信号与系统 周期信号功率式证明
信号与系统公式大全
2 0
齐次性 若f (t) y(t) 则af (t) ay(t)
可加性
若f1 则 f1
(t) (t)
y1(t f2 (t)
)，f2 (t) y1(t)
y2 (t) y2 (t)
分解性 线性系统 零状态线性
零输入线性
y(t) yx (t) y f (t) y(n) y0 (n) yn (n)
' (at b) 1 '(t b ) a 0
a2
a
证明：对 f (t) (t t0) f (t0) (t t0) 两端微分
证明：关键利用筛选特性展开 特别： a 1,b 0时 '(t) '(t)
'(t) 是奇函数
三.卷积
连续时间信号
卷积定义
f1(t) f2(t)
f1( ) f2 (t )d
A 0
t 0 t0
1. t A ( )d Au(t)
2. A ( ) d [Au(t)] dt
t 0 处可以定义为0, 1 ,1(个别点数值差别不会导致能量的改变) 2
斜坡信号 Ar(t) 性质
Ar(t)
At 0
t 0 t0
1.
t
Au(t)dt
Ar(t)
2.Au(t)dFra bibliotekdt[
Ar(t
IR (s)
电
容
u(t) 1
t
i(t)dt
C
u(t) 1 i(t) pC
UC (t) 1 IC (t) jC
UC
(s)
1 Cs
IC
(s)
1 s
uC
(0
)
IC (s) CsUC (s) CuC (0)
理工类专业课复习资料-信号与系统-复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。
其周期为各个周期的最小公倍数。
① 连续正弦信号一定是周期信号。
② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。
周期信号是功率信号。
除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。
1. 典型信号① 指数信号： ()atf t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号01()u t ={0t =是()u t 的跳变点。
（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：（1）取样性11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性()1()at t aδδ=（4）微积分性质 d ()()d u t t tδ= ；()d ()tu t δττ-∞=⎰（5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ；(0)t <(0)t >()1t dt δ∞-∞=⎰()0t δ=（当0t ≠时）()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰；()()t t δδ''-=-()d 0t t δ∞-∞'=⎰带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
信号与系统4.6-4.9
信号与系统
4.8 LTI系统的频域分析
一、基本信号ej t作用于LTI系统的响应
设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基 本信号ej t时，其响应
y(t) = h(t)* ej t
y (t )
h ( ) e
j ( t )
d
h ( ) e
j
T 0
1
f(t) „
-1
0
1
4
t
n
F
0
( jn ) ( n )
信号与系统 F(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω)
4.7
周期信号傅里叶变换
(2)
本题 f0(t) = g2(t)←→ 2 Sa( ) F(jω) =
n
2 T
2
2 Sa( n ) (
jn t
dt
f T (t )
n
Fn e
F T ( j ) 2
n
F
n
( n )
(1)
例1：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作 一时限非周期信号f0(t)的周 „ 期拓展。即 f(t) = (t)* f (t) -4
n )
2
n
Sa(
n 2
) (
1 T
n 2
)
(2)式与上页(1)式比较，得 说明：
Fn
F 0 ( jn )
F0 ( j
2n T
)
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统-学习提纲
jωt
为虚指数信号，是周期信号，模拟角频率= ω ，单位=rad/s
(1). Ae (2).
jωt
= A e jθ × e jωt = A e j (ωt +θ ) ，A 称为复振幅，包含幅度|A|和相位θ
ω > 0 时， 当 t 增大时， 在单位圆上逆时针旋转； ω < 0 呢？ e jωt 在复平面上的运动轨迹：
信号与系统--学习指导
Signals and Systems
1/共 32 页
m, n, i, j, k 及大写——作为变量时，一般表示整数
第一章 信号与系统概述 一、判断信号的周期性——P17 的 1-5 1.理解定义： ∀t ∈ ( −∞, ∞), x (t ) = x (t + T ) ， ∀k ∈ ( −∞, ∞ ), x ( k ) = x ( k + N ) ； 1.)要求对任意的 t , k 都满足 2.)周期离散信号要求 周期 必须是 整数，连续信号的周期则 无此 要求！ 2.最小的正周期 T0 , N 0 称为基本[基波]周期，一般情况下周期指基本[基波]周期 3.若 T , N 是信号的周期，则 mT , mN 也是信号的周期 4.两个周期信号的周期有公倍数时，相加[或相乘]得到的信号 才能是 周期的 5.掌握正弦余弦、 虚指数信号的频率， 如 cos(ω0t + θ ) 、e 根据模拟角频率或数字角频率，判定和计算它们的周期 6.对于 cos (ω0t + θ ) 形式的信号，不妨化成虚指数的形式，判断周期性可以不用考虑它的
可见，复数 A 包含 2 种信息，幅度|A|和相位θ——复数的优点；A=Re+jIm 为另一种表示 1. lim e = 0 的条件是： σ = Re[ s ] < 0
§3.2 周期信号的频谱和功率谱
不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
பைடு நூலகம்
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2
《信与系统》教与学
4.14
利用能量等式
f
2 (t )dt
1 2
2
F ( j) d ，计算
sin t
2t
2
dt
。
【解题方法：】先利用门函数常用对和对称性求出 sin(2t) 的傅里叶变换， t
4.11 如下图所示信号， f1 (t ) 的傅立叶变换 F1 ( j ) 已知，求信号 f 2 (t ) 的傅立叶 变换 F2 ( j ) 。
解：
f2 (t ) f1 (t t0 ) f1(t t0 ) f1(t ) F1( j)
f1(t t0 ) F1( j)e jt0
9
《信号与系统》教与学第四章答案
解： T1
2
2(s )
T2
2 2
(s)
故该信号为非周期信号。
（2）
cos(
t)
sin(
t)
2
4
T1 T2
2
为无理数，
解： cos
2
t
,
2
4
(s)，
sin
4
t
,
2
8
(s)，
2
4
8 (s)。
4.2 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。
【解题方法：】首先根据函数的奇偶特性判断信号的傅立叶级数中包含的正、余 弦分量；再根据函数的谐波特性判断信号的傅立叶级数中包含的 奇谐分量、偶谐分量。
df (t) ( j ) F ( j ) dt
jt
df (t) dt
d( j) F(
d
j)
jF
(j)
j
dF ( j ) d
4t
df (t dt
信与系统常用公式
常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号xt,yt 的周期分别为T1和T2,若其周期之比T1/T2为有理数,则其和信号xt+yt 仍然是周期信号,其周期为T1和T2的最小公倍数;2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号,而正弦序列不一定是周期序列;2、两连续周期信号之和不一定是周期信号,而两周期序列之和一定是周期序列;信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n nat t a a δδ=001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法;线性时不变的微分和积分特性;第二章微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()(1)(1)110()()...()()0n n n yt a y t a y t a y t --++++＝特解的函数形式与激励函数的形式有关; 初始状态和初始值;零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+()()()()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++()()()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞-∞*=-⎰1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**卷积积分特性1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()3.()(()())tf t d f d f t t τεττττε∞∞∞*-=⎰⎰－－＝卷积微分特性121221()()1.[()()]()()n n nn n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t ttf f d f d f t f t f d τττττττ∞∞∞*=*=*⎰⎰⎰－－－(1)(1)1212123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，卷积的时移性质1212121212121212()()()()()()()()()()f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则第四章周期信号ft 的傅立叶级数011()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞∞===+Ω+Ω∑∑/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2/22()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰a n 是n 的偶函数,b n 是n 的奇函数01()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞==+Ω+∑00A a =n A =arctan nn nb a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==波形的对称性与谐波特性1. ft 为偶函数－－对称纵坐标：b n =0,展开为余弦级数;2. ft 为奇函数－－对称原点：a n =0,展开为正弦级数;3. ft 为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=04. ft 为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0傅立叶级数的指数形式1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞Ω=-∞=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，12n nj j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞Ω=-∞=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰F 0=A 0/2为直流分量周期信号的功率—Parseval 等式222200111()22T n n n n A f t dt A F T ∞∞==-∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰ 0,/2n n n F A ≥=时 幅度为1,脉冲宽度为τ,周期为T 的矩形脉冲频谱：()(),0,1,2,...2n n n F Sa Sa n TT TτττπτΩ===±± 傅立叶变换()lim ()j t n T F j F T f t e dt ωω∞--∞→∞==⎰1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞-∞=⎰(0)()F f t dt ∞-∞=⎰1(0)()2f F j d ωωπ∞-∞=⎰常用函数的傅里叶变换傅立叶变换的性质见第五章奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+()F j ω=()()arctan ()X R ωϕωω⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)()(),()()()(),()()R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω =- =--=- =--(2)()(),()0,()()()(),()0,()()f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换2()()()()T n n t n n Tπδδωδωδω∞∞Ω=-∞=-∞↔-Ω=Ω-Ω=Ω∑∑普通周期信号的傅立叶变换：00()()()()()n F j F j F jn n ωδωωδω∞Ω=-∞=Ω=ΩΩ-Ω ∑无失真传输：yt=Kft-t d ()()dj t Y j KeF j ωωω-=实现无失真传输,对系统的要求：()()d h t K t t δ=-()()/()dj t H j Y j F K j e ωωωω-==取样定理取样信号f s t 的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：()()()()()ssT s s s s n n s t t t nT n ωδδωδωωδωω∞∞=-∞=-∞==-↔=-∑∑[]()(1/1()()2))(s sn s s s F j T F F n j j ωωωπωωδωω∞=-∞=*=-∑第五章双边拉普拉斯变换对()()stb F s f t e dt ∞--∞=⎰1()()2j st b j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰收敛域因果信号：[]Re s σα=> 反因果信号：[]Re s σβ=<双边信号：[]Re s βα>>收敛域的确定方法：lim()0t t f t e σ-→∞=单边拉氏变换0()()defstF s f t e dt ∞--=⎰1()()()2defj stj f t F s e ds t j σσεπ+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 常见函数的拉氏变换单边单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质与傅立叶变换性质对比：初值定理和终值定理0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+== 0()lim ()s f sF s →∞=拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F s 为单极点单根1212()()......()i ni nB s K K K K F s A s s p s p s p s p ==+++++----()()ii i s p K s p F s ==- 11()i p ti L e t s p ε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1,2()()F s p j αβ=-±特例：包含时共轭复根[]1121()()j s j K s j F s K e A jB K K θαβαβ*=-+=+-==+=11121()()()()()j j K e K e K K F s s j s j s j s j θθαβαβαβαβ-=+=++-+++-++ 11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-2 Fs 有重极点重根1111111211111()(),(/)()()1()()(1)!rrs p s p r r r s p r k s p F s k d ds s p F s d k s p F s r ds===-=-⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦-11111!11()()()!p t nn n n n L t t L t e t s s p n εε-++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦复频域分析 微分方程的变换解11()0000()(0)()n n i m i i p p j i i j i i p j a s Y s a s y b s F s ---====⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ ()()()()()()()()x f M s B s Y s F s Y s Y s A s A s =+=+ 系统函数()()()()()deff Y s B s H s F s A s ==电路的S 域框图电感 电容()()(0)L L U s sLI s Li =-- 1(0)()()CC u U s I s sC s-=+系统的信号流图表示－－梅森公式1()()()mi if i p Y s H s F s =∆==∆∑,,,1...j m n p q r jm np q rL L L L L L ∆=-+-+∑∑∑系统函数与系统特性Hs 的零、极点与时域响应ht 关系 1、极点在左半平面：在负实轴上：211122()()())t t tke t k s k e k te t αααεαεα---→+→+1k一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ i L (t)L +u(t)-+-U(s)Li (0-)I LU(s)或u(t)+-U(s)U (0-)/sU C (s)或不在负实轴上：221122222cos()())()cos()())cos()()t t t ke t t B s k te t t k te t t αααβθεαββθεαββθε---→++→+⎡⎤+⎣⎦++B(s)一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：在原点：()()k t kt t εε→→2k一阶极点：sk二阶极点：s不在原点：211222cos()()cos()()cos()()k t t k t t k t t t βθεββθεββθε→++→+⎡⎤+⎣⎦++222B(s)一阶极点：s B(s)二阶极点：s3、极点在右半平面在正实轴上：()()()t t e t kt e t ααεαεα→-→-2k一阶极点：s k二阶极点：s 不在实轴上：22211222222cos()())cos()())cos()()tt t ke t t k t e t t k e t t αααβθεαββθεαββθε→+-+→+⎡⎤-+⎣⎦++22B(s)一阶极点：(s B(s)二阶极点：(sHs 的零、极点与ht 的关系：1零点影响ht 的幅度、相位；（2） 极点决定ht 的形式a) 左半平面极点对应ht,随时间增加,是按指数函数规律衰减的；b) 虚轴上一阶极点对应ht 是阶跃函数或正弦函数,二阶及二阶以上极点对应ht 是随时间增加而增大的；c) 右半平面极点对应ht 都是随时间增加按指数函数规律增加的;。
信号与系统考试重点
1.几点说明: ①若x （t ）是周期的，则x （2t ）也是周期的，反之也成立②对于f [k ]=cos[Ωk ]只有当|Ω|/2π为有理数的时候，才是一个周期信号③设x1（t ）和x2（t ）的基本周期分别是T1和T2，则x1+x2是周期信号的条件是12T T =km为有理数（k ，m 为互素正整数）周期是T=m 1T =k 2T 思考：周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期为多少？为什么？与 功率信号（公式见书4p ）E 。
若为有限值则为能量信号。
否则，计算功率P ，若为有限值则为功率信号。
否则，；两者都不是。
注：一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可能既不是能量信号也不是功率信号。
思考：确定下述论点正确与否，并简述理由。
（1）所有非周期信号都是能量信号。
（2）所有能量信号都是周期信号。
（3）两个功率信号之积总是一个功率信号。
（4）两个功率信号之和总是一个功率信号。
(1)错；双边信号一般是功率信号，甚至不是能量，也不是功率信号，如e^2t (2)错；因为：周期信号一定是 功率信号(3)错;假设2个 信号周期 相等，其中一个 前半周期不等于0，后半周期=0；另一个则相反；相乘后，恒等于=0哦！但是大部分情况下，是 对的！ (4)错；可能相加后恒等于 0哦；但是大部分情况下，是 对的！ 2.LTI 系统（考试难点）（1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。
（2）一般情况下，可分别判断系统是否满足线性和时不变性。
判断系统是否线性注意问题：1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y (t )是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。
2．在判断系统的零输入响应()x y t 是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y (0))，而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。
3．在判断系统的零状态响应()f y t 是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f (t )），而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。
第2章 信号与系统分析基础2
[f2(t)] = F2(ω) • 时域卷积定理
[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω) • 频域卷积定理
[f1(t) ·f2(t)]=1/(2π) F1(ω)﹡F2(ω)
例2.5.13利用卷积定理求三角脉冲的频谱
f(t)=g(t)g(t)
F(ω)=G(ω)·G(ω)
g(t)
例2.5.14利用卷积定理求有限长余弦信号的 频谱
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-
=
F(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
nω1-
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1, nωF1(-nω1)∫∞/-∞ω1F(ω) / 2π
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
结论:
(4)频带宽度（带宽）
频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。 例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
或
Bf=1/τ
2.5.2傅里叶变换
• 傅里叶正变换
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
f(t)=a0+∑ [ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)] n=0
其中：
a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2τ/2Edt=Eτ/T1 an=2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt
信号知识要点
是。据此可判断不是周期的，从而不是周期的。
2、能量信号与功率信号的判断
（1）定义
连续信号
离散信号
信号能量
信号功率
（2）判断方法
若信号能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此
时P=0
若信号功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此
时E=∞
（3）一般规律： ①一般周期信号为功率信号；
函数都是递增的。 （2）离散因果系统
① H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞ 时，响应均趋于0。 ② H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。
③ H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应 序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。
3、系统函数与频率响应 若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=jω)也收
取得足够大总是满足绝对可积条件，因此一般不写收敛域。
（3）常用变换对
① ( a为任意常数)
②
③
④
⑤
⑥
⑦
2、拉普拉斯变换的性质
①线性:
②尺度变换:
③时移:
④频移:
⑤时域微分:
⑥时域积分:
⑦卷积定理：
⑧s域微、积分: ⑨初、终值定理
初值定理： 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若
2）线性系统 ①分解特性：
②零输入线性 ③零状态线性 （2）时不变性 :当激励为时，响应为。 （3）因果性 （4）稳定性 （5）微、积分特性。
第二章 连续系统的时域分析
1、时域分析法
（一般都可以通过复频域分析法求） 零状态响应
信号与系统重要公式总结
周期信号与非周期信号连续时间信号：()()f t f t kT =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 离散时间信号：()()x n x n kn =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅000()j t j t T e e ωω+=002T πω=00()j n j n N e e ωω+=02N k πω=为整数能量信号和功率信号 连续时间信号2|()|E f t dt ∞-∞=⎰2221|()|T T P f t dt T =⎰（周期信号） 2221|()|lim TT T f t T P dt →∞-=⎰（非周期信号）离散时间信号2|()|n E x n ∞=-∞=∑21|()|21N n N P x n N =-=+∑（周期信号） 21()21lim Nn NN P x n N =-→∞=+∑（非周期信号） 1、能量信号：E 有限0E <<∞，0P =； 2、功率信号：P 有限0P <<∞，P =∞；3、若E P →∞→∞，，则该信号既不是能量信号也不是功率信号；4、一般周期信号是功率信号。
线性系统)()()()()()()()(221122112211t y a t y a t x a t x a t y t x t y t x +→+→→，则，若 )()()()()()()()(221122112211n y a n y a n x a n x a n y n x n y n x +→+→→，则，若时不变系统)()()()(00t t y t t x t y t x -→-→，则若 )()()()(00t n y n n x n y n x -→-→，则若系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移i关系狄利克雷（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以利用傅里叶级数展开）（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
考研《信号与系统》考研重点考点归纳
考研《信号与系统》考研重点考点归纳第1章信号与系统1.1考点归纳一、信号的描述及分类1．信号的定义信号是指消息的表现形式与传送载体。
2．信号的分类及特性（1）确定信号与随机信号确定信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号：具有不可预知的不确定性信号。
实际中的信号绝大部分都是随机信号。
（2）连续信号与离散信号连续信号：在定义的时间区域内任意时间点上都有定义的信号。
离散信号：只在某些不连续时间值上给定函数值的信号。
（3）周期信号与非周期信号周期信号：=，n∈Z非周期信号：≠，n∈Z（4）奇信号与偶信号偶信号：或。
奇信号：或。
任何信号=一个偶信号＋一个奇信号，其中偶部和奇部分别为：（5）功率信号与能量信号功率信号：信号平均功率为非零的有限值。
能量信号：信号总能量为非零的有限值。
3．信号的能量与功率表1-1 能量与功率计算公式说明：（1）总能量有限的信号，平均功率为零；（2）平均功率有限的信号，能量无穷大。
二、信号的运算1．信号的相加与相乘同一时刻两信号之值对应相加减乘：或2．信号的延时信号延时后的信号：式中，＞0，波形在保持信号形状不变的同时，右移的距离；＜0则向左移动。
3．信号的反褶与尺度变换（1）信号的反褶形式：，波形对称于纵坐标轴的反褶。
（2）信号的尺度变换形式：，有以下规则：①，波形为的波形在时间轴上压缩为原来的；②，波形为的波形在时间轴上扩展为原来的。
③，波形为的波形反转并压缩或展宽至。
4．形如的波形变换（1）先向右（左）平移b个单位，再在此基础上压缩或扩展原来的；（2）先压缩或扩展原来的，再向右（左）平移个单位。
三、指数信号与正弦信号1．连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号具有如下形式：其中C和α一般为复数。
（1）实指数信号实指数信号：C和α都是实数的x（t）。
α的正负对波形的影响：①若α是正实数，x（t）随t的增加而呈指数增长；②若α是负实数，x（t）随t的增加而呈指数衰减。
信号与系统教材要点
第一章 信号与系统§ 信号因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统为因果系统。
更确切的说，因果系统：对任意时刻0t 或0k （一般可选00t =或00k =）和任意输入()f •，如果0()0f t t •=<，（或0k k <），若其零状态响应{}0()[0,()]0,zs y T f t t •=•=<（或0k k <）就称该系统为因果系统。
因果信号：借用“因果”一词，常把0t =时接入的信号（即在0,()0t f t <=的信号）称为因果信号或有始信号。
连续时间信号的周期求解例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（1）1()sin 2cos3f t t t =+ （2）2()cos 2sin f t t t π=+分析：两个周期信号()x t ，()y t 的周期分别为1T 和2T ，若其周期之比12/T T 为有理数，则其和信号()()x t y t +仍然是周期信号，其周期为1T 和2T 的最小公倍数。
解：（1）sin 2t 是周期信号，其角频率和周期分别为 12/rad s ω=，112/T s πωπ==cos3t 是周期信号，其角频率和周期分别为23/rad s ω=，222/(2/3)T s πωπ==由于 12/3/2T T =为有理数，故1()f t 为周期信号，其周期为1T 和2T 的最小公倍数2π。
（2）cos2t 和sin t π的周期分别为1T s π=，22T s =，由于12/T T 为无理数，故2()f t 为非周期信号。
离散周期信号举例例 判断正弦序列f (k ) = sin(βk )是否为周期信号，若是，确定其周期。
解：2()sin()sin(2)sin[()]f k k k m k mπββπββ==+=+sin[()]k mN β=+ 0,1,2,m =±±•••式中β称为数字角频率，单位：rad 。
考研西北工业大学-《827信号与系统》-重难点解析讲义
西北工业大学《827信号与系统》重难点解析第1讲第一章信号与系统的基本概念一、信号的主要分类(1)连续时间信号：自变量的取值是连续的离散时间信号：自变量的取值是离散的(2)周期信号：具有周期性，且是无始无终信号非周期信号：不具有周期性(3)因果信号：t＜0时，f( t) ＝0；t＞0时，f( t) ≠0的信号非因果信号：t＞0时，f( t) ＝0的信号(4)功率信号：平均功率为有限值，能量趋近于无穷；能量信号：平均功率为0，能量为有限值的信号注意：(1)两个连续周期信号的和不一定是周期信号，只有当这两个信号的周期比为有理数时，该信号才是周期信号，且周期为原信号周期的最小公倍数；(2)直流信号和有界的周期信号均为功率信号；阶跃信号和有始周期信号也是功率信号；有界的非周期信号均为能量信号；无界的周期信号和无界的非周期信号均为非功率非能量信号。
一个信号只能是功率信号和能量信号两者之一，不会两者都是，但可以两者都不是，也就是非周期非能量信号。
【例1】判断下列各信号是否为周期信号后，若为周期信号，求出其周期。
(1)f( t) ＝cos8t－sin12t(2)f(k) ＝cos k＋2sin2πk解：(1) T1＝＝T2＝＝由于＝，故f( t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数，即T＝(2) cos k为周期信号，N1＝＝842π2π故f(k)为周期信号，为N1和N2的最小公倍数，即N＝8个间隔2cos2πk为周期信号，N2＝＝1三、δ(t )和 δ′( t ) 函数的性质【例 2】 (3t －2)[ δ(t ) ＋ δ(t －2) ]dtt 2 －2t ＋ 3) δ＇( t －2)dt(3t －2) δ(t －2)dt＝ －2 ＋ (3 ×2 －2) ＝ 2(2) 原式 ＝ － ( t 2 ＋ 3 －2t ) ＇ t ＝2 ＝ － (2t －2) t ＝2 ＝ －2四、系统的分类(1)线性系统：同时满足齐次性和叠加性的系统 非线性系统：不能同时满足以上两个条件的系统 (2)时不变系统：满足时不变的系统 时变系统：不满足时不变的系统(3)因果系统：响应不产生激励之前的系统 非因果系统：响应产生于激励之前的系统(4)稳定系统：系统的激励有界，响应也有界的系统 非稳定系统：系统的激励有界，响应无界的系统【例 3】 已知系统：a ：y ( t ) ＝2f ( t ) ＋3 b ：y ( t ) ＝f (2t ) c ：y ( t ) ＝f ( －t ) d ：y ( t ) ＝tf ( t ) 试判断上述哪些系统满足下列条件： (1)不是线性系统的是： (2)不是稳定系统的是： (3)不是时不变系统的是： (4)不是因果系统的是：解：(1) a (2)d (3)b ，c ，d (4)b ，c五、线性时不变系统的性质f ( t ) →y ( t )，f 1 ( t ) →y 1 ( t )，f 2 ( t ) →y 2 ( t )， A 1，A 2，A 为任意常数，常见性质如下： 1．齐次性：Af ( t ) →Ay ( t )2．叠加性：f 1 ( t ) ＋f 2 ( t ) →y 1 ( t ) ＋y 2 ( t )5 555西北工业大学《827 信号与系统》重难点解析3．线性：A 1f 1 ( t ) ＋A 2f 2 ( t ) →A 1 y 1 ( t ) ＋A 2 y 2 ( t ) 4．时不变性：f ( t －τ) →y ( t －τ) 5．微分性：→6．积分性：)d τ→)d τ【例 4】 一阶系统的初始状态为 y (0 － )，激励与响应分别为f ( t )，y ( t ) 。
信号与系统习题答案
R1
R2
is (t)
uo (t)
L
C
1H
1F
图 P3.23
图 P3.5 3.8 利用信号的奇偶性，判断图 P3.6 所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。
f1 (t )
f2 (t)
" Tt
1
−T 2
−T
0
T
1
T
2
−T
2
Tt
−T
0
T
t
2
f3 (t ) 1
−T
−T
2
0
T
2
Tt
图 P3.6
3.9 f1 (t) 和 f 2 (t) 的波形如图 P3.7 所示，已知 f1 (t) 的傅里叶变换为 F1 ( jω) ，试根据已知的
（3）如果 f (t) 是周期为 2 的奇谐信号，且 f (t) = t ，0 < t < 1，请画出 f (t) 的波形，并求
出它的傅里叶系数。
3.6 已知周期信号 f (t) 前四分之一周期的波形如图 P3.4 所示，试分别绘出在下列条件下信
号在一个周期内的波形。
（1）是 t 的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （2）是 t 的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （3）是 t 的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 （4）是 t 的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （5）是 t 的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （6）是 t 的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。
（1） f1 (t) = cos(wt) ， f2 (t) = sin(wt) ；
（2） f1 (t) = cos(wt)
f2 (t) = sin(wt + 30° ) 。