研究生课程数值分析重点

误差：x是某实数的精确值，x A是它的一个近似值，x-x A是x A的绝对误差，|x-x A|≤εA，εA是x A的绝对误差限。(x-x A)/x为x A的相对误差。若|(x-x A)/x|≤εR，为x A的相对误差限。

x=±(0.a1La n a n+1L)*10k (a1≠0,k是整数)，x A是x的a n+1的4舍5入得到的近似数，如果|x-x A|≤1/2*10k-n，则x A为x的具有n位有效数字的近似值。

如果x A有n位有效数字，则。如果，则x A至少有n位有效数字。

函数求值的误差估计：

对n元函数，自变量分别为，则有。特别地，对有。

向量的范数：

如果向量的某个实值函数满足

（1）正定性：，且当且仅当；

（2）齐次性：对任意实数α，都有；

（3）三角不等式：对任意，都有，则称为上的一个向量范数。

在中，记，常用的向量范数有：

向量∞的范数：向量的1范数：

向量的2范数：向量的p范数：

向量的夹角：

矩阵的范数：

如果矩阵的某个实值函数满足

（1）正定性：，且当且仅当

（2）齐次性：对任意实数，都有

（3）三角不等式：对任意，都有

（4）相容性：对任意，都有。则称为上的一个矩阵范数。

对于，为F范数。

，为矩阵A的行范数，为矩阵A的列范数

，为矩阵A的2范数或谱范数，为的最大特征值。

插值与拟合

插值法就是用一个便于计算的简单的函数去代替，使得通常称为被插值函数，为插值节点，为插值函数。将求的方法称为插值法。

Lagrange插值基函数：Lagrange插值多项式：。插值多项式的余项：。余项估计式：，。

Newton插值多项式：

，为在上的k阶均差（或差商）。

均差的性质：

（1） k阶均差是函数值的线性组合，即有，均差的对称性

（2）设，且为相异节点，那么的n阶均差与其n阶导数有如下关系：

Newton插值多项式：均差型余项：

差分和等距节点插值公式：

设函数在等距节点上的值为已知，这里h为常数，称为步长。向前差分：，向后差分：，中心差分：。，，。。

对于k≥0，有。对于，有。

Newton向前插值公式：要计算附近点处的近似值。。

余项：。

Newton向后插值公式：

余项：

Hermite 插值多项式：

设有点集，函数和在离散意义下的内积定义为，其中为给定的权数。在离散意义下，函数的2范数定义为。若函数和的内积，则称两者正交。离散点集上正交多项式的构造方法：

，其中，

连续区间上的正交多项式：

函数和在连续意义下的内积定义为：，其中为给定的权函数。

几种常用的正交多项式：

Legendre多项式：（在区间[-1,1]上带权的正交多项式）。

第一类Chebyshev多项式：（在区间[-1.1]上带权的正交多项式）。Laguerre多项式：（在区间[0,+）上带权的正交多项式）。

Hermite多项式：（在区间（-，+）上带权的正交多项式）。

连续函数的最佳平方逼近：法方程：。

平方误差：。

若是中的正交多项式组，则由法方程得，于是的最佳平方逼近多项式为离散数据的最小二乘拟合与连续函数的最佳平方逼近类似。

数值积分

在[a, b]上取，做 f 的 n 次插值多项式，即得到，，插值型求积公式：。利用Lagrange插值多项式的余项可知插值型求积公式的余项为

如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．

一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于都能准确成立，这就要求

形如的求积公式至少有 n 次代数精度<=>该公式为插值型(即)

将积分区间[a，b]划分为n等分，步长h=（b-a）/n，节点n 阶Newton-Cotes求积公式为：其中为Cotes系数。简化Cotes系数可得

梯形公式：Simpson公式：，梯形公式的误差为，Simpson公式的误差

为：

当n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度.

复化梯形公式Tn：，复化梯形公式的余项为:

复化Simpson公式Sn:复化Simpson公式的余项为:

对于计算积分I=I[f]的复化梯形公式T(h),其余项为其中, 为Bernoulli常数. Romberg求积方法：

Gauss-Legendre求积公式:. 当n=1时，二次Legendre多项式:零点为此时，Gauss-Legendre求积公式为：

当n=2时，三次Legendre多项式零点为可构造出具有五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式：

Guass-Chebyshev求积公式：在区间[-1,1]上取权函数，的正交多项式是Chebyshev正交多项式，其中是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。Guass-Chebyshev求积公式为：对于n=1,二点Gauss-Chebyshev求积公式为对于n=2,三点Gauss-Chebyshev求积公式为

Guass公式的余项是：

对于两点Gauss-Legendre求积公式有

对于两点Gauss-Chebyshev求积公式有：

矩阵直接三角分解法：

不选主元的三角分解法（LU分解法或Doolittle方法，条件：顺序主子式均不为0，非奇异）：设A=LU，记其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即：。U的第k行元素。L的第k列元素。若记Ux=y，则有Ly=b。

列选主元的三角分解法：设从A=A （1）开始已完成k-1步分解计算，U 的元素（按行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到A~，第k行计算：当i=k时，si对应于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。当i=k+1,k=2,….n，si对应于（4.2.4）中的分子。记交换（A(k)，b(k)）的第i行与第行的位置，但每个位置上仍用原记号。然后仍按（4.2.3）计算，算出U的第k行。的计算可用这就算出了L的第k行。

三对角方程组的追赶法(条件是：A非奇异，):

设有方程组Ax=d,其中d=(d1 d2,… dn )T,系数矩阵A是三对角形矩阵解原方程组Ax=b可分为两步Ly=d和Ux=y

平方根法（条件：顺序主子式均不为0，正定矩阵）:

设A=（aij），

Ly=b和上三角方程组 L T x=y

设A∈Rn×n为可逆矩阵，按算子范数，称为矩阵A的条件数。如果矩阵范数取2范数，则记。