吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高一第一次月考数学(理)试题
2021届吉林省白城市洮南一中高三年级上学期第一次月考检测数学(理)试题及答案
绝密★启用前吉林省白城市洮南一中2021届高三年级上学期第一次月考检测数学(理)试题2020年9月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2430A x x x =-+<,B={}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、下列命题中为假命题的是（ ）A .00,lg 0x R x ∃∈=B .000,sin cos x R x x ∃∈+=C .2,12x R x x ∀∈+≥D .,20x x R ∀∈>3．已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭,则α=（ ）． A ．5π6 B ．7π6 C ．4π3 D ．5π34. 设()f x 是定义在[]2,3b b -+上的偶函数,且在[]2,0b -上为增函数,则()()13f x f -≥的解集为（ ）A ． []3,3-B ． []2,4-C ． []1,5-D ． []0,65.把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位后,所得函数图象的一条对称轴为（ ）A ．0x =B ．2x π= C. 6x π= D ．12x π=-6.已知函数()2)3f x x =+,则1(lg 2)(lg )2f f +=（ ）A. 0B. 3-C. 3D. 67.设1cos 2sin 2()sin()4sin()2x x f x a x x ππ++=+++的最大值为3,则常数a =（ ） A.1 B.1或5- C. 2-或4D.8.已知函数()f x 是定义在R 上的函数,且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+,若函数(1)y f x =+的图像关于点(1,0)-对称,且(1)3f =,则(2015)f =（ ）A. 6B. 3C. 0D. 3-9．已知A 是函数()sin(2018)cos(2018)63f x x x ππ=++-的最大值,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为（ ）A ．2018πB ．1009πC ．21009πD ．4036π 10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)2A πωϕ＞，＞，＜,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,则下列判断正确的是（ ）A ． 要得到函数()f x的图象,只需将2y x =的图象向右平移6π个单位 B ． 函数()f x 的图象关于直线512x π=对称 C ． 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,函数()f x的最小值为 D ． 函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 11．已知sin()sin 3παα++=且02πα-<<,则2cos()3πα+=( ) A ．45- B ． 45 C ． 35- D ． 35。
吉林高一高中数学月考试卷带答案解析
吉林高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．-D．2.等于（）A．B．C．D．3.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．4.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在5.函数的值域是（）A．B．C．D．6.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．B．C．D．7.若则（）A．B．C．D．8.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．9.方程的解的个数是（）A．B．C．D．10.若点在第一象限,则在内的取值范围是（）A B.C. D.11.函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数12.若是第四象限的角，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角二、填空题1.满足的的集合为___________________________2.函数的对称轴是________，对称中心是___________3.比较大小：,______4.函数的单调递增区间是___________________三、解答题1.（满分10分）已知，求下列各式的值：(1)（2）2.（满分10分）求证：.3.（满分12）设函数是以2为周期的函数，且时，，（1）、求（2）、当时，求的解析式.4.满分12分）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．5.（满分12分）已知函数的最大值为，最小值为，求函数的最值.吉林高一高中数学月考试卷答案及解析1.（）A．B．C．-D．【答案】B【解析】。
故选B2.等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B3.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略4.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】略5.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是第一象限角时，是第二象限角时，是第三象限角时，是第四象限角时，故选C6.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.若则（）A．B．C．D．【解析】在直角三角形中，于是故选D8.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.方程的解的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.若点在第一象限,则在内的取值范围是（）A B.C. D.【答案】B【解析】又所以故选11.函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【解析】略12.若是第四象限的角，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】C【解析】；则故选C二、填空题1.满足的的集合为___________________________【答案】【解析】略2.函数的对称轴是________，对称中心是___________【答案】，【解析】略3.比较大小：,______【答案】< , <【解析】略4.函数的单调递增区间是___________________【答案】【解析】略三、解答题1.（满分10分）已知，求下列各式的值：(1)（2）【答案】(1)、解：（2）、解【解析】略2.（满分10分）求证：.【答案】【解析】略3.（满分12）设函数是以2为周期的函数，且时，，（1）、求（2）、当时，求的解析式.【答案】（1）（2）当，，【解析】略4.满分12分）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．【答案】解：，而，则得，则，。
2020-2021学年吉林省白城市洮南市第一中学高一第一次月考数学(理)试题(解析版)
一、单选题
1．已知全集U 1, 0,1, 2,3 ，集合 A 0,1, 2 ，B 1, 0,1 ，则 ðU A B （ ）
A． 1
B．0,1
C．1, 2,3
D．1, 0,1,3
【答案】A
【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的
A．x 2 x 0
B．x | x 2 或 x 0
C．x 4 x 2
D．x | x 4 或 x 2
【答案】C
【解析】观察式子 a 16b ，根据 a 0 ， b 0 ，故可采用基本不等式得到
ba
a 16b 2 a 16b 8 ，再求解一元二次不等式即可 b a ba
【详解】
∴实数 m 的取值范围是(﹣∞，﹣4)∪(1，+∞)．
5
故选：C． 【点睛】 本题考查不等式有解问题，考查用基本不等式求最小值，解题关键是用“1”的代换凑 配出定值．
10．若关于 x 的不等式 x2 2x a 16b 对任意的 a 0 ， b 0 恒成立，则实数 x 的 ba
取值范围是（ ）
将 a 0 代入得 A 0,1, 3 ， B 3, 1,1 ，此时 A B 1, 3，不合题意； 将 a 1代入得 A 1,0, 3 ， B 4, 3, 2 ，此时 A I B 3 ，满足题意，
则 a 1. 故答案为: 1.
【点睛】 本题考查交集的定义，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意代入检验.
D． c a b
【答案】A
【解析】根据 a2 2a c b 1，变形为 a 12 c b 比较 c，b，根据 a b2 1 0 ，
2020-2021学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上第一次月考数学(理)(解析版)
吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试卷（理）第I 卷（选择题）一、选择题1．已知点(2,5),(1,6)A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．4π 2．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．5B ．10C ．352D ．31023．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥c ，c ∥α⇒a ∥α； ③a ∥β，a ∥α⇒α∥β；④a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．54．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），0145,12ABC AD AB BC ∠====，则该平面图形的面积为（ ）A ．3B ．4C 32D 326.已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．33π B ．3πC ．23π D ．2π7．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．223π C ．73π D ．7π8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．2C ．43D ．49．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或C ．14D ．20或10．已知△ABC 93且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3B ．32C ．1D 3 11．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则三角形AEF 的周长的最小值为（ ） A ．36sin 20︒B ．62C ．12D ．6312. 已知直线:(2)(1)440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m ≤-或2m ≥B ．28m ≤≤C ．210m -≤≤D ．2m ≤-或8m ≥第II 卷（非选择题）二、填空题13．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为_____________.14． 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，,M N 分别为棱1111,A D A B 的中点，过点B 的平面//α平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为______.15．下列四个命题中正确的是 .① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； ② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； ③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； ④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行． 16.曲线214yx ，与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是_________________． 三、解答题17．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同.（1）求此几何体的体积；（2）求几何体的表面积.18．已知圆C 经过两点()1,1P -、()1,1Q -，且圆心C 在直线20x y +-=上． （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3M 的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且23AB =求直线l 的方程． 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，O 为11AC 的中点，且2AB =．（1）证明：//OD 平面1AB C ．（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正切值为13，的体积求四棱锥111ACC A B -20. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 方程为22420x y x y +--=，圆Q 方程为4)2()1(22=-+-y x(1) 求圆C 和圆Q 的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．(2)设P 是圆22:82160D x y x y ++-+=上任意一点,过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ,,M N 为切点,试求四边形PMCN 面积S 的最小值.21.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．22．已知圆22:(2)5C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m R ∈.（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l 求出m 的范围；若不存在，说明理由.参考答案1．A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而可得直线的倾斜角. 【详解】由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 故答案为：A. 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题. 2.C 【解析】 【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离. 【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y7|4|--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．A[由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α，故②错误；对于③，α与β可能平行，也可能相交，故③错误；对于④，∵a⊄α，∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α，a∥b，故a∥α，故④正确．]4．A【解析】【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切. 【详解】22(1)1x y-+=，圆心(1,0)，半径为1；22(1)(+2)9-+=x y，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切.故选：A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.5 A【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积.【详解】由0145,12ABC AD AB BC∠====根据斜二测画法可知：原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形，所以12232S +=⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为211333V r h ππ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型. 7．A 【解析】 【分析】由正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理，可求出球的半径，即可求出球的表面积.【详解】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2432sin60r==︒，∴233r=，所以球的半径22237133R⎛⎫⎪⎪⎝⎭=+=，所以球的表面积728433Sππ=⨯=．故选：A．【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．8．A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥D ABC-（如图所示），其中AB AC2==，D到平面ABC的距离为1，故所求的三棱锥的体积为112V221323=⨯⨯⨯⨯=.9． B [由α∥β得AB ∥CD .分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则有PA PC ＝PBPD ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.]10．C 【解析】 【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r =-.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 93213932a ∴=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=，∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=.故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11．D【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键． 12．C 【解析】如图，设切点分别为A ，B ．连接AC ，BC ，MC ，由90AMB MAC MBC ∠=∠=∠=︒及MA MB =知，四边形MACB 为正方形，故||222MC =+=，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(12)-，到直线l 的距离222(2)(1)d m m ++-，即28200m m --≤，∴210m -≤≤，故选C ． 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． . 137 【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 2230122211-+==+2(22)17-=7. 14． 18 【解析】 【分析】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知等腰梯形PQBD 即为所求截面，求出面积即可. 【详解】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，//PQ BD ，∴,,,P Q B D 确定平面，//PQ MN ，//PQ ∴平面AMN ，//PD AN ，//PD ∴平面AMN ，∴平面//PQBD 平面AMN ，即四边形PQBD 为所得截面，可知四边形PQBD 是一个等腰梯形，如图，可知22,42,32PQ BD h ，1224232182PQBDS .故答案为：18. 【点睛】本题考查空间中平行平面的判断，找平行线是解决问题的关键.15.②③ 【解析】 【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断． 【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交 ②正确③正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行. 故填②③ 【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题． 16. ．53(,]124【解析】 【分析】 【详解】试题分析：曲线214,[2,2]y x x =+-∈-表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线(2)4y k x =-+过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要53124k <≤.考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.17．（1）16823π+；（2）1612+π 【解析】 【分析】首先根据题意得到由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.再计算其体积，表面积即可. 【详解】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.正四棱柱的底面对角线为4，所以底面边长为222，半球的半径为2.所以311416=4422=822233半球四棱柱ππ=+⨯⨯⨯⨯V V V . （2）221+=422242216122圆半球四棱柱侧πππ=+⨯⨯⨯+⨯=+S S S S .【点睛】本题主要考查根据三视图求几何体的体积和表面积，属于中档题.18．（1）()()22114x y -+-=；（2）0x =或334y x =-+．【解析】 【分析】（1）求出线段PQ 的中垂线方程，与直线方程20x y +-=联立，可求得圆心的坐标，并求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）求得圆心到直线l 的距离为1d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由圆心到直线l 的距离为1d =，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为()1,1P -，()1,1Q -．所以PQ 中点坐标为()0,0，直线PQ 的斜率为()11111PQ k --==---，所以PQ 的中垂线方程为y x =，联立20x y y x+-=⎧⎨=⎩，得()1,1C ，设圆C 的半径为r ，则2r CP ===，故所求圆C 的方程为()()22114x y -+-=；（2）当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，圆心C 到直线l 的距离1d =，此时AB == 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 则圆心C 到直线l 的距离d=224+=， 解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+．综上，直线l 的方程为0x =或334y x =-+．【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，解题时要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；(2)316【解析】 【分析】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ，通过证明四边形1OB GD 为平行四边形得1//OD B G ，进而证明//OD 平面1AB C .【详解】（1）证明：连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ． 易证1//OB DG ，且1OB DG =， 所以四边形1OB GD 为平行四边形， 所以1//OD B G ．因为1B G ⊂平面1,AB C OD ⊄平面1AB C ， 所以//OD 平面1AB C ． 由（1）知，1//OD B G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角 所以11tan 3AB G ∠=． 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥．因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以1AC B G ⊥．因为11tan 3AG AB G =∠=，所以1B G =，所以14BB ==．316388=-=V20.解 （1）262)2(0122)1(=+-y x ，(2)由(1)知,圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=依题意,2255PMC S S PM MC PC ∆==⨯=-⨯ ,∴当PC 最小时,S 最小.∵圆22:82160D x y x y ++-+=,∴(4,1)D - ,半径为1 . ∵(2,1)C ,∴两个圆的圆心距6DC = .∵点P 在圆D 上,且圆D 的半径为1 ,∴min 615PC =-= , ∴2min 55510S ∴=-⨯= . 【点睛】本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用PC 表示再转化为圆心距减半径是解题的关键.21.解 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.22.（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是2211(2)()24x y ++-=，它是一个以1(2,)2-为圆心，以12为半径的圆；（3）2m >或2m <-. 【解析】 【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式： 【详解】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -C 到直线:120l mx y m -++=<．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时，12AB y k x -=+，又2MC yk x =+，1AB MC k k ⋅=-，所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭． 当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆．(3) 假设存在直线l ，使得圆上有四点到直线l ，由于圆心()2,0C -，半径为()2,0C -到直线l <化简得24m >，解得2m >或2m <-． 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．。
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．0∈∅B ．πQ∈C ．∅⊆∅D ．A ⋃∅=∅【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．【详解】对于A ：0∉∅，选项A 错误；对于B ：π是无理数，πQ ∉，选项B 错误；对于C ：∅是它本身的子集，即∅⊆∅，选项C 正确；对于D ：仅当A 为空集时，A ⋃∅=∅成立，否则不成立，选项D 错误．故选：C ．2．设集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则A B = （）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x <≤D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则1{|3}2A B x x ⋂=≤<.故选：B ．3．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由条件分析集合A 的元素的特征，确定满足条件的结合A 即可.【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以{}1,2A =或{}1,2,3或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,3,4或{}1,2,3,5或{}1,2,4,5或{}1,2,3,4,5，即满足条件的集合A 的个数为8，故选：D ．4．设x ∈R ，则“01x <<”成立是“1x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】由01x <<成立可推出1x <成立，所以“01x <<”成立是“1x <”成立充分条件当0x =时，1x <，但{}01x x x ∉<<，即由1x <成立不能推出01x <<成立，所以“01x <<”成立不是“1x <”成立必要条件所以01x <<成立是1x <成立的充分不必要条件，故选：A ．5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】D【分析】举反例可判断ABC ，利用函数3y x =在R 上单调递增，可判断D ．【详解】对于A 选项，取2a =，1b =，满足a b >，但是221ab b =>=，故A 错误，对于BC 选项，取1a =，2b =-，满足a b >，但是2214a b =<=，11112a b =>=-，故BC 错误，对于D 选项，因为函数3y x =在R 上单调递增，所以由a b >可得33a b >，故D 正确，故选：D ．6．若不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，则实数a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．12a ≤≤D ．1a ≤或2a ≥【正确答案】A【分析】由题意可知232a a <-，从而求出a 的取值范围即可．【详解】 不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，232a a ∴<-，解得12a <<，即实数a 的取值范围为(1,2)．故选：A ．7．已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．5B ．143C ．92D ．9【正确答案】D【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为正数,x y 满足1x y +=，则14144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时取等号,故选：D ．8．已知命题236:1,1x x p x a x ++∃>-<+，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．5a >B ．6a >C ．5a ≤D ．6a ≤【正确答案】C【分析】由题意可知236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，问题转化为只需2min 36()1x x a x ++≤+，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．【详解】若命题p 是假命题，则236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，即2361x x a x ++≤+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，只需2min 36()1x x a x ++≤+，又2236(1)1441115111x x x x x x x x ++++++==+++≥=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取得最小值为5，所以5a ≤，故选：C ．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB10．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【正确答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【正确答案】AC【分析】由题知二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上且3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为][(),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩．对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b ac a=-⎧⎨=-⎩所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确．故选：AC ．12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x --≤的x 的值可以为（）A ． 2.5-B ．3C ．7.5D ．8【正确答案】BC【分析】由一元二次不等式得[]27x -≤≤【详解】解：因为[][][]()[]()2514720x x x x --=-+≤，所以[]27x -≤≤，所以28x -≤<．所以x 的值可以为[)2,8-内的任何实数.故选：BC三、填空题13．不等式210-+≥x kx 的解集为R ，则实数k 的取值集合为__．【正确答案】[]22-,【分析】根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式210-+≥x kx 的解集为R ，所以240k ∆=-≤，所以22k -≤≤，即实数k 的取值集合为[]22-,.故答案为.[]22-,14．已知102x <<，函数(12)y x x =-的最大值是__．【正确答案】18##0.125【分析】由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()221212(12)24x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，由此即可求出函数(12)y x x =-的最大值．【详解】 102x <<，∴()()()2212111122122228x x x x x x +-⎡⎤-=⋅-≤⋅=⎢⎥⎣⎦,当且仅当212x x =-时，即14x =时等号成立，因此，函数(12)y x x =-的最大值为18.故答案为:18.15．若实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，则3x y +的取值范围为__．【正确答案】(2,5)【分析】将3x y +表示成关于()x y +和()x y -的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：32()()+=++-x y x y x y ，因为实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，所以()()225x y x y <++-<，即3x y +的取值范围为(2,5)．故(2,5)．四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b__的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．【正确答案】DE22ab a ba b +≤≤+【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【详解】由题意得：2a bOD +=，CD =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，所以ΔΔOCD CED ∽，则OD CDCD ED=a bED +=，解得2abED a b=+，利用直角三角形的边的关系，所以OD CD DE >>．当O 和C 重合时，OD CD DE ==，所以22ab a ba b +≤≤+．故DE；22ab a ba b +≤≤+五、解答题17．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C ð.【正确答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}--【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集的运算即可求解.【详解】（1）{}0,1B = ，{}1,2C =，{0,1,2}B C ∴= （2）∵{}0,1B =，{}1,2C =，∴{1}B C = ，又{}2,1,0,1,2A =--故(){2,1,0,2}A B C =-- ð．18．已知集合U 为全体实数集,{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-．(1)若3a =,求()U M N ðI ;(2)若M N N ⋂=,求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}46x x ≤<(2)1a <或5a ≥【分析】(1)利用集合的交、补运算即可求解．(2)讨论N =∅或N ≠∅,根据集合的包含关系列不等式即可求解．【详解】（1）解:由题知{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-,所以{}16U M x x =-<<ð,当3a =时,{}48N x x =≤≤,所以(){}46U M N x x ⋂=≤<ð;（2）由题知M N N ⋂=,即N M ⊂,①当N =∅时,即131a a +>-,解得:1a <;②当N ≠∅,即1a ≥时,因为N M ⊂,所以311a -≤-或16a +≥,解得:0a ≤(舍)或5a ≥,综上:1a <或5a ≥.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为24000m 矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为S （单位：2m ），矩形休闲广场东西距离为x （单位：m ，0x >），试用x 表示为S 的函数；(2)当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【正确答案】(1)()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m 【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为24000m ，所以矩形广场的南北距离为4000m x，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知16000404010404040408004840S x x =++≥+=+=，当且仅当x =40时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m .20．集合A ={}|()(3)0,0x x a x a a --<>，B =2|01x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭.（1）若1a =，求()R A C B I ；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 的充分不必要条件是命题q ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）[)()2,3R A C B =I （2）213a ≤≤【分析】（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），可得∁R B ＝（﹣∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A ∩（∁R B ）．（2）由a ＞0，可得A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．根据q 是p 的充分不必要条件，即可得出B ⊊A ．【详解】解：（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），(][)=,12,R C B -∞+∞U ∴[)()2,3R A C B =I ；（2）∵a ＞0，∴A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．由B ⊆A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩，解得213a ≤≤，又a ＝1及23a =符合题意．∴213a ≤≤．本题考查了集合的交并补运算、不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【正确答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )，(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.22．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ；（2）当a R ∈时，解此不等式．【正确答案】（1）2（2）0a =时，(1,)x ∈+∞，01a <<时，1(1,x a∈，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，1(,1)x a∈，a<0时，1(,(1,)x a ∈-∞+∞ .【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a ；（2）不等式化为(1)(1)0ax x --<，讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。
吉林省白城市洮南市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试卷含答案
三、解答题：共六个小题，总共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 17.(本小题满分 10 分)
设集合 A {x | 0 x - m 3}， B {x | x 0或x 3} ，分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围：
(1) A B (2) A B B
18.（本小题满分 12 分） 已知 a 0 ,设命题 p :函数 y ax 在 R 上单调递增;命题 q : 不等式 ax2 ax 1 0 对任
2 它 在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 点 和 第 一 个 最 低 点 的 坐 标 分 别 为 (x0, 2) 和 (x0 2 , 2) ，则函数 （f x）的解析式
15.设函数 f (x) x2 (a 2)x 1在区间 , 2 上是减函数,则实数 a 的最大值为
16.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学 里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾
(D). ( 1 ,1) (1,) 2
4.已知角
的终边经过点
P
5,
12
，则
sin
3 2
的值等于
()
( A). 5 13
(B). 12 13
(C). 5 13
(D). 12 13
5.设 a R ，则“ a 1 ”是“ a2 a ”的
()
( A).充分不必要条件
( B). 必要不充分条件
由题意知 p 与 q 一真一假,
当
p
真
q 假时,
a a
1 0
/
a
4
,所以
a
4
当
p
假
q 真时,
a 0
0 a
吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理科)试题
数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A. ()0f x x +∆ B. ()0f x x +∆ C. ()0f x x ⋅∆ D. ()()00f x x f x +∆-【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据自变量对应的函数值，得出函数值的改变量. 【详解】自变量x 由0x 改变到0x x +∆ 当0x x =时，()0y f x =当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆()()00y f x x f x ∴∆=+∆-故选：D【点睛】本题主要考查了平均变化率，属于基础题. 2.函数()cos 6f x π=的导数是（ ）A. 0B.12C. 12-D. 不确定【★★答案★★】A 【解析】 【分析】常数函数的导数为0. 【详解】()3cos6f x π==，()0f x '∴=. 故选：A【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题.3.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A. （-1,1] B. （0,1]C. [1，+∞）D. （0，+∞）【★★答案★★】B 【解析】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x xx -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 4.复数31ii++等于（ ） A. 12i +B. 12i -C. 2i -D. 2i +【★★答案★★】C 【解析】 试题分析：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-，故选C ． 考点：复数的运算．5.函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是（ ）A. (),2-∞B. ()0,3C. ()1,4D. ()2,+∞【★★答案★★】D 【解析】 【分析】求导分析导函数大于0的区间即可.【详解】易得()()'2xf x x e =-,当()'0f x >时解得2x >.故函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.6.在复平面内，设z=1+i （i 是虚数单位），则复数+z 2对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★★答案★★】A 【解析】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论． 解：∵z=1+i， ∴+z 2=+（1+i ）2==1﹣i+2i=1+i ，对应的点为（1，1），位于第一象限， 故选A ．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键． 7.观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431,...⨯+=，猜想第()N n n *∈个等式应为（ ）A. 9(+1)+=10+9n n nB. 9(1)+=109n n n --C. 9+(1)=101n n n --D. ()9(1)+1=1010n n n ---【★★答案★★】B 【解析】解：因为：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，⋯则可以归纳猜想第()n n +∈N 个等式应为9(1)109n n n -+=-，故选B 8.已知()()221f x x xf '=+，则()0f '等于（ ）A. 4-B. 4C. 2-D. 2【★★答案★★】A 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，在导函数中代入1x =，化简求出(1)f '的值，再取0x =，即可求出(0)f '． 【详解】由题可得：()22(1)f x x f ''=+，取1x =可得(1)212(1)f f ''=⨯+，解得：(1)2f '=-，则(0)202(1)202(2)4f f ''=⨯+=⨯+⨯-=-. 故选：A【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键是理解原函数解析式中(1)f '，在这里的(1)f '只是一个常数，属于基础题．9.在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法判断【★★答案★★】C 【解析】 【分析】通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果.【详解】假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙说的也是假话，不成立； 假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀； 假设甲说的是假话，即甲得优秀，则乙说得也是假话，不成立. 故选：C【点睛】本题考查了合情推理，先假设再推理出结果，考查了学生的逻辑推理能力. 10.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=，则()()12'1f f +的值为A.12 B. 1 C. 32D. 2【★★答案★★】D 【解析】由1210y -+=得1y =，因此有(1)1f =，1'(1)2f =，∴1(1)2'(1)1222f f +=+⨯=．故选D ．11.已知函数()22ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则a 的最小值是（ ）A.14B.12C. 12-D. 14-【★★答案★★】A 【解析】 【分析】原题等价于()2220af x x x'=+-≥在(0,)+∞恒成立，即2a x x ≥-+在(0,)+∞恒成立，再求二次函数的最大值即得解. 【详解】由题得()2220af x x x'=+-≥在(0,)+∞恒成立， 所以2a x x ≥-+在(0,)+∞恒成立，因为函数2y x x =-+在(0,)+∞上的最大值为14， 所以14a ≥， 所以a 的最小值为14. 故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.12.若函数()f x 对任意x ∈R 的都有()()f x f x '>恒成立，则（ ） A. 3(ln 2)2(ln 3)f f > B. 3(ln 2)2(ln 3)f f =C. 3(ln 2)2(ln 3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln3)f 的大小不确定【★★答案★★】C 【解析】 【详解】令()()xf xg x e =,则()()()''x f x f x g x e -=， 因为对任意x ∈R 都有f (x )<f ′(x )， 所以g ′(x )>0,即g (x )在R 上单调递增， 又ln 2<ln 3,所以g (ln 2)<g (ln 3),即()()ln 2ln3ln 2ln 3f f e e <，即3f (ln 2)<2f (ln 3)，本题选择C 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若()2xf x xe =，则()1f '=__________．【★★答案★★】23e 【解析】 【分析】根据导数运算法则求出()f x '，再计算()1f '即可. 【详解】()()222212xx x f x ex e x e '=+⋅=+，所以()213f e '=.故★★答案★★为：23e【点睛】本题主要考查导数的运算，属于基础题. 14.曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【★★答案★★】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．15.下列结论正确的是__________（填写序号）．①若ln 2y =，则12y；②若21y x=，则3227x y ==-'； ③若2x y =，则2ln 2xy '=；④若2log y x =，则1ln 2y x '=．【★★答案★★】②③④ 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得： 对于①中，函数ln 2y =，则0y '=，所以①不正确； 对于②中，函数21y x=，可得32y x '=-，所以3227x y ==-'，故②正确； 对于③中，函数2xy =，可得2ln 2xy '=，所以③正确； 对于④中，函数2log y x =，则1ln 2y x '=，所以④正确. 故★★答案★★为：②③④【点睛】本题主要考查了导数的运算法则及其应用，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式是解答的关键，属于基础题.16.函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值又有极小值，则a 的范围是 ． 【★★答案★★】【解析】 【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解a 的取值范围即可. 【详解】由题意可得：()()2'3632f x x ax a =+++，若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程()236320x ax a +++=有两个不同的实数根，即：()()2643320a a ∆=-⨯⨯+>，整理可得：整理可得：()()36120a a +->，据此可知a 的取值范围是2a >或1a <-.【点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）32132d x x x +-⎰．【★★答案★★】（1） 2；（2） π 【解析】 【分析】 （1）由题得()0sin cos d (cos sin )|x x x x x ππ-=--⎰，计算即得解；（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】（1）由题得()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos 0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰ =10102-++=；（2）令222(32),(1)4(13,0)y x x x y x y =+-∴-+=≤≤≥， 因为32132d x x x +-⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯， 所以32132d x x x π+-=⎰.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.18.已知复数z 的共轭复数是z ，且满足292z z iz i ⋅+=+，求z ． 【★★答案★★】12z i =-或14z i =+ 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，根据292z z iz i ⋅+=+，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，因为z 292z iz i ⋅+=+，所以()()()292a bi a bi i a bi i +-++=+，即222292a b b ai i +-+=+，所以222922a b b a ⎧+-=⎨=⎩，解得1a =，代入得2280b b --=，解得2b =-或4b =． 所以12z i =-或14z i =+．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数相等的充要条件的应用，其中解答中熟记复数相等的条件，列出方程组解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 19.已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4． (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【★★答案★★】（1）x －y －4＝0 （2）x －y －4＝0或y ＋2＝0 【解析】解：(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5， ∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0． (2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)， ∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)， ∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0． 20.已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3． （1）求,a b 的值； （2）求函数y 的极小值． 【★★答案★★】（1）69a b =-⎧⎨=⎩；（2）0．【解析】 【分析】（1）由题意得()()10,13f f '==，则可得到关于实数,a b 的方程组，求解方程组，即可求得,a b 的值； （2）结合（1）中,a b的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.【详解】（1）232y ax bx '=+，当1x =时，有极大值3，所以()()132013f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩，解得69a b =-⎧⎨=⎩， 经检验，满足题意，所以6,9a b =-=；（2）由（1）得3269y x x =-+，则21818y x x '=-+，令0y '=，得0x =或1x =，列表得易知0x =是函数的极小值点，所以当0x =时，函数有极小值0．【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力. 21.已知a <2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x.（1）当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； （2）若f (x )的极大值是6e -2，求a 的值． 【★★答案★★】（1）的单调增区间是（2）【解析】 【分析】 （1）定义域为R ，或所以的单调增区间为（2）或故-2，-a 有可能是的极值点，列表判断出时取得极大值且极大值是列方程求出a .函数的单调性与导数，函数的极值【详解】试题解析：（1）当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ，∴f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x . 由f ′(x )≥0，得x 2＋3x ＋2≥0，解得x ≤－2或x ≥－1. ∴f (x )的单调递增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)．（2）f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x .由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝－a . ∵a <2，∴－a >－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况列表如下：∴x ＝－2时，f (x )取得极大值．而f (－2)＝(4－a )·e －2， ∴(4－a )e －2＝6×e －2.∴a ＝－2.考点：1、函数的单调性与导数；2、函数的极值． 22.已知函数()()3222213x x x a x f =-+-+，其中0a >． （1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 在[]2,3上的最小值．【★★答案★★】（1）6350x y +-=；（2）73a -．【解析】 【分析】（1）求出导数，当2a =时求出()1f 、()1f '，即可写出切线的点斜式方程；（2）求出()0f x '=的两根，分析函数的单调性，分类讨论函数()f x 在[]2,3上的单调性从而求最小值.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()2242f x x x a '=-+-，当2a =时，()113f =-，()12f '=-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1213y x +=--，即6350x y +-=． （2）由()2242f x x x a '=-+-，可知判别式为80a ∆=>，令()0f x '=，得11x =或21x =， ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭，1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调减区间为1,122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， ①当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在[]2,3上单调递增， ∴()f x 在[]2,3上的最小值是()3272f a =-； ②当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在[)22,x 上单调递减，在(]2,3x 上单调递增，∴()f x 在[]2,3上的最小值是()253f x a =-； ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x []2,3上单调递减，∴()f x 在[]2,3上的最小值是()373f a =-． 综上所述，当02a <≤时，()f x 在[]2,3上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在[]2,3上的最小值是533a --； 当8a ≥时，()f x 在[]2,3上的最小值是73a -．【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、分类讨论含参函数的单调性及最值，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试卷word版
数学试卷一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合{}2,0,1,2,3A =-，{}1,1,3,4B =-，则A B =I （ ） A. {}1,3 B. {}2,1,3- C. {}1,1,3,4- D. {}2,1,1,3-- 2 已知，且，则角的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．方程3log 280x x +-=的解所在区间是（ ）A ．（5，6）B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(1，2)4．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( )A ．45B ．41C ．39D ．37 5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为（ ） A ．B ．C ．D ．6.在ABC ∆中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ）A .622 B . 622C .62 D .227. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是A ．b c a << B.b a c << C. a b c << D.c b a << 8．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( )A ．0B ．log 25C ．32D ．0或329. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ．)321sin(π-=x yB ．)621sin(π-=x yC ．)62sin(π-=x yD ．)32sin(π-=x y10．设非零向量c b a ,,,满足|a |＝|b |＝|c |，c b a =+，则向量b a ,的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°11．（2019年安庆月考）如图1-6，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( ) A.12小时 B ．1小时C.32小时 D ．2小时 图1-612.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()0x f x f x --≥⎡⎤⎣⎦的解集为（ ） A. (][]202-∞-U ,,B. [][)202-+∞U ,,C. (]{}[),101,-∞-+∞U UD. (]{}[),202,-∞-+∞U U二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考试题数学(理)试卷
数学试卷（理） 第I 卷（选择题）一、选择题1．已知点(2,5),(1,6)A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．34πB ．23πC ．3πD ．4π 2．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．5 B ．10 C ．352 D ．31023．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥c ，c ∥α⇒a ∥α；③a ∥β，a ∥α⇒α∥β；④a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.其中正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），0145,12ABC AD AB BC ∠====，则该平面图形的面积为（ ）A ．3B ．4C 32D 326.已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．33π B ．3π C ．23π D ．2π7．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．223π C ．73π D ．7π8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．2 C ．43 D ．49．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或C ．14D ．20或10．已知△ABC 93且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A 3B ．32C ．1D 3 11．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则三角形AEF 的周长的最小值为（ ）A ．36sin 20︒B ．62C ．12D ．6312. 已知直线:(2)(1)440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m ≤-或2m ≥B ．28m ≤≤C ．210m -≤≤D ．2m ≤-或8m ≥第II 卷（非选择题）二、填空题13．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为_____________.14． 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，,M N 分别为棱1111,A D A B 的中点，过点B 的平面//α平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为______.15．下列四个命题中正确的是 .① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．16.曲线214y x ，与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是 _________________．三、解答题17．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同.（1）求此几何体的体积；（2）求几何体的表面积.18．已知圆C 经过两点()1,1P -、()1,1Q -，且圆心C 在直线20x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3M 的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且23AB =求直线l 的方程． 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，O 为11AC 的中点，且2AB =．（1）证明：//OD 平面1AB C ．（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正切值为13，的体积求四棱锥111ACC A B -20. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 方程为22420x y x y +--=，圆Q 方程为4)2()1(22=-+-y x(1) 求圆C 和圆Q 的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．(2)设P 是圆22:82160D x y x y ++-+=上任意一点,过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ,,M N 为切点,试求四边形PMCN 面积S 的最小值.21.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．22．已知圆22:(2)5C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m R ∈.（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l 求出m 的范围；若不存在，说明理由.参考答案1．A【解析】【分析】求出直线的斜率，从而可得直线的倾斜角.【详解】由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 故答案为：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题.2.C【解析】【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行， 所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩, 解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y7|4|--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．A[由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α，故②错误；对于③，α与β可能平行，也可能相交，故③错误；对于④，∵a⊄α，∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α，a∥b，故a∥α，故④正确．]4．A【解析】【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切. 【详解】22(1)1x y-+=，圆心(1,0)，半径为1；22(1)(+2)9-+=x y，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切.故选：A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.5 A【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积.【详解】由0145,12ABC AD AB BC∠====根据斜二测画法可知：原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形，所以12232S+=⨯=.故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题.6．A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为其表面积为3π，所以23rl r πππ+=，即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以r l 2π=π，即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为21133V r h ππ===. 故选：A.【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.7．A【解析】【分析】由正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理，可求出球的半径，即可求出球的表面积.【详解】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2432sin60r==︒，∴233r=，所以球的半径22237133R⎛⎫⎪⎪⎝⎭=+=，所以球的表面积728433Sππ=⨯=．故选：A．【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．8．A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥D ABC-（如图所示），其中AB AC2==，D到平面ABC的距离为1，故所求的三棱锥的体积为112V221323=⨯⨯⨯⨯=.9． B [由α∥β得AB ∥CD .分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则有PA PC ＝PB PD ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.]10．C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r =-.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 93 213932a ∴=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=， ∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11．D【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果．【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒，当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小，故1AA 为AEF ∆的周长的最小值，又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．12．C【解析】如图，设切点分别为A ，B ．连接AC ，BC ，MC ，由90AMB MAC MBC ∠=∠=∠=︒及MA MB =知，四边形MACB 为正方形，故||222MC =+=，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(12)-，到直线l 的距离222(2)(1)d m m ++-，即28200m m --≤，∴210m -≤≤，故选C ． 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． . 137 【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 2230122211-+==+2(22)17-=7. 14． 18 【解析】 【分析】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知等腰梯形PQBD 即为所求截面，求出面积即可. 【详解】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，//PQ BD ，∴,,,P Q B D 确定平面，//PQ MN ，//PQ ∴平面AMN ，//PD AN ，//PD ∴平面AMN ，∴平面//PQBD 平面AMN ，即四边形PQBD 为所得截面，可知四边形PQBD 是一个等腰梯形，如图，可知22,42,32PQ BD h ，1224232182PQBDS .故答案为：18. 【点睛】本题考查空间中平行平面的判断，找平行线是解决问题的关键.15.②③ 【解析】 【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断． 【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交 ②正确③正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行. 故填②③ 【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题． 16. ．53(,]124【解析】 【分析】 【详解】试题分析：曲线214,[2,2]y x x =+-∈-表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线(2)4y k x =-+过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要53124k <≤.考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.17．（1）16823π+；（2）1612+π 【解析】 【分析】首先根据题意得到由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.再计算其体积，表面积即可. 【详解】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.正四棱柱的底面对角线为4，所以底面边长为222，半球的半径为2.所以311416=4422=822233半球四棱柱ππ=+⨯⨯⨯⨯V V V . （2）221+=422242216122圆半球四棱柱侧πππ=+⨯⨯⨯+⨯=+S S S S .【点睛】本题主要考查根据三视图求几何体的体积和表面积，属于中档题.18．（1）()()22114x y -+-=；（2）0x =或334y x =-+．【解析】 【分析】（1）求出线段PQ 的中垂线方程，与直线方程20x y +-=联立，可求得圆心的坐标，并求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）求得圆心到直线l 的距离为1d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由圆心到直线l 的距离为1d =，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为()1,1P -，()1,1Q -．所以PQ 中点坐标为()0,0，直线PQ 的斜率为()11111PQ k --==---，所以PQ 的中垂线方程为y x =，联立20x y y x+-=⎧⎨=⎩，得()1,1C ，设圆C 的半径为r ，则2r CP ===，故所求圆C 的方程为()()22114x y -+-=；（2）当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，圆心C 到直线l 的距离1d =，此时AB == 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 则圆心C 到直线l 的距离d=224+=， 解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+．综上，直线l 的方程为0x =或334y x =-+．【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，解题时要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；(2)316【解析】 【分析】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ，通过证明四边形1OB GD 为平行四边形得1//OD B G ，进而证明//OD 平面1AB C .【详解】（1）证明：连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ． 易证1//OB DG ，且1OB DG =， 所以四边形1OB GD 为平行四边形， 所以1//OD B G ．因为1B G ⊂平面1,AB C OD ⊄平面1AB C ， 所以//OD 平面1AB C ． 由（1）知，1//OD B G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角 所以11tan 3AB G ∠=． 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥．因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以1AC B G ⊥．因为11tan 3AG AB G =∠=，所以1B G =，所以14BB ==．316388=-=V20.解 （1）262)2(0122)1(=+-y x ，(2)由(1)知,圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=依题意,2255PMC S S PM MC PC ∆==⨯=-⨯ ,∴当PC 最小时,S 最小.∵圆22:82160D x y x y ++-+=,∴(4,1)D - ,半径为1 . ∵(2,1)C ,∴两个圆的圆心距6DC = .∵点P 在圆D 上,且圆D 的半径为1 ,∴min 615PC =-= , ∴2min 55510S ∴=-⨯= . 【点睛】本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用PC 表示再转化为圆心距减半径是解题的关键.21.解 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.22.（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是2211(2)()24x y ++-=，它是一个以1(2,)2-为圆心，以12为半径的圆；（3）2m >或2m <-. 【解析】 【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式： 【详解】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -C 到直线:120l mx y m -++=<．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时，12AB y k x -=+，又2MC yk x =+，1AB MC k k ⋅=-，所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭． 当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆．(3) 假设存在直线l ，使得圆上有四点到直线l ，由于圆心()2,0C -，半径为()2,0C -到直线l <化简得24m >，解得2m >或2m <-． 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．。
2021-2022学年吉林省洮南市第一中学高一上学期第一次月考数学(理)试卷
2021-2022学年吉林省洮南市第一中学高一上学期第一次月考数学〔理〕试卷一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.集合A={x∈N|x2-2<0},那么以下关系正确的选项是()∈A B.0∉A C.{0,1}⊆A D.{-1,1}=A2.如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集，那么阴影局部所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∪(∁I S)D.(M∩P)∩(∁I S)3.由实数－a，a，|a|，是()A．1B．2所组成的集合最多含有的元素个数C．3D．44.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的选项是()A．2∈A，且2∈BC．2∈A，且(3，10)∈B5.假设集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，A．{1，2}B．{x|x≤1}B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B那么集合B可能是() C．{－1，0，1}D．R6.集合A{x|x a}，B{x|x25x0}，假设A∩(∁R B)=A，那么a的取值范围是〔〕A．a5B．a0 C．a5D．a07.使不等式x10成立的一个充分不必要条件是()xA.x1B.x 1C.x1D.x18.某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的年平均增长率为x ，那么()A ．x ＝ C ．x > B ．x ≤ D ．x ≥二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.9.集合U ＝R ，A ＝{p |p ＝a ＋a －2，a >2}，B ＝{q |q ＝－x 2＋8，x ∈R}，那么以下正确的选项是()A ．A ∩B ＝{x |4≤x ≤8}C ．A ⊆B B ．A ∪B ＝RD ．∁U A ⊆B 10.A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，那么集合A 可以是()A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{1}D ．{2}11.以下说法: ①命题“x 0R ，x 13x 0 ”的否认是“x R ,x 213x 〞； ②命题“x ,y R ，x 2y 20 ”的否认是“x 0，y 0R ，x y 0 ”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④命题:对任意x R ,总有x 20.其中说法错误的选项是()A.①B.②C.③D.④12.假设a ＞0，b ＞0，且a+b=4，泽以下不等式不恒成立的是〔〕a ＋b 2 2 12 a ＋b a ＋b 2 a ＋b11 ab 2 C. 11 ab D ．≤三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13.集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m 2}.假设B ⊆A ,那么实数m=. 14.集合A 中的元素y 满足y ∈N，且y ＝－x 2t ∈A ，那么t 的值为________．15.集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R}．假设集合A 中至多有一个元素，那么实数a 的取值范围是________．16.设关于x 的不等式ax 28a 1x 7a 160a Z 只有有 限个整数解,且0是其中一个解,那么全部不等式的整数解的和为________四、解答题：此题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.〔10分〕集合A {x |x 22x 30},B {x |x 2一2mx m 2一40,x R ,m R }. (1)假设AB {x |0x 3},求实数m 的值; (2)假设A ∁R B ,求实数m 的取值范围.18.〔12分〕命题p:1x 2，x 2 a 0,命题q:x R ,x 22ax 2a a 20.(1)假设命题p 的否认为真命题,求实数a 的取值范围;(2)假设命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19.〔12分〕一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积x 与地板面积y 的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好。
吉林省洮南市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试卷
洮南一中高一下学期第一次考试数学试题考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．若复数z 满足i 1i z =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则||z =（ ） A ．22B ．1C ．2D ．22．下列调查方式中，不适合的是（ ） A.调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式 B.调查某班学生的体重，采用普查的方式 C.调查一条河流的水质，采用抽查的方式 D.调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式3．若复数z 满足()34i 34i z -=+，则复平面内表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c ===，则a 等于( ) A ．32B ．62C ．26D ．365．向量a ，b 满足()1,3a =，1=b ，3a b +=，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．-1 B ．12- C ．12 D ．16.如图，在ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A ．19B ．29C ．23D ．137.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若22tan tan b B c C=，则ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．不确定8.如图，在三角形ABC 中，12BO BC =，若AB mAM =，AC nAN =，且,,M N O 三点共线，则211log ()m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．13 D ．二、多选题：（每小题有多个选项，选错不得分，选对部分得3分，共20分）9.下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样为（ ） A ．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B ．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C ．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验D ．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 10．若复数3i z =，则下列说法错误的是（ ）.A ．z 在复平面内对应的点位于第二象限B ．||4z =C ．z 的共轭复数3i z =D ．243i z =- 11.已知平面向量(2,3)a =-，(1,)b λ=-，且a ，b 的夹角是钝角，则λ可以是（ ） A ．-1B ．12C ．32D ．212．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）12A ．2AB = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为()2,2 D ．112sin tan tan A B A-+的取值范围为53,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）三、填空题：（每小题5分，共20分）13．若()3i i 2i a b +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则ba=14.《中国诗词大会》是央视科教频道推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的文化类演播室益智竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的不同年龄段的选手组成，按照年龄分组统计如下表： 分组/岁 [)7,20 [)20,40 []40,80频数185436若用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，则从年龄组[)7,20，[)20,40，[]40,80中抽取的挑战者的人数分别为______．的大小为则角的面积已知C c b a S ABC ,4.15222-+=∆16.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上， 若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.四、解答题：（要有必要的答题步骤，共70分）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知(1,2),(3,4)a b =-=. （1）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（2）若()a tb b -⊥，求实数t 的值； （3）求与a 共线的单位向量.18．（12分）复数()()222522i z m m m m =-++--，当m 取何实数时：(1)z 为实数； (2)z 为纯虚数；(3)z 对应的点在复平面上实轴的上半部分．19.（12分）如图，已知在东西走向上有,AM BN 两座发射塔，且100m AM =，200m BN =，一辆测量车在塔底M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，求两发射塔顶,A B 之间的距离.20.（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 3sin 02c A a C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，6c =.（1）求ABC 外接圆的面积；（2）若3=c b ，13AM AB =，求ACM △的周长.21.（12分）在锐角ABC 中，已知()(2sin 3m A C =+，2cos2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且n ∥m(1)求角B 的大小；(2)若1AC=，求ABC面积的最大值．22.在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为,,a b c，且cos3sin+=c B b C a(1)求角C的大小；(2)若1c=，求22+的取值范围．a b答案1-8 CAABB DCA 9.ABD 10.ABD 11.BD 12.AD13.23 14. 1，3，24.15π 16.217.（1）13k =-； （2）15t =-（3）525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭18(1)因为z 为实数，所以220m m --=，解得2m =或1m =- (2)由z 为纯虚数，则222520,20,m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩解得12m =(3)由z 对应的点在复平面上实轴的上半部分，则220m m -->，解得1m <-或2m > 19.解：在Rt AMP 中，30APM ︒∠=，100m AM =，∴1003m PM =， 连接QM ，在PQM 中，60QPM ︒∠=，又1003m PQ =，∴PQM 为等边三角形，∴1003m QM =，在Rt AMQ 中，由222AQ AM QM =+，得200m AQ =， 在Rt BNQ 中，∵tan 2θ=，200m BN =， ∴100m QN =，1005m BQ =，5cos 5θ=，在BQA 中，由余弦定理得2222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+-⋅， ∴1005m BA =，∴两发射塔顶,A B 之间的距离是1005m ．20（1）∵ sin 3sin 02c A a C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴ sin 3cos 0c A a C +=，由正弦定理得：sin sin 3sin cos 0C A A C +=， 因为 sin 0A ≠，所以sin 3cos 0C C +=，得tan 3C =-， 又0C π<<，故 23C π=， ∴ABC 外接圆的半径116232sin 232c R C =⋅=⨯=， ∴ABC 外接圆的面积为12π.（2）由6c =及3=c b 得：23b =，3sin 12s n 23i 3C B ===，∵23C π=，则B 为锐角， ∴6B π=，故6A B C ππ=--=.如图所示，在ACM △中，由余弦定理得， ()2222232cos 223222342CM AM AC AM AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 解得2CM =，则ACM △的周长为423+.21.(1) 因为//m n ，所以()22sin 2cos1322B A C B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 因为A B C π++=，所以()sin sin()sin A C B B π+=-=， 所以2sin cos sin 232B B B B ==， 所以sin 2tan 23cos 2BB B== 因为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,)B π∈， 所以23B π=，6B π=.(2)设角A 、B 、C 所对的边为a,b,c ，则1AC b ==， 由余弦定理得2223cos 2a c b B ac +-==， 所以2213a c ac +-=，即2231a c ac +=+， 又222a c ac +≥，312ac ac +≥，解得23≤ac 当且仅当a c =时等号成立， 所以ABC 面积的最大值(max 11123sin 23222S ac B +==⨯⨯=22. （1）C=6π（2）()7,234。
2021学年吉林省某校、白城一中高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2021学年吉林省某校、白城一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|2<x <4}，则A ∩B =( ) A.(1, 3) B.(1, 4) C.(2, 3) D.(2, 4)2. 已知集合A{x|x 2−3x +2=0, x ∈R }，B ={x|0<x <5, x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.43. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2−x ，则f(1)=( ) A.−3 B.−1 C.1 D.34. 设集合M ＝{y|y ＝x 2+1, x ∈R}，N ＝{y|y ＝x +1, x ∈R}，则M ∩N ＝（ ） A.(0, 1)，(1, 2) B.{(0, 1), (1, 2)} C.{y|y ＝1或y ＝2} D.{y|y ≥1}5. 设集合A ＝{x||x −a|<1, x ∈R}，B ＝{x||x −b|>2, x ∈R}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足（ ） A.|a +b|≤3 B.|a +b|≥3 C.|a −b|≤3 D.|a −b|≥36. 设函数f(x)={x 2−4x +6,x ≥0x +6,x <0 则不等式f(x)>f(1)的解集是（ ）A.(−3, 1)∪(3, +∞)B.(−3, 1)∪(2, +∞)C.(−1, 1)∪(3, +∞)D.(−∞, −3)∪(1, 3)7. 已知f(x)＝x 2−ax 在[0, 1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, 0] B.[1, +∞) C.[2, +∞) D.(−∞, 0]∪[2, +∞)8. 设函数g(x)＝x 2−2(x ∈R)，f(x)={g(x)+x +4,x <g(x)g(x)−x,x ≥g(x) ，则f(x)的值域是（ ）A.[−94, 0]∪(1, +∞)B.[0, +∞)C.[94, +∞)D.[−94, 0]∪(2, +∞)9. 已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是（ ） A.(13, 23) B.[13, 23)C.(12, 23)D.[12, 23)10. 已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf(x +1)=(1+x)f(x)，则f[f(52)]的值是( ) A.0 B.12C.1D.5211. 已知f(x)在(0, 2)上是增函数，f(x +2)是偶函数，那么正确的是（ ） A.f(1)<f(52)<f(72) B.f(72)<f(1)<f(52) C.f(72)<f(52)<f(1)D.f(52)<f(1)<f(72)12. 已知奇函数g(x)是R 上的减函数，且f(x)＝g(x)+2，若f(m)+f(m −2)>4，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−∞, 1)B.(−∞, 3)C.(1, +∞)D.(3, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上）设全集U ＝{1, 3, 5, 7, 9}，A ＝{1, |a −5|, 9}，∁U A ＝{5, 7}，则a 的值为________．已知函数f(x)={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2 ，若f(x)＝3，则x ＝________．y ＝−x 2+2|x|+3的单调增区间为________．已知奇函数g(x)是R 上的增函数，对任意实数a ∈[−2, 2]，g(ax −2)+g(x)<0恒成立，则x 的取值围范是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置）已知集合A ＝{x|x 2−2x −3≤0}，B ＝{x|x 2−2mx +m 2−4≤0, x ∈R, m ∈R}． （1）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值；（2）若A ∩B ＝{x|0≤x ≤3}，求实数m 的值；（3）若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．设函数f(x)={x 2+bx +c(x ≤0)2(x >0) ，若f(−2)＝f(0)，f(−1)＝−3，求关于x 的方程f(x)＝x 的解．已知函数f(x)=1a−1x (a >0，x >0)．(1)求证：f(x)在(0, +∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．设定义域为R 的函数f(x)={|x +1|,x <00,x =0x 2−2x +1,x >0． （1）在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间（不需证明）；（2）若方程f(x)+5a ＝0有两个解，求出a 的取值范围（不需严格证明，简单说明即可）；（3）设定义域为R 的函数g(x)为偶函数，且当x ≥0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式． 附加题（本题满分10分）已知f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且f(1)=1，若a ，b ∈[−1, 1]，a +b ≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1, 1]上的单调性，并证明．(2)解不等式：f(x +12)<f(1x−1)(2)若f(x)≤m2−2am+1对所有的a∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2021学年吉林省某校、白城一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上）1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】根据题目中A＝{x|x2−4x+3<0}的解集求得A，再求它们的交集即可．【解答】解：因为A={x|x2−4x+3<0}={x|1<x<3}，B={x|2<x<4}，所以A∩B={x|2<x<3}.故选C.2.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B可得满足条件的集合C有{1, 2, }，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 2, 3, 4}.【解答】解：由题意可得，A={1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1, 2}，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 2, 3, 4}共4个.故选D．3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】要计算f(1)的值，根据f(x)是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f(−1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f(x)=2x2−x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f(x)=2x2−x，∴f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(1)=−f(−1)=−3.4.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】集合M为二次函数的值域，集合N为一次函数的值域，分别求出后求交集．【解答】M＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}，5.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】略6.【答案】A【考点】一元二次不等式的应用【解析】先求f(1)，依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．【解答】f(1)＝3，当不等式f(x)>f(1)即：f(x)>3如果x<0则x+6>3可得x>−3，可得−3<x<0．如果x≥0有x2−4x+6>3可得x>3或0≤x<1综上不等式的解集：(−3, 1)∪(3, +∞)故选：A．7.【答案】D【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由二次函数的单调性可得a2≤0，或a2≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】由于二次函数的f(x)＝x2−ax对称轴为x=a2，再由f(x)＝x2−ax在[0, 1]上是单调函a 2≤0，或a2≥1，解得 a ≤0，或 a ≥2，8.【答案】 D【考点】分段函数的应用 【解析】当x <g(x)时，x >2 或x <−1，f(x)＝g(x)+x +4＝x 2−2+x +4＝x 2+x +2＝(x +0.5)2+1.75，其值域为：(2, +∞)．当x ≥g(x)时，−1≤x ≤2，f(x)＝g(x)−x ＝x 2−2−x ＝(x −0.5)2−2.25，其值域为：[−2.25, 0]．由此能得到函数值域． 【解答】当x <g(x)，即x <x 2−2，(x −2)(x +1)>0时，x >2 或x <−1， f(x)＝g(x)+x +4＝x 2−2+x +4＝x 2+x +2＝(x +0.5)2+1.75， ∴ 其最小值趋向于f(−1)即2，无最大值， 因此这个区间的值域为：(2, +∞)． 当x ≥g(x)时，−1≤x ≤2，f(x)＝g(x)−x ＝x 2−2−x ＝(x −0.5)2−2.25 其最小值为f(0.5)＝−2.25，其最大值为f(2)＝0 因此这区间的值域为：[−2.25, 0]．综合得：函数值域为：[−2.25, 0]U(2, +∞)， 9.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)＝f(|x|)， ∴ 不等式等价为f(|2x −1|)<f(13)， ∵ f(x)在区间[0, +∞)单调递增， ∴ |2x −1|<13，解得13<x <23．10.【答案】 A【考点】抽象函数及其应用 【解析】从xf(x +1)=(1+x)f(x)结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得f(12)=0，再由f(52)=f(32+1)依此求解．解：若x ≠0，xf(x +1)=(1+x)f(x)，则有f(x +1)=1+x xf(x)，取x =−12，则有：f(12)=f(−12+1)=1−12−12f(−12)=−f(−12)，∵ f(x)是偶函数，则f(−12)=f(12)， 由此得f(12)=0． 于是，f(52)=f(32+1) =1+3232f(32)=53f(32) =53f(12+1) =53[1+1212]f(12) =5f(12)=0. 故选A ． 11.【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数的图象的平移可得把f(x +2)向右平移2个单位可得f(x)的图象，由f(x +2)是偶函数，其图象关于y 轴对称可知f(x)的图象关于x ＝2对称，从而由f(72)=f(12)，f(52)=f(32)，结合f(x)在(0, 2)单调递增，可比较大小．【解答】根据函数的图象的平移可得把f(x +2)向右平移2个单位可得f(x)的图象 f(x +2)是偶函数，其图象关于y 轴对称可知f(x)的图象关于x ＝2对称 ∴ f(72)=f(12)，f(52)=f(32)∵ f(x)在(0, 2)单调递增，且12<1<32 ∴ f(12)<f(1)<f(32) 即f(72)<f(1)<f(52) 12.A【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由f(x)＝g(x)+2可得f(m)+f(m−2)>4⇒g(m)>−g(m−2)；结合函数g(x)的奇偶性与单调性分析可得g(m)>−g(m−2)⇒g(m)>g(2−m)⇒m< 2−m，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，f(x)＝g(x)+2，若f(m)+f(m−2)>4，即g(m)+2+g(m−2)+2>4，则有g(m)>−g(m−2)；g(x)是为奇函数，且在R上的减函数，则g(m)>−g(m−2)⇒g(m)>g(2−m)⇒m<2−m，解可得：m<1，即m的取值范围为(−∞, 1)；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上）【答案】2或8【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】根据题意，结合补集的性质，可得两相等集合，即得|a−5|＝3，解出a即可．【解答】由于全集U＝{1, 3, 5, 7, 9}，∁U A＝{5, 7}，依据补集的性质∁U(∁U A)＝A则有{1, 3, 9}＝{1, |a−5|, 9}，即|a−5|＝3，解得：a＝2或8．【答案】√3【考点】函数的求值求函数的值【解析】当x≤−1时，f(x)＝x+2＝3；当−1<x<2时，f(x)＝x2＝3；当x≥2时，f(x)＝2x＝3，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2，f(x)＝3，∴当x≤−1时，f(x)＝x+2＝3，解得x＝1，不合题意；当−1<x<2时，f(x)＝x2＝3，解得x＝±√3（舍负），当x≥2时，f(x)＝2x＝3，解得x=32，不舍题意．综上，x=√3．【答案】(−∞, −1]，[0, 1]【考点】函数的单调性及单调区间【解析】先化为分段函数，然后画出函数的图象，由图象得到函数的单调增区间．【解答】y＝−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，画出图象，如图所示，由图象可以得知，函数y＝−x2+2|x|+3的单调增区间为(−∞, −1]，[0, 1]，【答案】(−2, 2 3 )【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用奇偶性转化不等式，再利用单调性去掉不等式中的f，转化为具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．【解答】∵g(x)是奇函数，∴g(ax−2)+g(x)<0⇔g(ax−2)<g(−x)，∵g(x)是R上的增函数，∴ax−2<−x⇔ax+x−2<0，∵a∈[−2, 2]，g(ax−2)+g(x)<0恒成立，∴a∈[−2, 2]，ax+x−2<0恒成立，∴{−2x+x−2<02x+x−2<0⇒−2<x<23三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置）【答案】A＝{x|−1≤x≤3}，B＝{x|[x−(m−2)][x−(m+2)]≤0, x∈R, m∈R}＝{x|m−2≤x≤m+2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，如图∴{m−2≥−1m+2≤3，解得m＝1．∵A∩B＝{x|0≤x≤3}，∴{m−2=0m+2≥3，解得m＝2．∁R B＝{x|x<m−2或x>m+2}，∵A⊆∁R B，∴m−2>3或m+2<−1，∴m>5或m<−3．【考点】集合关系中的参数取值问题一元二次不等式的应用【解析】（1）先由题设条件，求出A ＝{x|−1≤x ≤3}，B ＝{x|m −2≤x ≤m +2}，再由A ∪B ＝A ，得到B ⊆A ，通过数轴能求出实数m 的取值．（2）由A ∩B ＝{x|0≤x ≤3}，列出方程组，能求出实数m 的值．（3）先求出∁R B ＝{x|x <m −2或x >m +2}，再由A ⊆∁R B ，能求出实数m 的取值范围．【解答】A ＝{x|−1≤x ≤3}，B ＝{x|[x −(m −2)][x −(m +2)]≤0, x ∈R, m ∈R}＝{x|m −2≤x ≤m +2}，∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A ，如图∴ {m −2≥−1m +2≤3，解得m ＝1． ∵ A ∩B ＝{x|0≤x ≤3}，∴ {m −2=0m +2≥3， 解得m ＝2．∁R B ＝{x|x <m −2或x >m +2}，∵ A ⊆∁R B ，∴ m −2>3或m +2<−1，∴ m >5或m <−3．【答案】∵ f(−2)＝f(0)，f(−1)＝−3，∴ −2+0＝−b ，1−b +c ＝−3，解得，b ＝2，c ＝−2，故f(x)={x 2+2x −2,x ≤02,x >0， ①当x >0时，方程f(x)＝x 可化为2＝x ，即x ＝2；②当x ≤0时，方程f(x)＝x 可化为x 2+2x −2＝x ，解得，x ＝−2或x ＝1（舍去）；综上所述，方程f(x)＝x 的解为2或−2．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由f(−2)＝f(0)，f(−1)＝−3可解得b ＝2，c ＝−2；从而化简f(x)={x 2+2x −2,x ≤02,x >0，再分别解方程f(x)＝x 可得． 【解答】∵ f(−2)＝f(0)，f(−1)＝−3，∴ −2+0＝−b ，1−b +c ＝−3，解得，b ＝2，c ＝−2，故f(x)={x 2+2x −2,x ≤02,x >0，①当x >0时，方程f(x)＝x 可化为2＝x ，即x ＝2；②当x ≤0时，方程f(x)＝x 可化为x 2+2x −2＝x ，解得，x ＝−2或x ＝1（舍去）；综上所述，方程f(x)＝x 的解为2或−2．【答案】(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2−x 1>0，x 1x 2>0，∵ f(x 2)−f(x 1)=(1a −1x 2)−(1a −1x 1) =1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0, +∞)上是单调递增的．(2)解：∵ f(x)在(0, +∞)上是单调递增的，∴ f(x)在[12，2]上单调递增，∴ f(12)=12，f(2)=2，∴ a =25．【考点】函数单调性的判断与证明函数的值域及其求法【解析】（1）利用函数单调性的定义，设x 2>x 1>0，再将f(x 1)−f(x 2)作差后化积，证明即可；（2）由（1）知f(x)在(0, +∞)上是单调递增的，从而在[12, 2]上单调递增，由f(2)=2可求得a 的值．【解答】(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2−x 1>0，x 1x 2>0，∵ f(x 2)−f(x 1)=(1a −1x 2)−(1a −1x 1) =1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0, +∞)上是单调递增的．(2)解：∵ f(x)在(0, +∞)上是单调递增的，∴ f(x)在[12，2]上单调递增，∴ f(12)=12，f(2)=2，∴ a =25． 【答案】如图，函数f(x)的增区间为(−1, 0)，(1, +∞)；减区间为(−∞, −1)，(0, 1)；由图可知，要使方程f(x)+5a ＝0有两个解，则需−5a ≥1，解得a ≤−15， 故实数a 的取值范围为(−∞,−15]；由题意，当x ＝0时，g(x)＝0，当x >0时，g(x)＝x 2−2x +1，设x <0，则−x >0，故g(−x)＝(−x)2−2(−x)+1＝x 2+2x +1，又函数g(x)为偶函数，故g(x)＝g(−x)＝x 2+2x +1(x <0)，综上，函数g(x)的解析式为g(x)={x 2+2x +1,x <00,x =0x 2−2x +1,x >0 ．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）作出图象，由图象即可得到单调区间；（2）由图观察可知要使方程有两个交点，则−5a ≥1或−5a ＝0，由此得解；（3）先利用偶函数的性质求得x <0时的解析式，进而得到函数g(x)在R 上的解析式．【解答】如图，函数f(x)的增区间为(−1, 0)，(1, +∞)；减区间为(−∞, −1)，(0, 1)；由图可知，要使方程f(x)+5a ＝0有两个解，则需−5a ≥1，解得a ≤−15， 故实数a 的取值范围为(−∞,−15]； 由题意，当x ＝0时，g(x)＝0，当x >0时，g(x)＝x 2−2x +1，设x <0，则−x >0，故g(−x)＝(−x)2−2(−x)+1＝x 2+2x +1，又函数g(x)为偶函数，故g(x)＝g(−x)＝x 2+2x +1(x <0)，综上，函数g(x)的解析式为g(x)={x 2+2x +1,x <00,x =0x 2−2x +1,x >0．附加题（本题满分10分）【答案】解：(1)f(x)在[−1, 1]上为增函数，证明如下：设x 1，x 2∈[−1, 1]，且x 1<x 2，在f(a)+f(b)a+b >0中令a =x 1、b =−x 2，可得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，∵ x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，又∵ f(x)是奇函数，得f(−x 2)=−f(x 2)，∴ f(x 1)−f(−x 2)x 1−x 2>0．∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)故f(x)在[−1, 1]上为增函数.(2)∵ f(x)在[−1, 1]上为增函数，∴ 不等式f(x +12)<f(1x−1)，即−1≤x +12<1x−1≤1，解之得x ∈[−32, −1)，即为原不等式的解集； (3)由(1)，得f(x)在[−1, 1]上为增函数，且最大值为f(1)=1，因此，若f(x)≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，即1≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，得m 2−2am ≥0对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，∴ m 2−2m ≥0且m 2+2m ≥0，解之得m ≤−2或m ≥2或m =0.即满足条件的实数m 的取值范围为{m|m ≤−2或m ≥2或m =0}．【考点】奇偶性与单调性的综合函数的单调性及单调区间【解析】（1）由f(x)在[−1, 1]上为奇函数，结合a +b ≠0时有f(a)+f(b)a+b >0成立，利用函数的单调性定义可证出f(x)在[−1, 1]上为增函数；（2）根据函数的单调性，化原不等式为−1≤x +12<1x−1≤1，解之即得原不等式的解集；（3）由（1）结论化简，可得f(x)≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，即m 2−2am ≥0对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，利用一次函数的性质并解关于m 的二次不等式，即可得到实数m 的取值范围．【解答】解：(1)f(x)在[−1, 1]上为增函数，证明如下：设x 1，x 2∈[−1, 1]，且x 1<x 2，在f(a)+f(b)a+b >0中令a =x 1、b =−x 2，可得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，∵ x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，又∵ f(x)是奇函数，得f(−x 2)=−f(x 2)，∴ f(x 1)−f(−x 2)x 1−x 2>0．∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)故f(x)在[−1, 1]上为增函数.(2)∵ f(x)在[−1, 1]上为增函数，∴ 不等式f(x +12)<f(1x−1)，即−1≤x +12<1x−1≤1，解之得x ∈[−32, −1)，即为原不等式的解集；(3)由(1)，得f(x)在[−1, 1]上为增函数，且最大值为f(1)=1，因此，若f(x)≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，即1≤m 2−2am +1对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，得m 2−2am ≥0对所有的a ∈[−1, 1]恒成立，∴ m 2−2m ≥0且m 2+2m ≥0，解之得m ≤−2或m ≥2或m =0.即满足条件的实数m 的取值范围为{m|m ≤−2或m ≥2或m =0}．。
吉林省洮南市第一中学2020_2021学年高一数学下学期第一次月考试题文
吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题 文本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
） 1．已知向量()3,1a =，则a =（ ）A ．2BC D ．12．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin sin =B A ，则(a = )AB C ．1D ．3．已知向量a =（k ，6），b =（﹣2，3），且a ⊥b ，则k 的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．4D ．94．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若23a b =，2A B =，则cos B =（ ） A ．23B ．34C ．45D ．05．若向量a 与b 的夹角为60,||4b ︒=,7232-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a 则 ||a =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．126．已知||||3a b ==，e 是与向量b 方向相同的单位向量，向量a 在向量b 上的投影向量为32e ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．1507.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是（ ） A ．10a =，8b =，30A =B ．8a =，10b =，45A =C ．10a =，8b =，150A =D ．8a =，10b =，60A =8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC9．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（ ）A B C ．16D 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。
吉林省白城市洮南市第一中学2021学年上学期高二年级第一次月考试数学试卷(文科)
吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年上学期高二年级第一次月考试数学试卷（文科）第I 卷（选择题）一、选择题1．已知点(2,5),(1,6)A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．34π B ．23π C ．3π D ．4π 2．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（ ）A BC D 3 已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离5．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），0145,12ABC AD AB BC ∠====，则该平面图形的面积为（ ）A ．4B ． D 6已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．2πBC ．23π D ．37．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．283π B ．3C ．73π D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．2C ．23D ．49．已知平面α∥平面β，与α，β分别交于A ，C 两点，过点93433232P ABC -6PA =40APB ∠=︒E F PB PC 36sin 20︒6263214y x ()24y k x =-+k)125,0(),125(+∞]43,31(]43,125(1y x =+22(3)1x y -+=3390x y -+=()()22223x y r -+-=3r r =1111ABCD A B C D -4AB =,M N1111,A D A B B //αAMN αC ()1,1P -()1,1Q -C 20x y +-=C ()0,3M l C A B 23AB =l 24322:60C x y x y m ++-+=:30l x y +-=的值；（2）在（1）的条件下，求圆C 关于直线l 的对称圆方程21如图所示，在四棱锥-C ABED 中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC（2）H 是线段BC 的中点，证明：平面//GFH 平面ACD ．22．已知圆22:(2)5C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m R ∈ （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ；（2）是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l 的距离为5若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由参考答案1．A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而可得直线的倾斜角 【详解】由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 故答案为：A 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题 【解析】 【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩ ,解得m ，然后利用两平行线间的距离【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y7|4|2--=．故选：C 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题 3．B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2== 故选：B 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题 4．A 【解析】 【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切 【详解】22(1)1x y -+=，圆心(1,0)，半径为1； 22(1)(+2)9-+=x y ，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切 故选：A 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目 5 B 【解析】 【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积 【详解】由0145,12ABC AD AB BC ∠==== 根据斜二测画法可知：原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形， 所以12232S +=⨯= 故选：B本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题 6．D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为211333V r h ππ=== 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型 7．A 【解析】 【分析】由正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理，可求出球的半径，即可求出球的表面积 【详解】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r ，由正弦定理可得，22sin 60r =︒， ∴r =，所以球的半径R =， 所以球的表面积728433S ππ=⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键． 8．C 【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥D ABC -（如图所示），其中AB AC 2==，D 到平面ABC 的距离为1，故所求的三棱锥的体积为112V 221323=⨯⨯⨯⨯= 故选C9． B [由α∥β得AB ∥CD 分两种情况：若点OABC O R ABC r 22d R r =-O R 2416R ππ=2R =ABC r aABC 93421393224a ∴⨯=3a =22229933434a r a ∴=⨯-=⨯-=∴O ABC 22431d R r =-=-=P ABC -PA P ABC -40APB ∠=︒1120APA ∠=︒A E F 1A AEF ∆1AA AEF∆1PA PA =1PAA ∴∆6PA =16PA ∴=22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=AEF ∴∆63214y x ()24y k x =-+22(1)4,1x y y +-=≥()24y k x =-+214y x 22(1)4,1x y y +-=≥()24y k x =-+()2,4214y x ()24y k x =-+22(1)4,1x y y +-=≥()24y k x =-+()2,1A -4132(2)4k -==--()0,1221421k k--+=+512k =k ]43,125(722301422211-+==+2(22)17-=7()2,33390x y -+=1d =3390x y -+=()()22223x y r-+-=3,0r r >22312r r ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭2r11C D P 11B C Q ,,,PQ PD BQ BD PQBD 11C D P 11B C Q ,,,PQ PD BQ BD1111ABCD A B C D -//PQ BD ∴,,,P Q B D //PQ MN //PQ ∴AMN //PD AN //PD ∴AMN ∴//PQBD AMN PQBD PQBD22,42,32PQ BD h 1224232182PQBDS ()()22114x y -+-=1234+=π12343221343+=⨯⨯+⨯=ππ0x =334y x =-+PQ 20x y +-=C C l 1d =l l 1d =l ()1,1P -()1,1Q -PQ ()0,0PQ()11111PQ k --==---PQ y x=20x y y x+-=⎧⎨=⎩()1,1C C r ()()2211112r CP ==-+--=C()()22114x y -+-=l l 0x =C l 1d =222223AB d =-=l l 3y kx =+C l 221k d k +=+()2222341k k ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭34k =-l 334y x =-+l 0x =334y x =-+π()223π+244r l ππαπ===R r S 222,4,4223R OC AC AO ====-=AEBAOC ∆∆AE EB AO OC ∴=3,1223rr =∴=222,223S r S r h ππππ====底侧()223223S S S πππ∴=+=+=+底侧7382271()28x y +-=222211:60()(3)924C x y x y m x y m++-+=∴++-=+-1|33|17329482m m -+-=+-∴=2211()(3)28x y ++-=1(,3)2-(,)x y 3(1)11027********y x x y x y -⎧⨯-=-⎪=⎧+⎪⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪-+⎩+⎪+-=⎪⎩1(,3)2-7(0,)22271()28x y +-=()1//GF AC GF ⊄AC ⊂//GF ∴()2,G H ,CE CB////GH EB ADGH ⊄AD ⊂//GH ∴()1//GF GH GF G ⋂=//GFH 2m >2m <-()22:25C x y ++=()2,0C -:120l mx y m -++=<l:120l mx y m -++=()()210m x y ++-=怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 相交2 假设存在直线l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为5，由于圆心()2,0C -，则圆心()2,0C -到直线l < 化简得24m >，解得2m >或2m <- 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题设条件借助图形的直观，的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．。
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吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高一
第一次月考数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知全集，集合，，则
（）
A．B．
C．D．
2. 设且，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
3. 命题“，”的否定形式是
A．，B．，
C．，D．，
4. 若不等式的解集是，则的值为（）A．-10 B．-14 C．10 D．14
5. 实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）
A．B．C．D．
6. 若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
7. 对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（）．
A．B．C．或D．或
8. 小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）
A．3枝康乃馨价格高B．2枝玫瑰花价格
高
C．价格相同D．不确定
9. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式
有解，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
10. 若关于的不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．或
C．D．或
二、多选题
11. 设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是（）．
A．，有B．，使得
C．，使得D．，有
12. 已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（）．A．B．C．D．
三、填空题
13. 集合，，若，则a的值是______.
14. 设全集，若，，
，则集合________.
15. 下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
16. 已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，又
，使成立，则的最小值为____．
四、解答题
17. 已知命题，命题.
（1）当时，求；
（2）若，，求实数的值；
18. 已知不等式的解集为或.
（1）求实数，的值；
（2）若，，求的最小值.
19. （1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围；
（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.
20. 某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
21. 已知关于的函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值
22. 已知命题，命题.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.。