扩散的年龄结构模型
一类带年龄结构的扩散捕食系统的定性分析的开题报告
一类带年龄结构的扩散捕食系统的定性分析的开题报告
1. 研究背景
在生态系统中，食物链是一个基本的生态关系。
扩散捕食系统是一类典型的食物链模型，它包括食物链中的捕食者和被捕食者。
然而，实际生态系统中存在许多复杂的因素，如捕食者和被捕食者的年龄结构，这些因素对捕食者和被捕食者的数量和分布产生影响。
因此，对年龄结构扩散捕食系统的定性分析是十分必要和有意义的。
2. 研究内容和方法
本文将研究一类带年龄结构的扩散捕食系统，主要包括以下内容：
(1) 模型建立：本文将根据生态系统中捕食者和被捕食者的年龄结构，建立一种动态的数学模型，描述捕食者和被捕食者数量的变化。
(2) 微分方程求解：利用微分方程求解技巧，解析求解模型的解析解。
(3) 定性分析：对所得到的解析解进行定性分析，研究年龄结构对扩散捕食系统的影响，如年龄结构如何影响扩散速度、稳定状态等。
3. 预期结果
本文预期可以得到以下结果：
(1) 建立了带年龄结构的扩散捕食系统模型。
(2) 解析求解了模型的解析解。
(3) 对模型的解析解进行定性分析，研究年龄结构对扩散捕食系统的影响。
4. 研究意义
本文的研究对于深入理解生态系统中复杂的生态关系有着重要的作用，有利于生态环境保护和合理利用资源。
同时，本文对于动态分析和控制生物种群数量具有重要的理论意义和实际应用价值。
具有年龄结构的种群增长模型模拟
具有年龄结构的种群增长模型模拟姓名：学号:系别：生命科学学院生物科学专业班号：2实验日期：4月20日同组同学：实验目的了解具有年龄结构的种群增长规律加深对种群生命表与Leslie矩阵的认识实验原理任何一个多年生生物种群的动态是与各龄级的个体逐年死亡和新生个体逐年增加密切相关的，并最终导致种群数量和年龄结构的变化以及各龄级死亡率和生殖力的变化。
所以，年龄结构的变化对种群数量的影响十分重要。
Leslie矩阵可以依据生命表的参数，使种群数量和年龄结构的变化得到定量的表述和预测。
其中几个参数十分重要：x=按年龄分段；nx=在x期开始时存活数目；lx (px) =在x期开始时存活的分数；dx=从x到x+1 期的死亡数目；mx (fx) ＝各年龄段的平均生殖率；r＝种群的内禀增长率；λ＝种群的周限增长率；R0=净增殖率；Vx＝年龄x的个体的生殖价（该个体马上要生产的后代数量加上预期的其在以后的生命过程中要生产的后代数量）；ex＝x期开始时的平均生命期望或平均余年（进入x齢期的个体，平均能活多长时间的估计值）。
计算公式lx=nx/n0dx=nx-nx+1ex=∫xlx·dx lxVa=∑x=ae ·mx·lx e ·lar=㏑(R0) Tλ=eR0=∑lx·mxT=∑x·lx·mx Ro实验器材计算机模拟运行软件方法与步骤进入程序后，选择种群建立几个年龄级；选择种群生长的时间长度；设计种群结构，给lx,mx,N0赋值，进行分析实验设计方案：有一群害虫，它们的各个参数设置如下1、选择具有年龄结构的种群，建立4个年龄级，即x=4；2、设置Time intervals为10个ooo lx mx Nx03、设计种群结构，按照对照原则和单一变量原则，每次改变一个参数，观察该参数的改变对ƩN 的影响。
1）、相对于原始数据ooo ，单一改变Lx ，得到数据oo1、oo2；oo1 Lx mxNx 0oo2 lx mxNx 01 1 0 1 1 1 0 12 0.8 1 0 2 0.5 1 03 0.25 3 0 3 0．4 3 0 442）、相对于原始数据ooo ，单一改变mx ，得到数据o1o 、o2o ；o1o lx mxNx 0o2o lx mxNx 01 1 0 1 1 1 0 12 0.5 5 0 2 0.5 1 03 0.25 3 0 3 0.25 5 0 443）、相对于原始数据ooo ，单一改变Nx0，得到数据1oo 、2oo ；1oo lx mxNx 02oo lx mxNx 01 1 0 0 1 1 0 02 0.5 1 5 2 0.5 1 03 0.25 3 0 3 0.25 3 5 44实验结果及分析：程序运行后原始数据ooo 的ƩN 1）ooo1 1 0 12 0.5 1 03 0.25 3 04 0 0oo1Oo2实验分析：ooo，oo1，oo2对ooo，发现由存活率分析可知，0期年龄阶段的死亡率为0.5，1期年龄阶段的死亡率为0.25，2期年龄阶段的死亡率为0.25，由此可知，这个种群的幼年个体死亡率较高，青中老年个体死亡率较低。
年龄结构SIR流行病传播数学模型渐近分析
年龄结构SIR流行病传播数学模型渐近分析
徐文雄;张仲华
【期刊名称】《西安交通大学学报》
【年(卷),期】2003(037)010
【摘要】研究一类具有年龄结构SIR流行病传播数学模型动力学性质,得到疾病绝灭和持续生存的阈值条件--基本再生数.当基本再生数小于或等于1时,仅存在无病平衡点,且在其小于1的情况下,无病平衡点全局渐近稳定,疾病将逐渐消除;当基本再生数大于1时,存在不稳定的无病平衡点和惟一的局部渐近稳定的地方病平衡点,疾病将持续存在.本模型的基本再生数小于H.R.Thieme等人所得到的基本再生数,表明预防接种、宣传教育等积极措施对疾病消除和控制的重要作用.
【总页数】4页(P1086-1089)
【作者】徐文雄;张仲华
【作者单位】西安交通大学理学院,710049,西安;西安交通大学理学院,710049,西安
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.具非线性传染率染病年龄结构SIR流行病模型渐近分析 [J], 徐文雄;张素霞
2.具有年龄结构的SIRS流行病模型的分析 [J], 刘军军;闫萍;白江红
3.一类SEIS流行病传播数学模型的渐近分析 [J], 张仲华;徐文雄
4.一类具有染病年龄结构流行病模型渐近分析 [J], 张素霞;谢妮;胡钢
5.具有接种疫苗年龄结构的SIRS流行病模型分析 [J], 王世飞;王娟;王海霞
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人口年龄结构模型建模和预测
人口年龄结构模型建模和预测随着人类社会的发展和进步，人口规模不断增长，并且在整个世界范围内，人口年龄结构也发生了巨大的变化。
对人口年龄结构进行建模和预测，对于制定合理的社会经济政策、社会保障制度和教育体系都具有重要的意义。
人口年龄结构模型建模是研究人口变动的一种重要工具。
它通过收集并分析大量的人口统计数据，包括出生率、死亡率和迁移率等，来了解不同年龄段人口数量和比例的分布情况。
根据这些数据，可以构建出人口年龄结构的模型，进而对未来的人口变动趋势进行预测。
常用的人口年龄结构模型分为两类：静态模型和动态模型。
静态模型是基于当前的人口统计数据进行建模，不考虑人口的净增长和迁移等因素。
它可以反映不同年龄段人口的数量和比例，但不能提供关于人口变动趋势的信息。
动态模型则考虑了人口的净增长和迁移等因素，能够更准确地预测人口的变动趋势。
在建立人口年龄结构模型时，需要考虑许多因素，例如出生率、死亡率、迁移率以及人口的自然增长率等。
这些因素对于不同年龄段人口数量和比例的变化都有影响，因此需要在模型中进行合理的设定和调整。
此外，还需要考虑到一些特殊的因素，如经济发展水平、社会政策、医疗技术水平等，它们也会对人口年龄结构产生影响。
通过建立人口年龄结构模型，我们可以对未来的人口变动趋势进行预测。
利用这些预测结果，政府可以制定合理的社会经济政策，以适应人口变动带来的挑战。
例如，如果预测到老龄人口比例将大幅增加，政府可以加大对养老服务和医疗保障的投入；如果预测到劳动力人口比例将下降，政府可以加大对教育和技能培训的支持，以提高劳动力的素质和竞争力。
然而，人口年龄结构模型建模和预测也面临一些挑战和限制。
首先，人口统计数据的准确性和完整性对模型的建立和预测结果的可靠性至关重要；其次，人口变动的影响因素繁多，模型的设定和参数选择需要考虑到各种因素的复杂关系；最后，人口变动受到许多不确定性因素的影响，如经济发展的不确定性、社会政策的不确定性等，这也给模型的预测结果带来了一定的不确定性。
人口年龄结构模型建模和预测
人口年龄结构模型是对一个地区或国家的人口按照年龄划分而建立的模型，它反映了该地区或国家的不同年龄段的人口数量及其比例关系。
通过对人口年龄结构进行建模和预测，可以揭示未来的人口发展趋势，提前为政府和社会进行人口政策的制定和社会发展的规划提供依据。
人口年龄结构模型建模的基本步骤包括：数据收集、年龄段划分、建模方法选择和数据拟合。
首先，需要收集该地区或国家的相关人口数据，包括人口总量、不同年龄段的人口数量等。
然后，根据实际情况，将不同年龄段按照一定的划分标准划分，常见的划分标准包括：0-14岁为儿童，15-64岁为劳动年龄人口，65岁及以上为老年人口。
接下来，根据数据的特点选择合适的建模方法，常见的方法包括：线性模型、非线性模型、时序分析等。
最后，根据建模过程中的数据和模型，进行数据拟合与估计，得到具体的人口年龄结构模型。
人口年龄结构模型预测的方法主要有人口动态模型和人口推移模型。
人口动态模型是基于人口自然增长率、迁入迁出率等因素的模型，通过对这些因素的分析和估计，预测未来的人口数量和年龄结构。
人口推移模型是基于已有的人口年龄结构模型和历史数据，通过拟合历史数据和未来预测数据，来预测未来的人口年龄结构。
人口推移模型的常用方法有人口扩散模型和人口改变模型。
人口扩散模型是通过推动人口在年龄段之间的转移，实现总体人口年龄结构的变化。
人口改变模型是通过预测各年龄段人口数量变化来预测未来的人口年龄结构。
需要特别强调的是，人口年龄结构模型的建模和预测仍然存在许多不确定性。
首先，人口发展受到多种因素的影响，如社会经济发展水平、教育水平、卫生状况等。
其次，人口的迁徙和流动也会对人口年龄结构产生重要影响，而这是难以准确预测和建模的。
最后，人口政策的制定也会对人口年龄结构产生不可忽视的影响。
尽管如此，人口年龄结构模型的建模和预测仍然是非常重要的，可以为政府和社会规划提供科学依据。
通过建立合理的人口年龄结构模型，可以更好地预测和分析人口变动对社会经济的影响，为人口政策的制定提供参考，促进经济发展和社会稳定。
疾病模型的建立与优化
疾病模型的建立与优化疾病是人类面临的一项持续挑战，不同的疾病呈现不同的特点和传播方式，因此如何有效地控制疾病的侵袭，保护人类的健康，成为了当今的一项重要任务。
一种有效的手段是建立和优化疾病模型，疾病模型是指对疾病进行描述和模拟的数学模型，通过数学分析来研究疾病的发展趋势、传播规律、治疗效果等方面的问题。
1. 疾病模型的基本结构疾病模型通常包含以下几个部分：1）人群结构：人群结构指的是研究对象的组成结构，包括人口总量、年龄结构、性别比例等等。
2）传染病流行参数：传染病的传播方式、感染率、患病率等参数都是疾病模型的重要组成部分。
这些参数需要通过多方面的数据分析和建模来确定。
3）疾病扩散模型：疾病扩散模型用来描述疾病在人群中的传播规律，模型可以用微积分方程等方式来描述。
不同的疾病具有不同的扩散模型。
4）控制措施模型：控制措施模型可以用来探讨不同的疾病控制策略的效果，包括隔离、接种疫苗、药物治疗等等。
2. 疾病模型的建立疾病模型的建立需要多方面的数据支持，包括人口统计学数据、疾病流行数据、医学影像数据等等。
通常，疾病模型的建立包括以下步骤：1）数据采集：数据采集是疾病模型的基础，需要对相关的人口统计学数据和疾病数据进行收集和整理。
2）模型选择：根据不同的疾病特点，需要选择不同的建模方法，比如，SIR模型用于描述传染病的传播规律，数学模型用于描述心脏病等疾病的发展趋势。
3）参数估计：建立模型后需要对模型的参数进行估计，对于某些参数，可以通过海量数据的模型拟合来估计，而对于某些实际生活中难以测量的参数，可以使用某种指标对其进行估计。
4）模型验证：模型验证是对疾病模型的可靠性进行评估的关键步骤，通常可以使用历史数据和实验数据对模型进行验证。
3. 疾病模型的优化疾病模型的优化是指对模型中的参数、结构等方面进行调整，以更好地拟合实际生活中的情况，从而更准确地预测和控制疾病的传播。
疾病模型的优化可以从以下几个方面入手：1）参数优化：对模型中的参数进行合理的调整，提高模型预测的准确度。
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
中国人口年龄结构预测模型
中国人口年龄结构预测模型是基于现有的人口统计数据和相关的经济、社会因素构建的一个预测模型。
该模型通过分析人口的出生率、死亡率、迁移率等指标，以及经济发展水平、医疗水平、社会保障政策等因素，预测未来的人口年龄结构变化。
首先，人口年龄结构预测模型需要建立一个基础的人口统计数据库。
这个数据库需要包括历史的人口数据，包括出生率、死亡率、迁移率等指标，还有人口的年龄分布等信息。
同时，还需要收集相关的社会、经济数据，如GDP增长率、教育水平、医疗保障政策等。
接下来，利用统计分析方法，对历史数据进行分析和建模。
可以使用回归分析、时间序列分析等方法，找出人口变动的规律。
例如，通过回归分析人口出生率与经济发展指标的关系，可以获得出生率对经济因素的敏感度，从而推测未来人口出生率的变化。
同样，可以对死亡率、迁移率进行类似的分析。
在建立了基本的模型之后，需要考虑一系列的影响因素。
例如，人口政策的调整、城乡发展差距、社会保障政策等。
这些因素都会对人口年龄结构的变化产生影响，需要进行适当的修正。
最后，利用建立好的模型，进行人口年龄结构的预测。
可以采用图表、可视化等方法，展示未来人口年龄结构的变化趋势。
同时，还可以进行灵敏度分析，考虑不同因素的变化对预测结果的影响，从而提供决策者制定人口政策的参考依据。
需要注意的是，人口年龄结构预测只是对未来的趋势进行推测，存在一定的不确定性。
因此，在使用模型的预测结果时，需要结合实际情况进行综合考虑，避免过度依赖模型结果。
总之，中国人口年龄结构预测模型是一个复杂的系统工程，需要综合考虑多个因素，通过统计分析和建模来预测未来的人口年龄结构变化。
这个模型的建立对于制定科学合理的人口政策，推动社会经济发展具有重要意义。
一类具年龄结构的捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析
１４ ６
一
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第 ３ １卷
食饵扩散模型 ， 得到了该模型非负平衡点是全局 渐近稳定的； 文献［ １ 研究一个含两类食饵和一类 １ ｕｏ ． ｐ ｎ ｖ函数得到非负平衡点 ｙ 的全局稳定性． 与模型 （） ２ 相应的反应扩散模型如
萁中：
Ａ 一 ； 一 Ｂ ； 一 ｃ ．
蠹班’ ｄ如 ｘ，Ｉ ｔ ｌ ２ｄ … ３； （ ２ １ 一 ） －ｚ ， 懈 ￣－ ｘｍ 。。 １ｚ ｚ 一 ｘ ～ ３ － 一 ． ＇ 触
收稿 日期 ：０ １０ —Ｏ ２ １—９２
近几年来 ， 带阶段结构的捕食者 一食饵扩散模型 的
证 明 类 似 于文献 ［ ］ 理 ２ １ ８定 ． 可证 ． 为 了分 析平 衡 点 的稳 定 性 ， 需要 引入 一些 概 念 和记号． 与文献［３ 类似， ０ ＜ ＜ ＜ … １］ 设 一 ２ 是 算子 一△在 ｎ 上带 齐次 Ｎｅ ｍａｎ边界 条 件 的特 ｕ ｎ 征 值 ， ） Ｈ ｎ Ｅ（ 是 （ ）中与 特征 值 相 应 的特征 空
第 ３ １卷 第 １ 期 ２１ 年 ２ ０２ 月
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Ｖ０ ． １ Ｎｏ １ Ｉ３ ．
ＪＵＴ ｌ ｆ ａ ｚｏ ｉ ｔｎ ｉｅｓ ｙ Ｏ ｌａ ｎｈ ｕＪａ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ Ｉ ｏＬ ｏ ｔ
Ｆｅ ． ０ ２ ｂ ２ １
文 章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ２ ０ －１３０ １０ ・３ ３ ２ １ ） １０ ６～４
。
＝
年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题
年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题随着人口高龄化和生活水平的提高，人们对传染病的研究日益重要。
年龄结构传染病模型是一种描述不同年龄组之间传染病传播动态和演化规律的数学模型。
通过对这种模型的动力学分析，可以更好地理解传染病传播的机制，并且可以根据分析结果进行最优控制，提出针对性的防控措施。
首先，我们来看一下年龄结构传染病模型的基本原理。
这种模型通常将人群分为多个年龄组，每个年龄组内部的传染病传播通过感染率、康复率和死亡率等参数来描述。
而不同年龄组之间的传播通过接触率来衡量。
根据这些参数，可以建立一组微分方程来描述传染病在不同年龄组之间的传播和演化规律。
接下来，我们进行动力学分析。
通过对年龄结构传染病模型的稳定性分析和分支分析，可以得到它的平衡点和稳定性条件。
这些分析结果对于预测传染病的爆发和传播趋势非常重要。
比如，在确定了传染病模型的平衡点和稳定性条件之后，可以进一步分析影响传染病传播的关键参数，比如感染率和康复率。
根据这些参数的变化趋势，可以判断传染病的爆发风险和传播速度，并且可以提前采取相应的防控措施。
最后，我们来讨论最优控制问题。
传染病控制策略的制定是传染病防控工作的核心内容之一。
通过对年龄结构传染病模型的最优控制问题进行分析，可以找到最佳的控制策略。
这个问题可以转化为一个最优化问题，目标函数是最小化某种指标，比如传染病的发病人数或者死亡人数。
约束条件是传染病模型中各个参数的取值范围。
通过求解这个最优化问题，可以得到最佳的控制策略，比如提高接种疫苗的覆盖率、加强疫情监测和早期报告、采取隔离措施等。
总之，年龄结构传染病模型的动力学分析和最优控制问题是一种重要的研究方法，对于预测传染病的传播趋势、制定最佳的防控措施具有重要的指导意义。
未来，我们可以进一步完善这种模型，提高其表达能力和预测准确性，以更好地应对传染病威胁，保护公众的健康安全综上所述，年龄结构传染病模型的动力学分析和最优控制问题是预测传染病传播趋势、制定最佳防控措施的重要方法。
一类具有年龄结构的食物链扩散模型的稳定性
结构 的种群模型的研究已有许多成果 Ｊ ，例如文献 ［ 对食饵种群具有年龄结构的食物链模型进 ４ ］
行 了分析 ，并讨 论 了其 非 负平 衡 点 的稳 定 性 ，文 献 ［】 ５讨论 了该 食物 链模 型 的混沌 现 象等 ． 本文 考 虑下 面 的食物 链模 型解 的一 致 有界 性和 正平 衡 点的稳 定性 ．
维普资讯
第２ ９卷 第 ４期
、 ｌ ９ ＮＯ４ ， ． ０ ２
温 州 大 学 学 报 ・自 然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｅ ｚ ｏ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ ｄｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ Ｗ ｙ・ ｔ ｒ ｌ Ｓ ｎ ｅ
在 一些 由捕 食 者一 饵 构 成 的两种 群 模型 中 ，常 常假 设 种群 中 的个 体 没有 年龄 大 小 的区别 ， 食 但这 个假 设对 许 多种群 是 不切 实 际 的．因为种 群是 由不 同个 体 组成 的 ，而个 体之 问又 有性 别和 年 龄 的差异 ，所 以对 具有 不 同性别 、年龄 结 构 的种群 模型 进行 研 究更贴 近 实 际．近 年 来 ，对 具年 龄
分别表示在 时刻 ｔ 的幼年食饵 、成年食饵和捕食者种群 ； ， ，２ ｅ， （ ：１２３ 都是正 ｃ， ２ａ， ， ，） ， 常数， ｄ（＝１２３ 分别是种群 Ｕ（＝１２３ 的扩散系数 ． ｉ ｉ ， ，） ｉ ， ，）
１一致有界性
为证明定理，记 ｆ（） １ １ ｌ ， （） ａ ＋ｃ １ ３ ｌ ＝ａ一 ｕ 一ｆ ２ ：一 ２ ２ 一 Ｕ ｕ ， ） ＋ ２２ ＝一 ３ ｅｕ ．
致有 界性， 并用线性化方法和 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ函数方法分别证 明了该模型正平衡点的局部和全局渐近稳定性．
有限空间年龄结构种群模型一个新的间断Galerkin方法
237科技资讯 S CI EN CE & T EC HNO LO GY I NF OR MA TI ON 学 术 论 坛本文讨论下列海洋无脊椎动物的种群模型[1]: (,)(,)(()(,()))(,),0p t a p t a a a S t p t a t T t a≤,0t T a ≤,a (1)(,0)(())(),0p t c Q S t L t t T ≤,t T (2) 0(0,)(),0p a p a a ≤,a (3)0()()(())()()(,),0dL t L t c Q S t L t m a p t a da dt,0t T ≤,t T (4) 0(0),L L (5)()()(,),0S t a p t a da t T≤,t . (6)其中为该生物个体所能生存的最大年龄, (,)p t a 为t 时刻生物种群的年龄密度分布函数, ()L t 为幼体丰度, ()S t 为生物种群占领空间的大小, (,())a S t 为密度制约死亡率, ()a 、 ()m a 分别为生物种群的自然死亡率和出生率, ()a 为年龄a 的个体占有的空间,为该生物幼体的自然死亡率,c 为单位空间的定居率, Q 为总的可用空间。
根据实际问题的背景,可作如下假定:(H1) 0,,,,c Q T L 为正常数。
(H2) 0 ≤()a Y ≤)Y , 和 Y 为常数; 0m m ≤()m m a M ≤)M , m和 M 为常数。
(H3) 0()a da, 0 ≤()a , 为常数。
(H4) ()[0,]S t Q ; 00()p a ≤A , A 为常数。
(H5) (,)a S 为非负连续有界函数,且0≤0(,)(,)S a S a S S≤1, 1 为常数。
由文献[1]可知,模型问题(1～6)在 t ≥0存在惟一的非负解,并且 (,)p t a 和 ()L t 有界。
关于海洋无脊椎动物的种群模型的存在唯一性讨论可参见文献[1-8]。
Leslie人口模型及例题详解
L e s l i e人口模型及例题详解The saying "the more diligent, the more luckier you are" really should be my charm in2006.Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型,借用差分方程模型,仅考虑女性人口的发展变化;如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组,则人口的年龄结构无法刻划,因此必须建立一个更精确的模型;20世纪40年代提出的Leslie 人口模型,就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型;模型假设(1) 将时间离散化,假设男女人口的性别比为1:1,因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化;假设女性最大年龄为S 岁,将其等间隔划分成m 个年龄段,不妨假设S 为m 的整数倍,每隔m S /年观察一次,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;2 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数,记第i 年龄组女性生育率为i b 注：所谓女性生育率指生女率,女性死亡率为i d ,记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;3 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;4 生育率仅与年龄段有关,存活率也仅与年龄段有关;建立模型与求解根据以上假设,可得到方程 )1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为其中,L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b 1 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = 2假设n 0和矩阵L 已经由统计资料给出,则为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势,我们先给出如下两个条件：i s i > 0,i =1,2,…,m -1;ii b i 0≥,i =1,2,…,m ,且b i 不全为零;易见,对于人口模型,这两个条件是很容易满足的;在条件i 、ii 下,下面的结果是成立的： 定理1t1+tL 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=,且对应的一个特征向量为*n =1,s 1/0λ,s 1s 2/20λ,…,s 1s 2 …s m -1/10-m λT3 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ≤;定理3若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ,则i 若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ<;ii t t t n 0/)(lim λ+∞>-=*cn , 4 其中c 是与n 0有关的常数;定理1至定理3的证明这里省去;由定理3的结论知道,当t 充分大时,有*)(0n c t n t λ≈ 5 定理4记121i i i b s s s β-=,q λ=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ,则λ是L 的非零特征根的充分必要条件为q λ=1 6所以当时间充分大时,女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态,即年龄结构趋于稳定形态,而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长;由5式可得到如下结论：i 当λ>1时,人口数最终是递增的；ii 当λ<1时,人口数最终是递减的；iii 当λ=1时,人口数是稳定的;根据6式,如果λ=1,则有b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1记R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 7R 称为净增长率,它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数;当R >1时,人口递增；当R <1时,人口递减;Leslie 模型有着广泛应用,这里我们给出一个应用的例子,供大家参考;公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象,管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境,将大象的总数控制在11000头左右;每年,公园的管理人员都要统计当年大象的总数;过去20年里,公园每年都要处理一些大象,以便保持大象总数维持在11000头左右,通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现;统计表明,每年约处理600-800头大象;近年来,公众强烈反对捕杀大象行为,而且即使是迁移少量的大象也是不允许的;但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功;一只成年母象打了避孕针后,两年内不再怀孕;公园有一些关于大象的资料,供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1,生双胎的比例为%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,你可能被要求观察30-60年；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议,提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程最多3页回答公共关心的问题;6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析1大象性别比接近1：1,初生象的性别比也是大约1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样,其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的,母象是否避孕是不可识别的,假设各个年龄的母象是等比例避孕的,比例系数为k,仅通过调节k 来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁,当前状态下,成年象的成活率为s,生育母象率为r ,老年象的成活率是线性逐渐递减的,因此其成活率可表示为设初生象活到1岁的存活率为0s ;5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕,一旦打了避孕针,母象就被避孕或中止怀孕,平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η,每年的避孕方案时瞬时完成的;6 假设大象的年龄结构是稳定的;数据处理与分析12-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r =1/+1+/2=头/年12岁的母象生育母象的生育率为r /6;由题设知道存活率)99.0,95.0(∈s ;以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ;以下是第二年迁移的0-70岁大象数据x2=98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0;x=x1+x2;x0=x/normx,1;以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2;以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0;考虑到有些数据较小及抽样的随机性,我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据;t1=x12:11;t2=x22:11;tt=t1+t2;tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1;meantnans =t1=x112:21;t2=x212:21; tt=t1+t2; tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:31;t2=x212:31; tt=t1+t2; tt1=tt1:19;tt2=tt2:20;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:41;t2=x212:41; tt=t1+t2; tt1=tt1:29;tt2=tt2:30;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:51;t2=x212:51; tt=t1+t2; tt1=tt1:39;tt2=tt2:40;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:60;t2=x212:60; tt=t1+t2;tt1=tt1:48;tt2=tt2:49;tn=tt2./tt1; meantnans =n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;endn1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;endn1;N1=n112:50;xx=x12:50;xx=100xx/normxx,1;N1=100N1/normN1,1;t=1:39;plott,N1,t,xx;axis10,40,0,5;title'图1'通过以上分析大致可以得到,1-60岁大象的存活率约为;0-70岁年龄结构向量见图2; y0=100x0/normx0,1;a=0:70;bara,y0,'stacked';title'图2'下面我们取0120.75,0.98s s s ===;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;endm1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;endm1;m1=100m1/normm1,1;bara,m1,'stacked';title'图3 稳定的年龄结构'plota,m1,'r-',a,y0,'b-.';title'图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较'polyfity0,m1,1ans =从所给的数据来看,象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态;根据以上数据,大体可以得到l=zeros71,71; l1,13=6;l2,1=;for i=14:61l1,i=;endl;for j=3:61lj,j-1=;end; l;for k=62:71lk,k-1=eigl;矩阵的唯一正特征值为;对于不同的存活率,得到的唯一正特征值为：下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ;此时,女性生育率为0.1448(1)γ-;记由6式得解得1-1/^111/6+ans =即每年应该有%的母象处于避孕状态;为了保证有%的母象处于避孕状态,下面分析每年应该打避孕针母象的比例η;在假设3和假设5的前提下,如果每年打避孕针母象比例为η;母象可以分成3类：即当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为2(1)ηη-；连续两年被打避孕针2η；连续两年没有被打避孕针;只有最后一类母象具有生育能力;因此,只需要η满足方程1-sqrtans =ans =5500ans =+003解得 0.387η=,即每年大约需要给2127头母象打避孕针;在方案实施过程中,实际上根本不需要打这么多针,因为许多小象还是可以识别的;可以采取随机抽样的打针方式,对于抽到的小象只计数不打针,直至计满2127头母象,就算完成当年任务;采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的,下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;end; m1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;end; m1;n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;end; n1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;end;n1;subplot1,2,1a=0:70;plota,m1,'r-',a,n1,'b--';title'图5年龄结构比较';axis0,70,0,1;M1=5500m1/normm1,1;N1=5500n1/normn1,1;a=0:70;subplot1,2,2plota,M1,'r-',a,N1,'b--'title'图5各年龄段大象数比较图'axis-0,70,0,300通过以上两个图的比较,可以发现采取避孕措施,将使幼象、小象数减少,中老年象数增加;由于采取避孕措施,使得初生小象数减少,因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变,下面分析,15年、30年、60年后的象群年龄结构;L=zeros71,71;L1,13=6;L2,1=;for i=14:61L1,i=;end; L;for j=3:61Lj,j-1=; end; L;for k=62:71Lk,k-1= end; L;eigL;n15=L^15x0';n30=L^15n15;n60=L^30n30;n15=100n15/normn15,1;n30=100n30/normn30,1;n60=100n60/normn60,1;M15=5500n15/normn15,1;M30=5500n30/normn30,1;M60=5500n60/normn60,1;bara,55y0title'图6a 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250bara,M15title'图6b 避孕15年后种群量分布';axis0,70,0,250bara,M30title'图6c避孕30年后种群量分布';axis0,70,0,250M60=5500n60/normn60,1;bara,M60title'图6d 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250n70=L^70x0';n70=100n70/norm n70,1;k1=100m1/normm1,1;图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较plot a,k 1,'r-',a,n70,'b-.';title'图7 避孕前后稳定的年龄结构';axis0,70,0,5数据不确定性对结果的影响分别取0120.7,0.8,0.95,0.99s s s ===1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =每年需避孕的母象比例为%—% ;对于每年可以迁移50-300头大象及0120.75,0.98s s s ===,下面分析避孕方案的变化及最经济的方案;设增长率为p ,对于 0120.75,0.98s s s ===令当 1.01p =,每年的避孕率为%,每年迁出110头； 当 1.02p =,每年的避孕率为%,每年迁出220头； 当 1.025p =,每年的避孕率为%,迁出275头;1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =p=;1-p ^12./^111/6+./p-./p.^49/./pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =进一步分析可以知道,对于 0120.75,0.98s s s ===,如果增长率为(1 1.0322,11000(p-1))p p ≤≤即每年移,令每年需要避孕的母象为5500'γ,每年需要迁移的大象数为11000(1)p -;从相关的文献中我们大致可以得到,设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍,由此得到增长率为p 时的总费用函数为记易见,1,0.3868, 1.01,0.346, 1.02,0.396p y p y p y ======clear ;p=1::;q =1-p.^12./^111/6+./p-./p.^49././pq =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17a =1-sqrt1-qa =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17y=a+15p-1y =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17。
具空间结构时滞反应扩散方程动力学研究
具空间结构时滞反应扩散方程动力学研究反应扩散方程的动力学行为在自然科学领域(比如:生态学,生物学和传染病学等)中得到了广泛的关注和研究.为了使得我们建立的系统能更准确的反映其动力学行为,引入过去对现在的影响显得更加合理,我们称之为时滞.特别是在生物数学中,有很多种群动力学模型是用时滞反应扩散方程来描述的.而且,在时滞反应扩散方程中,由于种群的运动,上一时刻位于r处的个体,下一时刻并不一定还在x位置.所以,在扩散系统中非局部时滞更能反映种群的真实情况.此外,在自然界中,物种的生长过程大都经历几个阶段,比如一个单种群年龄结构模型中包括未成年和成年两个阶段.在本学位论文中,我们主要研究空间非齐次稳态解的存在性,稳定性以及分岔现象.在非线性科学中,分岔问题的研究是比较重要的,它反映了现实世界中某个或某些因素的细微变化却能对物质的变化产生巨大影响.种群动力学中分岔研究可以帮助我们了解某些参数(比如生物的生存空间和成熟期等)对种群动力学产生的变化(比如平衡态的稳定或振荡),通过调控这些数据可以使得物种向着人们所期望的方向发展.本文主要的研究内容分为以下几个部分:首先,在Dirichlet边界条件下,我们研究具有扩散和非局部时滞的Lotka-Volterra模型的动力学行为.通过利用Lyapunov-Schmidt约化方法,得到空间非齐次稳态解的存在性和多重性.通过对特征方程的分析,我们得到空间非齐次平衡态的稳定性,以及在它附近产生的Hopf分岔.接着,根据正规型理论和中心流形定理,我们研究了 Hopf分岔方向和分岔周期解的稳定性.最后,在一维空间上,选择空间齐次核函数给出具体例子,我们得到和一般化理论一致的结果,并利用数值模拟来解释我们所获得的理论结果.接着,我们详细研究了具有时空时滞和Dirichlet边界条件的年龄结构模型的动力学行为.通过运用Lyapunov-Schmidt约化方法,我们得到从平凡解附近分岔出的空间非齐次稳态解,并证明了它的稳定性.最后利用ω极限集的性质得到了空间非齐次稳态解的全局稳定性.最后,我们考虑了带有扩散和资源不均匀的Lotka-Volterra竞争年龄结构模型的动力学性质.通过分析主特值的符号,我们确定了半平凡稳态解的线性稳定性和全局吸引性.另外,构造了一对上下解,证明了在一定条件下,系统存在一个吸引域,使得对于充分大的时间t,系统所有的解都落在吸引域内,同时半平凡稳态解和平凡解都是不稳定的.。
一类具年龄结构的时滞病毒动力学模型分析
一类具年龄结构的时滞病毒动力学模型分析分支问题一直是动力系统的一个重要研究方向。
在生物数学中，通过分析Hopf分支的存在性，正平衡点的稳定性可以帮助我们预测不同参数条件下，被研究系统的解轨线的拓扑结构，从而为我们预防和控制疾病等的大范围蔓延提供指导。
本文所研究的是分子水平的宿主体内的病毒动力学模型，它可以适用于多种疾病（HIV、乙肝等），为临床治疗提供了一些可供参考的数学理论依据。
本文首先分析介绍了病毒动力学模型的一些背景知识和研究的发展及现状。
然后在经典的病毒动力学模型的基础上进行了改进，加入了Holling结构以刻画病毒间的相互排斥作用，使其更加符合病毒感染人体细胞的机理。
接着利用模型正平衡点的特征方程根的分布分析，得到了正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在的充分条件。
用中心流形理论和规范型方法推导出了判定Hopf分支性质的几个重要参数的计算公式。
论文的最后用Matlab进行了数值模拟，直观的说明了文中所得出的结论。
有限空间年龄结构种群模型一个新的间断Galerkin方法
有限空间年龄结构种群模型一个新的间断Galerkin方法岳红格;郝惠娟
【期刊名称】《科技资讯》
【年(卷),期】2013(000)027
【摘要】本文对有限空间年龄结构种群模型提出了一种新的数值方法,通过将标准的间断Galcrkin有限元法与流线扩散有限元法相结合,建立了一个稳定的间断有限元格式,并讨论了格式解的收敛性.
【总页数】3页(P237-239)
【作者】岳红格;郝惠娟
【作者单位】宁夏大学民族预科教育学院宁夏银川 750021;宁夏大学民族预科教育学院宁夏银川 750021
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.一个非线性年龄结构种群模型正平衡解的全局稳定性 [J], 周义仓;马知恩
2.间断探测器在间断Galerkin方法中的应用 [J], 郝海兵;杨永;左岁寒
3.反应扩散问题的新的绝对稳定hp间断Galerkin方法 [J], 葛志昊;曹济伟
4.一个具有年龄结构非自治种群模型的稳定性与周期解 [J], 周义仓; 秦军林
5.有限空间年龄结构种群模型的数值分析 [J], 孙冠颖;梁栋;王文洽
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森林生态学讲稿-第三章种群生态学
（4）植物具有高度的可塑性和生态耐受性：可塑性如在不同的环境条件下，植物可通过对不同器官的投入不同，以适应着生的环境；又如同种植物即使年龄、遗传相同，个体大小、花大小、种子产量等都有差异。
生态耐受性如前面提到的耐旱植物、耐火植物（5）植物的生殖方式复杂多样植物的性别表现方式性别表现性别类型说明一株上具有雌雄同花的花朵一株上既有雄花也雌雄同花雌雄同株有雌花雄株全株只有雄花植物单株的性别表现雌株全株只有雌花雄花两性花同株一株上既有雄花也有两性花雌花两性花同株一株上既有雌花也有两性花雌雄花两性花同株一株上上具有雄花、雌花和两性花两性花或雌雄同花种群中只有两性花植株雌雄同株种群中只有雌雄同株的植株单型雄花两性花同株种群中只有雄花两性花同株的植株植物种群的性别表xm 雌花两性花同株种群中只有雌花两性花同株的植株杂性同株种群中只有雌花雌花两性花同株的植株现雌雄异株种群中既有雌株也有雄株多型雄花两性花异株种群中有雄株和两性花植株雌花两性花异株种群中有雌株和两性花植株雄雌花两性花异株种群中有雌株、雄株和两性花植株三、种群的统计特征（一）种群和大小（population size）和密度（Density）1种群大小：一个种群所包含个体数目的多少，称为种群大小2种群密度：即单位面积上的个体数，有粗密度（crude density）、生态密度（ecological density ）和饱和密度之分。
粗密度即通常说的单位面积（或空间）上的个体数；生态密度指种群实际占据的面积（或空间）的个体数（举例说明）；饱和密度（环境所能允许的种群最大密度）之分。
（二）种群的年龄结构和性比1年龄结构：（1）年龄结构：种群内不同年龄的个体的分布和配置情况。
种群的年龄结构不仅反映了种群动态及其发展趋势，并在一定程度上反映了种群与环境间的相互尖系，以及它们在群落中的作用和地位。
一般用年龄金字塔的形式来表示种群的年龄结构：如果用繁殖前期、繁殖期和繁殖后期来表示（图示）<b>增长型种群：即金字塔的年龄结构，年幼个体较多、年老的个体极少；出生率高，死亡率低。
具有年龄结构和扩散的林蛙增长模型的Hopf分支
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ２
周 口师 范学 院学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚｈ ｏ ｕ ｋ ｏ ｕ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
２ ０ １ ３年 ３月
Ｍ ａ ｒ ． ２ ０１ ３
具 有 年 龄 结构 和 扩 散 的林 蛙 增 长 模 型 的 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 支
刘 艳 伟 ，沈 玉伟 ， 胡 洪 安
（ 周 口师 范学 院 数 学 系，河 南 周 口 ４ ６ ６ ０ ０ １ ）
摘 要： 针 对 具 有 年 龄 结 构 和 扩 散 的 林 蛙 时 滞 增 长模 型 ，以 时 滞 为 分 支 参 数 ，研 究 了 系 统 的 线 性 稳 定 性 ， 获
得 了 系统 存 在 Ｈｏ ｐ ｆ 分 支的充分条件 ， 分析 了林 蛙 年 龄 结 构 、 扩 散 率 和 时 滞 对 该 系统 动 力 学的 影 响 ．
系统（ １ ） 所 满 足 的初 始 条件 为
ｆ ｚ （ ）一 （ ） ≥０ ， ｙ （ ） 一 （ ） ≥０ ，０ ∈［ 一Ｚ ： ， ０ ］ ，
【 ｚ１ （ Ｏ ）： ＝ ＝ １ （ Ｏ ）＞ ０ ， ｙ （ Ｏ ）一 （ ０ ）＞ ０， ｉ一 １ ， ２，
ｒ ｚ１ （ ￡ ）＝ ａ ｙ１ （ ￡ ）一 ｂ ｘ１ （ ￡ ）一 Ｃ Ｘ１ （ ￡ ） ， ｙ１ （ ￡ ）＝ ＝Ｃ Ｘ１ （ ￡ ）一 ａ ｙ （ 一 ｒ ） ＋ Ｄ１ （ ２ （ ｆ ） 一 Ｙ１ （ ￡ ） ） ， 【 ｙ ２ （ ￡ ） 一 一 ２ （ ￡ ）＋ Ｄｚ （ １ （ ￡ ）一 ｙ ２ （ ￡ ） ） ． （ １ ）
（ ３）
ｌ ２ ３ （ ）一一 ３ （ ￡ ） 一 Ｄ２ ３ （ ￡ ）＋ Ｄ２ ２ （ ） ，
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其中参数 与前文提到的模型中的参数含义相同。 是一个扩散常量，
和
。
问题(3.1.1)-(3.1.2)在合适的边界条件下进行了研究。
D.G. Aronson强调了动态种群扩散的重要性，包括了非线性扩散的情况。
年龄结构人口数量种群动态的解的基本性质（例如存在性、唯一性、正值性条件，大时间渐进状态）已经被许多作者研究。
我们将继续分析一些连续的人口年龄结构种群数量的扩散模型。
假设一个给定的单种群物种自由移动在一个开放的和有界栖息地环境中。
有足够光滑的边界 . 表示由个体年龄密度 ， （ 是种群的最大年龄。）与时刻 和位置 构成的函数。由积分 代表 在时刻t和位置x下的年龄人口密度。则 是在时间t位置x时的人口密度。 假设人口扩散遵循Nernst法则。通过曲面的通量人口S(是一个任意边界开放 的子集)在时间间隔 得到 。当k>0是扩散系数和 是S的法向导数（向外的）。在年龄为a，时刻为t，空间为v条件下的的人口密度是 。那么在年龄为a+dt，时刻为t+dt，空间为v的条件下的人口密度为 。
.当 是一个函数与某些属性。
在本章中介绍的模型似乎是最现实的连续的年龄相关性与扩散种群动态。我们不得不提到每个数学模型都有其适用性区域以及其局限性。
3.2可扩散的种群模型的解的分析
本节关注最重要的属性线性年龄相关性与扩散种群动态的解的问题。将会证明解的存在性和唯一性。也将建立一些线性模型的比较结果。
第三章扩散的年龄结构模型
3.1可扩散的种群模型
另一个在种群动态中非常重要的现象是空间扩散。M.E. Gurtin在1973年考虑了年龄结构人口数量的扩散。这个模型被M.E. Gurtin和R.C. MacCamy进一步研究。Gurtin-MacCamy模型描述了一个生物种群栖息地中自由移动的情况 ，其中 。如果我们用 表示以个体年龄 ，在时刻 ，在位置 的密度函数。那么，满足下面的方程：
对于Sobolev空间的一些基本原理，我们可以参考附录[l] Adams。
首先我们研究μ满足
（代替 ）
那么可以得到一个基本的引理。
引理3.1在假设条件 、 、 下，式子（3.2.1）存在唯一解 。
如果
满足
以及
如果 则 .
是（3.2.1）的解，对应于 .
引理3.1的证明不再赘述，接下来我们证明可扩散的种群模型的解的存在性，唯一性和非负性。
所描述的诞生过程是“更新法”，
，
这里β是在t时刻的生育率。那么 和在t时刻，位置x父母年龄为a时的新生人口成比例。这个速率取决于年龄a,时间t,地点x和P(t,x)（在时间t和位置x时的总人口。）
还有一些生物种群与非线性扩散模型描述。这一切发生时,扩散系数取决于人口密度。在这种情况下人口动力学描述，
考虑描述了人口年龄结构的演化与扩散的线性模型
（3.2.1）
假设 满足以下假设
为了解决（3.2.1），我们定义一个函数 ，属于 ，对于几乎所有的特征线方程S
并满足
（3.2.2）
对于特征线S，我们可以写成
这里
我们已经用
，h连续 是绝对连续在紧凑的子区间。
由于，（3.2.1）的解满足 ，那么 是有意义的。
，
.
如果领域Ω出现了某种人口的注入（增长率为 ），则函数p演变为，
，（1）
.
（1）式最合适的边界条件是：
， （2）
（均匀狄利克雷条件），描述了这样一个完全不适合人类居住的边界；
， （3）
（齐次纽曼条件）。当没有通过 交换人口(迁移)；
， （4）（a>0）
当边界上发生人口数量的迁移，并且这种迁移的人口数量和边界 上的人口数量p成正比。我们就可以考虑一个非齐次状态对应（2）、（3）、（4）。
（3.2.5）
我们将证明 是（3.2.1）的唯一解。
由于 ，我们可以得到对于任意 ，足够光滑，那么存在 ，这样
（3.2.6）
对于任意 .
现在通过解对于一开始的线性抛物线方程的连续依赖性，（3.2.5）和（3.2.6），我们可以推断出
对于几乎任意特征线 和 ，得到
在另一方面， 满足（3.2.2）。还需证明
考虑死亡率 。给出个人的死亡率取决于年龄a,时间t,地点x和函数 （在时间t和位置x下的总人口密度）。平衡定律表明,个体的数量在年龄a,时刻t,位于V,在时间段(t,t+dt)的死亡数为：
现在除以dt，我们获得
当
（ 如果p足够光滑）Dp是增长速度。
使用Ostrogradski公式，我们得到 .
因为 是任意开放的子集，所以我们可以得出这样的结论：种群动态可描述为
定理3.2
如果系统（3.2.1）存在一个独一无二的解。那么这个解是非负的。
证明对于任意的 我们规定，
.
满足假想 ， 是一个增序列。
用 表示(3.2.1)的解，相对应的 。根据定理3.1，我们可以得到：
（3.2.3）
对于任意的 ，用Beppo-Levi定理得出：
（3.2.4）
和 ，
这里 是（3.2.1）对应于 的解。由（3.2.3）和（3.2.4）并通过Lebesque定理得到：
对于
，
如果 。这就足够表明
如果 。
通过 添加 并积分 ，我们可以得到
和
.
我们整合过去的关系得到
（3.2.7）
.对于 ，我们通过（3.2.7）可以得到
，
如果 （因为 ），我们可以推断出 。
继续通过 添加 然后积分 ，我们可以得到
和结果 。
所以， 是（3.2.1）的一个解。（ 是非负的）