约束的概念与分类

1. 约束的概念与分类 1)约束与约束方程
质点系中限制质点运动（位置、速度）的条件称为约束，表为：f x y z x
y z t (,,; , , ;)=0
2)稳定与不稳定约束
稳定约束与时间无关：f x y z (,,)=0 不稳定约束与时间相关：f x y z t (,,,)=0
3)几何与运动约束
几何约束亦称位置约束：f x y z t (,,,)=0
运动约束又称微分约束：
f x y z x
y z t (,,; , , ;)=0
4)可解与不可解约束
可解约束：f x y z t (,,,)≤0 不可解约束：f x y z t (,,,)=0
5)完整系与不完整系
完整系：几何、不可解约束系
2.广义坐标 对n 个质点组成的质点系，约束为：f x y z t i k i (,,,)(,,...,)==012
则独立坐标减少为s=3n-k 个，设独立变量为q q q s 12,,...,称为Lagrange 广义坐标。

独立坐标的个数s=3n-k 为系统的自由度。

不独立变量与广义坐标的关系可表为：
x x q q q t y y q q q t z z q q q t i n i i s i i s i
i s ===⎧⎨⎪
⎩⎪=(,,...,,)(,,...,,)(,,...,,)
(,,...,)12121212，此s 个广义坐标确定系统位置。

3.虚位移
受约束系在运动过程中各质点的位置既要满足运动微分方程，也要满足约束方程。

同时满足两个方程的运动为真实运动，此时在dt 时间间隔内发生的位移称为实位移，记为d r。

只满足约束方程而与时间无关（δt =0）的位移称为虚位移，记为δ
r ，它并未实际发生，只是想象中可能发生的位移。

显然，实位移d r 是许多虚位移δ
r 中的一个。

4.理想约束
虚功：作用在质点上的力在任意虚位移δ
r 上所做的功。

理想约束：约束反力在任意虚位移δ
r 上所做的虚功之和为零，即，
R r i i ⋅=∑
δ0。

如光滑面（曲线，铰链）、刚性杆等。

5虚位移原理
设有k 个几何约束的质点系处于平衡状态，对任一质点i ，有
F R F r R r F r R r i i i i i i i i i i +=⇒⋅+⋅=⇒
⋅+
⋅=∑
∑
000
δδδδ
若为理想约束，有δδδδδW
F r F x F y F z i i ix i iy i iz i =
⋅=
++=∑
∑
()0
虚位移原理：受理想约束质点系的平衡条件是主动力虚功和为零。

6.广义坐标平衡条件
r r q q q t r r q q W F r F r q q F r
q q Q q i i s i i
j j
j s
i i i i
j j j s i i n
i
j
j j s
j j j s =∴=
∴=
⋅=
⋅=
⋅=======∑
∑
∑
∑∑
∑∑(,,...,,)[()]()121
1
1
11
δ∂∂δδδ∂∂δ∂∂δδ
由于诸虚位移δq j 的独立性，得到受理想完整约束的质点系在广义坐标中的平衡方程为：
Q
j s j
==012(,,...,)
其中Q j 称为广义力。

δδδW F r Q q
i i j j
=
⋅=
∑∑
故欲求广义力Q j ，可先求除δq j 外其它虚位移为零时主动力所做元功之和，再除以δq j 即可。

7.虚功原理解题步骤 用虚功原理可求解理想完整约束的平衡问题。

1)常规方法：
a.由主动力作用点的位置求出其作用方向的虚位移。

b.写出主动力所做虚功之和，令其为零，求解未知量。

2)分析力学方法
a.确定系统自由度并给出广义坐标。

b.写出主动力作用点位置的一般坐标与广义坐标的关系。

c.求出所有广义力。

b.令所有广义力为零，求解未知量。