断裂力学教案

第一章 断裂力学的基本概念§1.1 断裂力学的产生与发展 【产生】传统安全设计思想：max σ≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧（塑性材料）脆性材料ss bbn n σσ)( （n b 、n s >1） 低应力破坏现象：二战时，美国建造2500只船，700只发生破坏，145只在非军事行为下断为两截，美国—T2油轮断裂，甲板应力为70MPa ，而甲板屈服强度300MPa 。

新的衡量材料断裂性能指标出现，标志着断裂力学的产生。

【发展】最早产生于1920年，Griffith （格里菲斯）提出：c σa =常数c σ-裂纹扩展临界应力，a-裂纹半长度该理论的局限性：成功的解释了脆性材料开裂现象，但不能很好的解释金属材料。

1949年，Orowan （奥罗文）提出修正的格里菲斯公式：212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πσpcEU a =常数U-塑性变形功，E-弹性模量p该理论的局限性：U难以测量，工程上难以应用。

p1957年，Irwin（伊尔文）提出应力强度因子K的概念，奠定了线弹性断裂力学的基础。

【发展状况】线弹性断裂力学成熟，弹塑性断裂力学不成熟。

【断裂力学与材料力学的不同点】材料力学研究完整的材料，断裂力学研究带裂纹的材料。

1）静荷载情况：材料力学用许用应力设计构件，断裂力学用断裂韧性设计构件。

2）循环荷载情况：材料力学用疲劳极限设计构件，断裂力学用疲劳寿命设计构件。

§1.2 裂纹的类型Ⅰ型裂纹（张开型裂纹）：拉应力垂直于裂纹扩展面。

Ⅱ型裂纹（滑开型裂纹）：切应力平行于裂纹面且垂直于裂纹前沿线。

Ⅲ型裂纹（撕开型裂纹）：切应力平行于裂纹面，平行于裂纹前沿线。

§1.3 Griffith 裂口理论 理论假设：1） 脆性材料存在微裂纹，裂纹尖端应力集中大大降低了材料强度。

2） 对应一定尺寸裂纹a ，有一临界应力值c σ，当外加应力大小大于c σ时，裂纹扩展导致断裂。

3） 裂纹扩展条件是扩展所需要的表面能由系统释放的弹性应变能提供。

[无裂纹时]取相当大的板，上下端施加均布载荷σ，稳定后把两端固定，构成能量封闭体系。

应变能：V EV U 22120σσε== （1）[有裂纹时]上述板上割开一穿透裂纹，裂纹表明无应力，应力被松弛，系统释放能量。

应变能改变量（释放的能量）：Ea U 221πσ-=（平面应力）或Ea U 2221)1(σμπ--=（平面应变） （2）μ——泊松比新增表面能：γa U 42= （3）γ——单位面积表面能对平面应力问题，有裂纹情况下系统总能量：γπσσa Ea V EU U U U 42222210+-=++= （4）显然U 是a 的函数。

对（4）求导，令其为零，可求U 的极值。

0422=+-=∂∂γπσEaa U ⇒ 临界值22πσγE a c = （5） 由于02222<-=∂∂E aU πσ 所以 当22πσγE a a c ==时，系统内能U 达极大值。

当a<c a 时，a ↑，U ↑，若无外界能量输入，裂纹不扩展。

当a>c a 时，a ↑，U ↓，裂纹将失稳扩展。

由（5）式可得：212⎪⎭⎫⎝⎛=a E c πγσ （平面应力） （6） 对平面应变问题212)1(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a E c μπγσ （平面应变） （7） 注：以上公式（6）、（7）仅适用于脆性断裂。

对金属材料，Orowan 修正公式：21)(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=a U E p c πγσ （8）其中： p U ——塑性变形功 由于p U >>γ，所以略去γ：212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=aEU pc πσ （9）§1.4 复变函数基本知识﹡复数 bi a + ，a 、b 为实数 ，12-=i ﹡复变数 yi x z +=， 实变数y x ,Imzz y Rez z x 的虚部，记为为的实部，记为为极坐标中，()θθθisin cos r z z +==或i re ，r---- 复数的模。

⎩⎨⎧-=+=iyx z iyx z 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==-θθi i rez rez 互为共轭复数。

*复变函数()z Z yi x z +=为自变量()Z i Z z Z Im Re += 复变函数的导数()()dzz dZ z Z ='复变函数的积分 ()()dz z Z z Z ⎰= *解析函数若()z Z 在区域D 内每一点可导，称()z Z 是域D 内的解析函数。

解析函数性质：① 若()Z i Z z Z Im Re +=是解析函数，则()()⎩⎨⎧=∇=∇0Im 0Re 22z Z z Z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222y x ——拉普拉斯算子 即解析函数的实部和虚部是调和函数。

② 解析函数存在下列关系()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂='∂∂=∂∂='y z Z x z Z z Z yz Z x z Z z Z Re Im Im Im Re Re ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=y z Z x z Z z Z yz Z x z Z z Z Re Im Im Im Re Re ③解析函数的导数和积分仍为解析函数。

④一个解析函数必然是双调和函数，即 若02=∇ϕ，则04=∇ϕ。

其中：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇222222224y x y x所以解析函数的实部和虚部也是双调和函数。

第二章 线弹性断裂力学——应力场强度因子断裂理论§2.1 断裂力学平面问题的求解 【基本方程】 平面应力问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+-=+∇=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂))(1()(002yYx X Y yx X y x y x yyx xyx μσσσττσ （2-1） 平面应变问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-=+∇=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂)(11)(002y Y x X Y y x X y x y x y yx xyx μσσσττσ （2-2）若体积力X,Y 与坐标无关，则平面应力，平面应变问题归为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∇=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0)(002y x yyx xy x Y y x X y x σσσττσ （2-3） 由以上方程及边界条件求x σ,y σ,xy τ，再由其他关系式求xy y x γεε,,及v u ,。

【求解方法】构造Airy 应力函数ϕ，该函数满足双调和方程：04=∇ϕ (即 024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ) （2-4） 及边界条件。

则应力分量为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==∂∂∂-=∂∂=∂∂=))((),(022222平面应变平面应力y x z z xy y x y x xy σσμσσϕτϕσϕσ （2-5） 应变分量为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=xy xy x y y y x x G G G τγσμσμεσμσμε1)()1(21)()1(21'''' （2-6） 其中：)1(2μ+=E G ，μμ='（平面应力） μμμ-=1'（平面应变）§2.2 Westgaard 应力函数 1939年，Westgaard 提出应力函数：Z y Z Im Re +=ϕ —（具体形式的Airy 应力函数） 可证明：04=∇ϕ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂∂-=+=∂∂=-=∂∂='2'22'22Re Im Re Im Re Z y y x Z y Z x Zy Z y xy y x ϕτϕσϕσ （2-7）⎩⎨⎧=+==（平面应变）平面应力Z y x zz Re 2)()(0σσμσσ （2-8）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-+=+--+='''''''''Re 21]Im )1(Re )1[()1(21]Im )1(Re )1[()1(21Z y G Z y Z G Z y Z G xy y x γμμμεμμμε （2-9） ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=)(0)(Re 2)(平面应变平面应力y y x z Z EE εμσσμε （2-10） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=+--+=]Re )1(Im 2[)1(21]Im )1(Re )1[()1(21'''''Z y Z G v Z y Z G u μμμμμ （2-11）该方法实质：只要找到满足边界条件的解析函数Z ，即可求应力，应变，位移。

§2.3 双向拉伸的I 型裂纹问题Irwin 用Westergaard 应力函数求解I 型裂纹问题。

已知：无限大板内有长为2a 中心穿透裂纹，板无限远处受双向张应力σ作用。

求：应力场，位移场。

解：平面问题平面应力板较薄平面应变板较厚⎭⎬⎫----边界条件描述为：σσσσσσσσ==∞→=→>>==<=x y y y y x y a x a x y a x y ，时，，③越大，，且时，，②时，，①000由式（2-7），'y y I m ZR eZ +=σ，'x yImZ ReZ -=σ222200a x xZ x iy x z y a z zZ ReZ ReZ y x y -==+==-====σσσσ时，证明如下：可满足边界条件。

取，，当，满足条件①。

（纯虚数）。

，当0R e Z a xZ a x y 22==-=<σσxi2221）（，当xa ax xZ a x -=-=>σσ越大，满足条件②，且，）（y y y a x ,xa R e Z σσσσσ→>∴-==21 当±∞→x 时，σσ=y ，σσ=x ，满足条件③。

以下求裂纹附近处的应力场和位移场：a re a i r ir r a iy x z i +=++=++=+=θθθθθ)sin (cos sin )cos ( 则θθθσσi i i are e r a re a z zZ 2)(2222++=-=当a r <<时或0→r 时，分子中ie re ，分母中θi e r 22很小，可以忽略。

所以r i a are aZ i 2/)2sin 2(cos 2θθσσθ-==（2-12）由：r a Z 2/)2cos (Re θσ=2/3')2/()23cos (Re r a Z θσ-=()2/3'2/23sin Im r a Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛=θσ ，θsin r y =（注：Z ˊ可由22/a z z Z -=σ对z 求导并略去小量求得。