勾股定理的逆定理PPt
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勾股定理的逆定理-完整版课件
一、探究勾股定理的逆定理：
2、实验探究： （1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数 为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30. ∵24²+18²=30²， 即PQ²+PR²=QR²， ∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°. ∵∠1=45°， ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
练习4、如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东 为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的 速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知 A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇 的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
2
2
∴BE= AB•BC60.
B
AC 13
.
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
N
∴CE= BC 2BE 2 12 2(60 )2144
13 13
∴最早进入时间≈0.85小时=51分钟.
.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
五、课堂小结：
1、利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤： ①确定最大边长c； ②计算a2+b2和c2的值, 若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形； 若a2+b2<c2，则此三角形是钝角三角形； 若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形. 2、互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换 即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆 的两个命题不一定同真或同假. 3、已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长 边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直 角三角形.
勾股定理的逆定理ppt课件
数学 八年级上册 SK
第
勾股定理
3
章
3.2 勾股定理的逆定理
-
3.2 勾股定理的逆定理
探究与应用
探 活动1 探索并应用勾股定理的逆定理,体会“数”与
究
“形”的内在联系
与
应 [思考探究]
用 1.写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
的逆命题.
解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么
是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.
探 究
[概括新知]
与 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+
应
用 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探 归纳 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
究
与
勾股定理
勾股定理的逆定理
应 用
在Rt△ABC中,∠C=90°, 在△ABC中,BC=a,AC=b, 条件
例2 C [解析] A项,82+52≠172,不能构成直角三角形,故不 是勾股数,不符合题意; B项,1.5,2,2.5不都是正整数,故不是勾股数,不符合题意; C项,52+122=132,且5,12,13都是正整数,故是勾股数,符合题 意; D项,32+42≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数,不符合 题意. 故选C.
根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
因为AB2=a2+b2,
所以A'B'2=AB2,所以A'B'=AB.
根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.
于是,∠C=∠C'=90°,
第
勾股定理
3
章
3.2 勾股定理的逆定理
-
3.2 勾股定理的逆定理
探究与应用
探 活动1 探索并应用勾股定理的逆定理,体会“数”与
究
“形”的内在联系
与
应 [思考探究]
用 1.写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
的逆命题.
解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么
是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.
探 究
[概括新知]
与 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+
应
用 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探 归纳 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
究
与
勾股定理
勾股定理的逆定理
应 用
在Rt△ABC中,∠C=90°, 在△ABC中,BC=a,AC=b, 条件
例2 C [解析] A项,82+52≠172,不能构成直角三角形,故不 是勾股数,不符合题意; B项,1.5,2,2.5不都是正整数,故不是勾股数,不符合题意; C项,52+122=132,且5,12,13都是正整数,故是勾股数,符合题 意; D项,32+42≠62,不能构成直角三角形,故不是勾股数,不符合 题意. 故选C.
根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
因为AB2=a2+b2,
所以A'B'2=AB2,所以A'B'=AB.
根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.
于是,∠C=∠C'=90°,
勾股定理的逆定理 ppt
' '
'2
'2
'2
这个命题2是正 确的，它也是一 个定理，我们把 这个定理叫做 “勾股定理的逆 定理”
在△ABC和△A′B′C′中 BC=a= B′C′, AC=b= A′C′, AB=c= A′B′, 所以 △A′B′C′≌△ABC， 所以∠c=∠C′=90°, 即△ABC是直角三角形。
通过命题1、命题2我们得出原命题成立，它 的逆命题也成立。像这样一个定理的逆定理 经过证明是正确的，它也是一个定理，称这 两个定理互为逆定理。 但有的原命题成立，它的逆命题不一定成立： 如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果 两个角相等，那么这两个角是对顶角”不成 立。
我们一起来探究证明一下：
分析：
有一个角等于90度是直角三角形
我们就可证明△ABC的∠C=90度
如果△A′≌△ABC
证明： 在△A′B′C′中
A B B' C A C a 2 b 2 因为 a2 b2 c2 2 所以 A' B ' c
勾股定理的逆定理
授课人：
上节回顾：
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b, 2 2 2 斜边长为c，那么 a b c
请同学们想一想，是否满足 a 2 b 2 c 2 这样的关系的三角形就是这角三角形呢？
b
c
a
我们把这个猜想设为命题2：
如果三角形的三边长a,b,c满足 a 2 么这个三角形就是直角三角形。
所以，这个三角形不是直角三角形
小结：
①本节课学习了勾股定理的逆定理和如何证明 该定理的方法。 ②了解了原命题、逆命题、逆定理的关系。
布置作业
'2
'2
'2
这个命题2是正 确的，它也是一 个定理，我们把 这个定理叫做 “勾股定理的逆 定理”
在△ABC和△A′B′C′中 BC=a= B′C′, AC=b= A′C′, AB=c= A′B′, 所以 △A′B′C′≌△ABC， 所以∠c=∠C′=90°, 即△ABC是直角三角形。
通过命题1、命题2我们得出原命题成立，它 的逆命题也成立。像这样一个定理的逆定理 经过证明是正确的，它也是一个定理，称这 两个定理互为逆定理。 但有的原命题成立，它的逆命题不一定成立： 如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果 两个角相等，那么这两个角是对顶角”不成 立。
我们一起来探究证明一下：
分析：
有一个角等于90度是直角三角形
我们就可证明△ABC的∠C=90度
如果△A′≌△ABC
证明： 在△A′B′C′中
A B B' C A C a 2 b 2 因为 a2 b2 c2 2 所以 A' B ' c
勾股定理的逆定理
授课人：
上节回顾：
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b, 2 2 2 斜边长为c，那么 a b c
请同学们想一想，是否满足 a 2 b 2 c 2 这样的关系的三角形就是这角三角形呢？
b
c
a
我们把这个猜想设为命题2：
如果三角形的三边长a,b,c满足 a 2 么这个三角形就是直角三角形。
所以，这个三角形不是直角三角形
小结：
①本节课学习了勾股定理的逆定理和如何证明 该定理的方法。 ②了解了原命题、逆命题、逆定理的关系。
布置作业
勾股定理的逆定理课件
详细描述
在勾股定理的逆定理的证明中，反证 法是通过假设三角形不是直角三角形 ，然后利用勾股定理的逆定理推导出 矛盾的结论，从而证明三角形一定是 直角三角形。
证明方法二：直接证明法
总结词
直接证明法是一种直接根据已知 条件和定理，通过逻辑推理得到 结论的证明方法。
详细描述
在勾股定理的逆定理的证明中， 直接证明法是通过直接利用勾股 定理的条件和结论，推导出三角 形一定是直角三角形。
对于任意的整数a、b、c，都存在无穷多 个整数x、y、z，满足x²+y²=z²，且x、y 、z互质。
勾股定理的逆定理与欧几里得公设的关系
勾股定理的逆定理是 欧几里得公设的一个 推论。
勾股定理的逆定理证 明了欧几里得公设的 正确性。
欧几里得公设是勾股 定理逆定理的基础。
05 勾股定理的逆定理的挑战 和问题
勾股数的性质
唯一性
对于任何一个正整数n，都存在唯 一的一组整数a、b、c，满足 n=a²+b²=c²。
自然数性
勾股数的三边长可以都是自然数。
无穷多性
对于任意正整数n，都存在无穷多个 勾股数。
勾股数的扩展
广义勾股数
如果三个整数的平方和等于另一个整数 的平方，则这三个数被称为广义勾股数 。
VS
勾股数的组合
勾股定理的逆定理课件
目录
• 勾股定理的逆定理的概述 • 勾股定理的逆定理的证明 • 勾股定理的逆定理的应用 • 勾股定理的逆定理的扩展 • 勾股定理的逆定理的挑战和问题 • 勾股定理的逆定理的案例分析
01 勾股定理的逆定理的概述
什么是勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理定义
如果一个三角形的三条边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形。
在勾股定理的逆定理的证明中，反证 法是通过假设三角形不是直角三角形 ，然后利用勾股定理的逆定理推导出 矛盾的结论，从而证明三角形一定是 直角三角形。
证明方法二：直接证明法
总结词
直接证明法是一种直接根据已知 条件和定理，通过逻辑推理得到 结论的证明方法。
详细描述
在勾股定理的逆定理的证明中， 直接证明法是通过直接利用勾股 定理的条件和结论，推导出三角 形一定是直角三角形。
对于任意的整数a、b、c，都存在无穷多 个整数x、y、z，满足x²+y²=z²，且x、y 、z互质。
勾股定理的逆定理与欧几里得公设的关系
勾股定理的逆定理是 欧几里得公设的一个 推论。
勾股定理的逆定理证 明了欧几里得公设的 正确性。
欧几里得公设是勾股 定理逆定理的基础。
05 勾股定理的逆定理的挑战 和问题
勾股数的性质
唯一性
对于任何一个正整数n，都存在唯 一的一组整数a、b、c，满足 n=a²+b²=c²。
自然数性
勾股数的三边长可以都是自然数。
无穷多性
对于任意正整数n，都存在无穷多个 勾股数。
勾股数的扩展
广义勾股数
如果三个整数的平方和等于另一个整数 的平方，则这三个数被称为广义勾股数 。
VS
勾股数的组合
勾股定理的逆定理课件
目录
• 勾股定理的逆定理的概述 • 勾股定理的逆定理的证明 • 勾股定理的逆定理的应用 • 勾股定理的逆定理的扩展 • 勾股定理的逆定理的挑战和问题 • 勾股定理的逆定理的案例分析
01 勾股定理的逆定理的概述
什么是勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理定义
如果一个三角形的三条边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理的应用》
（2）a = 41 ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( 41 )2 = 41， ∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（3）a = 5 ，b = 1，c = 3 ；
4
4
∵b2 + c2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 9 = 25，a2 = ( 5 )2 = 25 ，
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
B
E
C
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
拓广探索 【选自教材 P34】
7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b， c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是 一组勾股数吗？
课堂小结
勾股理的 逆定理
判断一个三角形是不是直角三角形 判断航行方向 计算不规则四边形面积
综合运用 【选自教材 P34】
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD =
1 2
BC
=
5.
AD
=
12，AB
=
13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
【教学课件】《勾股定理的逆定理+第1课时》精品教学课件
(1) a=7，b=24，c=25； (2) a=7，b=8，c=11.
解： (1) ∵最大边是c=25， c²=625，a²+b²=7²+24²=625， ∴a²+b²=c². ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2) ∵最大边是c=11， c²=121，a²+b²=7²+8²=113， ∴a²+b²≠c². ∴ △ABC不是直角三角形.
证明猜想 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形.
△ABC是直角三角形
∠C是直角
构造两直角边分别为 a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △A′B′C′
∠C=∠C ′=90°
A
c
b
B
a
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
∴ △ABC是直角三角形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三
勾
角形是直角三角形.
股
定
勾股定理与其逆定理的关系
A
理
勾股定理与其逆定理是互逆定理.
c
b
的
勾股定理
逆
直角三角形
a²+b²=c² B a C
勾股定理的逆定理
操作 请你动手画一画吧.用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4， BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B; (2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；
解： (1) ∵最大边是c=25， c²=625，a²+b²=7²+24²=625， ∴a²+b²=c². ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2) ∵最大边是c=11， c²=121，a²+b²=7²+8²=113， ∴a²+b²≠c². ∴ △ABC不是直角三角形.
证明猜想 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形.
△ABC是直角三角形
∠C是直角
构造两直角边分别为 a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △A′B′C′
∠C=∠C ′=90°
A
c
b
B
a
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
∴ △ABC是直角三角形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三
勾
角形是直角三角形.
股
定
勾股定理与其逆定理的关系
A
理
勾股定理与其逆定理是互逆定理.
c
b
的
勾股定理
逆
直角三角形
a²+b²=c² B a C
勾股定理的逆定理
操作 请你动手画一画吧.用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4， BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B; (2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；
《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
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1、勾股定理的逆定理 、
2、什么称为互为逆定理。 、什么称为互为逆定理。
作业： 页 作业：60页， 习题19.2第1题、第4题 习题 第 题 题
不是 B=90 0 ∠ C=90; 是 _____ _____
像25,20,15,能够成为直角三角形 能够成为直角三角形 三条边长的三个正整数， 勾股数. 三条边长的三个正整数，称为勾股数
例题解析
一个零件的形状如左图所示， 例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠ 和 都应为直角。 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 都应为直角 个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求 个零件各边尺寸如右图所示， 吗？
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
∴△ABC是直角三角形 是直角三角形
挑战自我
1、请你写出三组勾股数； 、请你写出三组勾股数； 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？ 、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？ 为什么? 为什么
思维训练
1、 已知 ，b，c为△ABC的三边 且 满足 、 已知a， ， 为 的三边,且 的三边 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ 的形状. 试判断△ABC的形状 的形状
A
古埃及人的做法： 5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
4 B A 我们作RT △ABC，使 B′C′ =3、′C′ =4
C ′ A
3
这两个三角形有什么关系？ 这两个三角形有什么关系？
4 C′ B′
3
A 5 4 B
′ A
4 C′ B′
C
3
3
在 RT∆A′B′C ′中根据 勾股定理有 A′B′2 = A′C ′2 + B′C ′2 Q B′C ′ = 3, A′C ′ = 4
证明： ∵ ∠ ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值 ∴ A’B’ =c
勾股定理的逆命题 逆定理
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。且边 C所对的角为直角。 所对的角为直角。 所对的角为直角
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？ 直角三角形吗
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3 + 4 = 5
2
2
2
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a， ， ： 角形的三边长 ，b，c： 2.5，6，6.5； ， ， ； 6，8，10。 ， ， 。
2 2 2 吗？
勾股定理
定理 互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a， ， 如果直角三角形两直角边分别为 ，b， 斜边为c， 斜边为 ，那么 a2 + b2 = c2
例题解析
判断由a 组成的三角形是不是直角三角形： 例1 判断由 、b、c组成的三角形是不是直角三角形： 组成的三角形是不是直角三角形 (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 ＝ ＝ (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 ＝ ＝
思维训练
2、△ABC三边 、 三边a,b,c为边向外作 三边 为边向外作 正方形，正三角形， 正方形，正三角形，以三边为 直径作半圆， 成立， 直径作半圆，若S1+S2=S3成立， 是直角三角形吗？ 则 是直角三角形吗？
C
S1
c a
C
S2
A
b
S2 b
B
S1
a c
B
A
S3
S3
……
自主评价： 自主评价：
∆ABC≌ ∆A′B′C ′
∴ A′B′2 = 32 + 4 2 = 52 A′B′ = 5
∠C = ∠C ′ = 90°
勾股定理的逆命题
已知:在 已知 在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 中 求证:△ 求证 △ ABC是直角三角形 是直角三角形 证明:画一个 画一个△ 证明 画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b 使
分析：由勾股定理的逆定理， 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边 较小边的平方 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 和是否等于最大边的平方。 最大边的平方 解：∵152＋82＝225＋64＝289 ＋ ＝ 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
（1）这三组数都满足a +b = c ）
它们都是直角三角形吗？ （2）画出图形 它们都是直角三角形吗？ ）画出图形,它们都是直角三角形吗
由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的 形式说出你的观点!
命题2
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 为边长的三角形是不是直 下面以 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5
A=900 是 ∠_____ ; ____
C B D A
S四边形 四边形ABCD=36
练一练
1、已知 △ABC三角形的三边 分别为 a,b,c 且 a = m - n ,b = 2mn,c = m + n
2 2 2 2
(m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形 吗?说明理由
分析：先来判断 三边哪条最长， 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 三边哪条最长 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， 为满足条件的特殊值来试， 可以代 为满足条件的特殊值来试 m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 最大。 则 最大 解： a + b = (m + n ) + (2mn) = (m + n ) = c Q
A A′
a
C
c
b
a
B C′
在△ ABC和△ A’B’C’中 和 中 BC=a=B’C’
b
C’=900
B′
CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） （ ） ∴ ∠ C= ∠ C’=90° 则 △ ABC是直角三角形 是直角三角形 直角三角形的定义） （直角三角形的定义）
X
1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角 古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角
个等距的结,把一根绳子 用13个等距的结 把一根绳子 个等距的结 分成等长的12段 然后以 个结， 然后以3个结 分成等长的 段,然后以 个结， 4个结，5个结的长度为边长， 个结， 个结的长度为边长 个结的长度为边长， 个结 用木桩钉成一个三角形， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角 直角。 一个角便是直角。
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a， ， 如果直角三角形两直角边分别为 ，b， 斜边为c， 斜边为 ，那么有 a2 + b2 = c2
C D 13 D 4 A B 5 12 C
A 3 B
练一练
1. 三角形三边长 、 、 满足条件 a b c
(a + b) − c = 2ab, 则此三角形是(
2 2
B
)
A、锐角三角形 、 C、钝角三角形 、
B、直角三角形 、 D、等边三角形 、
中考链接
四边形ABCD 已知 ： 如图 ， 四边形 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， ＝ ＝ ， ＝ ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积 的面积? 的面积
2、什么称为互为逆定理。 、什么称为互为逆定理。
作业： 页 作业：60页， 习题19.2第1题、第4题 习题 第 题 题
不是 B=90 0 ∠ C=90; 是 _____ _____
像25,20,15,能够成为直角三角形 能够成为直角三角形 三条边长的三个正整数， 勾股数. 三条边长的三个正整数，称为勾股数
例题解析
一个零件的形状如左图所示， 例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠ 和 都应为直角。 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 都应为直角 个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求 个零件各边尺寸如右图所示， 吗？
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
∴△ABC是直角三角形 是直角三角形
挑战自我
1、请你写出三组勾股数； 、请你写出三组勾股数； 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？ 、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？ 为什么? 为什么
思维训练
1、 已知 ，b，c为△ABC的三边 且 满足 、 已知a， ， 为 的三边,且 的三边 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ 的形状. 试判断△ABC的形状 的形状
A
古埃及人的做法： 5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
4 B A 我们作RT △ABC，使 B′C′ =3、′C′ =4
C ′ A
3
这两个三角形有什么关系？ 这两个三角形有什么关系？
4 C′ B′
3
A 5 4 B
′ A
4 C′ B′
C
3
3
在 RT∆A′B′C ′中根据 勾股定理有 A′B′2 = A′C ′2 + B′C ′2 Q B′C ′ = 3, A′C ′ = 4
证明： ∵ ∠ ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值 ∴ A’B’ =c
勾股定理的逆命题 逆定理
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。且边 C所对的角为直角。 所对的角为直角。 所对的角为直角
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？ 直角三角形吗
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3 + 4 = 5
2
2
2
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a， ， ： 角形的三边长 ，b，c： 2.5，6，6.5； ， ， ； 6，8，10。 ， ， 。
2 2 2 吗？
勾股定理
定理 互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a， ， 如果直角三角形两直角边分别为 ，b， 斜边为c， 斜边为 ，那么 a2 + b2 = c2
例题解析
判断由a 组成的三角形是不是直角三角形： 例1 判断由 、b、c组成的三角形是不是直角三角形： 组成的三角形是不是直角三角形 (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 ＝ ＝ (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 ＝ ＝
思维训练
2、△ABC三边 、 三边a,b,c为边向外作 三边 为边向外作 正方形，正三角形， 正方形，正三角形，以三边为 直径作半圆， 成立， 直径作半圆，若S1+S2=S3成立， 是直角三角形吗？ 则 是直角三角形吗？
C
S1
c a
C
S2
A
b
S2 b
B
S1
a c
B
A
S3
S3
……
自主评价： 自主评价：
∆ABC≌ ∆A′B′C ′
∴ A′B′2 = 32 + 4 2 = 52 A′B′ = 5
∠C = ∠C ′ = 90°
勾股定理的逆命题
已知:在 已知 在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 中 求证:△ 求证 △ ABC是直角三角形 是直角三角形 证明:画一个 画一个△ 证明 画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b 使
分析：由勾股定理的逆定理， 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边 较小边的平方 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 和是否等于最大边的平方。 最大边的平方 解：∵152＋82＝225＋64＝289 ＋ ＝ 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
（1）这三组数都满足a +b = c ）
它们都是直角三角形吗？ （2）画出图形 它们都是直角三角形吗？ ）画出图形,它们都是直角三角形吗
由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的 形式说出你的观点!
命题2
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 为边长的三角形是不是直 下面以 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5
A=900 是 ∠_____ ; ____
C B D A
S四边形 四边形ABCD=36
练一练
1、已知 △ABC三角形的三边 分别为 a,b,c 且 a = m - n ,b = 2mn,c = m + n
2 2 2 2
(m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形 吗?说明理由
分析：先来判断 三边哪条最长， 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 三边哪条最长 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， 为满足条件的特殊值来试， 可以代 为满足条件的特殊值来试 m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 最大。 则 最大 解： a + b = (m + n ) + (2mn) = (m + n ) = c Q
A A′
a
C
c
b
a
B C′
在△ ABC和△ A’B’C’中 和 中 BC=a=B’C’
b
C’=900
B′
CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） （ ） ∴ ∠ C= ∠ C’=90° 则 △ ABC是直角三角形 是直角三角形 直角三角形的定义） （直角三角形的定义）
X
1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角 古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角
个等距的结,把一根绳子 用13个等距的结 把一根绳子 个等距的结 分成等长的12段 然后以 个结， 然后以3个结 分成等长的 段,然后以 个结， 4个结，5个结的长度为边长， 个结， 个结的长度为边长 个结的长度为边长， 个结 用木桩钉成一个三角形， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角 直角。 一个角便是直角。
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、 、 满足 如果三角形的三边长 、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a， ， 如果直角三角形两直角边分别为 ，b， 斜边为c， 斜边为 ，那么有 a2 + b2 = c2
C D 13 D 4 A B 5 12 C
A 3 B
练一练
1. 三角形三边长 、 、 满足条件 a b c
(a + b) − c = 2ab, 则此三角形是(
2 2
B
)
A、锐角三角形 、 C、钝角三角形 、
B、直角三角形 、 D、等边三角形 、
中考链接
四边形ABCD 已知 ： 如图 ， 四边形 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， ＝ ＝ ， ＝ ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积 的面积? 的面积