练习与答案GP毕萨定律应用磁场高斯定理安培环路定理安培力

单元9 毕奥－萨伐尔定律的应用 (2 ) 磁通量和磁场的高斯定理

一. 填空、选择题

1. 已知两长直细导线A 、B 通有电流A I A I B A 2,1==， 电流流向和放置位置如图XT_0137所示，设B A I I ,在P 点产生的磁感应强度大小分别为B A 和B B ，则B A 和B B 之比为：1:1，此时P 点处磁感应强度

B P 与X 轴夹角为：0

30=θ。

2. 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。 若作一个半径为R=5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图XT_0138所示)， 则

B 在圆柱侧面S 上的积分:

0S

B dS ⋅=⎰。

3. 在匀强磁场

B 中，取一半径为R 的圆， 圆面的法线

n 与

B 成60°角，如图XT_0139所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量：21

2

m S

B dS B R πΦ=⋅=-

⎰

。 4. 半径为R 的细圆环均匀带电，电荷线密度为λ，若圆环以角速度ω绕通过环心并垂直于环面的轴

匀速转动，则环心处的磁感应强度λωμ002

1

=B ，轴线上任一点的磁感应强度30223/22()R B R x μλω=+。

5. 一电量为q 的带电粒子以角速度ω作半径为R 的匀速率圆运动，在圆心处产生的磁感应强度

R

q B πω

μ40=

。 二．计算题

1. 如图XT_0140所示， 宽度为a 的无限长的金属薄片的截面通以总电流I ， 电流方向垂直纸面向里，试求离薄片一端为r 处的P 点的磁感应强度B 。 选取如图所示的坐标，无限长的金属薄片上线电流元dx a

I

dI =

在P 点产生磁感应强度大小：

dx a

I

x a r dB )(20

-+=

πμ —— 方向垂直金属薄片向下

无限长载流金属薄片在P 点产生磁感应强度大小：

dx a I

x a r B a

)(20

-+=⎰

πμ，r

a r a I B +=ln

20πμ 2. 如图XT_0141所示， 两个共面的平面带电圆环， 其内外半径分别为21,R R 和32,R R ， 外面的圆环以每秒钟2n 转的转速顺时针转动，里面的圆环以每秒钟1n 转的转速反时针转动，若电荷面密度都是,σ求21,n n 的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零。

在内环距原点O 为r ，选取一个宽度为dr 的环形电荷元：rdr dq πσ2⋅= 此环形电荷元形成的电流环：T

dq

dI =

1

22ωππσrdr

dI ⋅=

，112n πω=，rdr n dI ⋅=σπ12 此电流环在O 点产生的磁感应强度大小：r

dI

dB 20μ=

rdr n r

dB ⋅=

σπμ10

22, dr n dB σπμ01=

里面的圆环逆时针转动时在O 点产生的磁感应强度大小：

⎰=2

1

011R R dr n B σπμ，)(12011R R n B -=σπμ —— 方向垂直纸面向外

同理外面的圆环顺时针转动时在O 点产生的磁感应强度大小：⎰=

3

2

2

2R R dr n B σπμ

)(23022R R n B -=σπμ —— 方向垂直纸面向里

圆心处的磁感应强度大小：

)()(2302120121R R n R R n B B B ---=-=σπμσπμ

令0=B ，)()(232121R R n R R n -=-

1

22

321R R R R n n --=

3. 两平行直导线相距cm d 40=，每根导线载有电流A I I 2021== ，如图XT_0142所示，求：

1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度； 2) 通过图中斜线所示面积的磁通量。(cm L cm r r 25,1031===) 通电为I 的长直导线在空间产生的磁感应强度大小：r

I

B πμ20=

电流1在中点的磁感应强度大小：d

I B πμ1

01= —— 方向垂直纸面向外

电流2在中点的磁感应强度大小：d

I B πμ2

02= —— 方向垂直纸面向外

中点磁感应强度大小：)(2

10

21I I d B B B +=

+=πμ d

I B πμ02=

，T B 5

104-⨯= —— 方向垂直向外 选取如图所示的坐标，P 点的磁感应强度大小：21B B B +=

)

(222

010x d I x I B -+=

πμπμ 穿过长度为L 、宽度为dx 面积元的磁通量为：m d B dS Φ=⋅

012()2m I I

d ldx x d x μπΦ=

+-，穿过长度为L 、宽度为r 2面积的磁通量为：m S

B dS Φ=⋅⎰ 12

1

012()2r r m r I I

Ldx x d x

μπ+Φ=

+-⎰

01120212

11

ln ln 22m I L r r I L d r r r d r μμππ+-+Φ=

-- 将I I I ==21和321r r r d ++=，31r r =带入得到：01201112

ln ln 22m IL r r IL r

r r r μμππ+Φ=

-+ 012

1

ln m IL r r r μπ+Φ=