材料力学第十二章 简单静不定问题

结论：在对称的结构上作用着反对称的载荷 在结构的对称截面上, 对称的内力等于 0
31. X 1 33 . X 3 0
X1 0 X 3 0
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第12章 简单静不定问题
很显然: 对称载荷和反对载荷可以不同程度的降低静 很显然: 不定次数 所以 : 碰到这类问题时 所以: 碰到这类问题时, , 一定要有效应用对称、 一定要有效应用对称 定要有效应用对称 、 反 对称载荷的性质 而对称、反对称载荷的性质只体现在结构对称截面 而对称、 的内力上 所以: 我们要用对称反对称载荷的性质 所以: 我们要用对称反对称载荷的性质, , 在选取静 定基时就一定要解除对称截面上的内力! 定基时就一定要解除对称截面上的内力 !
1 2 1 2
X1
正则方程的另 种形式 正则方程的另一种形式
FP
Δ1P Δ2P Δ1X1
X1
Δ2X1 Δ1X2 Δ2X2
1P 1X 1X 0 2P 2X 2X 0
1 2 1 2
X2
正则方程的另 种形式 正则方程的另一种形式
FP
Δ1P Δ2P
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1q 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 q 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 q
协调方程的矩阵形式
（力法正则方程） 力法 则方程
11 21 31
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第12章 简单静不定问题
F
F/2 F/2 M
对称结构 反对称载荷
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第12章 简单静不定问题
问题：对称结构，加与已 问题 对称结构 加与已 知力偶m对应的载荷。哪 种是对称载荷？哪种是反 对称载荷？
A
m
a/2 a
C
B
a
反对称载荷
A
对称载荷
B A
m
a/2 a
ij ji

M iM EI
j
dx
正则方程的另 种形式 正则方程的另一种形式
在力法中 反映多余约束处位移受到限制的变 在力法中，反映多余约束处位移受到限制的变 形条件可以写成规则的未知力的线性方程组，称为 “正则方程” 正则方程 。
1P 1X 1X 1X 0
P
a EI EI
a
P
EI M
Q N
X3 X1 X2
X3 X2 X1
P
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第12章 简单静不定问题
三、对称载荷的性质
P
X3 X1 X2
X3 X2 X1
P
4）分别研究切口两侧， 水平相对线位移， 竖直相对线位移， 相对转角 相对转角， 建立正则方程
1 1P 11. X 1 12 . X 2 13 . X 3 0 2 2 P 21. X 1 22 . X 2 23 . X 3 0 3 3 P 31. X 1 32 . X 2 33 . X 3 0
对称结构
对称载荷
对称结构
反对称载荷
对称结构－几何形状、尺寸、材料、约束等对称于某一对称轴 对称载荷－载荷的大小、方向、作用位置对称于结构的对称轴 反对称载荷 称 －载荷的大小、方向、作用位反对称于结构的对称轴 的大 向 作 位 称 结构的 称轴 何斌
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第12章 简单静不定问题
对称结构 对称载荷
第12章 简单静不定问题
Pl 2 l 3 3 Pl Pl 8 vC 2 48 EI 16 EI 192 EI
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第12章 简单静不定问题
第12章 简单静不定问题
§12－1 静不定问题的概念与方法 §12－2 简单静不定问题 §12－3 力法与正则方程 §12－4 对称性与反对称性在求解静 不定问题中的应用 §12－5 结论与讨论
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第12章 简单静不定问题
11
1 P
l 1 l 1 EI EI
0 M1 图
MP图
2 2 1 Pl Pl 1 EI 8 8 EI
由 11 X 1 1 P
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Pl 0 得X 1 8
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材料力学25
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2015年12月9日星期三
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第12章 简单静不定问题
第12章 简单静不定问题
§12－1 静不定问题的概念与方法 §12－2 简单静不定问题 §12－3 力法与正则方程 §12－4 对称性与反对称性在求解静 不定问题中的应用 §12－5 结论与讨论
影响系数
12 22 32
13 X 1 23 X 2 33 X 3
1q 2q 3q
ij (i 1, 2,3; j 1, 2,3)
在Xj处施加单位力，在Xi点处Xi方向的位移
X1
P
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第12章 简单静不定问题
四、反对称载荷的性质
P
X3 X1 X2
X3 X2 X1
P
4）分别研究切口两侧， 水平相对线位移， 竖直相对线位移， 相对线位移 相对转角， 建立正则方程
1 1P 11. X 1 12 . X 2 13 . X 3 0 2 2 P 21. X 1 22 . X 2 23 . X 3 0 3 3 P 31. X 1 32 . X 2 33 . X 3 0
力法方程
q
以本例说明解法
1
1
2
3
X1
X2
X3
位移协调条件
1 0, 2 0, 3 0
以1为例说明建立方程的过程
静定基 相当系统
(MX1 MX2 MX3 Mq )M1(x) M(x)M1(x) 1 dx dx EI EI MX3 M1(x) MX1 M1 MX2 M1(x) MqM1(x) dx dx dx dx EI EI EI EI MqM1 M3M1 M1M1 M2M1 X1 dx X2 dxX3 dx dx EI EI EI EI 11X1 12X2 13X3 1q
ij ji
（位移互等定理）
简单实例
A
q B q
1 11 EI
1P
L3 M ( x1 ) M ( x1 )d x 3 EI 0
L
A
B
1 EI
L
M ( x ) M ( x )d x
1 1 0
L
1
静定基
1 2 M ( x1 ) qx1 2
X1
1 EI
C
m
m
a/2 /
C
m
B
a
a
a Page 20
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第12章 简单静不定问题
二、对称与反对称内力的概念 、对称与反对称内力的概念
M N Q M Q N
在考察的截面上： N （轴力）和 M（弯矩） 是对称的内力 Q（剪力）是反对称的内力
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第12章 简单静不定问题 C
问题：对称结构，受力F 问题：对称结构 受力F 作用。哪种内力是对称载 荷？哪种是反对称载荷？ 加何种力可以形成对称加 载？
1 2 n
2P 2X 2X 2X
1 2
n

nP nX nX nX
1 2
n
0 0
正则方程的另 种形式 正则方程的另一种形式
FP C B FP C B X2 A A
1P 1X 1X 0 2P 2X 2X 0
3P 31 1 33 3
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第12章 简单静不定问题
四、反对称载荷的性质
a EI EI EI a P
解： 1）判断静不定种类及次数 约束反力三次静不定 2）解除多余约束，建立静定基 为了不破坏反对称性 释放刚架在对称截面的3个内力 3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
P
X3 X1 X2
X3 X2
11 FR1 12 FR 2 1n FR n Δ1 P 0 21 FR1 22 FR 2 2 n FR n Δ2 P 0 P 0 n1 FR1 n 2 FR 2 nn FR n ΔnP
反对称内力
C YE Y`E P A P B A D C XE X`E
2a
D E
2a
P A
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对称内力
D C
对称载荷 2a
D E A P B
2a
P B
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三、对称载荷的性质
解 解： 1）判断静不定 种类及次数 2）解除多余约束， ）解除多余约束 建立静定系 约束反力三次静不定 为了不破坏对称性 选对称截面--为了不破坏对称性，选对称截面 对称结构与其对称轴相交的截面 释放刚架在对称截面的3个内力 3）对静定基进行受力分析， ）对静定基进行受力分析 建立相当系统
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第12章 简单静不定问题
§12－4 对称性与反对称性求解静不定问题
一、对称与反对称载荷的概念
a EI EI EI EI a P a EI EI a
注意 注意：
P
无论是对称载荷 还是反对称载荷， 一定是要作用对称结 构上 离开对称结构 构上。离开对称结构 的载荷，无所谓对称 与反对称。
δ11
1
δ21 δ12 δ22
X 111 +X 212 +1P 0 X 1 21 +X 2 22 +2P 0
1
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第12章 简单静不定问题
例 1
两端固定的梁 跨中受集中力Ｐ作用 设梁的抗弯 两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯 刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点的挠度。
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P
P
1
1
MP
对称
M1
对称
12 21 0 23 32 0 13 31 0
1 p 0
1 1 1 1
2 p 0 3 p 0
M2
反对称
M3
对称
11 0 22 0 33 0
正则方 则方 1P 11. X 1 13 . X 3 0 结论：在对称的结构上作用着对称的载荷 X2 0 程组简 22 . X 2 0 在结构的对称截面上, 反对称的内力等于 0 化为： . X . X 0
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第12章 简单静不定问题
§12－3 力法与正则方程
力法的思想是简单易懂的 静定基 杆件或支座 （不是唯一的，以方便为准） （不是唯 的 以方便为准） 建立 借助 3 4
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解除
1 2
结构静定化 构静定
在未知力处
变形协调条件 补充方程（力法）
变形条件
莫尔积分 求解 线性方程 未知力 未 力 Page 3
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P
P
1
1
MP
反对称
M1
对称
12 21 0 23 32 0 13 31 0
1 p 0 2 p 0 3 p 0
1 1 1 1
M2
反对称
M3
对称
11 0 22 0 33 0
正则方 11. X 1 13 . X 3 0 程组简 2 P 22 . X 2 0 化为：
4 1 qL 2 qx 1 x1 d x1 2 8 EI 0
A x1 A
B
11 X 1 1P 0
L3 qL 4 0 X1 3 EI 8 EI
M ( x1 ) x1
x1 X1 =1
3q qL X1 8
力法的基本特点与力法正则方程
以多余约束力作为基本未知量，根据被去掉的多余约束处相应 的位移条件 建立关于多余约束力的方程或方程组 解此方程或方 的位移条件，建立关于多余约束力的方程或方程组。解此方程或方 程组即可求出多余约束力，此后就是解静定结构的问题了。 力法正则方程：
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1q
2 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 q
3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 q
利用位移协调条件：
得：
1 0, 2 0, 3 0