5 空间问题与板壳单元
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第五章 空间问题与板壳单元
空间问题与板壳单元 第五章 空间问题与板壳单元
§ 5.1 空间轴对称问题 § 5.2 常用的体单元 § 5.3 板壳问题 § 5.4 算例
空间问题与板壳单元
5.1 空间轴对称问题
在用有限元法求解轴对称问题时，采 用的单元一般为整圆环，如图所示。它们 和子午面rz面相交的截面，可以是直边三 角形或矩形，也可以是任意四边形、曲边 三角形、曲边四边形等。各个单元之间以 圆环形的铰相互连接，而每一个铰与子午 面rz面的交点就称为节点。如图上的i、j、 m等。所有单元将在子午面rz面上形成有 限元网格，与在平面问题中形成的网格一 样。因为在轴对称问题中采用的单元是一 个整圆环，所以在计算单元的体积时要注 意到这一点。下面以三角形截面单元为例， 说明如何求解轴对称问题。
3. 体积力
设单元是分布体力为G = Gr
Gz
T，其中Gr、G
为单位体积
z
的体力分量，其对应的等效节点载荷为
FGe 2 N eTGrdrdz
A
例如，在体力为自重的情况下，有Gr 0 、Gz 其
中 为容重，于是有
FGe
2
A
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
T
0
N
m
-
rdrdz
集中力 Fc = Frc Fzc，T 其中 Prc 、 Prz 为单位弧长上分布力的
合力，其对应的等效节点载荷为
2. 面力
Fce 2 rc N eT Fc
设单元的分布面力为q = qr qz，T 则其对应的等效节点
载荷为
Fqe 2 N eT qrdS S
空间问题与板壳单元
5.1.5 等效节点载荷
T
2 0 Ni 0 N j 0 Nm rdrdz A
A 0 6
2ri rj rm
0
2rj rm ri
0
T
2rm ri rj
空间问题与板壳单元
5.2.1 四面体单元
1. 位移模式 如图所示的四面体单元，单元节点的编码为i，j，m，n。 每个节点具有三个位移分量，单元节点的位移列阵可表示为
具体做法是取节点坐标平均值，即单元中心坐标
r ri rj rm 3
z
zi
zj 3
zm
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
并取
hi
ai
bir r
ci z
在式刚度矩阵中以 hi 代替 hi ，以 r 代替 ri 可得
bi 0
Bie
1 2
hi
0
ci
0
ci bi
这样就使得单元刚度矩阵中的被积函数化为常数，然
式中：
1 ri zi 2 1 rj z j
1 rm zm
ai
rj rm
zj zm
1 bi 1
zj zm
1 ci 1
rj rm
空间问题与板壳单元
5.1.2 单元应变
由弹性力学知，轴对称问题中除平面内的应变分量r、z、 zr 外，还有环向应变 。
因此其几何方程为
e
r z
u
r
u r
应变矩阵Be中的元素不全是常量，因此单元内的应变也 不是常量，这是因为轴对称问题中采用的单元是圆环，径向 的位移 u 必引起环向应变 ，而此应变的大小与点的位置 有关。另外，由于 Be 中含有1 r 项，使单元的应变、应力及 单元刚度矩阵的计算比平面问题复杂得多。
空间问题与板壳单元
5.1.3 单元应力
z j
m
i
r
空间问题与板壳单元
5.1.1 位移模式
如图所示子午面rz面上的一个三角形单元，设单元上任
一点的径向位移（沿r向位移）分量为 u ，轴向位移（沿z向
位移）为量为 w 。由于这两个位移分量仅是r和z的函数，故
令
u 1 2r 3z
w 4 5r 6z
z
j
与平面问题一样，可将位移用
形函数及节点位移表示为
e i
u Niui N ju j Nmum
m o
r
w Niwi N j wj Nmwm
空间问题与板壳单元 5.1.1 位移模式
即
ue
=
u
v
=
N
e
e
=
Ni
I
NjI
NmI e
式中：I ——二阶单位矩阵；
Ni 、N j 、Nm ——形函数矩阵，如下
Ni
1 2
(ai
bir
ci z)
（i、j、m 轮换）
后积分即可求得
K
e st
，具体表达式这里不再给出。
空间问题与板壳单元
5.1.5 等效节点载荷 与平面问题一样，无论使用虚功原理或最小位能原理可 以得到相同的载荷移置公式，其形式与平面问题相似。
1. 集中载荷
轴对称问题中的集中载荷实质上是沿着圆周线作用，
均匀分布的一圈力。在子午面单元上任一点rC , zC 处作用
根据弹性力学可知 e Dεe，对于轴对称问题，有
e r
z
T rz
1
1 1
0
D
=
E 1 1+ 1
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1 2
2
1
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
根据虚功原理或用最小位能原理，可以和平面问题一样推
得其单元刚度矩阵的表达式为
K
e
i
e
mj
ui
vi
wi
uj
vj
wj
um
vm
wm
un
vn
T
wn
n
单元的位移模式采用线性多项式的形式，如下
u 1 2 x 3 y 4 z
BeT
e
DB dV
，在轴对称问题
中，由于单元是一圆环，上述积分式中的微分体积dV 可取为
微分圆环的体积，即dV 2rdrdz，故单元刚度矩阵为
K e 2 BeT DBerdrdz
与平面问题一样，单元刚度矩阵 是一个 阶的方阵，
矩阵Be可分成三块，故K e也可分成 22个子矩阵，每个子矩
阵为3 3阶的方阵，其表达式为
K
e st
2
BseT DBterdrdz (s,t i, j, m)
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
因为矩阵 Be 与坐标有关，且坐标r处于分母上，因此 积分不像平面问题中那么简单，常采用三种办法进行计 算：1、显式积分；2、数值积分；3、简单的近似积分。 一般采用第3种简单的积分，它不仅在程序上简单，而且 还回避了节点在极轴上时带来的奇异问题。实践证明， 在精度方面它并不比精确的积分公式法差。
w
将位移代入上式，得
rz
z
w r
u z
e Be e Bie Bej Bme e
空间问题与板壳单元
5.1.2 单元i z
则
Ni
r
Ni
Bie
r
0
Ni
0
0
Ni z Ni
1 2
bi hi
0 ci
0
0
ci bi
z r
空间问题与板壳单元 第五章 空间问题与板壳单元
§ 5.1 空间轴对称问题 § 5.2 常用的体单元 § 5.3 板壳问题 § 5.4 算例
空间问题与板壳单元
5.1 空间轴对称问题
在用有限元法求解轴对称问题时，采 用的单元一般为整圆环，如图所示。它们 和子午面rz面相交的截面，可以是直边三 角形或矩形，也可以是任意四边形、曲边 三角形、曲边四边形等。各个单元之间以 圆环形的铰相互连接，而每一个铰与子午 面rz面的交点就称为节点。如图上的i、j、 m等。所有单元将在子午面rz面上形成有 限元网格，与在平面问题中形成的网格一 样。因为在轴对称问题中采用的单元是一 个整圆环，所以在计算单元的体积时要注 意到这一点。下面以三角形截面单元为例， 说明如何求解轴对称问题。
3. 体积力
设单元是分布体力为G = Gr
Gz
T，其中Gr、G
为单位体积
z
的体力分量，其对应的等效节点载荷为
FGe 2 N eTGrdrdz
A
例如，在体力为自重的情况下，有Gr 0 、Gz 其
中 为容重，于是有
FGe
2
A
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
T
0
N
m
-
rdrdz
集中力 Fc = Frc Fzc，T 其中 Prc 、 Prz 为单位弧长上分布力的
合力，其对应的等效节点载荷为
2. 面力
Fce 2 rc N eT Fc
设单元的分布面力为q = qr qz，T 则其对应的等效节点
载荷为
Fqe 2 N eT qrdS S
空间问题与板壳单元
5.1.5 等效节点载荷
T
2 0 Ni 0 N j 0 Nm rdrdz A
A 0 6
2ri rj rm
0
2rj rm ri
0
T
2rm ri rj
空间问题与板壳单元
5.2.1 四面体单元
1. 位移模式 如图所示的四面体单元，单元节点的编码为i，j，m，n。 每个节点具有三个位移分量，单元节点的位移列阵可表示为
具体做法是取节点坐标平均值，即单元中心坐标
r ri rj rm 3
z
zi
zj 3
zm
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
并取
hi
ai
bir r
ci z
在式刚度矩阵中以 hi 代替 hi ，以 r 代替 ri 可得
bi 0
Bie
1 2
hi
0
ci
0
ci bi
这样就使得单元刚度矩阵中的被积函数化为常数，然
式中：
1 ri zi 2 1 rj z j
1 rm zm
ai
rj rm
zj zm
1 bi 1
zj zm
1 ci 1
rj rm
空间问题与板壳单元
5.1.2 单元应变
由弹性力学知，轴对称问题中除平面内的应变分量r、z、 zr 外，还有环向应变 。
因此其几何方程为
e
r z
u
r
u r
应变矩阵Be中的元素不全是常量，因此单元内的应变也 不是常量，这是因为轴对称问题中采用的单元是圆环，径向 的位移 u 必引起环向应变 ，而此应变的大小与点的位置 有关。另外，由于 Be 中含有1 r 项，使单元的应变、应力及 单元刚度矩阵的计算比平面问题复杂得多。
空间问题与板壳单元
5.1.3 单元应力
z j
m
i
r
空间问题与板壳单元
5.1.1 位移模式
如图所示子午面rz面上的一个三角形单元，设单元上任
一点的径向位移（沿r向位移）分量为 u ，轴向位移（沿z向
位移）为量为 w 。由于这两个位移分量仅是r和z的函数，故
令
u 1 2r 3z
w 4 5r 6z
z
j
与平面问题一样，可将位移用
形函数及节点位移表示为
e i
u Niui N ju j Nmum
m o
r
w Niwi N j wj Nmwm
空间问题与板壳单元 5.1.1 位移模式
即
ue
=
u
v
=
N
e
e
=
Ni
I
NjI
NmI e
式中：I ——二阶单位矩阵；
Ni 、N j 、Nm ——形函数矩阵，如下
Ni
1 2
(ai
bir
ci z)
（i、j、m 轮换）
后积分即可求得
K
e st
，具体表达式这里不再给出。
空间问题与板壳单元
5.1.5 等效节点载荷 与平面问题一样，无论使用虚功原理或最小位能原理可 以得到相同的载荷移置公式，其形式与平面问题相似。
1. 集中载荷
轴对称问题中的集中载荷实质上是沿着圆周线作用，
均匀分布的一圈力。在子午面单元上任一点rC , zC 处作用
根据弹性力学可知 e Dεe，对于轴对称问题，有
e r
z
T rz
1
1 1
0
D
=
E 1 1+ 1
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1 2
2
1
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
根据虚功原理或用最小位能原理，可以和平面问题一样推
得其单元刚度矩阵的表达式为
K
e
i
e
mj
ui
vi
wi
uj
vj
wj
um
vm
wm
un
vn
T
wn
n
单元的位移模式采用线性多项式的形式，如下
u 1 2 x 3 y 4 z
BeT
e
DB dV
，在轴对称问题
中，由于单元是一圆环，上述积分式中的微分体积dV 可取为
微分圆环的体积，即dV 2rdrdz，故单元刚度矩阵为
K e 2 BeT DBerdrdz
与平面问题一样，单元刚度矩阵 是一个 阶的方阵，
矩阵Be可分成三块，故K e也可分成 22个子矩阵，每个子矩
阵为3 3阶的方阵，其表达式为
K
e st
2
BseT DBterdrdz (s,t i, j, m)
空间问题与板壳单元
5.1.4 单元刚度矩阵
因为矩阵 Be 与坐标有关，且坐标r处于分母上，因此 积分不像平面问题中那么简单，常采用三种办法进行计 算：1、显式积分；2、数值积分；3、简单的近似积分。 一般采用第3种简单的积分，它不仅在程序上简单，而且 还回避了节点在极轴上时带来的奇异问题。实践证明， 在精度方面它并不比精确的积分公式法差。
w
将位移代入上式，得
rz
z
w r
u z
e Be e Bie Bej Bme e
空间问题与板壳单元
5.1.2 单元i z
则
Ni
r
Ni
Bie
r
0
Ni
0
0
Ni z Ni
1 2
bi hi
0 ci
0
0
ci bi
z r