高考理科数学第一轮复习第三章数列 4数列通项的求法

数列通项的求法
【知识点精讲】 求数列的通项方法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式
2、 利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代
3、一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比
数列
4、利用换元思想
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 【例题选讲】
例1、设{a n }的首项为1的正项数列，且()(),.....3,2,10112
21==+-+++n a a na a n n n n n 求它
的通项公式。

解：由题意a 1=1 , a n >0,(n=1,2,3,…..) ()()[]0111=-++++n n n n na a n a a
n n n n n a n n
a a a a 1
0,011+=
∴≠+∴>++有 112211......a a a a a a a a n n n n n ⨯⨯⨯⨯=--- n n n n n a n 1112......121=⋅--⋅-=∴ n
a n 1=
∴ 变式：已知数列{a n },a 1=2,a n+1=a n +3n+2,求a n ,
解：a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+（a n-2-a n-3）+…..+（a 2-a 1）+a 1 [点评]根据数列递推公式，利用迭加（a n -a n-1=f(n)）、迭乘（a n /a n-1=f(n)）、迭代
例2、已知数列{a n }，a 1=1,a n+1=
n n a a 求,13
2
+ 解法一：))......(()......(2213
2
113211≥=-=--+n a a a a n n n n
由(1)-(2)得：)(1132
-+-=-n n n n a a a a 设为等比数列则数列}{n n n n b a a b 1--=
n
n n n n a a b ）
（）（3
2323211=⨯=-=∴-- n
n n
n n a a a ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-=∴⎪⎭
⎫
⎝⎛=-+∴323332132
法二：设()()()()33
2
333
2
11-=-=-=
-++n n n n a a A A a A a 即原式化为
解得： 设为等比数列则数列}{,3n n n b a b -=，
n
n n n n a a b ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-=⇒⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=-=∴-323332231
)(
法三：,13212+=a a 132321322
23++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=a a 132********
3
34++⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=a a
.........132.....32 (1321)
1+++⎪
⎭
⎫
⎝⎛==+=--n n n a a n
n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-=∴3233
[点评]注意数列解题中的换元思想,如3-=n n a b
对数列递推式q pa a n n +=+1 ,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等
比数列
练习:(1):数列{a n }中,a 1=1,2a n =n n a n a 求),2(21≥+- 解方法同上:1
212--
=n n a
(2) 数列{a n }中,a 1=1,()N n a a a n n
n ∈+=
+2
21 解:原式化为12
21
+=
+n
n a a ,利用换元思想。

利用上法得22+=n a n
例3、（猜证）已知数列{a n }满足a 1=1,().2311
≥+=--n a a n n n
（1）求a 2,a 3 ,a 4 (2)证明：2
13-=n n a
解：（1）a 2＝4 a 3＝13 a 4=40 （2）a 1 ,a 2,a 3 ,a 4由前可知，成立
假设n=k 时也成立，即2
1
3-=k k a
n=k+1时, 2
1
32133311
-=-+=+=++k k k
k k
k a a 也成立
综上，2
1
3-=n n a
练习：设正数数列{a n }前n 项和Sn ，存在正数t ，使得对所有自然数n ，有,2
n
n a t ts +=则通过归纳猜想得到Sn 并证明？
解：n=1时，得a 1=t ，n=2时，得a 2=3t ，n=3时，得a 2=5t,猜测a n =(2n-1)t 证明：n=1,2,3时,已经成立
假设n=k 时也成立，即a k =(2k-1)t,则S k ＝k 2t n=k+1时，,2
1
1+++=
k k a t ts 2112)()(4+++=+⇒k k a t a t k t 1]t -1)[2(k 1)t (2k 0)14(212212
1+=+=⇒=-++⇒+++k k k a t k ta a 也成立
综上，a n =(2n-1)t , Sn= n 2t
[点评]用数学归纳法，由n=k 证明n=k+1成立时，从递推式入手 例4、设数列{a n }的首项为1，前n 项和为Sn ，满足关系
()()N n n t t S t tS n n ∈>>=+--,2,033231
（1） 求证：数列{a n }是等比数列；
（2） 设数列{a n }的公比为f(t)，作数列{b n },使b1=1,bn=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-11n b f (n=2,3,4,…..) 求{b n }
的通项公式
解 (1)由2212111,1a a a S a S +=+===t
t a 33
22+=
⇒ t
t a a 33212+=∴
又
()()()0323)2()1()2.......(3323)1.........(
3323121
1=+-⇒-⎩⎨
⎧=+-=+-----n n n n n n a t ta t S t tS t S t tS ⇒()......5,4,3,233
21=+=
∴
-n t
t a a n n 得证
(2)113211
32332)(--+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∴+=+=
n n n b b f b t t t t f ()3
132132
1+=-+
=∴n n b n [点评]对a n 与S n 进行熟练转化解题
练习:设数列{a n }为正项数列,若对任意正整数n, a n 与2得 等差中项等于其前n 项和Sn 与2的等比中项, 求{a n }的通项公式 解:()2
28
1,222+=∴=+n n n n a S S a
()()()2404,21111≥=-⇒=--+⇒-=≥∴----n a a a a a a S S a n n n n n n n n n n 当
242
11-=⇒==n a S a n
备用补充：求下列数列（1）()
n S n n ⋅-=+1
1（2）()x
a x yn x a n n 前三项和,0,01=≠-=（3）n n s a a n n 2,02
11+=+=+
答案()()()()()()⎩
⎨
⎧≥-=+----2121
03332222111n n n n n n n
n n
或
【课堂小结】 求数列的通项方法
1.由等差，等比定义，写出通项公式
2.利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代
3.一阶递推q pa a n n +=+1 ,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比
数列
4.利用换元思想
5.先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6.对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 【作业布置】 优化设计。