥0） =y 2+2（2-a ）y +a 2（y ≥0） ∴对称轴为y =a -2，∵离点A （0，a ）最近的点恰好是顶点，∴a -2≤0解得a ≤2，故答案为：a ≤2．16.[]1,2-【解析】16.根据题意，把不等式变形，利用函数的性质把不等式转化，从而求出解集．不等式x 6-（x +2）3+2x 2-2x -4≤0变形为x 6-x 3≤4x 2+14x +12，即x 3（x 3-1）≤（2x +4）（2x +3）考查函数f （x ）=x （x -1），图象关于x =12对称，在（-∞，12）上单调递减；在（12，+∞）上单调递增知f （x 3）≤f （2x +4） 所以3312124224x x x x ⎧≥⎪⎪⎪+≥⎨⎪≤+⎪⎪⎩或3312124224x x x x ⎧≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥+⎪⎪⎩或33121242112422x x x x ⎧≤⎪⎪⎪+≥⎨⎪⎪-≤+-⎪⎩或()33121242112422x x x x ⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪-≤-+⎪⎩；x ≤2或∅或-1≤x ≤∅ 即-1≤x ≤2，所以不等式的解集为[-1，2]．故答案为：[-1，2]．17.（1）见解析；（2）见解析【解析】17.（1）证明四边形AA 1B 1B 是平行四边形，得出AB ∥A 1B 1，故而AB ∥平面A 1B 1C ； （2）由C 1M ⊥A 1B 1，CC 1⊥B 1A 1，得出B 1A 1⊥平面C 1CM ，从而平面C 1CM ⊥平面A 1B 1C ． 证明：（1）∵AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1，∴四边形AA 1B 1B 是平行四边形，∴AB ∥A 1B 1，又AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，∴AB ∥平面A 1B 1C ．（2）由（1）证明同理可知AC =A 1C 1，BC =B 1C 1，∵AB =BC ，∴A 1B 1=B 1C 1，∵M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1，∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥B 1A 1，又CC 1∩C 1M =C 1，∴B 1A 1⊥平面C 1CM ，又B 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，∴平面C 1CM ⊥平面A 1B 1C ．18.（1）513；（2）565【解析】18.（1）利用同角三角函数间的关系得到cos A 、sin （A -B ）、cos （A -B ），从而利用两角和差公式得到sin B 的值；（2）利用正弦定理解三角形，从而求得边长．（1）在△ABC 中，角C 为钝角， 所以02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，()1663tan A B -=， 所以()1665sin A B -=，()6365cos A B -=， 又35sinA =，所以45cosA =， 所以sin B =sin[A -（A -B ）]=sin A cos （A -B ）-cos A sin （A -B ）=363416556556513⨯-⨯=． （2）因为513sinB =，且02B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以1213cosB =， 又35sinA =，45cosA =， 所以，在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =31245513513⨯+⨯=5665， 由正弦定理得，c b sinC sinB=，又b =5， 所以565556655513sinC c sinB ⨯===． 19.（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【解析】19.（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n 即可． （2）利用基本不等式求解最大值即可．（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n 年时累计利润为f （n ），f （n ）=8100n -[1100+1500+…+（400n +700）]-16200=8100n -n （200n +900）-16200=-200n 2+7200n -16200=-200（n 2-36n +81），开始获利即f （n ）＞0，∴-200（n 2-36n +81）＞0，即n 2-36n +81＜0，解得1818n -+＜所以公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为()8120036200363600f n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当81n n=，即n =9时，等号成立． 即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元．20.（1）24y x =（2）1-【解析】20.（1）由抛物线的定义及两点的距离公式运算可得解；（2）由直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程，利用斜率公式求解即可. 解：（1）由题得,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m += 因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠ 由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩， 得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k-+= 同理得22244k k x k++=. 则212228k x x k++=，12288k x x k k ---==， ()()12121212y y k x k x ⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k =+-22282k k k k+=⋅- 8k=， 所以1212818MN y y k k x x k-===--- 即直线MN 的斜率为-1.21.（1）()*1n a n n N =+∈；（2）1221n n +-+；（3）存在，49λ<【解析】21.（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式．（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围． （1）当n =1时，a 1=2或-1（舍去）．当n ≥2时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， 整理可得：（a n +a n -1）（a n -a n -1-1）=0，可得a n -a n -1=1，∴{a n }是以a 1=2为首项，d =1为公差的等差数列．∴()()*2111n a n n n N=+-⨯=+∈．（2）由（1）得a n =n +1， ∴()()1212211n n nn n b n n n n+-==-++． ∴232112222222223211n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立， 即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可， 令()()()2213n f n n n n +=++， 则()()()()()()()1228112+34n n f n f n n n n n n +-+-=+++当()()()()3,+1;12,+1n f n f n n f n f n ≥>≤≤<故 f （1）=1，f （2）=815，f （3）=49，()16435f =＞f （5）＞f （6）＞… 当n =3时有最小值()439f =． 所以49λ＜． 22.（1）2212x y +=；（2）221140333x y x y +++-=；（3）12【解析】22.（1）通过焦距以及准线方程，求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． （2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可．（3）求出P 的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可．（1）由题意得2222c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得c =1，a 2=2，所以b 2=a 2-c 2=1． 所以椭圆的方程为2212x y +=． （2）因为P （0，1），F 1（-1，0），所以PF 1的方程为x -y +1=0． 由221012x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得0,1,x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以Q 点的坐标为4133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则101017410933E F D F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪--+=⎩，，， 解得131343D E F ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，，． 所以圆的方程为221140333x y x y +++-=． （3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则()()11112211F P x y QF x y =+=---，，，． 因为11F P QF λ=，所以12121,,x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩所以222222222(1)1212x y x y λλλ⎧---+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，，解得2132x λλ-=． 所以()()22121222222112OP OQ x x y y x x y x x λλλλλλ⋅=+=----=--+- =()21313()1222λλλλλλλ----+⋅-=75148λλ⎛⎫-+⎪⎝⎭．因为133λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以12λλ+≥=，当且仅当1λλ=，即λ=1时取等号，所以12OP OQ⋅≤．即OP OQ⋅最大值为12．。

江苏省南通市海安县实验中学2019-2020学年高二数学文月考试卷含解析

江苏省南通市海安县实验中学2019-2020学年高二数学文月考试卷含解析

江苏省南通市海安县实验中学2019-2020学年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若x＞0，y＞0且+=1，则x+y最小值是（）A．9 B．C．D．5参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】把x+y转化为，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y==9．当且仅当，即x=6，y=3时上式等号成立．故选：A．2. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9 B．18 C．9 D．18参考答案：C略3. 等比数列{a n}中，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+a n2等于( ).A B C D参考答案：D略4. 直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A. B. 2 C.D.4参考答案：B略5. 已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则其中真命题的个数是（）A．B．C．D．参考答案：C略6. 如图，用三类不同的元件连成一个系统.当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576参考答案：B略7. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（）A. 2019B. 1C. 0D. -1参考答案：C【分析】根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出可得出答案。

【详解】函数是上的奇函数，则，，所以，函数的周期为，且，，，，，，，故选：C。

【点睛】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。

江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试题 Word版含答案

江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试题 Word版含答案

阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．S ←0For i From 1 To 10 Step 1 S ←S ＋1i (i ＋1)End For Print S（第4题）7. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin23y x=-的图象，则()π4f的值为▲ ．8. 设定义在R上的奇函数()f x在区间[0)+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x-(2)f+0>，则实数x的取值范围是▲．9. 在锐角三角形ABC中，若3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为▲．10. 设S n为数列{}n a的前n项和．若S n＝na n－3n(n－1)（n∈N*），且211a=，则S20的值为▲．11. 设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为▲ ．12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D-的体积为27，点E，F分别为棱1B B，1C C上的点（异于端点），且//EF BC，则四棱锥1A AEFD-的体积为▲．13．已知向量a，b，c满足++=0a b c，且a与b的夹角的正切为12-，b与c的夹角的正切为13-，2=b，则⋅a c的值为▲．14．已知()()()23f x m x m x m=-++，()22xg x=-，若同时满足条件：①x∀∈R，()0f x<或()0g x<；②()4x∃∈-∞-，，()()0f xg x⋅<，则实数m的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为93，且()18AC AB CB?=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan sin2)A B C=+,m和D1（第12题）BPN(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at (百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．FABC D P（第1618．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．3x=，所以()3 3Q，．……2分故直线AQ的方程为()6y x=--，由360y xx y=-⎧⎨+-=⎩，得39xy=-⎧⎨=⎩，，即()3 9B-，，故AB==……5分答：水上旅游线AB的长为．……6分（2）将喷泉记为圆P，由题意可得P(3，9)，生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则BC＝2t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at，……10分当t＝0时，上式成立，当t∈(0，9]时，2a＜t＋18t－6，(t＋18t－6)min＝62－6，当且仅当t＝32时取等号，因为a∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分答：喷泉的水流不会洒到观光车上．……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121a bca⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b=-，解得2242ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()2020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得. 即：．因此：， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列是整数列.综上所述，的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析{}n a kg (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减，当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5，……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C(10，0)．……8分所以，△ABC的面积为：12×(9－1)×10×sinπ3＝203．……10分C．证明：因为|a＋b|≤2，所以|a2＋2a－b2＋2b|＝|a＋b||a－b＋2|＝|a＋b||2a－(a＋b)＋2|≤|a＋b|(|2a|＋|a＋b|＋2)≤4(|a|＋2)．……10分22．解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，因为DC→＝λAB→，所以C(λ，2，0)，……2分（1）从而PC→＝(λ，2，－2)，BD→＝(－1，2，0)，则cos＜PC→，BD→＞＝PC→·BD→|PC→|·|BD→|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；……5分（2）易得PC→＝(2，2，－2)，PD→＝(0，2，－2)，设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则n·PC→＝0，且n·PD→＝0，（第22题）即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学(含答案)

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学(含答案)

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB ＝×d |AB |＝ו＝＝2＝16，∴4k 2+32＝64，解得k ＝±2所以直线方程为：y ＝±2x +4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴ . ∴. 所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。

江苏省海安高级中学2020学年高一数学12月月考试题(创新班)(最新整理)

江苏省海安高级中学2020学年高一数学12月月考试题(创新班)(最新整理)
A。 ；
B。 ;
C。 ；
D。 .
对于点 ， ， , ，落在阴影区域内（不含边界)的有_____.
二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上）
14。已知角 的终边过点 ，则 ____________。
15．已知数列 的前n项和为 ，且 ,则 等于____________。
16.函数 （ ）是区间 上的增函数，则 的取值范围
是_____________.
17.已知 的终边与单位圆交于点 ,点 关于直线 对称后的点为 ,点 关于 轴对称后的点为 ,设角 终边为射线 。
(1) 与 的关系为______;
（2）若 ,则 ______。
三、解答题（本大题共6小题,共82分。18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
6。 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b,c，若b＝2asinB，则A＝（ )
A。30° B．45° C．60° D．75°
7．已知数列 的前n项和为 ,且 ，则 等于（ )
A．4 B．2 C．1 D．－2
8. 函数 的图象如图所示，为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象 ( ）
22.某水产养殖户制作一体积为 立方米的养殖网箱（无盖)，网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域(如图),网箱。上底面的一边长为 米,网箱的四周与隔栏的制作价格是 元/平方米,网箱底部的制作价格为 元/平方米.设网箱上底面的另一边长为 米，网箱的制作总费用为 元。
(1）求出 与 之间的函数关系,并指出定义域；
又因为 , 平面 ， 平面 ， ，
可得 平面 ，则 ，
由四边形 是菱形,可得 ,

江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试卷

江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试卷

学试题参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为▲ ．（第4题）11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积为93，且()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ONFD P（第16题）AOBPQMN（第17题）的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. (4)分因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为3193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()()2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ． 所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 由03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--， 由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+ …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， (10)分当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t－6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． (13)分答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++．……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， (12)分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (3)分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －a x，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析x(0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e)＝－1e－a ， (5)分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点； 综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e2)． (10)分（3）存在1t ：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． (11)分证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0(x 0，1＋a )f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， (2)分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD→|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2； …… 5分（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分PABD （第22题） xy z（2）记α＝1＋5，β＝1－5．则S n ＝15∑ni ＝1C in(αi －βi)＝15∑ni ＝0C i n(αi －βi)＝15(∑n i ＝0C i nαi－∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n－ (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ． 所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 含解析

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题 含解析

高二年级期初检测数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}10,A x x x Z =+>∈，集合{}20B x x =-≤，则A B =I （ ） A. ()1,2- B. (]1,2- C. {}1,0,1,2- D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合A ，B ，利用交集的定义即可求出A B I 【详解】由题可得：{}1,A x x x Z =>-∈，{}2B x x =≤， 所以{}0,1,2A B =I 故答案选D【点睛】本题考查集合交集的定义，属于基础题。

2.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α=5 B. 525D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值． 【详解】解：角α的终边经过点()2,1P -， 则sin α()225512==--+，故选：B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.已知函数()21,0,log 3,0,x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩＜＞则()()1162f f -⋅=（ ）A. 3B. 1C. 1-D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭和()16f 即可。

【详解】由于函数()21,0,log 3,0,x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩＜＞，所以112122f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭-，()216log 163421f =-=-=，则()11622f f ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭， 故答案选D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查学生的计算能力，属于基础题。

4.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. ±1D. 32-【答案】C 【解析】由两直线11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=垂直充要条件12120A A B B +=得：2(2)(1)(1)(23)01,1a a a a a a +-+-+=⇒==± ，选C.5.ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B +=,则B ∠=（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】试题分析：针对sin sin sin sin a A c C C b B +=利用正弦定理边角互化可得222a cb +=，即222a cb +-=，所以222cos 2a c b B ac +-===，所以4B π=.考点：本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.6.下列命题正确的是（ ）A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 经过一条直线和一个点确定一个平面D. 经过三点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点，故可以确定一个平面； 对于B:如果空间四边形，可以确定多个平面； 对于C:点在线上，就确定多个平面； 对于D:三点共线，能确定多个平面。

2019-2020江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考 数学

2019-2020江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考 数学

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷编制：王忠一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图221．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题．（1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；A B ()C H ()D G E F 图1 B C D E F H G A 图2（3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】 （1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分 （2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE⊥因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==， 所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB ＝×d |AB |＝ו＝＝2＝16，∴4k 2+32＝64，解得k ＝±2所以直线方程为：y ＝±2x +4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴ . ∴. 所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。

江苏省海安高级中学高二数学上学期12月月考试题(含解析)

江苏省海安高级中学高二数学上学期12月月考试题(含解析)

考查了分析问题和解答问题的能力 .
11. 下列结论正确的是（
）
A. 若 a2 b2 ，则 1 1 ab
C. 若 a b 0 ，则 lg a lg b
【答案】 BCD
B. 若 x 0 ，则 x 4 4 x
D. 若 ab 0 ，a b 1，则 1 1 4 ab
【解析】
【分析】
根据不等式的性质举反例可判断 A；利用基本不等式可判断 B；由对数函数的单调
a8 a6
9 ”是“ a2
3 ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充
分也不必要条件
【答案】 B
的 【解析】
【分析】
由已知有 a2
q ，因为 a8 a6
9 时，则 q2
9 ，可得 q 3或q
3 ，即“
a8 a6
9 ”不
能推出“ a2
3”，由 q
3可得 a8 a6
【解析】
【分析】
将 1 8 变成 x 1 x 8( x 1 x) 9 1 x
x 1x
x
1x
x
【详解】因
1 8 x 1 x 8( x 1 x)
x1x
x
x
1x
x
1
8
8
x
1x
8x 后再用基本不等式可得 . 1x
9
1x
2
8
x
( 当且仅当 1 x
x 1x
x
x ,即x 1x
1 时 , 等号成立 )
2
9 28
-9-
对于 D，由 ab 0 ， a b 1，则 1 1 a b 1 b a 1 2 2 b a 4 ，
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阶段检测（二）数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A 15 B 3 C ．3 D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5B 41C ．4D ．58． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C 30D 29． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线3y x ＝与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A 2B 3C 21D 3110．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．－1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()11ef '-＝，则a ＋b ＝ ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数()1f x ax x b ++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．21．（本小题满分14分）AB()C H()D GEF图1BCDEFHGA图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中2AB ＝BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分15分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．23．（本小题满分15分）已知椭圆C ：22214y x a+＝（a ＞2），直线l ：y ＝kx ＋1（k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，D 为AB 的中点（O 为坐标原点）．-，求椭圆C的方程；（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO＝．若∠∠存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】BCD12．【答案】AD13．【答案】BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．【答案】942+15．【答案】116．【答案】) 3312+17．【答案】1322升20122升三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）【答案】19．（本小题满分12分） 【答案】 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.20．（本小题满分14分） 【答案】21．（本小题满分14分） 【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分 又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，2AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE =································· 9分（3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分所以||3cos 3||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E --的余弦值为3 14分22．（本小题满分15分）【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝， 又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b 由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4）， 原点O 到直线l 的距离d ＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分15分）【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴. 所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴. 即，∴.由（1）知，，∴. ∴. 所以存在定点使得.------14分。

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