大学物理6.5 电容器 电场能量

S
RB
r
RA
高斯面
ε 0ε r
∵ ∫∫ E ⋅ ds =
S
∫∫ E ⋅ ds + 下底面 ⋅ ds + 侧面E ⋅ ds ∫∫ E ∫∫ 上底面
=
∫∫ E ds = E 侧面ds = E 2π r l ∫∫ 侧面
λ λ RB E ⋅ dr = ∫ dr = ln R A 2πε ε r 2πε 0ε r RA 0 r
Hale Waihona Puke BaiduRB
（2）由电容器储存电能公式 ）
Q RB 1Q W = ln = 2 C 4πε 0ε r L RA
2 2
圆柱形电容器的电容为 RB C = 2πε 0ε r L ln RA
1
−Q
+Q
r
R2
o
的球壳为体积微元， 取半径为 r ，厚度为dr 的球壳为体积微元， 2 体积为 dV = 4π r dr ．
电场总能量为
We = ∫∫∫ we dV = ∫
R2 R1
1 ε 0ε r E 2 4π r 2dr 2
Q2 1 1 − = 8πε 0ε r R1 R2
解 （1）设两个圆柱面 ） 单位长度上的电荷密度 为 ± λ = ±Q L 根据高斯定理可得 两个圆柱面之间的场强 大小为
r
r + dr
λ E= 2πε 0ε r r
取半径为 r ，厚度为 dr ，长度为 L 的圆柱 薄层为体积微元， 薄层为体积微元，体积为 dV = 2π rLdr
1 We = ∫∫∫ we dV = ∫ ε 0ε r E 2 2π rLdr RA 2 Q2 RB ln = 4πε 0ε r L RA
6.5.5 静电场的能量 能量密度
特例平行板电容器中储存的电能
1Q 1 Q d ε 0ε r Q sd We = = = 2 C 2 ε 0ε r s 2 ε 0ε r s Q ∵E = ε 0ε r s
2 2
2
1 ∴ we = ε 0ε r E 2 2
1 ∴ We = ∫∫∫ we dV = ∫∫∫ ε 0ε r E 2dV 2
6.5 电容 电场能量
6.5.1 电容器的电容 6.5.2 电容的计算 6.5.3 电容器的充电 6.5.4 心脏除颤器 6.5.5 静电场的能量 能量密度
6.5.1 电容器的电容
1.电容的定义 . A B 电容器是组成 电路的基本元件之 −Q +Q 一, 它由被电介质 UB UA 分隔开的两个导体 组成， 组成，两个导体为 它的极板． 它的极板． 电容器的电容： 电容器的电容：一个极板所带电量的绝对 的比值． 值 Q 与两个极板间的电势差U 的比值． Q C= U
σ E= ε 0ε r
σd Qd = ∴ U = ∫ E ⋅ dl = E d = A ε 0ε r ε 0ε r s
B
Q ε 0ε r s ε s ∴C = = = U d d
2 .球形电容器 在两个球壳之间作球 状高斯面， 状高斯面，根据高斯定理
R1
∫∫ E ⋅ ds = E 4π r S
Qr ∴E= 4πε 0ε r r 2 r 1
例2 球形电容器的导体球壳两个内外半径分 εr R1 R2 别为 和 ，球壳间充满了相对电容率为 ±Q 的电介质． 的电介质．求当两个球壳所带电量分别为 电容器所储存的电场能量． 时，电容器所储存的电场能量． 解 根据高斯定理可得两个 球壳之间的场强大小为
r + dr
R1
Q E= 4πε 0ε r r 2
RB
λ ∴E = 2πε 0ε r r
∴U = ∫
RB RA
Q 2πε 0ε r L ∴C = = RB U ln RA
6.5.3 电容器的充电
设充电过程的某一瞬间， 设充电过程的某一瞬间 ， 两极板之间的 电势差为 U ， 极板所带电量的绝对值为 q ， 此时若把电荷 − dq 从带正电的极板移到带负 电的极板上， 电的极板上，外力克服静电力所做的功为 q C dW = Udq = dq C _ + − dq − dq 外力所做的总 _ + 功，即电容器储存 的电能 Q q 1 Q2 1 1 W =∫ dq = = QU = CU 2 0 C 2C 2 2
例1 除颤器中一个70µF的电容器被充电到 5000 V , 电容器中储存能量为大？ 电容器中储存能量为大？ 1 1 解 W = CU 2 = × (70 × 10 − 6 ) × (5000)2 = 875( J ) 2 2 这个能量中的约200J在2ms的脉冲期间被发 这个能量中的约 在 的脉冲期间被发 送通过患者，该脉冲的功率为100kW，它远大于 送通过患者，该脉冲的功率为 ， 电池或低压直流电源本身的功率， 电池或低压直流电源本身的功率，完全可以满足 救护患者的需要． 救护患者的需要．
6.5.4 心脏除颤器
心脏除颤器是一种应用电击来抢救和治疗心 律失常的一种医疗电子设备， 律失常的一种医疗电子设备，其核心元件为电容 器．如果把一个已充电的电容器在极短的时间内 放电，可得到较大的功率． 放电，可得到较大的功率．除颤器的工作原理是 首先采用电池或低压直流电源给电容器充电， 首先采用电池或低压直流电源给电容器充电，充 电过程不到一分钟，然后利用电容器的瞬间放电， 电过程不到一分钟，然后利用电容器的瞬间放电， 产生较强的脉冲电流对心脏进行电击， 产生较强的脉冲电流对心脏进行电击，也可描述 为先积蓄定量的电能， 为先积蓄定量的电能，然后通过电极释放到人 除颤器工作时， 体．除颤器工作时，电击板被放置在患者的胸膛 控制开关闭合， 上，控制开关闭合，电容器释放它存储的一部分 能量通过患者从一个电击板到另一个电击板． 能量通过患者从一个电击板到另一个电击板．
电容的单位为法拉，符号为 F ． 电容的单位为法拉，
1F = 106 µF = 1012 pF
电容器的电容决定于电容器本身的结构， 电容器的电容决定于电容器本身的结构， 即两导体的形状、 即两导体的形状、尺寸以及两导体间电介质的 种类等，而与它所带的电量无关． 种类等，而与它所带的电量无关． 2.电容的计算步骤 （1）假设两极板分别带电荷 ± q，求得两极 ） 间 E ，进而计算出 U AB ； （2）通过电容定义C = q U AB 求出 C ，C 仅由 ） 电容器本身性质决定． 电容器本身性质决定．
的圆柱形电容器， 例3 内外半径分别为RA 和 RB 的圆柱形电容器， 圆柱面长度为 L ，且 L >> RB ，两个圆柱面之 ε r 的电介质．（ ．（1） 间充满了相对电容率为 的电介质．（ ）求当 ± 这两圆柱面上带电量分别为Q 时，两圆柱面 间的电场能量；（ ；（2） 间的电场能量；（ ）由能量关系推算此圆柱 电容器的电容． 电容器的电容．
2
=
Q
−Q
+Q
r
R2
o
ε 0ε r
∴U = ∫
R2
R1
1 1 E ⋅ dr = − 4πε 0ε r R1 R2 Q
Q 4πε 0ε r R1 R2 ∴C = = U R2 − R1
3 .圆柱形电容器 在两个圆柱面之 间做圆柱形高斯面， 间做圆柱形高斯面， 根据高斯定理 λl ∫∫ E ⋅ ds =
3.电容的串联和并联 .电容的串联和并联 串联和 1 1 1 1 串联： 串联： = + +⋯+ C总 C1 C 2 Cn 并联： 并联：C 总 = C 1 + C 2 + ⋯ + C n
6.5.2 电容的计算
1 .平行板电容器 s
d
A
εr
B
+Q −Q
设两极板分别带等量异号电荷 + Q 和 − Q ， 于是两极板上的电荷面密度分别为 ± σ = Q s ， 两个带等量异号电荷的无限大平行平面之间的电 场强度的大小