平面向量专题练习

平面向量、复数 专题训练
一、选择题
1． i 是虚数单位，复数z ＝
2＋3i
－3＋2i
的虚部是( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )
A.π
6
B.π4
C.π3
D.π2
3．已知i 为虚数单位，则复数z ＝
2－3i
1＋i
对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )
A.7
B.10
C.13
D ．4
5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z ＋z 2等于( )
A ．－1－i
B ．－1＋I
C ．1－I
D ．1＋i
6．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z
z －1
等于( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
7． 设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →
)的值是( ) A ．1
B ．2 C. 2
D. 3
8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →
＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
9．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →
＝0，则实数
m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－5)∪[5，＋∞)
B ．(－∞，－25)∪[25，＋∞)
C ．[－25,25]
D ．[－5,5]
10．已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13
AB →＋tAC →
，其中t 为实数．若点P 落
在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )
A ．0<t <14
B ．0<t <13
C ．0<t <12
D ．0<t <2
3
11．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈⎣⎡⎦⎤32，332，则AB
→与BC →夹角的取值范围是
( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，π3 B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3 D.⎣⎡⎦
⎤π6，π4 12.设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋ta |的最小值为1( )
A ．若θ确定，则|a |唯一确定
B ．若θ确定，则|b |唯一确定
C ．若|a |确定，则θ唯一确定
D ．若|b |确定，则θ唯一确定 二、填空题
13．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．
14．已知向量a 、b 的夹角为60°，且|a |＝4，(a ＋b )·(2a －3b )＝16，则b 在a 方向上的投影等于________．
15．如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →
的值是________．
图1-3 16．如上右图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π3，P 是△ABC 外接圆上一动点，则AP →·BC
→
的最大值为________．
三、解答题
17．在中，角的对边分别为
（1）求；（2）若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52，且，求．
18．已知向量()1,sin a θ=，()θ=cos ,1b ，2
2π
<θ<π-。

（1）若a ⊥b ，求θ；（2）求|b a |+的最大值。

19．已知向量a ＝(cos 2x ，sin 2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，f (x )的最小值为5，求m 的值．
20．已知向量m ＝(2cos x,1)，向量n ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R, f (x )＝m·n
(1)求f (x )的最小正周期与单调递减区间；
(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面`积为3
2，求b ＋c sin B ＋sin C
的值．
ABC △A
B C ，，tan a b c C =，，，cos C 9a b +=c
21．已知平面向量a ＝
⎝⎛⎭⎫32，－12，向量b ＝⎝⎛⎭
⎫12，32.
(1)证明：a ⊥b ；
(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－k )b ，y ＝－sa ＋tb ，且x ⊥y ，试求s ＝f (t )的函数关系式；
(3)若s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，试求k 的取值范围．
22．在直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (k sin θ，t )，(0≤θ≤π
2
，t
∈R)．
(1)若AB →⊥a ，且|OA →|＝|AB →|，求向量OB →；
(2)若AB →∥a ，当k >4，且t sin θ取最大值为4时，求OA →·OB →.
平面向量、复数 专题训练参考答案
1 B
2 C
3 C
4 C
5 D
6 A
7解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12
(AB →＋AC →
)，
∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12
(|AB →|2－|AC →
|2)＝1，故选A.
8解析：OC →
＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，3λ＋μ≤λ＋3μ，在平行四边形对角线OD (包括OD )上方的点都符合要求，故选A.
9解析：设P (x ，y )，则PM →＝(－1－x ，－y )， PN →
＝(1－x ，－y )， PM →·PN →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝x 2＋y 2－1＝0.
∴x 2＋y 2＝1，因此P 的轨迹为单位圆，又P 点在直线3x －4y ＋m ＝0上． ∴原点到直线的距离d ＝
|m |
5
≤1，∴|m |≤5. ∴－5≤m ≤5，∴实数m 的取值范围是[－5,5]． 答案：D
10解析：如图，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点，由AP →＝13AB →＋tAC →
可知，
P 点落在EF 上，而EF →＝23AC →
，∴点P 在E 点时，t ＝0，
点P 在F 点时，t ＝23.而P 在△ABC 的内部，∴0<t <2
3
.答案：D
11解析：由AB →·BC →
＝3得ac cos(π－B )＝3，即ac ＝－3cos B .由面积S ＝12ac sin B ＝－
32×
sin B cos B ＝－32 tan B ，又S ∈⎣⎡⎦
⎤32，332，则32≤－32 tan B ≤332，得－3≤tan B ≤－1，
所以2π3≤B ≤3π4
，所以AB →与BC →
夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选A. 12．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）2
4a 2
＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，
则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.
13．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c
|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |
，即
（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋20
2，得m ＝2. 14解析：|a |＝4，(a ＋b )·(2a －3b )＝2×42－3b 2－4·|b |·cos 60°＝16⇒|b |＝2，
b 在a 方向上的投影为|b |cos 60°＝1.
15．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋1
4AB ，BP ＝BC ＋CP
＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋1
4AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－1
2AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .
16解析：设圆心为O ，∵AP →＝AO →＋OP →，∴AP →·BC →＝(AO →＋OP →)·BC →
＝OP →·BC →＝|OP →|·|BC →|·cos θ(θ为OP →与BC →
的夹角)＝3cos θ≤3， 当且仅当θ＝0时，AP →·BC →＝ 3.
17解：（1）
又
解得
．
，是锐角．
．
（2）， ， ．
又
．
．
． ．
18解：（1）若a ⊥b ，则0cos sin =θ+θ。

∴⎪⎭⎫ ⎝⎛π<θ<π
--=θ22
1tan ，得4π-=θ。

（2）由()1,sin a θ=，()θ=cos ,1b ，得()θ++θ=+cos 1,1sin b a 。

sin tan cos C
C C =∴
=22sin cos 1C C +=1
cos 8C =±
tan 0C >C ∴1cos 8C ∴=
52CB CA =
5
cos 2ab C ∴=20ab ∴=9a b +=22281a ab b ∴++=2241a b ∴+=2222cos 36c a b ab C ∴=+-=6c ∴=
所以()()()θ+θ+=θ+++θ=
+cos sin 23cos 11sin |b a |22
⎪⎭⎫ ⎝⎛π+θ+=4sin 223，当14sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+θ时，|b a |+取得最大值，即当4π=θ时，|
b a |+的最大值为12+。

19解(1)由题意知，f (x )＝(cos 2x ，sin 2x )·(3，1)＋m ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋m ＝2sin(2x ＋π
3)
＋m ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋m ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3. 所以当2x ＋π3＝4π
3
，f (x )的最小值为－3＋m .
又因为f (x )的最小值为5，所以－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.
20解：(1)f (x )＝m·n ＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6＋1. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π(k ∈Z)．
∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π
3＋k π，k ∈Z. (2)由f (A )＝2，得2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1
2， 在△ABC 中，∵π6<2A ＋π6<π6＋2π，∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π
3.
S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3
2，解得c ＝2.
在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×1
2
＝3，∴a ＝ 3.
根据正弦定理得
b sin B ＝
c sin C ＝a sin A ＝3
32＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b ＋c sin B ＋sin C
＝2. 21解析：(1)证明：由题知|a |＝|b |＝1，且a·b ＝
32×12－12×3
2
＝0，所以a ⊥b . (2)由于x ⊥y ，则x·y ＝0，－s |a |2＋(t ＋sk －st 2)a·b ＋t (t 2－k )|b |2＝0，故s ＝f (t )＝t 3－kt . (3)∵s ＝t 3－kt 在[1，＋∞)上是增函数，∴s ′＝3t 2－k ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即k ≤3t 2在[1，＋∞)上恒成立，而3t 2≥3，∴只需k ≤3， ∴k 的取值范围是(－∞，3]． 22解析：(1)AB →
＝(k sin θ－8，t )，
由AB →
⊥a ，得：－k sin θ＋8＋2t ＝0，即k sin θ＝2t ＋8， 又|OA →|＝|AB →|，
∴64＝(k sin θ－8)2＋t 2＝(2t ＋8－8)2＋t 2＝5t 2，∴t ＝±85
5.
∴OB →＝(8＋1655，855)或OB →
＝(8－1655，－855)．
(2)∵a ∥AB →
，∴t ＝－2k sin θ＋16，
∴t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32
k . ∵k >4，∴0<4
k
<1，
∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32
k . 由
32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6
，OB →
＝(4,8)． ∴OA →·OB →＝(8,0)·(4,8)＝32.。