线性连续系统的数学模型 ppt课件
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第2章 连续系统的数学模型
i i 1
i 1 n
K G( s) sv
j 1 i 1 n1
m1
( i s 1)
k 1 n2 l 1
m2
2 ( k s 2 2 k k s 1)
(T j s 1)
(Tl 2 s 2 2 l Tl s 1)
《自动控制原理》
32
2.3.3 线性系统的基本环节
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
dt 2 (T1 T12 T2 )
duc uc u r dt
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
《自动控制原理》
30
2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
《自动控制原理》
31
3．时间常数形式
K G(s) sv
( s 1)
i
m
(T s 1)
d 2uc
duc uc ur dt
《自动控制原理》
11
思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分 别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后 直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
i 1 n
K G( s) sv
j 1 i 1 n1
m1
( i s 1)
k 1 n2 l 1
m2
2 ( k s 2 2 k k s 1)
(T j s 1)
(Tl 2 s 2 2 l Tl s 1)
《自动控制原理》
32
2.3.3 线性系统的基本环节
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
dt 2 (T1 T12 T2 )
duc uc u r dt
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
《自动控制原理》
30
2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
《自动控制原理》
31
3．时间常数形式
K G(s) sv
( s 1)
i
m
(T s 1)
d 2uc
duc uc ur dt
《自动控制原理》
11
思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分 别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后 直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
线性系统理论全PPT课件
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
《线性系统》课件
NG
线性系统的控制目标
01
02
03
04
稳定性
确保系统在受到扰动后能够恢 复稳定状态。
跟踪性能
使系统输出能够跟踪给定的参 考信号。
抗干扰性
减小外部干扰对系统输出的影 响。
优化性能指标
最小化系统性能指标，如误差 、超调量等。
线性系统的控制设计方法
状态反馈控制
基于系统状态变量进行 反馈控制，实现最优控
稳定性分析
利用劳斯-赫尔维茨稳定判据等 工具，分析系统的稳定性。
最优性能分析
通过求解最优控制问题，了解 系统在最优控制下的性能表现
。
2023
PART 06
线性系统的应用实例
REPORTING
线性系统在机械工程中的应用
总结词
广泛应用、控制精度高
详细描述
线性系统在机械工程中有着广泛的应用，如数控机床、机器人、自动化生产线等。这些系统通过线性 控制理论进行设计，可以实现高精度的位置控制、速度控制和加速度控制，提高生产效率和产品质量 。
时域分析法
通过求解线性常微分方程或差分 方程，可以得到系统的动态响应
，包括瞬态响应和稳态响应。
频域分析法
通过分析系统的频率响应函数，可 以得到系统在不同频率下的动态响 应特性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程和输出方 程，利用计算机仿真技术对系统的 动态响应进行模拟和分析。
2023
PART 05
2023
PART 02
线性系统的数学模型
REPORTING
线性系统的微分方程
总结词
描述线性系统动态行为的数学方程
详细描述
线性系统的微分方程是描述系统状态随时间变化的数学模型，通常采用常微分 方程或差分方程的形式。这些方程反映了系统内部变量之间的关系及其对时间 的变化规律。
线性系统的控制目标
01
02
03
04
稳定性
确保系统在受到扰动后能够恢 复稳定状态。
跟踪性能
使系统输出能够跟踪给定的参 考信号。
抗干扰性
减小外部干扰对系统输出的影 响。
优化性能指标
最小化系统性能指标，如误差 、超调量等。
线性系统的控制设计方法
状态反馈控制
基于系统状态变量进行 反馈控制，实现最优控
稳定性分析
利用劳斯-赫尔维茨稳定判据等 工具，分析系统的稳定性。
最优性能分析
通过求解最优控制问题，了解 系统在最优控制下的性能表现
。
2023
PART 06
线性系统的应用实例
REPORTING
线性系统在机械工程中的应用
总结词
广泛应用、控制精度高
详细描述
线性系统在机械工程中有着广泛的应用，如数控机床、机器人、自动化生产线等。这些系统通过线性 控制理论进行设计，可以实现高精度的位置控制、速度控制和加速度控制，提高生产效率和产品质量 。
时域分析法
通过求解线性常微分方程或差分 方程，可以得到系统的动态响应
，包括瞬态响应和稳态响应。
频域分析法
通过分析系统的频率响应函数，可 以得到系统在不同频率下的动态响 应特性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程和输出方 程，利用计算机仿真技术对系统的 动态响应进行模拟和分析。
2023
PART 05
2023
PART 02
线性系统的数学模型
REPORTING
线性系统的微分方程
总结词
描述线性系统动态行为的数学方程
详细描述
线性系统的微分方程是描述系统状态随时间变化的数学模型，通常采用常微分 方程或差分方程的形式。这些方程反映了系统内部变量之间的关系及其对时间 的变化规律。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
统，而闭环控制系统则是指系统中存在反馈环节的控制系统。
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
第2章 连续系统的数学模型
第 2 章 连续系统的数学模型 13
自动控制原理
列写系统微分方程的一般步骤：
（1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输 出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将 系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。
例2：列写如图所示RC网络的微分方程。给定输入电压 ur(t)为系统的输入量，电容上的电压uc(t)为系统的输出量。
R1 ur(t)
C1 R2 C2 uc(t)
设R1上的电流为i1，R2的电流为i2，C1上的电压为uc1 ， 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程：
i1R1 uc1 ur
i 2R2 uc uc1
因为该建模方法只依赖于系统的输入输出关系，即使对 系统内部机理不了解，也可以建立模型，所以常称为“黑箱” 建模方法。 由于系统辨识是基于建模对象的实验数据或者正常运行 数据，所以，建模对象必须已经存在，并能够进行实验。而 且，辨识得到的模型只反映系统输入输出的特性，不能反映 系统的内在信息，难以描述系统的本质。
第 2 章 连续系统的数学模型 4
自动控制原理
2.输入输出描述模型与内部描述模型
描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出 描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之 间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而 且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深 入地揭示了系统的动态特性。
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
x(k)
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
y2
up
yq
(1) 系统的外部描述
u1
y1
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 ,, xn
y2
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: u p
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系统CVDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系统DEDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
x(k)
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
y2
up
yq
(1) 系统的外部描述
u1
y1
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 ,, xn
y2
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: u p
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系统CVDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系统DEDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
第2章线性系统的数学模型new课件
R(s)
G(S)
C(s)
2.2.2 传递函数的特点
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
(i1 (t) i2 (t))dt
R2i2
(t)
1 C2
i2 (t)dt
u0 (t) C2 i2 (t)dt
整理得：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。
4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关
数学模型:描述控制系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式， 称为系统的数学模型。
常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、 脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型， 对于系统的分析研究是至关重要的。
动态数学模型 静态数学模型
线性系统 非线性系统
时变系统 时不变系统(定常系统)
零点； 有确定的零
极点分布
6.传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换
线性系统理论ppt课件
第五章 线性系统理论
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
信号与线性系统(管致中)PPT课件
1、数学模型的确立： 线性时不变系统 <-> 常系数线性微分方程
2、微分方程的求解：
数学上
齐次方程的解
自然响应
n个指数项之和，由n个初始条件决定
非齐次方程的特解
受迫响应
根据系统激励函数的具体形式求解
9
连续系统的时域分析
1、数学模型的确立： 线性时不变系统 <-> 常系数线性微分方程
2、微分方程的求解：
2
连续系统的时域分析
1、数学模型的确立： 举例：RLC电路如图见黑板
L di(t) Ri(t) 1
t
i( )d e(t)
dt
C
L d 2i(t) R di(t) 1 i(t) de(t)
dt
dt C
dt
n阶线性系统激励函数与响应函数之间的微分方程：
d
n i (t ) dt
系统的全解： i(t) e3t 2e2t te2t
自然响应 受迫响应
t0
注： i(0 )和i(0 )的区别
i(0 ) 包含了输入信号的信息，包括自然响应和受迫响应。 i(0 ) 仅有系统的历史状态决定，与外加激励无关，只包含
自然响分析
工程上
零输入响应： 系统在无输入激励的情况下仅由初 始条件引起的响应
零状态响应： 系统在无初始储能或称为状态为零
的情况下，仅由外在激励源引起的
响应。
10
零输入响应和零状态响应
r(t)(全响应) rzi (t)(零输入响应 ) rzs (t（) 零状态响应）
1. 用经典法求解 求解零输入响应就是求解当外加激励源为零时，系
统的全响应。 r(t)(零输入响应 ) rn (t)(齐次解) rf (t（) 特解）
第2章线性系统的数学模型
duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 LCuC (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t )
【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。
数学模型的形式
时域（t）
： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 传递函数 变换
微分方程
傅氏 变换
频率特性
§2-2 时域数学模型
时域中数学模型的基本形式是微分方程。 线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为： 常系数线性微分方程，其一般形式可表为：
f (t ) L [ F ( s)]
1
拉氏变换的基本知识 拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
(2)微分性质
若 L[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
u uc ur u Ri Rf
运算放大器的数学模型为
uc (t )
Rf Ri
u r (t )
2.线性系统的特点
1）定义
如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的
系统就是线性系统 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。
2）性质：满足叠加原理
迭加性 齐次性
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-1
自动控制原理
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
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工作原理框图
θr
电位器桥
u e 电 压 ut
放大器
功率 放大器
ua
电动机
传动 机构
θc
负载 θc
17
二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列 写出每个方框的数学表达
1.电位器桥
A
θr
_
E
u1
+
u1
E
max
r
+ _E L
x u1
E u1 L x
18
A
B
θr
θc
_
u1
u2
E
+
u1
E max
r
K 1 r
（3）Kk消去K中1KC间seK变f 量得直流调速系统的动态微分方程
13
小结：动态微分方程的编写方法
一、绘制工作原理框图(确定输入量和 输出量) 二、按照控制信号的传递方向（从左到 右）列写出每个方框的数学表达 三、线性方程组的标准化（可选择） 四、消去中间变量得数学模型
14
一、绘制工作原理框图
举例3 具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统
10
（1）确定输入、输出量为F 、y
（2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F F s F f
a
d 2y dt 2
F
f
f
dy dt
mdd2t2yf
dykyF dt
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
以上两例中的物理系统不尽相同，但它们的数学模型却是相同的，我 们把具有相同数学模型的不同物理系统称之为相似系统。在相似系统中，
第二章 线性连续系统的数学模型
§2.1 系统动态微分方程的列写 §2.2 传递函数 §2.3动态结构图的绘制及化简 §2.4信号流程图及梅逊公式 §2.5 脉冲响应函数
1
数学模型的定义
描述系统各个物理量之间关系的数学表达式或图形。
线性系统的定义
系统可以用线性微分方程来描述（否则为非线性系统）
建立数学模型的方法：
u(t) Ldi(t) dt
4
2.在复域的表达（拉氏变换以后的表达形式）
u(t)Ld(ti) U (s)L(ss)I或 I(s) 1 U(s)
dt
Ls
传递函数
G(s) I(s) 1 或 G(s) U(s) Ls
U(s) Ls
I(s)
U(s)
结构图
1 I(s) 或 U(s) Ls
I(s)
Ls
M GD 2 dn 375 dt
M cmid
9
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
R Ld dG 32 7D d d5 2n 2t3 G7 c 2m D R c5 ded d n tnu cd e
Td
Ld Rd
令
Tm
GD 375
2
Rd cmce
TmTd dd2n2t Tmddntnucde
则得
5
3.在频域的表达
G(s) U(s) Ls 代入 s j G(j)jL
I(s)
频率特性
G(j)Lej90
幅频特性
A()G(s)L
相频特性
90
6
§2.1 动态微分方程的编写
编写系统的微分方程，其目的在于通过方程确定被 控量与给定量与扰动量之间的函数关系，为分析或设 计系统创造条件。
系统动态微分方程的编写步骤： （1）确定系统输入量、输出量； （2）从输入端将系统划分为若干环节，根据各环节所 遵循的基本物理规律分别列写各环节的方程组； （3）消去中间变量，将式子标准化，求出描述系统输 入与输出关系的微分方程。将与输入量有关的项写在 方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。
Kv
3.功率放大器
功率 ut 放大 ua
Kw
ut KVue
uaKwut
20
4.电枢控制直流伺服电动机
if ω ua M
La
+ ua ia _
Ra
+ Eb_
if ω
Mm
ua RaiaLa ddaitEb
电枢绕组的电势平衡方程
Mm Cmia
11
举例4 列写直流调速系统的微分方程
12
（1）确定输入、输出量为Ug 、n
（2）根据u k力 电K 1路(u、g 电u动f )机力矩平衡原理列微分方程
ud K suk
TdTm
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
uf K fn
1 T d T K m kd d 2 nt 1 T m K kd d n tn(1 K K r k)C eU g Kr K1Ks
例1：角位置跟踪系统（随动系统）
A
θr
_ u1
E +
B
A：输入电位器 B：联结在输出轴上的检测电位器
θc
u2
if
_ 电压 功率
负载
ω
θc
ue
+
放大 ut 放大 ua
Kv
Kw
M
减速器
15
A θr
_ u1
E +
分析工作原理
B
A：输入电位器 B：联结在输出轴上的检测电位器
θc
u2
if
_ 电压 功率
负载
ω
7
举例1 编写RC 电路微分方程
（1）确定输入、输u i 出 量Ri 为 uu0 i 、u0 （2）根据电路原理i 列C微ddu分t 0 方程
RCdu0 dt
u0
ui
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
8
举例2 编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程
解：（1）确定输入e、d 输id出Rd量为Ldudddti、nud （2）根据电路e原d 理c列en微分方程
状态方程（连续、离散）
☆复数域：传递函数 结构图
yt ; dy
dt y(k)T; y(kT T)
x1
x2
;
x1(k T) x2(kT)
☆频率域： 频率特性
3
例：电气系统三元件
1.在时域的表达
电阻
i(t) R
u(t)
电容
i(t) C
u(t)
电感
i(t) L
u(t)
u(t)R(it)
u(t)C1 i(t)dt
θc
ue
+
放大 ut 放大 ua M
Kv
Kw
减速器
θ r u 1 ue(u1 u2) u t u a θ c
u2
直 至u e = 0 负 载 转 角 不 再 变 化 ， 即 θ r = θ c
16
A
B
θr
_ u1
E +
θc
u2
if
负载
_ 电压 功率
ω
θc
+ue
放大 ut Kv
放大 ua Kw
M
减速器
机理分析法（解析法） 通过理论推导得出，依据系统各环节所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 系统辨识法（实验法） 由实验求取，即根据实验数据整理编写。人为地对系统 施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学 模型进行逼近。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学模型的形式
☆时间域： 微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统）
u2
E max
c
K 1 c
如 果 K1 K2 K
u e u1 u 2 K ( r c )
+
_E L
u1 x1
u2 x2
ue
u1
E L
x1
K 1 x1
u2
E L
x2
K 2x2
如 果 K1 K2 K
ue u1 u 2 K ( x1 x2 )
19
2.电压放大器
电压 ue 放大 ut