2019-2020年九年级数学竞赛考试试题
2019-2020年全国初中数学数学联赛 初三 函数专题练习(含答案)
2019-2020 全国初中数学数学联赛 初三 函数专题练习（含答案）1. 由于140u x =-+是随着x 的增加而减小的，所以当10x =时，u 有最大值130；当20x =时，实数x 、y 、z 、ω满足0x y z ω≥≥≥≥，且5436100x y z ω+++=，求x y z ω+++的最大值和最小值．解析 设z a ω=+，y a b ω=++，x a b c ω=+++，则a ，b ，0c ≥且 432x y z a b c ωω+++=+++．所以1005()4()3()6a b c a b a ωωωω=+++++++++ 181295a b c ω=+++4(432)(2)4()a b c b c x y z ωωω=++++++≥+++， 所以25x y z ω+++≤，当253x y z ===，0ω=时等号成立，故x y z ω+++的最大值为25．又100181295a b c ω=+++5(432)(23)5()a b c a b x y z ωωω=+++-++≤+++， 所以20x y z ω+++≥，当20x =，0y z ω===时等号成立，所以x y z ω+++的最小值为20．2. 设0a >，求二次函数22y x ax =-+在01x ≤≤时的最大值和最小值．解析 因22()y x a a =--+，故函数的对称轴方程为x a =．我们按a 是否满足01a <≤（即是否在自变量的取值范围内）分别讨论．（1）当a 满足01a <≤时，由于二次函数的二次项系数为负数，故函数在x a =时取得最大值2a ．由于函数值在x a ≥时随x 增大而减小，而在x a ≤时随x 增大而增大，故函数在01x ≤≤时最小值在0x =或1x =处取得，在这两点处的函数值的较小者就是最小值，注意，若点（0，0）到对称轴的距离比点（1，0）到对称轴的距离近，则函数在0x =处的值便不小于在1x =处的值．否则，函数在0x =处的值就不大于在1x =处的值，因此我们进一步区分两种情况：若102a <≤，如图（1），函数在1x =有最小值21a -．若112a <≤，如图（2），函数在0x =处有最小值0． （2）当1a >时，如图（3），函数在1x =处有最大值21a -，在0x =处有最小值0．(1)(2)(3)综上所述，当102a <≤时，最大值为2a ，最小值为21a -；当112a <≤时，最大值为2a ，最小值为0；当1a >时，最大值为21a -，最小值为0．3. 如果抛物线2(1)1y x k x k =----与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，求三角形ABC 的面积的最小值． 解析 首先，22(1)4(1)250k k k k =-++=++>△．所以抛物线与x 轴总有两个交点，设抛物线与x 轴的交点为1x、2x ，那么AB =又抛物线的顶点坐标是2125(,)24kk k C -++-，所以2254k k S ABC ++=△3322211[(1)4]4188k =++≥⋅=． 当1k =-时等号成立．所以，ABC △的面积的最小值为1．4. 已知1x 、2x 是方程 22(2)(35)0x k x k k --+++=（k 是实数）的两个实数根，求2212x x +最大值和最小值．解析 由于二次方程有实根，所以 []22(2)4(35)0k k k =---++≥△2316160k k ++≤，解得443k -≤≤-．222121212()()2f k x x x x x x =+=+-22(2)2(35)k k k =--++ 22106(5)19k k k =---=-++．由于()f k 在443k -≤≤-上是减函数，可见当4k =-时，2212()f k x x =+有最大值18，当43k =-时，()f k 有最小值509． 5. 已知二次函数22y x x =--及实数2a >-，求：（1）函数在2x a -<≤时的最小值； （2）函数在2a x a ≤≤+时的最小值，解析 由于自变量变化范围内含有参数a ，因此需分类讨论．21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象是以12x =为对称轴，开口向上的抛物线（如图）．（1）当122a -<<时，2a -<≤在对称轴12x =的左侧，此时y 的最小值在x a =时取到，即为22a a --．当12a ≥时，y 的最小值在12x =时取到，即为94-．（2）因2a >-，故20a +>．当2a >-，且122a +<<时，即当322a -<<-时，2a x a ≤≤+在对称轴12x =的左侧．y 的最小值在2x a =+时取到，即为 22(2)(2)23a a a a +-+-=+．当122a a ≤≤+，即3122a -≤≤时，y 的最小值在12x =时取到，即为94-．当12a >时，y 的最小值在x a =时取到，即为22a a --． 6. 已知01x ≤≤，2()1f x x ax =-+，()f x 的最小值为m ，求a 表示m 的代数式． 解析2224()124a a f x x ax x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，它的图象是顶点在24(,)24a a -，开口向上，对称轴为2ax =的抛物线． 当抛物线的顶点的横坐标2a 在01x ≤≤左边时，02a<，即0a <，这时抛物线在01x ≤≤上是上升的，所以(0)1m f ==； 当抛物线的顶点的横坐标2a 在01x ≤≤上时，012a≤≤，即02a ≤≤，这时 24()24a a m f -==； 当抛物线的顶点的横坐标2a 在01x ≤≤的右边时，12a>，即2a >，这时抛物线在01x ≤≤上是下降的，所以(1)2m f a ==-． 7. 设a 为非零实数，求函数22()2(1)2(01)f x ax a x x =-++≤≤的最大值与最小值．解析 当0a >时，()y f x =的图象是开口向上的抛物线，其顶点的横坐标为21a a +．由于a 与1a中至少有一个不小于1，故2111a a a a +=+>．因此，()(01)y f x x =≤≤的图象是一段在对称轴左侧的抛物线弧（如图），此时()(01)f x x ≤≤的最大值为(0)2f =，最小值为2(1)2f a a =-．当0a <时，()y f x =的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标21a a+，故()(01)y f x x =≤≤的图象是一段在对称轴右侧抛物线弧，故()(01)f x x ≤≤的最大值还是(0)f ，最小值还是(1)f ．综上所述，()(01)y f x x =≤≤的最大值为(0)2f =，最小值为2(1)2f a a =-．8. 已知a 、b 、c 都是正整数，且二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个不同的交点A 、B ，若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．解析 设函数图象与x 轴的两个交点A 、B 坐标为1(,0)x 、2(,0)x ，且12x x <，则有 212()()y ax bx c a x x x x =++=--．又a 、b 、c 为正整数，于是有120bx x a +--<，120cx x a->， 从而推知1x 、2x 均为负数．因为11x <，21x <，则1210x x -<<<，因此，由图，有 240b ac ->，① 102b a-<-<，②2(1)(1)0a b c -+-+>，③2000a b c ⋅+⋅+>．④ 因为a 、b 、c 为正整数，则④显然成立． 由式③得a c b +>，即1a c b +≥+．⑤ 因为函数2y ax bx c =++在1x =时对应的值为a b c ++，故a b c ++的最小值就是函数在1x =处的最小值，而1c ≥，结合图象知当1c =时a b c ++取最小值，此时由式⑤得 a b ≥．⑥ 由式①、⑥得244b a b >≥，则4b >．所以4a b ≥>，从而5a b ≥≥．因此，当5b =，5a =，1c =时，a b c ++取得最小值5+5+1=11． 9. 已知函数22(2)2(1)1y a x a x =+--+其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 为何值时，函数值最小． 解析 函数整理为22221(1)(2)()122a a y a x a a --+-+-++， 其对称轴为213(2)22a x a a a -==-+++． 因为a 为正整数，故3012a <≤+，21212a a a a --<≤-+． 因此，函数的最小值只可能在x 取2a -、1a -、212a a -+时达到．（1）当2112a a a -=-+时，1a =，此时231y x =+．由于x 是正整数，所以1x =时使函数取得最小值；（2）当21212a a a a --<<-+，即1a >时，由于x 是正整数，而212a a -+为小数，故不能在212a x a -=+；达到最小值． 当2x a =-时，221(2)(2)2(1)(2)1y a a a a =+----+；当1x a =-时，222(2)(1)2(1)(1)1y a a a a =+----+．考查124y y a -=-．（i ）当40a ->，即2a =或3时，x 取1a -，使2y 为最小值； （ii ）当40a -=，即4a =时，有12y y =，此时x 取2或3； （iii ）当40a -<，即4a >且为整数时，x 取2a -，使1y 为最小值． 1,l 1,2323,42,4a a a x a a a a -⎧⎪-=⎪=⎨=⎪⎪->⎩，或，或，且整，当时当时当时当为数时函数值最小．10. 设0p >，当x p =声时，二次函数()f x 有最大值5；二次函数()g x 的最小值为2-，且()25g p =；2()()1613f x g x x x +=++．求()g x 的解析式和p 的值．解析 由题设知()5,()25f p g p ==，2()()1613f p g p p p +=++，所以 2161330p p ++=，1(17)p p ==-舍去．由于()f x 在1x =时有最大值5，故设 2()(1)5f x a x =-+，0a <所以2()1613()g x x x f x =++- 2(1)2(8)8a x a x a =-+++-．由于()g x 的最小值是2-，于是 24(1)(8)4(8)24(1)a a a a ---+=--．解得2a =-，从而 2()31210g x x x =++11. 已知二次函数2y ax bx c =++同时满足： （1）0a >；（2）当11x -≤≤时，21ax bx c ++≤； （3）当11x -≤≤时，ax b +有最大值2． 求常数a 、b 、c 的值．解析由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线，由（1）、（3）知2a b +=． ① 由（2）知1a b c ++≤， ② 1c ≤．③由①、②知 21c +≤．④由③、④得1c =-．故0x =时，2y ax bx c =++达到最小值，因此，0,02bb a-==． 由①得2a =．故 2a =，0b =，1c =-．12. 设函数213()22x f x =-+在a x b ≤≤的范围内的最小值为2a ，最大值为2b ，求实数对(,)a b ．解析 由于二次函数，()f x 的对称轴为0x =，所以，就a 、b 与对称轴的关系来讨论． 分三种情况：（1）当0a b ≤<时，a x b ≤≤时单调递减，所以，()2f a b =，()2f b a =，即 22132,22132,22a b b a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 解得1a =，3b =．（2）当0a b <≤时，()f x 在a x b ≤≤时单调递增，所以，()2f a a =，()2f b b =，即 22132,22132.22a ab b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 由于方程2132022x x +-=两根异号，所以，满足条件(,)a b 不存在．（3）当0a b <<时，此时，()f x 在0x =处取最大值，即132(0)2b f ==，故134b =．而()f x 在x a =或x b =处取最小值2a ，由于0a <，21131339()()024232f b =-+=>，故()2(0)f a a a =<，即213222a a =-+，解得2a =-．综上，(,)(1,3)a b =或13(2)4-．13. 已知0a <，60≤，0c >2b ac -，求24b ac -的最小值．解析 令2y ax bx c =++，由0a <，60≤，0c >，判别式240b ac =->△，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点1(,0)A x 、2(,0)B x ，因为120c x x a =<，不妨设设12x x <，则120x x <<，对称轴02bx a=-≤，于是1x c ==，所以244ac b c a -≥=≥ 故 244b ac -≥当1a =-，0b =，1c =时，等号成立． 所以，24b ac -的最小值为4．14. 求函数2223221x x y x x --=++的最值．解析 去分母、整理得2(21)2(1)(3)0y x y x y -++++=当12y ≠时，这是一个二次方程，因x 是实数，所以判别式0≥△，即 2[2(1)]4(21)(3)0y y y =+--+≥△解得 41y -≤≤．当4y =-时，13x =-；当1y =时，2x =-．由此即知，当13x =-时，y 取最小值4-，当2x =-时，y 取最大值1．评注 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x 值．15. 设函数21ax by x +=+的最大值为4，最小值为1-，求a 、b 的值． 解析 将原函数去分母，并整理得 2()0yx ax y b -+-=因x 式实数，故 2()4()0a y y b =---≥△即2204a y by --≤． ①由题设知，y 的最大值为4，最小值为1-，所以 (1)(4)0y y +-≤，即2340y y --≤． ②由①、②得222344a y by y y --=--，，所以23,4,4b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以4a =±，3b =16. 已知函数2262ax bx y x ++=+的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值．解析 将原函数去分母，并整理得 2()(62)0a y x bx y -+-=．若y a ≡，即y 是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y a ≡，于是 24()(62)0b a y y =---≥△，即22(3)308b y a y a -++-≤． ①由题设，y 的最小值为2，最大值为6，所以 (2)(6)0y y --≤，即28120y y -+≤． ②比较①、②得 238,312.8a b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5a =，b ±=17. 求函数42225(1)x x y x ++=+的最大值和最小值． 解析 由42225(1)x x y x ++=+得18. 设a 是大于零的常数，且1a ≠，1(1)y ax x a=+-，01x ≤≤．求y 的最大值与最小值．解析 11y a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．下面对一次项系数分两种情况讨论．（1）当1a >时，10a a ->，于是函数11()y a x a a=-+的函数值是随着x 的增加而增加的，所以当0x =时，y 取最小值1a ；当1x =时，y 取最大值a ．（2）当01a <<时，10a a -<，于是函数11()y a x a a=-+的函数值是随着x 的增加而减少的，所以当0x =时，y 取最大值1a；当1x =时，y 取最小值a ．19. 已知x 、y 、z 是非负实数，且满足条件30x y z ++=，350x y z +-=．求542u x y z =++的最大值和最小值． 解析 设条件给出两个方程，三个未知数x 、y 、z ，当然，x 、y 、z 的具体数值是不能求出的，但是，我们固定其中一个，不妨固定x ，那么y 、z 都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了．从已知条件可解得402y x =-，10z x =-．所以542u x y z =++54(402)2(10)x x x =+-+-140x =-+．又y 、z 均为非负实数，所以4020,100,x x -≤⎧⎨-≥⎩解得020x ≤≤．。
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
2019年初三数学竞赛试卷及答案
2019年初三数学竞赛试卷学校___________________年级___________班 姓名_________________ 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）1、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223y x x =--，则b c 、的值为 （ ） A 、22b c ==， B 、20b c ==， C 、21b c =-=-， D 、32b c =-=，2、如图，在等腰三角形△ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN ＝45°，记AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、随x 、m 、n 变化而变化3、如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ） A． B．C． D．4、已知函数2|82|y x x =﹣﹣和y kx k =+（k≠0，k 为常数），则不论k 为何值，这两个函数的图象（ ）A 、有且只有一个交点B 、有且只有二个交点C 、有且只有三个交点D 、有且只有四个交点5、已知关于x 的不等式组 恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．A 、6-＜t ＜112-B 、6-≤t ＜112-C 、6-＜t ≤112-D 、6-≤t ≤112-二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ．FAAB CN255332x xx t x +⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩7、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于E ，F 是OE 的中点．如果BD//CF ，BC ＝25，则线段CD 的长度为__________________．8、如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ．已知AB ＝3，AO ＝8，OC ＝5，若点P 在梯形内，且S △PAD ＝S △POC ，S △PAO ＝S △PCD ，那么点P 的坐标是________．9、在平面直角坐标系xOy 中，不论k 取什么样的实数，直线y =kx ﹣3k +4总经过一个定点P ，若以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为10、小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．三、解答题（共4题，满分60分）11、如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC -∠CBE ．（第11题）12、如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点（不是端点），满足CD AB ⊥，DE CO ⊥，垂足为E ．若10CE =，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．13、已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．14、如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．参考答案 1、B2、15、B ；提示：作∠CAD ＝∠BAM ，AD ＝AM ， 可得△ABM ≌△ACD ，再得△MN ≌△AND ，可得结论3. B ; 【解析】过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN =MN =12，由折叠的性质，可得BG =3，求得BF =2BN =5，由勾股定理即可求得BC 的长．4. B ;【解析】函数y =8－2x －x 2中，令y =0，解得：x =－4或2．则二次函数与x 轴的交点坐标是（－4，0）和（2，0）．则函数的图象如图．一次函数y =kx +k （k 为常数）中，令y =0，解得：x =－1，故这个函数一定经过点（－1，0）．经过（－1，0）的直线无论k 多大，都是2个交点．故选B ． 5、C ． 解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 6、解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 78、ABCM ND（第6题）9、2410、207； 解：设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y 所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又 20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．11、解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CEBE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12、解：连接AC ，BC ，则90ACB ∠=︒．又CD AB ⊥，DE CO ⊥，由Rt △CDE ∽Rt △COD 可得2CE CO CD ⋅=，由Rt △ACD ∽Rt △CBD 可得（第11题）2CD AD BD =⋅，所以CE CO AD BD ⋅=⋅．设AD a DB b ==，，a b ，为正整数，则2a bCO +=，又10CE =，代入上式得 102a bab +⋅=， …………10分 整理得(5)(5)25a b --=．考虑到a b >，只能是550a b ->->，得52551a b -=-=，． 因此30AD a ==． …………20分13、【解析】(1)当k ＝1时，函数为一次函数y ＝－2x ＋3，其图象与x 轴有一个交点． 当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，令y ＝0得(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0．△＝(－2k )2－4(k －1)(k ＋2)≥0，解得k ≤2．即k ≤2且k ≠1．12x =综上所述，k 的取值范围是k ≤2．(2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ≠1．由题意得(k －1)x 12＋(k ＋2)＝2kx 1．将(*)代入(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2中得：2k (x 1＋x 2)＝4x 1x 2． 又∵x 1＋x 2＝21k k -，x 1x 2＝21k k +-， ∴2k ·21k k -＝4·21k k +-．解得：k 1＝－1，k 2＝2(不合题意，舍去)．∴所求k 值为－1． ②如图5，∵k 1＝－1，y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2(x －12)2＋32． 且－1≤x ≤1．由图象知：当x ＝－1时， y 最小＝－3；当x ＝12时，y 最大＝32． ∴y 的最大值为32，最小值为－3． 14、解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7． …………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10ki m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k kj m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾． 故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)ki m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．。
2019年初三数学竞赛试卷附答案
2019年初三数学竞赛试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（）A．1 B．1或2 C．2 D．2或32．设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（）A．M=P B．M＞P C．M＜P D．不确定3．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18 B．24 C．30 D．364．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）5．工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，顶角为α，且tanα=，腰长为6cm；铁板乙形状为等腰梯形，两底边长分别为4cm、10cm，且有一内角为60°．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为5.3cm的铜环中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过6．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）7．已知=．8．如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为．9．一种儿童游戏，游戏规则是孩子站成一个圆圈，并唱一首有九个单词的诗歌，每人接前一个顺序唱一个单词，按这个圆圈的顺时针方向连续计数，将第九个孩子淘汰出圈，开始时，一圈有六个孩子，按顺时针方向分别记为a，b，c，d，e，f．如果最后留下的孩子是c，那么开始计数的位置是．10．将正方形沿虚线（其中x＜y）剪成①，②，③，④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则=．11．如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是反比例函数y=在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN ⊥y 轴于点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，有下列结论：①AF=BE；②图中的等腰=（a+b﹣1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是．直角三角形有4个；③S△OEF评卷人得分三．解答题（共4小题，共46分）13．（10分）利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．14．（12分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．15．（12分）在一次活动课中，老师请每位同学自己用纸板做一个如图所示的有盖的长方体的纸盒，长方体的长、宽、高分别为acm、b cm、c cm．小杨在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现它们满足a（b ﹣c）=3，bc=ab+ac﹣7”．请同学们算一算，做一个这样的纸盒需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？16．（12分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对．因为相对两个面上的数相同，所以x2=3x﹣2，解得x=1或x=2，又因为不相对两个面上的数值不相同，当x=2时，∵x+2=4，3x﹣2=4，∴3x﹣2=x+2，不符合题意，∴x只能为1，即★=x+1=2．故选：C．2．解：由题意得：a+b+c=3M，a+b=2N，N+c=2P；∴M=，P=，N=，∴将N代入P可得：P=；M﹣p=；又∵a＞b＞c，∴a+b+c＞3c，∴M﹣p＞0，∴M＞P；故选：B．3．解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8=24个．4．解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，∴∠EDF=∠CDG，又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，∴△EDF≌△CDG（AAS），∴EF=CG，∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2，∴EF=2，=×AD×EF=×3×2=3．∴S△ADE故选：C．5．解：如图1，设等腰△ABC中，AB=AC=6cm，作CD⊥AB，垂足为D，∵在Rt△ACD中，tana==，∴设CD=3x，则AD=4x，由勾股定理，得CD2+AD2=AC2，即（3x）2+（4x）2=62，解得x=1.2，∴CD=3x=3.6＜5.3，能通过；如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，过A点作AE⊥CD，垂足为E，∵∠B=60°，AD=4cm，BC=10cm，∴BE===3，∴AE=BE•tan60°=3×=3≈5.2cm＜5.3cm故选：C．6．解：x0是它们的一个公共实数根，则ax02+bx0+c=0，bx02+cx0+a=0，cx02+ax0+b=0．把上面三个式子相加，并整理得（a+b+c）（x02+x0+1）=0．因为，所以a+b+c=0．于是=故选：D．7．解：∵⇒⇒⇒a2﹣7a+1=0，解得a=，经检验，当a=，=＜0与矛盾，故舍去．所以，当a=，则==．故答案为：．8．解：设BE=x，BF=y．=6﹣BE•BF=3，∵“L”形面积为6，S阴影∴xy=6，再由AC∥FB得△ACE∽△FBE，∴CE：BE=AC：FB，即=，整理，得xy﹣x﹣y=0，即x+y=6，EF2=BE2+BF2=x2+y2=（x+y）2﹣2xy=24，9．解：根据题意分析：假设开始记数的位置是a，则根据题意最后剩下的孩子是e，假设开始记数的位置是b，则根据题意最后剩下的孩子是f，故若最后剩下的这个孩子是c，则开始记数的位置是e．故答案为：e．10．解：如图，由拼图前后的面积相等得：[（x+y）+y]y=（x+y）2，∴=，∴1+=+1，∴=，∴=，∴+1=，∴（+1）=×，因为y≠0，整理得：（）2+﹣1=0，解得：=或=（负值不合题意，舍去）．故答案为：．11．解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．12．解：∵P（a，b），∴OM=a，PM=b，∴点E的横坐标为a，F的纵坐标为b，又E和F都在直线y=﹣x+1上，∴点E（a，1﹣a），点F（1﹣b，b），即OM=a，EM=1﹣a，ON=b，NF=1﹣b，∴PE=PM﹣EM=b﹣（1﹣a）=a+b﹣1，PF=PN﹣NF=a﹣（1﹣b）=a+b﹣1，=S矩形MONP﹣S△EMO﹣S△FNO﹣S△EPF，∴S△EOF=ab﹣a（1﹣a）﹣b（1﹣b）﹣（a+b﹣1）2=（a+b﹣1），选项③正确；∵BE==a，AF==b，∴BE与AF不一定相等，选项①错误；∵直线y=﹣x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，即△AOB为等腰直角三角形，∴△BNF为等腰直角三角形，同理△PEF和△AEM都为等腰直角三角形，则图中等腰三角形有4个，选项②正确；∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠FAO=∠EBO=45°，∵点P（a，b）是曲线y=上一点，∴2ab=1，即AF•BE=a•b=2ab=1，又∵OA•OB=1，∴=，∴△AOF∽△BEO，∴∠AFO=∠BOE，又∠BOE=∠BOF+∠FOE，且∠AFO=∠OBF+∠BOF，∴∠FOE=∠OBE，又∠OBE=45°，则∠FOE=45°，选项④正确，综上，正确选项的序号有：②③④．故答案为：②③④．13．解：（1）比如：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，或（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，或（a+b）2﹣4ab等．（2分）（2）比如构造如图所示正方形：（若画成a=b=c，m=n=l等特殊情况扣1分）（5分）因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2（6分）．14．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．15．解：∵a（b﹣c）=3，且a，b，c均为正整数，∴或，即：或，①当时，把a=1，b=c+3分别代入bc=ab+ac﹣7中，得：（c+3）c=c+3+c﹣7，整理得：c2+c+4=0，此方程无实数根．②当时，把a=3，b=c+1分别代入bc=ab+ac﹣7中，得：（c+1）c=3（c+1）+3c﹣7，整理得：c2﹣5c+4=0，解得c=1或c=4．∴或，故长方体的表面积为：2（ab+ac+bc）=2×（3×2+3×1+2×1）=22（cm2）或2（ab+ac+bc）=2×（3×5+3×4+5×4）=94（cm2）．∴做一个这样的纸盒需要22cm2或94cm2的纸板．16．解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．把A（1，1），B（3，1）代入上式得，解得，∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），把O（0，0），A（1，1）代入得解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．（2）分三种情况：，过点A作AF⊥x轴于点F，①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，∴PQ=OQ=tcos45°=t，∴S=（t）2=t2．②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，．重叠部分的面积是S梯形OAGP∴AG=FH=t﹣2，∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S．五边形OAMNC因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S=S梯形OABC﹣S△BMN．五边形OAMNC∵B（3，1），OP=t，∴PC=CN=t﹣3，∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；（3）存在t1=1，t2=2．将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）①当点Q在抛物线上时，=×（t+）2+×（t+），解得t=2；②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．。
2019-2020学年北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题
2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题（含答案）1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切圆，且此圆半径不大于2R．解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知sin sin sin 2AC BDEH FG AP BAD CP BCD AC BAD R⋅+=∠+⋅∠=∠∠=，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆．CFGPH DBEA由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2ADr PF PFG PF ACD PF PC ACB R=⋅∠=⋅∠=⋅=⋅∠⋅2224222AD PC AB AD PC PA R RR R R R ⋅⋅⋅==≤=．取到等号仅当P 为圆心时．2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与1O e 交于点D ，且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △．(b)(a)O 1AOBM E CD F O 1OB E CD F解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=︒，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △．设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=︒，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠．又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △．3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△，求BC ．解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=⋅=⋅，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==，72BC =．lE DCBA4. 在平面上给定等腰三角形ABC ，其中AB AC =，试在平面上找到所有符合要求的点M ，使ABM △、ACM △都是等腰三角形．解析 要使ABM △为等腰三角形，M 必定在AB 的垂直平分线上，或在以A 、B 为圆心、AB 为半径的圆上．ACM △亦然．这样得到3个圆A e 、B e 、C e ．M 6M 5M 4M3M 2M 1B'C'CB A在A e 上除了B 、C 及其对径点B '、C '，其余的点都符合要求．此外，还有6个点，即AB 中垂线与Ce 的两个交点1M 、2M ，AC 的中垂线与B e 的两个交点3M 、4M ，B e 与C e 的另一个交点6M （不是A ），两条中垂线的交点5M （即ABC △之外心），如图．何时1M 在直线AB 上或A 、C 、2M 共线，此时A ∠是三边长分别为1:2:2的等腰三角形的底角，此时1M 、2M 、3M 、4M 均不符合要求；又120A ∠=︒时，六点变一点，且在A e 上，120A ∠>︒时，只有5M 与6M 两点．评注 读者可考虑ABC △为不等边三角形时的情形．5. 已知：ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：RPB DAC ∠=∠．解析 如图，易知RP RC RB ==，R 为PBC △外心，2180BRP C BAC ∠=∠=︒-∠，故A 、B 、R 、P 共圆，于是RPB BAD DAC ∠=∠=∠．P QRCDBA6. D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上，则AEF △、BFD △、CDE △的外接圆共点． 解析 如图，设AEF △、BFD △的外接圆除F 之外，还交于P ，连结PD 、PE 、PF ，则PEC AFP BDP ∠=∠=∠，故E 、P 、D 、C 共圆，证毕．题12.2.2CDBPEFA7. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆．解析 如图，设这条光线为APB ，EOF 是题设中的直径，延长AP 至O e 于C ，则BPF APE CPF ∠=∠=∠，B 与C 关于EF 对称．于是BPO △≌CPO △．这样一来，便有OBP OCP OAP ∠=∠=∠，于是A 、O 、P 、B 四点共圆．题12.2.3POCFB EA评注 本题亦可利用圆心角证．8. 已知P 为ABC △外接圆的»BC上一点，则P 在直线AB 、BC 、CA 的射影L 、M 、N 共线． 解析 如图，连结LM 、MN ，BP ，CP ，则由L 、M 、P 、B 共圆，M 、P 、N 、C 共圆及A 、B 、P 、C 共圆，得9090180LMP NMP LMB PCN LPB ABP ∠+∠=∠+︒+∠=∠+∠+︒=︒，故L 、M 、N 共线．P NM L CBA评注 此线称为西摩松线．反之，若三垂足共线，则P 在ABC △外接圆上．9. 四边形ABCD 对角线交于O ，AO CO BO DO ⋅=⋅，O 在AB 、BC 、CD 、DA 上的垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF GH EH FG +=+． 解析 如图，易知A 、B 、C 、D 共圆．CGFODBHEA由A 、E 、O 、H 共圆，得sin EH AO A =（A ∠即BAD ∠，余同），同理sin FG CO C == sin(180)sin CO A CO A ︒-=⋅，故sin EH FG AC A +=，同理sin EF GH BD B +=．而sin sin AC BDB A=，于是上述结论成立． 评注 读者不妨研究由EF GH EH FG +=+能否得出A 、B 、C 、D 共圆． 10. 已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证： AB AC AD ==．解析 如图，1180()1802BCD CBD CDB BAD ∠=︒-∠+∠=︒-∠，故180BCD BAD ∠+∠>︒，作BCD △外接圆，A 在圆内、延长CA 至圆于P ．连结PB 、PD ，则P 、B 、C 、D 四点共圆． DCBAP于是12APD CBD CAD ∠=∠=∠，故APD ADP ∠=∠，PA AD =，同理PA AB =．A 为PBD △外心，也即BCD △之外心，于是AB AC AD ==．11. 设圆内接ABC △的垂心为H ，P 为圆周上任一点，求证：PH 被P 关于该三角形的西摩松线平分．解析 如图，不妨设P 在»BC上．P 在直线AB 、BC 上的射影分别是M 、N ，MN 即为西摩松线．AL 是高，延长后交圆于D ，PN 延长后交圆于Q ，连结PD 、QA 、CD 、BP ．则HCB BAD DCB ∠=∠=∠，得HL LD =． ①CEDP LNH R M BAQ又易知M 、N 、P 、B 共圆，因此ENP ABP AQP ∠=∠=∠，故MN AQ ∥．又作HR AQ ∥，于是由四边形AQPD 为等腰梯形，知四边形HRPD 也是等腰梯形，于是由①知BC 垂直平分HD ，从而BC 垂直平分RP ．由PN NR =及MNE RH ∥，知MN 必将PH 平分．12. 已知MON 为O e 直径，S 在ON 上，弦ASB MN ⊥，P 在¼BM上，PS 延长后交圆于Q ，PN 交AB 于R ，求证：QS RN <．解析 如图，连结MP 、MR ，知M 、S 、R 、P 共圆，于是RN SN QSMR SP MS==，于是1RN MR QS MS =>．NB13. 已知锐角三角形ABC 中，AB AC >，AD BC ⊥于D ，G 、F 分别在AB 、AC 上，GC 、BF 、AD交于H ，若G 、B 、C 、F 共圆，则H 为ABC △之垂心．解析 如图，易知BD CD >，今在BD 上找一点E ，使ED CD =，连结AE 、HE ，则E 与C 关于AD 对称．于是由对称及G 、B 、C 、F 共圆，得ABH ACH AEH ∠=∠=∠，于是A 、B 、E 、H 共圆，故BAD HEC HCE ∠=∠=∠，于是90AGH HDC ∠=∠=︒，H 为垂心．HCDEBF GA14. 已知ABC △与ACD △均为正三角形，过D 任作一直线，分别交BA 、BC 延长线于E 、F ，CE 与AF 交于G ，求证：GB 平分AGC ∠．FCBGDAE解析 设AB BC AC a ===，AE x =，CF y =，由AD BF ∥，CD BE ∥，则x y x a y a+=++ 1ED DF EF EF +=，去分母整理得2xy a =．此即AE ACAC CF=，又120EAC ACF ∠=︒=∠，故EAC △∽ACF △，60AGE GAC ACG GAC AFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，故A 、B 、C 、G 共圆，60AGB ACB BAC ∠=∠=︒=∠= CGB ∠．15. 设圆内接四边形ABCD ，AB 、DC 延长交于E ，AD 、BC 延长交于F ，EF 中点为G ，AG 与圆又交于K ，求证：C 、E 、F 、K 四点共圆．解析 如图，延长AG 一倍至J ，作平行四边形AEJF ．连结CK ，则CEJ ADE AKC ∠=∠=∠，于是E 、C 、K 、J 共圆，或K 在CEJ △的外接圆上．FG EKCDB又180180EJF EAF BCD ECF ∠=∠=︒-∠=︒-∠，故E 、C 、F 、J 共圆，或F 亦在CEJ △的外接圆上．于是C 、E 、J 、F 、K 五点共圆，结论成立．16. AD 、BE 是锐角三角形ABC 的高，D 、E 是垂足，D 在AB 、AC 上的射影分别是M 、N ，E 在BC 、AB 上的射影分别是P 、Q ，求证：QN PM =．解析 如图，连结ED 、PN ，则易知NPC DEC ABC ∠=∠=∠，故NP AB ∥．P D CNE B MQ A欲证四边形MPNQ 为等腰梯形，只需证MN PQ =即可． 由于A 、M 、D 、N 共圆，AD 为直径，故sin 2ABCS AD BC MN AD A R R⋅=⋅==△，R 为ABC △外接圆半径，同理PQ 也是此值，因此结论成立．17. 过两定点A 、B 的圆与定圆交于P 、Q ，求证：AP AQBP BQ⋅⋅为定值．解析 如图，延长（或不延长）AP 、BQ ，可与定圆再分别交于M 、N 两点，则由四点共圆知180BAP PQN M ∠=∠=︒-∠，故AB MN ∥．NQB MP A于是四边形ABNM 为梯形，sin sin AM A BN B =（A ∠即BAP ∠，余类似）；又由定圆性质知AP AM ⋅为定值，BQ BN ⋅亦为定值，故AP AM BQ BN ⋅⋅为定值，此即sin sin AP B BQ A ⋅⋅为定值．但由正弦定理，sin sin B AQA BP=，于是AP AQ BP BQ⋅⋅为定值．18. 直角三角形ABC 中，E 、F 分别是直角边AB 、AC 上的任意点，自A 向BC 、CE 、EF 、FB 引垂线，垂足分别是M 、N 、P 、Q ．证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆． 解析 因A 、E 、N 、P 共圆，故CNP EAP AFP ∠=∠=∠，因A 、N 、M 、C 共圆，故CNM CAM ∠=∠，又A 、B 、M 、Q 共圆，故MQB MAB ∠=∠，由A 、P 、Q 、F 共圆，得PQB FAP ∠=∠．所以()()()()MNP MQP CNM CNP MQB PQB CAM AFP MAB FAP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=()()9090180CAM MAB AFP FAP ∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒．故M 、N 、P 、Q 共圆．PQ NCMBFEA19. ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD AC ⊥，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上，连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得DG BF ∥，H 在GF 的延长线上，CH GF ⊥．证明：B 、E 、F 、H 四点共圆．解析 如图，连结BH 、EF 、CG ．因为BAF △∽GAD △，所以FA DAAB AG=， DEA BH FG又因为ABE △∽ACD △，所以 AB ACEA DA =， 从而得 FA ACEA AG=． 因为FAE CAG ∠=∠，所以FAE △∽CAG △，于是FEA CGA ∠=∠．由题设知，90CBG CHG ∠=∠=︒，所以B 、C 、G 、H 四点共圆，得BHC BGC ∠=∠．于是 90BHF BEF BHC BEF ∠+∠=∠+︒+∠ 90BGC BEF =∠+︒+∠ 90FEA BEF =∠+︒+∠ 180=︒，所以，B 、E 、F 、H 四点共圆．20. 四边形ABCD 内接于圆，P 是AB 的中点，PE AD ⊥，PF BC ⊥，PG CD ⊥，E ，F ，G 为垂足，M 是线段PG 和EF 的交点，求证：ME MF =．解析 如图，作1AF BC ⊥，1BE AD ⊥（1E 、1F 为垂足），则1112PE AB PF ==．设PG 与11E F 交于K ，因A 、B 、1F 、1E 共圆，所以11180CF E A C ∠=∠=︒-∠，因此11E F CD ∥，11PK E F ⊥，K 是11E F 的中点（因11PE F △为等腰三角形），故PEKF 为平行四边形（因P 、E 、K 、F 为四边形11ABF E 各边中点），因此ME MF =．F 1E 1F M E KC GD评注 本题亦可用面积法快速解决．21. ABC △中，AD 、AE 分别是高和中线，且都在三角形内部，求证：若DAB CAE ∠=∠，则ABC△或者是等腰三角形，或者是直角三角形．解析 如图，D 与E 无非是三种位置关系，由对称性，可归结为两种：D 与E 重合，或D 位于E 的左侧．D FA若D 与E 重合时，ABC △显然为等腰三角形．若D 在E 的左侧，设AB 中点为F ，连接FD 、FE .则EF 为中位线，由条件，知 AEF CAE DAB ADF ∠=∠=∠=∠，故A 、F 、D 、E 共圆，于是 90BAC BAE EAC FDB ADF ∠=∠+∠=∠+∠=︒．22. 设A 、B 、C 、D 、E 是单位半圆上依次五点，AE 是直径，且AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，证明：22224a b c d abc bcd +++++<．解析 如图，连接CA 、CE ，则AC CE ⊥，设CAE α∠=，CEA β∠=，则由四点共圆及余弦定理，有：βαAEDCB2224AE AC CE ==+22222cos 2cos a b ab c d cd βα=+++++2222a b c d ab CE cd AC =++++⋅+⋅，由于ABC ∠，90CDE ∠>︒，故CE CE c >=，AC BC b >=，代入，即得 22224a b c d abc bcd >+++++．23. 已知四边形ABCD 内接于圆，点E 、F 分别为AB 、CD 上的动点，且满足AE CFEB FD=，又点P 在EF 上且满足PE ABPF CD=，证明：APD △与BPC △的面积之比与点E 、F 无关． 解析 如图，不妨设AD 、BC 延长后交于S ，由四点共圆知ABS CSF △∽△，又E 、F 分别是对应点，故ASE CSF △∽△．于是ES AS AB PEFS CS CD PF===，于是SP 平分ESF ∠进而平分ASB ∠，于是P 至AD 、BC 距离相等，APD BPC S ADS BC=△△，与E 、F 无关．（图中SE 、SF 、SP 未画出．）PSCF D BE AAD BC ∥时，结论不变．24. AB 是圆O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作圆O 的割线，与圆O 交于D 、E 两点，OF是BOD △的外接圆1O 的直径，连接CF 并延长交圆1O 于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆． 解析 如图，连接AD 、DG 、GA 、GO 、DB 、EA 、EO ．A因为OF 是等腰DOB △的外接圆的直径，所以OF 平分DOB ∠，即2DOB DOF ∠=∠．又12DAB DOB ∠=∠，所以DAB DOF ∠=∠．又DGF DOF ∠=∠，所以DAB DGF ∠=∠，因此，G 、A 、C 、D 四点共圆．所以AGC ADC ∠=∠．而90AGC AGO OGF AGO ∠=∠+∠=∠+︒，90ADC ADB BDC BDC ∠=∠+∠=︒+∠，因此AGO BDC ∠=∠．因为B 、D 、E 、A 四点共圆，所以BDC EAO ∠=，又OA OE =，所以EAO AEO ∠=∠．从而AGO AEO ∠=∠，所以，O 、A 、E 、G 四点共圆．25. 已知ABC △中，AD BC ⊥于D ，DM AC ⊥于M ，DB AB ⊥于N ，NM 与BC 延长线交于E ，求证：111CD BD DE-=． 解析 如图，延长DM ，作EF DM ⊥于F ，由FDE CAD ∠=∠，知AMD DFE ADC △∽△∽△，所以DM EF AD DE =，DF ADEF CD=，又由A 、N 、D 、M 四点共圆，得NAD NMD ∠=∠，从而MEF ABD △∽△，从而MF AD EF BD =，因此AD AD DF MF DM AD CD BD EF EF EF DE -=-==，于是111CD BD DE-=． NMBDCEFA26. 凸四边形ABCD 中，ABD α∠=，CBD β∠=，若sin sin sin()AB BC BD βααβ+=+，则A 、B 、C 、D 共圆．解析 如图，不妨设ABC △外接圆交直线BD 于D '．βαD'CBDA由托勒密定理得AB CD BC AD AC BD '''⋅+⋅=⋅两边同除以外接圆直径，得sin sin sin()AB BC BD βααβ'+=+，于是由条件BD BD '=（因为sin()0αβ+≠），故D 与D '重合，即A 、B 、C 、D 共圆．。
2019-2020学年九年级下学期数学百题竞赛试卷C卷
2019-2020学年九年级下学期数学百题竞赛试卷C卷姓名:映成晚一、选择题供40题；共80分）11.（2分）冗是-2的（）.A .相反数B .绝对值C.倒数D・以上都不对2.（2分）在平面直角坐标系中，点M（-4,-3）所在的象限是（）A .第一象限B .第二象限C・第三象限D .第四象限3.（2分）00的半径为4,点P是所在平面内的一点，且OP=5,则点P与。
0的位置关系为（）A.点P在。
上B.点P在外C.点P在蹄内D .以上都不对4.（2分）下列计算正确的是（）A .a2+a2=a4B .（-a3）2=-a6C.a3•a2=a6D .a5-ra2=a35.（2分）平行四边形的一个内角为40°,它的另一个内角等于（）A.40°B .140°C.40°或140°D .50°6.（2分）已知关于x的方程2x-a=x-l的解是非负数，则a的取值范围为（）A.可B .a>lC.心D .a<l7.（2分）如图，直线a〃b.直线1分别与a、b相交于A、B两点，AC±a于点A,交直线b于点C.已知Zl=42°,则N2的度数是（）A.38°B .42°C.48°D .58。
8.（2分）如图，ZkABC中，ZC=90°,NA的正切是（）NA CBCA .ABBCB .ACACC.BCJCD ..IB9.（2分）下列实数中，是无理数的是（）A.0B .-31C.3D .也10.（2分）NBAC放在正方形网格纸的位置如图，则tanZBAC的值为（）1A .61B .51C.31D.211.（2分）方程入+），=5的正整数解的个数是（）A.1个B.2个C .3个D .无数个12.（2分）将抛物线y=-（x+l）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A.y=-（x+1）2+1B .y=-（x-1）2+3C.y=-（x+1）2+5D .y=-（x+3）2+313.（2分）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）B .c.D .14.（2分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为程x2+nx+b=0有解的概率是（）1A.21B .38c.1519D.3615.（2分）若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B',分别是对应边，AB=8cm.A'B'=6cra,AD=5cm.则A'D'等于（）15A.2cm15B.4cm20C.3cm48D .S cm16.（2分）如果•*'=刍，那么用y的代数式表示x为（）a,b.那么方AD与A'D'A ."用B."专C.7D.T17.（2分）下列说法正确的是（）（3,0）A .点-在第一象限B .纵坐标为0的点在y轴上C.已知一点到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,则这个点的坐标为（5,2）D .横坐标是负数，纵坐标是正数的点在第二象限18.（2分）下列命题是真命题的是（）A.同旁内角相等，两直线平行B .对角线互相平分的四边形是平行四边形C.相等的两个角是对顶角D.圆内接四边形对角相等19.（2分）如图，0A的方向是北偏东15°,0B的方向是西北方向，若ZAOC=ZAOB,则0C的（）A.北偏东75°B.北偏东60°C.北偏东45°D.北偏东15°20.（2分）如图,几个完金相同的小正方体组成一个凡何体，这个凡何体的三视图中面积最大的是（）A .主视图B .左视图C.俯视图D .主视图和左视图2221.（2分）若反比例函数＞'=-5的图像上有两个点A（-l,m）,B （）3事那么"大小关系是（）A.物FB .C.同=〃D .无法确定22.（2分）我校运动员分组训练，若每组7人，余3人：若每组8人，则缺5人：设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（）J7y=x+3A.18y+5=xB .kv-5=xP.V=X~3C.|8y=x+5J7y=x+3D .k.y=x+523.（2分）如图，。
2019年初三数学竞赛试卷附答案
2019年初三数学竞赛试卷一、选择题（每题3分，共27分）1．如图，A是反比例函数y=图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x 轴上，△ABP的面积为2，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定3．如图，小雪从O点出发，前进4米后向右转20°，再前进4米后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点O时一共走了（）A．40米B．60米C．70米D．72米4．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．5．已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b 的图象可能正确的是（）A．B．C．D．6．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N 的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°二、填空（每题4分，共20分）10．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆•（用含n的代数式表示）11．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有120个★．12．先找规律，再填数：+﹣1=，+﹣=，+﹣=，+﹣=，则+﹣=．13．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x=元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．14．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．三、解答题（15题6分，16题7分，17题7分，18题8分，共28分）15．（6分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10=；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．16．（7分）如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低．就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．17．（7分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．（1）设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式．（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．18．（8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共27分）1．解：根据反比例函数的几何意义可得，S△ABP==2，又∵函数图象在第一象限，∴k=4．故选：D．2．解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，由图1，得S1=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，由图2，得S2=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，∴S1=S2．故选：C．3．解：∵小雪每次都是右转20°，∴她走过的路线是正多边形，边数为：360°÷20°=18，18×4=72米．故选：D．4．解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．5．解：根据图象可知抛物线与x轴两交点的横坐标一正一负，则根据二次函数交点式的性质可知a，b异号，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选：D．6．解：函数的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x值恰好有三个，∴k=3．故选：D．7．解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，∴（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）故选：C．8．解：过A作AD⊥x轴于D，∵OA=OC=4，∠AOC=60°，∴OD=2，由勾股定理得：AD=2，①当0≤t＜2时，如图所示，ON=t，MN=ON=t，S=ON•MN=t2；②2≤t≤4时，ON=t，MN=2，S=ON•2=t．故选：C．9．解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°．故选：D．二、填空（每题4分，共20分）10．解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，∴第n个图形有：4+n（n+1）．故答案为：4+n（n+1），11．解：通过观察，得到星的个数分别是，1，3，6，10，15，…，第一个图形为：1×（1+1）÷2=1，第二个图形为：2×（2+1）÷2=3，第三个图形为：3×（3+1）÷2=6，第四个图形为：4×（4+1）÷2=10，…，所以第n个图形为：n（n+1）÷2个星，设第m个图形共有120个星，则m（m+1）÷2=120，解得：m=15．故答案为：15．12．解：通过观察得：每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，设要求的是第n个算式，则：1+（n﹣1）×2=2011，解得：n=1006，故答案为：．13．解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，∴y=（8﹣x）x，即y=﹣x2+8x，∴当x=﹣=﹣=4时，y取得最大值．故答案为：4．14．解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．三、解答题（15题6分，16题7分，17题7分，18题8分，共28分）15．解：（1）解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，∴，解得∴又∵∴甲种剪法所得的正方形面积更大．=1．说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形OFDE解法2：如图甲，由题意得AE=DE=EC，即EC=1，如图乙，设MN=x，则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，则，解得，又∵，即EC＞MN．∴甲种剪法所得的正方形面积更大．（2），．（3）解法1：探索规律可知：剩余三角形面积和为2﹣（S1+S2+…+S10）=2﹣（1++…+）=解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1=1=S1第二次剪取后剩余三角形面积和为，第三次剪取后剩余三角形面积和为，…第十次剪取后剩余三角形面积和为．16．解：（1）如图，测出飞机在A处对山顶的俯角α，测出飞机在B处对山顶的俯角β，测出AB的距离为d，连接AM，BM，NM，（2）第一步：在Rt△AMN中，tanα=，∴AN=，第二步：在Rt△BMN中，tanβ=，∴BN=，其中：AN=d+BN，解得：NM=．17．解：（1）解法一：根据题意得4x+6y+7（21﹣x﹣y）=120化简得：y=﹣3x+27解法二：根据题意得2x+4y+2x+（21﹣x﹣y）+2y+6（21﹣x﹣y）=120化简得：y=﹣3x+27；（2）由，得，解得∵x为正整数，∴x=5，6，7故车辆安排有三种方案，即：方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆；（3）设总运费为W元，则W=1500x+1800（﹣3x+27）+2000（21﹣x+3x﹣27）=100x+36600∵W随x的增大而增大，且x=5，6，7=37100元∴当x=5时，W最小答：为节约运费，应采用（2）中方案一，最少运费为37100元18．解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．答：抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）解：A（﹣1，0），C（2，﹣3），由勾股定理得：AC==3，AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，∠BAC=45°，∵平行四边形ACQP的面积为12，∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，∴DN=4，∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=﹣x+3或②y=﹣x﹣5，∴由①得：，解得：或，由②得：，方程组无解，即P1（3，0），P2（﹣2，5），∵ACQP是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），∴当P（3，0）时，当以AC为边时，Q1（6，﹣3），Q2（0，3），当AC为对角线时Q3（﹣2，﹣3）∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2），Q3（﹣2，﹣3）当P（﹣2，5）时，当以AC为边时，Q4（1，2），Q5（﹣5，8），当AC为对角线时，Q6（3，﹣8）以AC为对角线时，答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或（0，3）或（﹣2，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）或（﹣5，8）或（3，﹣8）．（3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，﹣t+3），MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，则当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，∵P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．∴当P（3，0），Q（6，﹣3）时，PQ==3．当P（﹣2，5），Q（1，2）时，PQ==3，=×PQ×=．∴S△PQM答：△PQM的最大面积是，点M的坐标是（，﹣）．。
广东省罗定市华侨中学2019~2020学年度九年级数学竞赛试卷
罗定市华侨中学2019～2020学年度九年级数学竞赛试卷时间：90分钟 总分100分 成绩：一、选择题（每小题3分，共21分）1、下列5个英文字母中，是中心对称图形的有（ ）C H I N AA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2 、如果a ＜0，b ＞0，a +b ＜0，那么下列关系式正确的是（ ）A 、a -＜b -＜b ＜aB 、b -＜b ＜a -＜aC 、a -＜b -＜a ＜bD 、a ＜b -＜b ＜a -3、分解因式：1)1(2)1(2+---x x 的结果是（ ）A 、)2)(1(--x xB 、2xC 、2)1(+xD 、2)2(-x 4、若A ),1(1y -、B ),0(2y 、C ),1(3y 都在抛物线542+--=x x y 上,则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、3y ＜1y ＜2yB 、3y ＜2y ＜1yC 、1y ＜2y ＜3yD 、2y ＜1y ＜3y5、如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，要找出图中的全等三角形，最多可找出( )对。
A 、8B 、7C 、6D 、 46、把二次函数c bx ax y ++=2的图象向左平移4个单位长度或向右平移1个单位长度后都会经过原点，则图象的对称轴是（ ）A 、5.2-=xB 、5.2=xC 、5.1-=xD 、5.1=x7、如图，在△ABC 中，AB ⊥BC ，AB=BC=4，D 是BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连结ED 、EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、52B 、32C 、252+D 、232+二、填空题：（每小题4分，共28分）⎩⎨⎧-+5242 b x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11933y x y x 8、使式子2-m 有意义的最小整数m 是 。
9、直线b kx y +=（b ＞0）与x 轴交于点)0,4(-，则当y ＞0时，x 的取值范围是 。
2020年初三学科竞赛考试数学试题(含答案)
（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH的值．
24．（本题满分13分）在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。
第 Ⅰ 卷（选择题 共36分）
1、选择题（本题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题3分,满分36分）
1．计算下列各式，结果为负数的是
试卷类型：A
2020年初三学科竞赛考试
数 学 试 题
温馨提示：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1－2页为选择题，共36分；第Ⅱ卷3－8页为非选择题，共114分。满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并上交。
（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是；把图2条形统计图补充完整．
（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？
（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．
23.（本题满分12分）如图1，△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°，△ABD是等边角形，过点C作CF//BD,交AB于点E，交AD于点F。
A．3 B．4 C．5 D．6
10．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：il＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2020＝（ ）
湖南省怀化市沅陵县2020届九年级上学期知识竞赛数学试题(含答案)
2019年初中学科知识竞赛数学试卷第Ⅰ卷（填空题）一．填空题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+＝0，则第三边的长为．2．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．3．要使关于x的方程﹣＝的解为负数，则m的取值范围是．4．已知|m﹣2018|+m＝，则m+20182的值是．5．若实数a、b满足a+b2＝2，则a2+5b2的最小值为．6．已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2+的值等于．7．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN＝．8．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，现将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，其中点B的运动路径为，点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积是．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是．（11题图）（12题图）12．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B 时，内心I所经过的路径长为．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共7小题，满分90分，13-15题每小题10分，16-19题每题15分）13．已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（5分）（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？（5分）14．某电器超市根据市场需求，计划采购A、B两种型号的电风扇共40台．该超市准备采购这两种电风扇的金额不少于9000元，但不超过9100元，且所采购的这两种电风扇可以全部销售完，现已知A、B两种型号的电风扇的进价和售价如下表：（1）该电器超市这两种型号的电风扇有哪几种采购方案？（3分）（2）该电器超市如何采购能获得最大利润？（3分）（3）据市场调查，每台A型电风扇的售价将会提高a元（a＞0），每台B型电风扇售价不会改变，该电器超市应该如何采购才可以获得最大利润？（注：利润＝售价﹣进价）（4分）15．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2分）（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4分）（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）16．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（3分）（2）连接EF，求∠EFC的正切值；（5分）（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．（7分）17．如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（4分）（2）若＝，求∠E的度数；（5分）（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．（6分）18．如图1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠BAE＝∠F AE．（1）指出线段AF、BC、FC之间有什么关系，证明你的结论．（4分）（2）设AB＝12，求线段FC的长．（5分）（3）如图2：过AE中点G的直线分别交AB、CD于P、Q；求的值．（6分）19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2分）（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；（5分）②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．（8分）参考答案一．填空题（共12小题）1．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+＝0，则第三边的长为3或．【解答】解：∵|x﹣4|+＝0，∴x＝4，y＝5，①x、y是直角边时，第三边为．②当y＝5是斜边时，第三边为3，故答案为3或2．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是12＜a ≤14．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＜a，∴2＜x，∵不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；∴6＜a≤7，即12＜a≤14．故答案为12＜a≤14．3．要使关于x的方程﹣＝的解为负数，则m的取值范围是m＞﹣1且m≠3．【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣x2﹣2x＝m即﹣2x﹣1＝m解得x＝根据题意得：＜0解得：m＞﹣1∵x+2≠0，x﹣1≠0∴x≠﹣2，x≠1，即≠﹣2，≠1∴m≠±3，故答案是：m＞﹣1且m≠3．4．已知|m﹣2018|+m＝，则m+20182的值是2017．【解答】解：∵2017﹣m≥0，∴m≤2017．∴由|m﹣2018|+m＝得到：2018﹣m+m＝，则＝2018，∴m+20182＝m+2017﹣m＝2017．故答案是：2017．5．若实数a、b满足a+b2＝2，则a2+5b2的最小值为4．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．6．已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2+的值等于9．【解答】解：∵m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴m2+＝3m﹣1+＝3m﹣1+＝＝＝＝＝9，故答案为：9．7．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN＝．【解答】解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，由正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，又根据正方形的边长为1，得到BE＝BC＝1，在直角三角形BEF中，sin∠EBF＝，即BF＝EF＝BE sin45°＝1×＝，又PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，即BE×PM+×BC×PN＝BC×EF，∵BE＝BC，PM+PN＝EF＝；故答案为：．8．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是2．【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝4，∴AD＝4，∴MN＝AD＝2，故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，现将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，其中点B的运动路径为，点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：如图1，过A作AD⊥BC于D∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴AD＝2，BD＝CD＝2∴BC＝4∵根据旋转的性质知∠BCB'＝∠ACA'＝60°，△ABC≌△A'B'C，∴S△ABC＝S△A'B'C，∴S阴影＝S扇形CB'B+S△A'B'C﹣S△ABC﹣S扇形CA'A＝﹣＝．故答案是：π．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为 2.8．【解答】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG＝EA，由题意得，BD＝DG+BG＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝8，设BE＝x，则EG＝AE＝8﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（x）2+（6﹣x）2，解得，x＝2.8，即BE＝2.8，故答案为：2.8．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是②④⑤．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，0），∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，∵a＞0，∴10a+3b+c＞0，故②正确；∵对称轴为x＝1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1＜y2，故③错误；当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝＝，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴当x＝﹣时，y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+c＝0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又∵x＝1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b＝﹣2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．12．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B 时，内心I所经过的路径长为cm．【解答】解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，又∵OP＝OA，OI公共，而∠IOP＝∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连P A，PO，∵∠AIO＝135°，∴∠APO＝180°﹣135°＝45°，∴∠AO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O＝OA＝×2＝，∴弧OA的长＝＝（cm），所以内心I所经过的路径长为cm．故答案为：cm．二．解答题（共7小题）13．已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（5分）（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？（5分）【解答】解：（1）当m＝0时，方程为﹣3x+3＝0，其解为x＝1；当m≠0时，∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4m×3＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，∵（m﹣3）2≥0即△≥0，∴不论m为何值，方程总有实数根．（2）（mx﹣3）（x﹣1）＝0x1＝，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝114．某电器超市根据市场需求，计划采购A、B两种型号的电风扇共40台．该超市准备采购这两种电风扇的金额不少于9000元，但不超过9100元，且所采购的这两种电风扇可以全部销售完，现已知A、B两种型号的电风扇的进价和售价如下表：型号A B进价（元/台）200250售价（元/台）240300（1）该电器超市这两种型号的电风扇有哪几种采购方案？（3分）（2）该电器超市如何采购能获得最大利润？（3分）（3）据市场调查，每台A型电风扇的售价将会提高a元（a＞0），每台B型电风扇售价不会改变，该电器超市应该如何采购才可以获得最大利润？（注：利润＝售价﹣进价）（4分）【解答】解：（1）设该电器超市采购A、B两种型号的电风扇的台数分别为x台、（40﹣x）台，9000≤200x+250（40﹣x）≤9100，解得，18≤x≤20∵x为正整数∴x＝18或19或20，∴40﹣x＝22或21或20，∴该电器超市共有3种采购方案：①购买A型电风扇18台、B型电风扇22台；②购买A型电风扇19台、B型电风扇21台；③购买A型电风扇20台、B型电风扇20台；（2）方案①的利润为：（240﹣200）×18+（300﹣250）×22＝720+1100＝1820（元）；方案②的利润为：（240﹣200）×19+（300﹣250）×21＝760+1050＝1810（元）；方案③的利润为：（240﹣200）×20+（300﹣250）×20＝800+1000＝1800（元）；∴能获得最大利润的购买方案是方案①：购买A型电风扇18台、B型电风扇22台．（3）利润为：（240﹣200+a）x+（300﹣250）×（40﹣x）＝40x+ax+2000﹣50x＝（a﹣10）x+2000，当0＜a＜10时，a﹣10＜0∴x越小，利润越大，∴能获得最大利润的购买方案是方案①：购买A型电风扇18台、B型电风扇22台；当a＝10时，a﹣10＝0，∴3种方案的利润相同；当a＞10时，a﹣10＞0∴x越大，利润越大∴能获得最大利润的购买方案是方案③：购买A型电风扇20台、B型电风扇20台．15．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2分）（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4分）（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）【解答】解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．16．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（3分）（2）连接EF，求∠EFC的正切值；（5分）（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．（7分）【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝4，∴B（4，0），C（4，3），∵F是BC的中点，∴F（4，），∵F在反比例y＝函数图象上，∴k＝4×＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，∵E点的坐标为3，∴E（2，3）；（2）∵F点的横坐标为4，∴F（4，），∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝∵E的纵坐标为3，∴E（，3），∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝，在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝，（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，，过点E作EH⊥OB于H，∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，∴∠EGH+∠HEG＝90°，由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，∴∠EGH+∠BGF＝90°，∴∠HEG＝∠BGF，∵∠EHG＝∠GBF＝90°，∴△EHG∽△GBF，∴＝，∴，∴BG＝，在Rt△FBG中，FG2﹣BF2＝BG2，∴（）2﹣（）2＝，∴k＝，∴反比例函数解析式为y＝．17．如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（4分）（2）若＝，求∠E的度数；（5分）（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．（6分）【解答】证明：（1）连接OC，∵OC＝OB，BC平分∠ABD，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠BDC＝∠ECO，∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°，∴∠ECO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，∴△OCF∽△DBD，∴，∵＝，∴，∵OC∥BD，∴△EOC∽△EDB，∴，∴，设OE＝2a，EB＝3a，∴OB＝a，∴OC＝a，∵∠OCE＝90°，OC＝OE，∴∠E＝30°；（3）∵∠E＝30°，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE，∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BC＝4，BD＝6，∵，∴OC＝4，作DM⊥AB于点M，∴∠DBM＝90°，∵BD＝6，∠DBM＝60°，∴BM＝3，DM＝3，∵OC＝4，∴AB＝8，∴AM＝5，∵∠DMA＝90°，DM＝3，∴AD＝＝．18．如图1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠BAE＝∠F AE．（1）指出线段AF、BC、FC之间有什么关系，证明你的结论．（4分）（2）设AB＝12，求线段FC的长．（5分）（3）如图2：过AE中点G的直线分别交AB、CD于P、Q；求的值．（6分）【解答】解：（1）AF＝BC+FC，证明如下：如图1，过E作EM⊥AF交AF于点M，∵∠BAE＝∠F AE，∴BE＝ME，在Rt△ABE和Rt△AME中，，∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），∴AM＝AB＝BC，ME＝BE＝EC，在Rt△MFE和Rt△CFE中，，∴Rt△MFE≌Rt△CFE（HL），∴MF＝FC，∴AF＝AM+MF＝BC+FC；（2）设FC＝x，由（1）可知MF＝x，AM＝AD＝AB＝12，则DF＝12﹣x，AF＝12+x，在Rt△AFD中，由勾股定理可得：AD2+DF2＝AF2，即122+（12﹣x）2＝（12+x）2，解得x＝3，即FC＝3；（3）如图2，过G作RS∥BC，交AB于点R，交CD于点S，∵G为AE中点，∴R为AB中点，∴RG＝BE＝BC，GS＝RS﹣RG＝BC﹣RG＝BC﹣BC＝BC，∵AB∥CD，∴＝＝＝．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2分）（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；（5分）②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．（8分）【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如图，令y＝0，∴﹣x2﹣x+2＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴＝＝（a+2）2+；∴当a＝﹣2时，的最大值是；②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴P A＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k﹣k＝k，∴＝＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣，点D的横坐标为﹣2或﹣．。
2019-2020 学年北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题(含答案)
2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 比例与相似专题（含答案）1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． ADEG FB HCAEP BDCG K MNF4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA⊥且交于E ，求证：CE MN =． 解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ===，1AE ED ==，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==．5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．AB D CADEMN BCAEFGB解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．8.ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==．解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值．评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．G AE BDCFA E DQGH POB F CF AEB G D C9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥．10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+． AF DOB CEARP Q BDC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC=+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．12. 设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．13. 设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．A DE MF GNHBCCABbca DDA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 14. AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．15. 足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h '''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．ADF B EG P CA MBCND P图(a)跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B BC CD D PB PC PD'"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．16. 求日高公式． 解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh HRxDB'A A'hhCB。
2019年秋九年级数学竞赛试题(含答案)
九年级数学竞赛试题一．选择题：（每题4分，共32分）1．若m 为实数，则代数式||m ＋m 的值一定是（ ）．A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数2．若10<<a ，化简2211()4()4a a a a-+++-的结果为（ ）A ．2a -B ．2aC ．－2aD ．2a 3．如果a ，b ，c 都不为零且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值是（ ） A ．零 B ．正数 C ．负数 D ．不能确定4．已知四边形的边长分别是m ，n ，p ，q ，且满足222222m n p q mn pq +++=+，则这个四边形是（ ）A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形D ．平行四边形或对角线互相垂直的四边形5．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．143≤<mB ．43≥mC ．10≤≤mD ．143≤≤m6．如下图，已知函数y ax b =+和2(0)y ax bx c a =++≠，那么它们的图象可以是（ ）A B C D7．记35311+-=x y ，25212+=x y ，523+-=x y ，对每一个实数x ，都有唯一的一个值y 1，y 2，y 3与之对应，取y 为三数之中的最小值，当x 取遍所有实数时，所有y 值中的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝12.5，O 在BC 上，OB ＝3.5．以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，M 坐标为（5，0），以OM 为一边作等腰△OMP ，P 点落在矩形ABCD 的边上，则符合条件的P 点共有（ ）个A ．5B ．6C ．7D ．8二．填空题：（每题4分，共32分）9．规定][a 表示不超过a 的最大整数，当1-=x 时，代数式6323+-nx mx 的值为16，则]32[n m -的值为________．10．若52=a ，94=a ，并且所有正整数n 满足1611=+++-n n n a a a ，则2016a ＝ ． 11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ．△ACE ．△BCF 是等边三角形，则四边形AEFD的面积为_______．12．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点P 在经过点A （－4，0），B （0，4）的直线上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 的最小值为________．yxO MDC B AEFDAB PBA O yx第8题图 第11题图 第12题图 13．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 与x 轴只有一个交点．则243-+a a 的值为_________． 14．已知实数x ，y 满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 ．15．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝6cm ，DC ＝7cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D ′CE ′，如图乙．这时AB 与CD ′相交于点O ，D ′E ′与AB 相交于点F ．则线段AD ′的长为___________．16．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动；同时，点Q沿折线A —B —C 从点A 开始向点C 以2cm /s 的速度移动．当点P 移动到点A 时，P ，Q 同时停止移动．设点P 出发x 秒时，△P AQ 的面积为ycm 2，y 与x 的函数图象如图②，写出线段EF 所对应的函数关系式并指出自变量的取值范围：____________________．图①PQDCB A第15题图 第16题图ACBE D（甲）E 'ACBOF D '（乙）三．解答题：（56分） 17．（8分）在学校文化艺术节中，有A ，B ，C ，D 四个班的同学参加集体舞表演，已知A ，B 两个班共16名演员，B ，C 两个班共20名演员，C ，D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A ，B ，C ，D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 18．（8分）△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，满足下列条件：①c b a >>；②b c a 2=+；③b 为正整数，a ，c 不一定是正整数；④842222=++c b a ．根据以上条件： （1）用含b 的代数式表示ac ；（3分）（2）求b 的值．（5分）19．（8分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D ，E 是边AB 上的两点，AD ＝3，BE ＝4，∠DCE ＝45°．（1）求证：AD 2＋BE 2＝DE 2；（4分） （2）求△ABC 的面积．（4分）EDB CA20．（8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＞BC ，点D 为的中点．（1）求证：CD 平分∠ACE ；（3分）（2）求证：AD 2＝AC ·BC ＋CD 2．（5分）ODCBA21．（12分）某公司市场信息部经过调研发现：如果单独投资A 产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在一次函数关系1+=kx y A ．并且当投资5万元时，获得利润3万元；如果单独投资B 产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系bx ax y B +=2．并且当投资2万元时，获得利润2.4万元；投资4万元时，获得利润3.2万元． （1）分别求出上述的一次函数和二次函数的解析式；（4分）（2）如果该公司只投资一种产品，当投资金额在什么范围内，投资B 产品合算？（4分）（3）如果该公司同时对A ，B 两种产品投资，共投资10万元．请设计一种投资方案，使获得的总利润最大，最大总利润是多少万元？（4分）22．（12分）如图，已知抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的对称轴为x ＝－1，且经过A (1，0)，C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线和直线BC 的解析式；（4分）（2）N 点是抛物线上第二象限的一个动点，当△NBC 面积最大时，求N 点坐标；（4分） （3）设点P 在抛物线的对称轴x ＝－1上，且△BPC 是直角三角形，直接写出点P 的坐标．（4分）九年级数学竞赛题参考答案一．选择题（每题4分，共32分）1．D2．B3．A4．D5．A6．C7．B8．C二．填空题（每题4分，共32分）9．－410．211．612．13．814．415．516．三．解答题：17．设A班有x名演员，则B班有（16－x）名演员，C班有20－（16－x）＝（x＋4）名演员，D 班有34－（x＋4）＝（30－x）名演员．由已知得：，解得：．∵x为整数，所以．所以：A班有7名演员，B班有9名演员，C班有11名演员，D班有23名演员．18．（1）由④得：，由②得：，即：，∴，．………………3分（2）于是a，c可以看作方程两根，∵a，c是三角形的边长，所以，解得．∵b为正整数，所以，b＝4．…………………8分19．（1）将△BCE绕点C顺时针旋转90°到△ACF位置，连接DF．这时，∠DCF＝∠DCA＋∠FCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°－∠DCE＝45°．在△DEC和△DFC中，CE＝CF，∠DCE＝∠DCF，CD＝CD，∴△DEC≌△DFC，∴DE＝DF．∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴∠DAF＝90°．在△DAF中，由勾股定理可得：AD2＋AF2＝DF2．∵AF＝BE，DF＝DE，所以：AD2＋BE2＝DE2．…………………4分（2）由（1）得：DE＝5，所以：AB＝3＋4＋5＝12．过C作CH⊥AB，垂足为H，则CH＝AB＝6，所以：△ABC的面积S＝＝36．…………………8分20．（1）∵D为的中点，∴∠ACD＝∠BAD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE．………………3分（2）连接BD，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BE于N．∵D为的中点，∴AD＝BD．∵CD平分∠ACE，DM⊥AC，DN⊥BE，∴DM＝DN．在Rt△ADM和Rt△BDN中，，所以Rt△ADM≌Rt△BDN，∴AM＝BN．在Rt△DCM和Rt△DCN中，，所以Rt△DCM≌Rt△DCN，∴CM＝CN．在△ADM和△CDM中，由勾股定理得：，．∴＝．……………8分21．（1），；…………………4分（2）当时，＝，解得：，．∴当时，；…………………8分（3）设对B产品投资t万元，则A产品投资（10－t）万元，总利润为w万元，则：．，当时，w的最大值为6.8万元．即对A产品投资7万元，B产品投资3万元，所获利润最大，最大利润是6.8万元．………………12分22．（1）抛物线的解析式为：；…………………2分直线的解析式为：．…………………4分（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于M，设N点的横坐标为t，则N点坐标为（t，），M点的坐标为（t，），则MN＝； e则△NBC的面积S＝＝＝．………7分即当时，S的最大值是，此时，N点的坐标为（，）．………8分（3）P1（－1，4），P2（－1，－2），P3（－1，），P3（－1，）．…………………12分。
2019年初三数学竞赛试卷附答案
2019年初三数学竞赛模拟试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（）A．B．C．D．2．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）A．15 B．18 C．21 D．243．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：74．如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（）A．2 B．4 C．D．5．把正整数按下图所示的规律排序，那么从2005到2007的箭头方向依次为（）A．B．C．D．6．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3 B．8 C． D．2第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）7．当整数m=时，代数式的值是整数．8．规定一种运算“*”：对于任意实数对（x，y）恒有（x，y）*（x，y）=（x+y+1，x2﹣y ﹣1）．若实数a，b满足（a，b）*（a，b）=（b，a），则a=，b=．9．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n次移动n格．则不停留棋子的格子的编号有．10．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m 与2m，那么，塔高AB=m．11．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，图甲．用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8cm和2.3cm，图乙．那么该两层卫生纸的厚度为cm．（π取3.14，结果精确到0.001cm）12．如图，等腰直角三角形ABD，点C是直角边AD上的动点，连接CB．现在将点C绕点A逆时针方向旋转90°得点E，再将点C绕点B顺时针方向旋转90°得点F．如果，设△AED，△BFD，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，那么S1+S2﹣S3=．评卷人得分三．解答题（共4小题，共46分）13．（10分）已知，x、y满足，求（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y）的值．14．（12分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．15．（12分）是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2﹣qx+p=O有有理数根？16．（12分）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．参考答案与试题解析1．解：由，而，故删去后，可使剩下的数之和为1．故选：C．2．解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线，这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形．共得21个菱形．故选：C．3．解：根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．设EF=x，DF=y，则在直角△AED中，AE=y﹣x，AD=CD=y，DE=x+y．根据勾股定理可得：（y﹣x）2+y2=（x+y）2，∴y=4x，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x=6：7．故选：D．4．解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'=HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'===2．故选：C．5．解：∵1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，而2005除以4的余数为1，∴2005的位置和1的位置相同，∴20052007．故选：D．6．解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD=∠CBA，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD=4，则AE=DE=2；∴BE=BD+DE=7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE•AB=7×9=63；故BC=3．故选：A．7．解：∵要使代数式的值是整数，∴3m﹣1只能在±1、±2、±3、±6这四个数中取值，∵当3m﹣1=1时，∴m=，当3m﹣1=﹣1时，m=0，当3m﹣1=2时，m=1，当3m﹣1=﹣2时，m=﹣，当3m﹣1=3时，m=，当3m﹣1=﹣3时，m=﹣，当3m﹣1=6时，m=，当3m﹣1=﹣6时，m=﹣，又∵m也是整数，∴可得m=0或1，故答案为0或1．8．解：由题意得：，解得，故答案两空分别填﹣1，1．9．解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n=n（n+1），应停在第=n（n+1）﹣7p格，这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n=1，2，3，4，5，6，7时，n（n+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，若7＜n≤10，设n=7+t（t=1，2，3）代入可得，=n（n+1）﹣7p=7m+12t（t+1），由此可知，停棋的情形与n=t时相同，故第2，4，5格没有停留棋子．故答案为：2，4，5．10．解：作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，可得矩形BDFG．由题意得：=∴DF==14.4（m）；∵GF=BD=CD=7（m），同理可得：=，∴AG=1.6÷2×7=5.6（m），∴AB=14.4+5.6=20（m）．∴铁塔的高度为20m．故答案为：20．11．解：设该两层卫生纸的厚度为hcm ．根据题意，得 11.4×11×h ×300=π（5.82﹣2.32）×11 37620h=π（33.64﹣5.29）×11 h ≈0.026．答：两层卫生纸的厚度为0.026cm ．12．解：作CM ⊥AB ，DN ⊥BF 垂足分别为M ，N ， 由旋转的性质可知AC=AE ，BC=BF ， 设AC=x ，则CM=x ，又AD=BD=，∴AB=2，那么S △AED =×AE ×AD=x ，S △ABC =×AB ×CM=x ，而△BDN ∽△CBD ，那么，那么DN ×BC=BD 2=2，∴S △BFD =×BF ×DN=×DN ×BC=1， ∴S 1+S 2﹣S 3=S △AED +S △BFD ﹣S △ABC =x +1﹣x=1．故答案为：1．13．解：∵且，∴y ﹣2x=0， ∴x=1，y=2；（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y），=（1+2）+（1+4）+（1+6）+…+（1+398），=3+5+7+ (399)=，=39999．14．解：如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．∵AB=2AC，∴△ABQ与△ACP相似比为2．∴AQ=2AP=2，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=AP=3，∴BP2=25=BQ2+PQ2，从而∠BQP=90°，过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，∴AM=PQ，MQ=AP，∴AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+8，=AB•ACsin60°===3+．故S△ABC故答案为：3+．15．解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2﹣4p2=n2，规定其中n是一个非负整数．则（q﹣n）（q+n）=4p2．（5分）由于1≤q﹣n≤q+n，且q﹣n与q+n同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：、、、、消去n，解得．（10分）对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．又当p=2，q=5时，方程为2x2﹣5x+2=0，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．（15分）16．解：（1）连接PC．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，∴∠DPC=∠BPE．∴△PCD≌△PBE．∴PD=PE；（2）共有四种情况：①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；②CE=2﹣，此时PB=BE；③当CE=1时，此时PE=BE；④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB；（3）MD：ME=1：3．过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．∴MH∥AC，MF∥BC．∴四边形CFMH是平行四边形．∵∠C=90°，∴▱CFMH是矩形．∴∠FMH=90°，MF=CH．∵，HB=MH，∴．∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，∴∠DMF=∠EMH．∵∠MFD=∠MHE=90°，∴△MDF∽△MEH．∴．。
2019年初三数学竞赛试卷及答案
2019年初三数学竞赛试卷及答案2019年初三数学竞赛试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1.用甲乙两种饮料按照x：y（重量比）混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元。
现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，则x：y=（）A。
4：5B。
3：4C。
2：3D。
1：22.一个立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对的两个面内的两数之和都相等，如图是这个立方体的平面展开图，若20、__、9的对面分别写的是a、b、c，则a²+b²+c²-ab-bc-ca的值为（）A。
481B。
301C。
602D。
9623.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）A。
1/12B。
1/6C。
1/4D。
1/34.设$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，S是曲线$y=f(x)$与x轴所围成的面积，$S_1$是曲线$y=\frac{1}{2}f(x)$与x轴所围成的面积，则4$S_1$的整数部分等于（）A。
4B。
5C。
6D。
75.横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=$\frac{1}{x}$在第一象限内有整点，这些整点的个数是（）A。
3个B。
4个C。
6个D。
8个6.有红色、黄色、蓝色三个盒子，其中有一个盒子内放有一个苹果；三个盒子上各写有一句话，红色盒子上写着“该盒子没有苹果”，黄色盒子上写着“该盒子内有苹果”，蓝色盒子上写着“黄色盒子内没有苹果”；已知这三句话中有且只有一句是真的，那么XXX在哪个盒子内（）A。
红色B。
黄色C。
2019-2020学年九年级下学期数学百题竞赛试卷A卷
2019-2020学年九年级下学期数学百题竞赛试卷A卷姓名:映成晚一、选择题供40题；共80分）1.（2分）（2015*梧州）1"5!=（）1A.-51B.5C.5D .-52.（2分）在平面直角坐标系中，点P （-2,3-n）所在象限是（）A.第一象限B・第二象限C.第三象限D .第四象限3.（2分）已知€）0的半径为5,若PO=4.则点P与的位置关系是（）A.点P在00±B・点P在。
内C.点P在。
外D.无法判断4.（2分）下列运算正确的是（）A .3x2+2x3=5x6B .50=01C.2-3=6D .（x3）2=x65.（2分）（2012•葫芦岛）如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,若AC=8,BD=10,AB=6,则△0.AB的周长为（）BA .12B.13C.15D .166.（2分）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中：（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满：（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）A .20cm3以上，30cm3以下B•30cm3以上，40cm3以下C•40cm3以上，50cm3以下D .50cm3以上，60cm 3以下7.（2分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Zl=22°,那么N2的度数是（）A .22°B .78°C.68°D .70。
8.（2分）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosa的值是（）3A.44B .33C.54D .59.（2分）在实数-言而中，无理数的个数是（）A .1个B .2个C.3个D .4个10.（2分）若一个三角形三边a, b.c满足（a+b）2=c2+2ab.则这个三角形是（A .等边三角形B .钝角三角形C.等腰直角三角形D .直角三角形[=111.（2分）已知1>'=2是关于x,y的二元一次方程x-ay=3的一个解，则a的值为）A.1B .-1C.2D .-2112.（2分）关于二次函数y=2（x+l）2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下B .经过原点C.对称轴右侧的部分是下降的D .顶点坐标是（-1,0）13.（2分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A.等边三角形B .直角三角形C.矩形D .等腰梯形14.（2分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A.3B.21C.31D.415.（2分）如图，取一张长为a,宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似.则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）-----------1----------------1----------案一次时折；第二次对折—A:------Ab:—•1I IaA.我邓bB .a=”C.a=2^2bD."=#16.（2分）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）A.如果a^b,那么a^c^b-ca bzzB .如果C。
2019-2020年九年级数学竞赛试题含答案_
2019-2020年九年级数学竞赛试题含答案_班级： 姓名：说明：竞赛时间：2007年3月9日上午9：00～10：00。
考试时间：60分钟．总分120分．每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在下面的答题卡上。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案1．某校为了解学生的体能情况，随机抽查30名初三学生，测试1分钟内仰卧起坐的次数，并绘制成如图1所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 2．若26321nn aa =-，则的值为（ ）A 、17B 、35C 、53D 、14573．从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）A 、1张B 、2张C 、3张D 、4张4．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ） A 、上午12时 B 、上午10时 C 、上午9时30分 D 、上午8时 5．如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A 、525 B 、625 C 、1025 D 、19256．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、6对7．点M （sin 60cos60-，）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）6123454321E 图3DCBAA 、122，） B、1(2-） C 、1(2，） D、12-（， 8．从鱼塘打捞草鱼300尾，从中任选10尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4（单位：kg ），依此估计这300尾草鱼的总质量大约是（ ） A 、450kg B 、150kg C 、45kg D 、15kg9．下列实数0221 sin 60 3.141597π-），，，属于无理数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10．在函数 0)ky k x=>（的图像上有三点111222333(,) (,) (,)A x y A x y A x y ，，，已知1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）A 、120y y <<B 、310y y <<C 、213y y y <<D 、312y y y <<11．如果关于1)11x a x a x a +>+<的不等式（的解集为，那么的取值范围是（ ）A 、0a >B 、0a <C 、1a >-D 、1a <-12．如图4，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE=DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③AO=OE ；④DEOF ABCSS =四边形中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图5所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 、450a 元B 、300a 元C 、225a 元D 、150a 元14．观察下列算式：12345672=22=42=82=162=322=642=128=2568，，，，，，，2……通过观察，用你所发现的规律写出118的末位数字是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、815．已知22125a b a b a b -=+=+，，的值为（ ） A 、7 B 、－7 C 、±7 D 、±916．某单位购买甲、乙两种纯净水若干桶，共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水桶数是甲种水桶数的75%。
2019-2020学年湖南省郴州市九年级下数学竞赛试卷及答案解析
2019-2020学年湖南省郴州市九年级下数学竞赛试卷
一、选择题（每小题2分，共8分）
1．（2分）若m﹣n＝1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值是（）
A．2B．1C．﹣1D．3
2．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）
A．x＞0B．x＞﹣3C．x＞2D．﹣3＜x＜2 3．（2分）某村办工厂2019年前五个月生产某种产品的总量c（万件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少
B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
D．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
4．（2分）“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）
A．左上B．左下
C．右下D．以上选项都正确
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C BAD2019-2020年九年级数学竞赛考试试题试卷说明：1、时间：120分钟，满分：150分。
2、答案必须．．写在答题卷上相应的地方，写在试卷上无效。
3、不能．．使用计算器。
一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分）。
1.在实数 3.14-，0，π-， （ ）（A ）0． （B ）π-． （C ） （D ） 3.14-．2.若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = （ ） （A ）1． （B ）2-． （C ）1-． （D ）21-或．﹣234.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，此时一只蚂蚁正好位于折断处并朝着树尖的方向爬行，爬行速度是每分钟0.5米，经测量AB 长2米，则蚂蚁爬到B 处需要多久 （ ） （A ）2分钟． （B ）3分钟．（C ）(5+1)分钟． （D ）分钟． （第4题）5．对于非零的实数a 、b ，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x ﹣1）=1，则x= （ ） (A)(B)(C)﹣6.如图，每个小正方形的边长为10，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 （ ） （A ）90°． （B ）60°． （C ）45°． （D ）30°．7.数学课上，老师在黑板上画直线l 平行于射线AN （如图），两平行线之间的距离d=3，现在让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形且面积为3．这样的三角形最多能画 ( ) （A ）0个． （B ）1个． （C ）2个． （D ）3个．（第6题） （第7题） （第8题）338.如图，点P 为□ABCD 的边CD 上一点，若⊿PAB 、⊿PCD 、⊿PBC 的面积分别为S 1、S 2和S 3，则它们之间的大小关系是 （ ）(A) S 3＝S 1＋S 2 (B)2S 3＝S 1＋S 2 (C)S 3＞S 1＋S 2 (D) S 3＜S 1＋S 2 9. 在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y =x －2与y = kx +k 的交点为整点时，k 的值可取 （ ）(A)4个(B) 5个(C) 6个(D) 7个10.已知abc ≠0，并且,p b a c a c b c b a =+=+=+则直线p px y +=一定经过 （ ）(A)第一、三象限 (B)第二、三象限 (C)第三、四象限 (D)第一、四象限二、填空题（共6小题,每小题5分,共30分）11.如图，从边长为()23a +cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积是______________________.12.如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =___________________.13.如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE=AD ，DF=BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论正确的有__________________.(填序号) ① GD=GH ；② EC=2DG ；③CDGDHGESS =四边形；④图中有7个等腰三角形。
14. 一次函数y =kx +2的图像与x 轴的交点到原点的距离为2，那么k 的值为_____。
15.在正方形ABCD 中，E 在BC 上，BE=1，CE=3，P 是BD 上的动点，则PE 和PC 的长度之和最小是_____________. 16. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图方式放置，点A 1、A 2、A 3…和点C 1、C 2、C 3…分别在直线()0>+=k b kx y 和x 轴上。
已知点B 1（1，1）、B 2（3，2），请写出点B 4的坐标是 ，……，点B n 的坐标是 。
（第一空3分，第二空2分）三、解答题（共7个小题，共70分，要写出解题过程）ED CBA（第12题图）17．（8分）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．，，，┅┅（1）计算= ________ ；（2）探究= _________ ；（用含有n的式子表示）（3）若的值为，求n的值．（第（1）、（2）小题直接写出答案，各2分；第（3）小题要写出解答过程，4分）18．（8分）某中学八(1)班共50名同学开展了“我为灾区献爱心”捐款活动. 小明将捐款情况进行了统计，并绘制成如下的条形统计图.（1）填空：该班同学捐款数额的众数是元，中位数是元；（每空2分）解释：众数的概念:数据中出现次数最多的数.中位数的概念:就是把数据从小到大排列好了以后中间的那个数字.比如有13个数，中间第7个的数就是中位数:如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，比如说18个数据，就应该是第9位和第10位相加除以2。
（2）该班平均每人捐款多少元？（4分）19.（10分）已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝2，BC⑴求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；⑵求对角线BD的长。
20. （10分）衡南县某商场进货员在邵东县发现一种春季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该地的所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在广州用了176000元购进了所需衬衫，只是单价比邵东贵4元，商场按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商场这笔生意赢利多少元？21. （10分）如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE•⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．22.（12分）已知点P（m，n）是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝3x（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；D金额(元) （第20题）（2）在点P 运动过程中，连接AB ，△PAB 的面积是否变化，若不变，请求出△PAB 的面积；若改变，请说明理由；（3）在点P 运动过程中，以点P 、A 、B 、C 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m 的值；若不能，请说明理由． 23.（12分）在综合实践活动课中,王老师出了这样一道题:如图1，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，过点M 作AC ME //交BD 于点E ，作BD MF //交AC 于点F .求证：四边形OEMF 是菱形.做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其他同学解答. (1)小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD ’改为‘菱形ABCD ’， 如图2所示，发现四边形OEMF 是矩形.”请给予证明； (2)小芳同学说：“我把条件中的‘点M 是BC 的中点’ 改为‘点M 是BC 延长线上的一个动点’，发现点F 落在AC 的延长线上,如图3所示, 此时OB 、ME 、MF 三条线段之间存在某种数量关系.”请你写出这个结论，并说明理由.A B C M E （图3） F ODA B C M E （图1） F O D A B C ME （图2）F O D数学答案一、选择题1-10 B D C D C C B A A B 二、填空题11.23108a a ++12.①③ 14.1± 15.516.(15，8),(121,2nn -- ) 三、解答题 17.（1）56（2分）（2）1nn +（2分） （3）=+…+==由=，解得n=17，经检验n=17是方程的根，∴n=17． （4分）18. （1）50,40；（每空2分）（2）()20113014502010055042.8⨯+⨯+⨯+⨯÷=元（4分） 19．（1）（220． 解：设广州进货的衬衫的单价为x 元，则由题意得4176000280000+=⨯x x ，解得x=40. 总件数=600034080000=⨯（件）赢利=9026044000)408.058(150)1506000()4058(=⨯--⨯⨯+-⨯-（元） 答：略21. 解：连结OP ．由矩形ABCD ，AD=12，AB=5． ∴AC=BD=2OA=2OB=13． ∴OA=OD=6．5． 而S 矩形=12×5=60． ∴S △AOD =14×60=15．∴S △AOP +S △DOP =15．即12×OA ×PF+12×OD ×PE=15． ∴12×6.5×（PE+PF ）=15．∴PE+PF=6013．22. 解：（1）∵点P （m ，n ）是反比例函数（x ＞0）图象上的动点，∵PA ∥x 轴，PB ∥y 轴， 12×（3）若PBAC 为平行四边形，则有AC ∥PB ∥y 轴，AP ∥BC ∥y 轴．则当PA ∥AB ，PA=AB 时，可得m=3或1．23. (1) 证明：AC ME //，BD MF //,∴四边形OEMF 是平行四边形. 又 四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥,即︒=∠90EOF ， ∴四边形OEMF 是矩形.(2)结论: MF ME OB -=.理由如下： AC ME //，BD MF //,∴四边形OEMF 是平行四边形, ∴MF OE =, 又 四边形ABCD 是矩形，∴BD OB 21=,AD OC 21=,且BD AC =,∴OC OB =, ∴OCB OBC ∠=∠,由AC ME //可知，EMB OCB ∠=∠, ∴EMB OBC ∠=∠,∴ME BE =, ∴MF ME OE BE OB -=-=.。