计算方法考试试卷及答案

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《计算方法》试卷（A 卷）
一、填空题（每空3分，共27分）
1、若15.3=x 是π的的近似值，则误差限是 0.05 ，有 2 位有效数字。

2、方程013
=--x x 在区间]2,1[根的牛顿迭代格式为
1
312131-)()(2
3
2
31
-+=---='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 。

3、对252)(23-+-=x x x f ，差商 =]3,3,3,3[432f -2 ，=]3,3,3,3,3[5
432f 0 。

4、数值积分中的梯形公式为
)]()([2
)(b f a f a
b dx x f b
a
+-≈
⎰
，Simpson 公式为 )]()2
(4)([6)(b f b
a f a f a
b dx x f b
a
+++-≈
⎰。

5、求解微分方程初值问题⎩⎨
⎧==∈=5
.01
)0(]1,0['
h y x xy y 用欧拉公式计算得到=1y 1 ，用改进
的欧拉公式计算得到=1y 1.125 。

二、已知方程14
-=x x 在区间]2,0[内有根 （1）用二分法求该方程的根，要求误差不超过0.5。

（2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。

解：（1）由题意，令分。

3....,.........013)2(,01)0(,1)(4
<-=>=+-=f f x x x f 列表如下：
所以取1满足误差不超过0.5。

...........................................7 分 (2) 原方程等价变形为4
1+=
x x ，迭代函数41)(+=x x ϕ，……………………….2分
则43
)1(41)(+=
'x x ϕ且在区间]2,0[上14
1
)1(41)(043
<<
+=
'<x x ϕ，即1)(<'x ϕ…......5分 所以41)(+=x x ϕ单调递增且在区间]2,0[上23)2(1)()0(1044
<=≤+=≤=<ϕϕϕx x ，.7分
符合简单收敛的全局收敛条件，
所以收敛的简单迭代格式可构造为：3
15+=+k k x x .............................................8 分
三、利用x x f sin )(=在点2,
6,
0π
π的函数值：(1)建立其拉格朗日插值多项式，并进行
误差分析；(2)构造差商表，建立牛顿插值多项式。

解：(1)由题意知，.1,2
;21,6
;0,0221100===
=
==y x y x y x π
π
..........................2 分 所以过这三个点的拉格朗日插值函数为：
)02
)(62()6)(0(1)26)(06()
2)(0(21)20)(60()2)(6(0)
()()()(2211002----⋅+----⋅+----
⋅
=++=ππππ
ππππππππx x x x x x x l y x l y x l y x L ........................ 5 分 x x x x x x π
πππ
ππ
27
3
)6
(6)2
(182
1
22
2222+
-
=-
+
-
-
=.....................................7分 误差分析：
)2
)(6)(0()!12()()()12(2π
πξ---+=+x x x f x R .........................8 分
由题知：1|-cos ||)(| ,sin )()
3(≤=∴=ξξf x x f
|)2
)(6(|61|)2)(6)(0()!12()(||)(|)12(2π
πππξ--≤---+=+x x x x x x f x R ...........................10 分
（2）建立差商表：
....... ..... 4 分 牛顿插值多项式为
分
6)....)(](,,[)](,[)()(1021001002x x x x x x x f x x x x f x f x N --+-+=
分8 (27)
3)6)(0(3
)0(3
022
2x x x x x ππ
πππ
+-=---
-+
=
专业班级： 姓名： 学号：
……………密………………………………封………………………………线…………………………。