有限元 第二章 弹性力学基础知识

2.3弹性力学的基本方程与求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , z , xy , yz , xz 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
PA dx PB dy
Z 方向取一个单位长度。 设P点应力已知： x , y , xy 体力： X ，Y AC面：
2
O
y
P
x
yx
X
Y
yx
y
A
x
xy x 1 x 2 x yx x dx (dx) yx dy x 2! x 2 y x y y dy x dx y x xy xy 2 xy 1 2 dx xy dx (dx) xy 2 x 2! x x y y dy y 注： 这里用了小变形假定，以变形前 BC面： yx 的尺寸代替变形后尺寸。 yx dy y
xy
dy
xy x
dx
y dx
dy
y
y y
dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2 1 xy 1 yx dx yx dy 整理得： xy 2 x 2 y
当 dx 0, dy 0 时，有
xy yx
—— 剪应力互等定理
F
0 x ( x dx)dy 1 x dy 1 x yx ( yx dy)dx 1 yx dx 1 y y
x
O
P
x
y
yx A
X
x
Xdx dy 1 0
xy
D
x x dx x
xy
D B
x x dx x
C

xy
dx
O 由微元体PABC平衡，得
P
x
y
M
yx A
X
D
0
y
x
xy
D
x x dx x
Y
C
B
dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2
yx
xy
yx
yx
z
Z
X
O j
Q
符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 N/m3 kN/m3
k i
V Y
y
正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等
(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力。
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
F Xi Yj Z k
y
yx
zx
zy yz
应力符号的意义(P8)
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定(P8) 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
x , y , z , xy , yz , xz u, v, w
（1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件；
一
平衡微分方程
• 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
对于平面问题,分析平衡方程
取微小的六面体PABC（P点附近），
说明：
y
（2-2）
x
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
dy)dx 1
xy dy 1 Ydx dy 1 0
y y xy x Y 0
两边同除以dx dy，并整理得：
O 平面问题的平衡微分方程：
P
x
y
yx A
X
x yx X 0 x y xy y Y 0 x y
形变 —— 物体形状的改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变γ度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
三个平面内的剪应变：
x , y , z xy , yz , zx
z C
z
A
O
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
z
C
z
A
zx xz
x P
y
B
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
O
z
y
x x ( x, y, z ), ; xy xy ( x, y, z ),
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
xy xz y yz zy z
其中
xy yx yz zy
z
规定使得单元体顺时的剪应力τ为 正，反之为负。
xy yx
x
O
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
zy yz
yx y
x
y
在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题
xy
xy
yx
y
x量
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz
y面的应力： z面的应力：
y , yx , yz
z , zx , zy
符号：
z
Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
k i
x O j
X
S Y
y
正负号： X Y Z 的正负号由坐标方向确定。
2. 应力
(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力; 内力
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
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上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象 的性质、结合求解问题的范围，而作出的基本假定。这样 便可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可 能。 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线 性问题。为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作 出小位移和小变形的假定。这就是说，要假定物体受力以 后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并 且其应变和转角都小于1。所以，在建立变形体的平衡方 程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸， 而不致引起显著的误差. 对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定，一般 需要采用其他理论进行分析求解（如大变形理论等）。
x , y , z
xy , yz , zx
应 变 位 外 力
x , y , z
xy , yz , zx
u , v, w
X ,Y, Z
X ,Y , Z
前面的主要内容：
基本假定： （1） 连续性假定； （2） 完全弹性假定； （3） 均匀性假定； （了解这些假定的作用） （4） 各向同性假定；
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表 1-3
基本假定 物理假设 体假设） 几何假设
弹性力学基本假定及其引用后的结果
引用后的结果 应力、应变和位移可用坐标的连续函数表示。 物体的弹性常数不随坐标位置而改变。 物体的弹性常数不随方向而改变。 保证了应力与应变之间的一一对应的线性关系。 基本方程化为线性方程 ，可应用硬化原理 ，叠加原理
Q (1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 s lim A0 A (2) 应力矢量. Q 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 应力的法向分量 应力的切向分量

P ΔA
ΔQ
n

(法线)
应力分量 单位：

—— 正应力 —— 剪应力

与面力相同
MPa (兆帕)
w
S
P
P v
u
O
x
y
表 1-2
基本量 应力 正应力 剪应力 正应变 剪应变 移 体力 面力 符号
直角坐标表示的基本量
量纲 [力][长度]-2 [力][长度]-2 无量纲 无量纲 [长度] [力][长度]-3 [力][长度]-2 沿坐标轴正向为正 正负号规定 正面上沿坐标轴正向为正 负面上沿坐标轴负向为正 线段伸长为正 线段间直夹角变小为正
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3. 均匀性假定 假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的 所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会 随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由 多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体 而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为 均匀的。 4. 各向同性假定 假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常 数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定 的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体 来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体， 但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均 意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。