第二篇积分变换 第2章 拉普拉斯变换

0
s
6
例2.2 求 f t eat 的拉普拉斯积分
（其中α为任意复数）
解 根据定义，
et est dt e s t dt ,
0
0
当 s 时，该积分收敛，且
es t dt 1 ,
0
s
7
例2.3 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的复频函数
解
sin k t estdt 1 sin k t dest
上式
|
s
1 |m1
|| erRcos (rR cos )m1 secm2 d
0
1 | s |m1
erRcos (rR cos )m1
|| secm2 d
0
R 0 即 AB R 0 21
同理
1
s m1
um eud u
CD
1 s m1
um eud u
DC
1 s m1
re cos jre sin u m eud u
s2
k
k2
Res 0
8
同理可得
cos kt estd t 1 (e jkt e jkt ) estd t
0
20
1 e(s jk )td t e(s jk )td t
2 0
0
1 2
s
1 jk
e(s jk)t
0
s
1 jk
e(s jk)t
0
1 2
s
1 jk
s
1 jk
re cos
1 | s |m1
ere cos (re cos )m1
|| secm2 d
0
e0 0 即 CD e0 0
22
故
1
s m1
0
t
m
etd
t
1 s m1
um eud u 0
0
即 1
s m1
um
0
eud u
1 s m1
t m etd t
0
G(m 1) s m1
tm 0
[案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄 利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行 古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ函数， 在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ函数使用 很不方便.
3
缺点2：进行傅氏变换的函数须在上 (, ) 有定义．
[案例]在物理、无线电技术、机械工程等实际
(m 1, Re(s) 0)
28
例2.6
求狄立克雷函数
(t)
1
,
0
t
的拉氏变换。
0, 其他
解 在具体求解运算之前，先把拉普拉斯变换中积分下限
的问题加以澄清。
若函数f(t)满足拉普拉斯积分存在定理，在t=0处有
界，此时积分
f
t
0
f
t est dt
中的下限取0+或0-不会影响其结果，但当f(t)在t=0处为δ 函数，或包含了δ函数时，拉氏积分的下限就必须明确指
0
1
| s |m1
rR|sin |
|
e rR cos
(rR
cos
jv)m
|
d
v
0
20
1
| s |m1
rR|sin |
|
e rR cos
(rR
cos
jv)m
|
d
v
0
Baidu Nhomakorabea
|
s
1 |m1
e rR|sin | rRcos
(r 2 R 2
cos2
m
v2) 2
d
v
0
令v rR cos tan , d v rR cos sec2 d
重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。 难点拉普拉斯变换存在定理的证明。
2
2.1 拉普拉斯变换的概念
由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分 存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克 雷条件；(2)在无限区间 (, )上绝对可积．而傅氏变换 存在两个缺点．
缺点1：条件(2)过强．在实际应用中，许多函数不能 满足条件(2)．
0
即 f t f t
当f(t)在t=0处包含一个δ函数时
0 f
t
est dt 0
0
即
f t f t
30
为此，将进行拉氏变换的函数f(t)，当t≥0时的定义 扩大到当t>0及t=0的任意一个领域。这样拉氏变换的定义
f t
0
f
t
est dt
0
应为
f (t)
f
0
t est dt
0 s
0 s
所以 t 1
32
同理
t t0
0
t t0
est dt
t t0
est dt
est0
F (s) f (t) estd t 0
❖ 在半平面Re(s)>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数.
10
Mect f(t)
M
O
t
11
证 由条件2可知, 对于任何t 值(0t<), 有
|f(t)est|=|f(t)|ebt Me(bc)t, Re(s)=b,
shkt
s2
k
k
2
(Re(s) Re(k) )
由前面的例题，我们可得拉普拉斯变换公式：
coskt
s2
s
k2
(Re(s) Re(ik) )
u(t) 1 (Re(s) 0)
s
et 1 (Re(s) Re() )
s
sin
kt
s2
k
k2
(Re(s) Re(ik) )
tm
G(m 1) s m1
应用中，许多以时间t为自变量的函数在t＜0时
是无意义的或者是无需考虑的.因此，对这些函 数也不能进行傅氏变换．
由此可见，傅氏变换的应用范围受到了极大 的限制，必须引入一种新的变换．
4
2.1.1 拉普拉斯积分
若时间函数 f(t) 在 t > 0 有定义，则 f(t) 的 拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为
0
4
e(u2 v2 )du dv
00
24
换成极坐标（ρ，φ），其中
u cos v sin
最后这个积分变成
4
e(u2 v2 )du dv 4 2
e2 d d
00
0 0
4
2
1
e
2
d
0 2
0
所以 G 1
2
得
1
x2
esx
dx
0
s
25
2.1.2 拉普拉斯变换
第二篇 积分变换
第2章 拉普拉斯变换
内容要点 拉普拉斯变换的概念 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的应用
1
教学要求
正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的 存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换， 正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及 延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在 计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及 查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积 性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分 方程组。
um eud u
0
19
1
s m1
um
AB
eud u
1 s m1
u e d u rRcos jrRsin m u
r R cos
令u rR cos jv, d u jd v
1 rRcos jrRsin m u
s u e d u m1 rRcos
j s m1
rRsin e(rRcos jv) (rR cos jv)m d v
为书写方便，该定义仍写为原来的形式。
即
t
testdt
t
e
st
dt
1`
0
31
方法2：
解 先对 t 作拉氏变换
t
0
t est dt
1 est dt 1 1 es
0
s
t 的拉氏变换为
t lim 0
t
lim
0
1
es
s
用罗必达法则计算此极限，得
lim 1 es lim se s 1
ds
ds 0
d [ f (t) est ]d t 0 ds
tf (t) estd t 0
这就表明, F(s)在Re(s)>c内是可微 的. 根据复变函数的解析函数理论 可知, F(s)在Re(s)>c内是解析的.
14
❖ 2009-6-8
15
G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经 常应用的G-函数定义为
F(s) f (t)estdt 0
复频函数
复频率
可以预见，上述积分是收敛的。
5
例2.1 求单位阶跃函数的拉普拉斯积分
u(t)
0, 1,
t0 t0
解 积分
b estdt 1 (1 esb )
0
s
在b→+∞时，当且仅当Re(s)>0才有极限，
因此
b u(t)estdt 1 (Re( s) 0)
若令bc e>0 (即b c +e =c1>c), 则 |f(t)est|Meet.
所以
0
f (t) eet d t
0
M
eetd t
M
e
根据含参量广义积分的性质可知, 在
Re(s)c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对 收敛而且一致收敛.
12
在下式的积分号内对s求导, 则
d f (t) est d t tf (t) estd t
estd t
G(m 1) s m1
(Re( s) 0)
当m为正整数时,
t m estd t
0
m! s m1
(Re( s) 0)
23
当 m1 时
2
令x=u2，我们有
G 1
x
1 2
e
x
dx
2
e u2
du
,
2 0
0
这就得
2
G
1 2
2 e u2 du 2 e v2 dv
0
0 ds
0
而 | tf (t) est | Mt e(b c)t Mt eet
所以
d
0 ds
f (t) est d t
0
Mt
e et d
t
M
e2
由此可见, 上式右端的积分在半平面
R从e而(s)微c1分>c内与也积是分绝可对以收交敛换且一致收敛,
13
因此得
d F (s) d f (t) estd t
s2
s
k2
(Re(s) Re(s).对实的k这表示Re(s) 0） 9
2. 拉普拉斯积分存在定理
定理2.1 若函数f(t)满足: 1, 在t0的任一有限区间上分段连续 2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数 函数, 即存在常数M >0及c0, 使得
|f(t)| M ect, 0t< 则f(t)的拉普拉斯积分
Γ (m) et t m1 d t, 0 m 0
利用分部积分公式可证明
G(m 1) et t m d t t m det
0
0
t m et etd t m et mtm1 d t
0
0
0
mG(m)
而且G(1) etd t et 1
0
0
因此如m为正整数G(m 1) m!
0
s0
1 s
e s t
sin k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
k s
0
est
cos
k
tdt
则
k s2
e s t
cos k
t
0
k
0
est
sin
k
tdt
sin k t estdt 0
k s2
k2 s2
sin k t est dt
0
所以
sin k
0
t estdt
1 sm
DA AB BC CD
0
1
s m1
um
DA
eud u
1 s m1
rRcos u m eud u
re cos
1
R
e 0
s m1
t m
0
etd t
G
(m 1) s m1
1
s m1
um
BC
eud u
1 s m1
um
CB
eud u
1 s m1
sR um eud u
se
R e 0
1 s m1
2
2
17
积分路线是OB直线段, B对应着
sR=rRcos+jrRsin, A对应着rRcos, 取一 很小正数e, 则C对应se=recos+jresin, D对应recos. 考察R, e的情况.
虚轴
B
C
v
O
D
A t (实轴)
18
根据柯西积分定理, 有
1
s m1
um
DABCD
eud u
函数F(s)也可叫做 f (t) 的像函数．
26
例2.5 求函数 f t chkt 的拉普拉斯变换
（其中k为任意复数）
解
因为
ekt ekt chkt
2
所以
chkt ekt ekt est dt
0
2
1( 1 1 ) 2 sk sk
s2
s
k2
(Re(s) Re(k) )
27
采用同样的方法我们可得
定义2.1 设函数f (t) 当t 0 时有定义，且广义积分
f (t)e st dt 在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参 0
数为s的函数 F (s) f (t)est dt 0
(2-3)
叫做函数的拉普拉斯变换，记作
F (s) [ f (t)]
函数 f (t) 叫做 变换的像原函数．
16
例2.4 求幂函数f(t)=tm (常数m>1)的拉氏积
分
t m estd t
0
为求此积分, 若令st=u, s为右半平面内任一复
数, 则得到复数的积分变量u. 因此, 可先考虑
积分
R t m estd t
sR
u
m
eu
du
0
0 s
s
1 s m1
sR um eud u
0
再设s re j ,
出是0+还是0-，因为
f t
0
f testdt
称为0+系统，在电路上0+表示换路后的初始时刻；
29
f t
f t estdt
0
称为0-系统，在电路上0-表示换路后的初始时刻；
f t
0
f
t
est dt
0
f t
可以证明，当f(t)在t=0附近有界时，则
0 f
t
est dt 0