高考数学专题复习绝对值函数最值问题
专题辅导：高考中有关绝对值综合题的类型及解法(上)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------专题辅导：高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）曾安雄绝对值是中学数学中的一个重要概念，也是历年高考中常考的知识点之一，由于其综合性强，几乎能与高中数学所有知识相结合。
故不少同学遇到此类问题，存在思路不清等障碍。
实际上处理起来并不难，关键在于：去掉绝对值符号（常用有定义法、分段讨论法、平方法及性质法等），将问题转化为不含绝对值的常规问题来解决。
下面将以高考题为例，浅谈含绝对值综合题的常见类型与解法，供参考。
一、与集合、映射知识相结合例 1（1999 年全国高考题）已知映射 f：AB，其中集合 A={-3， -2， -1， 1， 2， 3， 4} ，集合 B 的元素都是 A 中元素在 f 下的象，且对任意的 aA，在 B 中和它对应的元素是| a| ，则集合 B 中元素的个数是（）（A） 4 （B）3 （C） 6 （D） 7 解：本题含义就是找出映射 f：a| a| ，根据绝对值的定义，可算出-3， -2， -1， 0， 1，2， 3 的绝对值不同个数为 4，故选 A。
例 2（2019 年全国高考题）设集合 A={x| xZ 且-10x-1} ，1 / 4B={x| xZ 且| x| 5} ，则 A B 中的元素个数是（）（A） 11 （B） 10 （C） 16 （D） 15 解：化去集合 B 中的绝对值，可得 B={x| xZ 且-5x5} ，于是 A B={x| xZ 且-10x5} ={-10， -9，， -1， 0， 1， 2， 3， 4， 5} ，共有 16 个元素，故选 C。
二、与三角函数知识相结合三角函数中含有绝对值问题，常是分象限讨论而去掉绝对值符号。
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题真 题 感 悟(2019·江苏卷)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.解析 当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故f (x )的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f (x )是周期为4的奇函数，可作出f (x )在(0，9]上的图象如图所示.∵当x ∈(1，2]时，g (x )＝－12，又g (x )的周期为2，∴当x ∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g (x )＝－12.由图可知，当x ∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点.故当x ∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.又当x ∈(0，1]时，y ＝g (x )＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点A (－2，0)，由图可知，当x ∈(2，3]∪(6，7]时，f (x )与g (x )的图象无交点，∴当x ∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点.由f (x )与g (x )的周期性可知，当x ∈(0，1]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点. 当y ＝k (x ＋2)与圆弧(x －1)2＋y 2＝1(0<x ≤1)相切时，d ＝|3k |k 2＋1＝1⇒k 2＝18(k >0)⇒k ＝24. 当y ＝k (x ＋2)过点A (－2，0)与B (1，1)时，k ＝13.∴13≤k <24.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，24 考 点 整 合1.分段函数主要考查由基本初等函数所构成的分段函数的图象与性质，主要题型有以下几种：(1)解有关分段函数的不等式，只要找准分类的标准，转化为不等式组即可求解；(2)求分段函数在给定区间上的值域或根据值域求参数的范围，要根据函数的图象，对极值点或最值点与区间的位置关系分类讨论；(3)求分段函数的单调区间、最值，要通过基本函数法、图象法、导数法判断相应区间的单调性，特别注意不等式解集端点和区间端点的大小的比较，以及函数的定义域.2.含绝对值函数主要考查由基本初等函数构成的绝对值函数的单调性、极值、最值等问题.题型有以下几种：(1)探究绝对值函数的单调性、极值、最值；(2)已知绝对值函数在给定区间上的最值或单调性，求参数的范围；以上题型的处理有两种常见的方法：①转化为分段函数来讨论；②考虑绝对值内函数的图象与性质，然后根据函数的图象关系来处理.热点一 分段函数、含绝对值函数与不等式结合的范围问题【例1】 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)＞f (x )，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞0，0，x ＝0，x ＋2a ，x ＜0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＞a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x ＜－a ，要满足条件，需4a ＜2 016，即0＜a ＜504，综上，实数a 的取值范围是a ＜504.答案 (－∞，504)探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性，将所给函数转化为分段函数的形式.(2)利用函数的单调性解决不等式问题的关键是化成f (x 1)＜f (x 2)的形式.【训练1】 (2019·天津卷改编)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为________.解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1.综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立.设g (x )＝x ln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0，∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e].答案 [0，e]热点二 分段函数、含绝对值函数与零点相关的最值(范围)问题【例2】 (1)(2019·南京、盐城一模)设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3，若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________.解析 (1)先画出x ≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x ＜0时的图象.令y ＝f (x )，y ＝m ，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练2】 (2019·南京模拟)已知a ＞0，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2e 2ln x ，x ＞0，|x 3＋x |，x ≤0且g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点，则a 的取值范围是________.解析 由题意可知，x ＝0是g (x )的1个零点，当x ≠0时，由f (x )＝ax 2可得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln x x 2，x ＞0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ＜0， 令h (x )＝2e 2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2e 2（1－2ln x ）x 3. 当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (e)＝e ，且当x →＋∞时，h (x )→0，当x →0时，h (x )＜0.在同一平面直角坐标系中作出h (x )和y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象， 由图可知，g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点需满足2＜a ＜e ，则a 的取值范围是(2，e).答案 (2，e)热点三 分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用【例3】 (2019·连云港二模)已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x .①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ≤m ，g （x ），x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围. (2)若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.(1)解 若a ＝e ，则f (x )＝e x －e x －1.又g (x )＝(2－e)x .①h (x )＝e x －2x －1(x ∈R )，求导得h ′(x )＝e x －2.令h ′(x )＜0，得x ＜ln 2；令h ′(x )＞0，得x ＞ln 2，所以h (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞).②首先，一次函数g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m ). 因为f ′(x )＝e x －e ，易得f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，所以在(－∞，m ]上，f (x )min ＝⎩⎨⎧f （m ）＝e m －e m －1，m ＜1，f （1）＝－1，m ≥1，其值域为[f (x )min ，＋∞). 因为F (x )的值域为R ，所以f (x )min ≤(2－e)m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －e m －1≤（2－e ）m 或⎩⎨⎧m ≥1，－1≤（2－e ）m ，即⎩⎨⎧m ＜1，e m －2m －1≤0或1≤m ≤1e －2. 由①知，h (m )＝e m －2m －1在(－∞，ln 2]上单调递减，在[ln 2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0，所以h (m )≤0的解集为[0，1).综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e －2. (2)证明 由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，不合题意；当a ＞0时，若ln a ≤0或ln a ≥2，则f (x )在[0，2]上单调，也不合题意； 当0＜ln a ＜2时，f (x )在[0，ln a ]上单调递减，在[ln a ，2]上单调递增. 由x 1，x 2∈[0，2]，f (x 1)＝f (x 2)，不妨设0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2.又因为|x 1－x 2|≥1，所以x 1∈[0，1]，且x 2∈[1，2]，从而x 1≤1≤x 2.所以f (1)≤f (x 1)≤f (0)，且f (1)≤f (x 2)≤f (2).由⎩⎨⎧f （1）≤f （0），f （1）≤f （2）得⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －1，解得e －1≤a ≤e 2－e ，得证.探究提高 (1)分段函数实质还是一个函数，它的定义域、值域分别为各段的并集.(2)求函数f (x )＝e x －e x －1在动区间上的最值，要按极值点与区间的位置关系来讨论.(3)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，e m －2m －1≤0时，常规思路无法处理时，要能通过函数的单调性和图象来处理.(4)第(2)问的处理，需要研究函数f (x )＝e x －ax －1的图象和性质，要通过函数图象来分析，体现数形结合的思想方法.【训练3】 已知a 为正常数，函数f (x )＝|ax －x 2|＋ln x .(1)若a ＝2，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设g (x )＝f （x ）x ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值.解 (1)由a ＝2得f (x )＝|2x －x 2|＋ln x (x ＞0)，当0＜x ＜2时，f (x )＝2x －x 2＋ln x ，f ′(x )＝2－2x ＋1x ＝－2x 2＋2x ＋1x . 由f ′(x )＝0得－2x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝1＋32或x ＝1－32(舍去). 当0＜x ＜1＋32时，f ′(x )＞0； 当1＋32＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32； 当x ＞2时，f (x )＝x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －2＋1x ＝2x 2－2x ＋1x＞0. 所以f (x )在(2，＋∞)上为增函数.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32，(2，＋∞). (2)g (x )＝f （x ）x ＝|x －a |＋ln x x ，x ∈[1，e].①若a ≤1，则g (x )＝x －a ＋ln x x .故g ′(x )＝1＋1－ln x x 2＝x 2＋1－ln x x 2. 因为x ∈[1，e]，所以0≤ln x ≤1，所以1－ln x ≥0，x 2＋1－ln x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在[1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (1)＝1－a ；②若a ≥e ，则g (x )＝a －x ＋ln x x ，则g ′(x )＝－1＋1－ln x x 2＝－x 2＋1－ln x x 2. 令h (x )＝－x 2＋1－ln x ，则h ′(x )＝－2x －1x ＜0.所以h (x )在[1，e]上为减函数，则h (x )≤h (1)＝0.所以g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，e]上为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a －e ＋1e . ③当1＜a ＜e时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＋ln x x ，x ∈（a ，e]，a －x ＋ln x x ，x ∈[1，a ]，由①②知g (x )在[1，a ]上为减函数，在[a ，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (a )＝ln a a .综上，g (x )的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a ≤1，ln a a ，1＜a ＜e ，a －e ＋1e ，a ≥e.【新题感悟】 (2019·南京、盐城高三二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋3|，x ≤0，x 3－12x ＋3，x ＞0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为________.解析 当x ≤0时，f (x )－g (x )＝|x ＋3|－kx －1，须使f (x )－g (x )的图象过第三象限，所以f (－3)－g (－3)＜0，解之得k ＜13.当x ＞0时，f (x )－g (x )＝x 3－(12＋k )x ＋2，因为f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－12－k ，所以须使f (x )－g (x )的图象过第四象限，必须⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋k ＞0，12＋k 312＋k 3＞1，∴k ＞－9.综上得－9＜k ＜13. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9，13一、填空题1.(2019·苏北四市调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________. 解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]；当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1].答案 (－∞，1]2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧9，x ≥3，－x 2＋6x ，x ＜3，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________.解析 因为当x ＜3时，f (x )单调递增，且f (x )＜9，因此不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)等价于x 2－2x ＜3x －4且x 2－2x ＜3，解得1＜x ＜4且－1＜x ＜3，即所求不等式的解集为(1，3).答案 (1，3)3.(2019·南京、盐城调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|的图象在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)即y ＝x 2－2x 的图象相切的情况，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝2x －2，知切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].答案 [－2，0]4.(2019·天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为________.解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象. (1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况.当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点.过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54. 结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. 解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x ＞a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ). 再借助数轴，可得－1≤a ＜2， 所以实数a 的取值范围是[－1，2). 答案 [－1，2)6.(2018·苏州自主学习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 法一(利用解析式) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32. 法二(偶函数的性质) 由当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同法一. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－327.(2019·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________. 解析 由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23， 得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23， 即－23≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23， 23≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43，∴23·13（t ＋1）2＋1≤a ≤43·13（t ＋1）2＋1. 设g (t )＝43·13（t ＋1）2＋1，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43.∴当t ＝－1时，a 取得最大值43.满足题意. 答案 438.(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12二、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －a ，x ＜1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1，若f (x )恰有2个零点，求实数a的取值范围.解 当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 有一个零点， 则a ＝3x ，由0＜3x ＜3，得0＜a ＜3；而此时函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )只有一个零点， 所以⎩⎨⎧3a ≥1，2a ＜1，解得13≤a ＜12；当x ＜1时，函数h (x )＝3x －a 没有零点， 则函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )必有两个零点， 则h (1)＝3－a ≤0，即a ≥3时，函数g (x )＝π(x －2a )(x －3a )有两个零点2a ，3a 符合题设，故a ≥3. 综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞).10.已知关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.解 由题可知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2＝kx ＋2，分别作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2及y ＝kx ＋2的图象如图所示，若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋2－kx －2＝0有三个不相等的实数根，则两函数图象有三个公共点.又直线y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，可知当k ＜0，显然成立.当k ＞0且与曲线y ＝1－1x ＋2在(－∞，－2)上有两个交点时满足题意，此时1－1x ＋2＝kx ＋2， 即kx 2＋(2k ＋1)x ＋3＝0在(－∞，－2)上有两个不等实根，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－8k ＋1＞0，－2k ＋12k ＜－2，k ·（－2）2＋（2k ＋1）·（－2）＋3＞0，解得－12＜k ＜1－32，所以0＜k ＜1－32.综上，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－32∪(－∞，0).11.(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2，4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2，4]上的最大值为M (a ).当M (a )最小时，求a 的值.(1)解 由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83. 又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明 令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2，4]. 则g (x )＝14x 3－x 2，g ′(x )＝34x 2－2x ，x ∈[－2，4]. 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知，当a<－3时，M(a)＝F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)＝F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3；综上，当M(a)最小时，a＝－3.。
微专题24 绝对值函数问题(解析版)
微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二：含两个绝对值的和的问题 题型三：含两个绝对值的差的问题 题型四：含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 例1．不等式|23|5x -<的解集为( ) A ．(1,4)- B ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞C ．(,4)-∞D ．(1,)-+∞【解析】解：|23|5x -<， 5235x ∴-<-<，解得：14x -<<， 故选：A ．例2．不等式|1|3x -<的解集是( ) A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞ B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(-∞，1)(4⋃，)+∞【解析】解：|1|3x -<，313x ∴-<-<，24x ∴-<<， 故不等式的解集是(2,4)-， 故选：B ．例3．若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．[1-，3]C ．(1,3)D ．[1，3]【解析】解：由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]上恒成立，可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈，2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上， 如图所示：∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①，或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②．由①可得10a -<，由②可得03a ，故实数a 的取值范围是{|10a a -<，或者03}[1a =-，3]，故选：B ．变式1．已知t 为常数，函数2|4|y x x t =--在区间[0，6]上的最大值为10，则t = 2或6 ． 【解析】解：函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0，6]上的最大值为10， 故有2(62)410t ---=，或410t +=，求得2t =，或6t =， 故答案为：2或6．变式2．已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞，)+∞【解析】解：|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-，解得12a x ->或14a x +<， 当1124a a -+<，即3a <时，不等式解集为R ，显然符合题意． 当3a 时，(0，2)(⊆-∞，11)(42a a +-⋃，)+∞， 所以124a +或102a -，解得7a 或1a （舍去）， 综上，实数a 的取值范围是7a 或3a <． 故答案为：(,3)[7-∞，)+∞．变式3．已知a R ∈，函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 (-∞，9]2． 【解析】解：由题可知4||5x a a x +-+，即4||5x a a x+--，所以5a ， 又因为4||5x a a x+--， 所以455a x a a x -+--， 所以4255a x x-+，又因为14x ，445x x +， 所以254a -，解得92a， 故答案为：(-∞，9]2．变式4．若函数4||y a x a x=-+-在区间[1，4]上的最小值是4，实数a 的取值范围是 [4.5，)+∞ ． 【解析】解：由4y x x=+在[1，2)递减，[2，4]递增， 可得4y x x=+的最小值为4，最大值为5， 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得， 若f （1）取得最小值4，即|5|4a a --=，可得 4.5a =， 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-，且此时f （1）f =（2）f =（4）取得最小值，成立； 若f （2）取得最小值4，即|4|4a a --=，即有4a ；此时f （1）|5|a a =--，f （4）|5|a a =--，f （2）4=，由f （2）f （1），解得 4.5a ； 当f （4）取得最小值4，即|5|4a a --=，解得 4.5a =，成立． 综上可得a 的范围是[4.5，)+∞． 故答案为：[4.5，)+∞．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A ．53(,)22-B ．53[,]22-C ．3[2,]2-D ．5[,1)2-【解析】解：令()|1||2|f x x x =-++， 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，∴当2x -时，|2||1|4214x x x ++-⇔--，522x ∴--； 当21x -<<时，有34恒成立，当1x 时，|2||1|4214x x x ++-⇔+，312x∴． 综上所述，不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-，3]2．故选：B ．例5．不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞B ．(3,)+∞C ．[1-，3]D ．(-∞，1][3-，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=，|1||2|x x ∴++-的最小值为3，2|1||2|2x x a a ++--恒成立，∴只需223a a -，13a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，3]．故选：C ．例6．若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为1，从而1a ，解得1a ， 因此a 的最大值为1． 故选：B ．变式5．若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：化简得：|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-，当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，实数a 无解；当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，解得22a ，解得1a ， 综上，实数a 的范围为1a ， 则实数a 的最大值为1． 故选：B ．变式6．不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ． 【解析】解：由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩，故当1x <-时，不等式即336x ->，解得1x <-． 当12x -<时，不等式即56x ->，解得x 无解．当2x 时，不等式即336x ->，解得3x >． 综上可得，不等式的解集为(-∞，1)(3-⋃，)+∞， 故答案为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．变式7．关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值为 6 ． 【解析】解：由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为6，从而6a ，解得6a ， 因此a 的最大值为6． 故答案为：6．变式8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若集合{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅，则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ ．【解析】解：若{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅， 则等价为(1)()0f x f x --恒成立，即(1)()f x f x -恒成立， 当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若0a ，则当0x 时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=，()f x 是奇函数，∴若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则(1)()f x f x -恒成立， 若0a >，若0x a 时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-；当2a x a <时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-；当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x 时，函数的最小值为a -， 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x <时，()f x 的最大值为a ， 作出函数的图象如图： 由于x R ∀∈，(1)()f x f x -，故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方，结合图可得133a a -，即61a ，求得106a <， 综上16a， 故答案为：(-∞，1]6题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞317317][2-+，)+∞ B ．(-∞，2][1-，)+∞C ．[1，2]D ．(-∞，1][2，)+∞【解析】解：令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩，则2()2f x -，即2|1||1|2x x -+--，若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立， 则232a a --， 解得2a 或1a ． 故选：D ．例8．若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=，3|1||2|3x x ∴-+--，由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解， 知232a a >+，解得31a -<<．故选：A ．例9．若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1)(3⋃，)+∞B ．(1,3)C ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞D ．(3,1)--【解析】解：|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于3-，243a a ->-，2430a a -+>，3a ∴>，或1a <，故实数a 的取值范围为(-∞，1)(3⋃，)+∞，故选：A ．变式9．对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，实数a 的取值范围是 (-∞，5][3-，)+∞【解析】解：|20||5|15x x ---，对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，则2215a a +，解得5a -或3a ．故答案为(-∞，5][3-，)+∞．变式10．关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，则实数a 的取值范围为 (-∞，1][4，)+∞ ．【解析】解：|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-， (|3||1|)4min x x ∴+--=-．不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-，2540a a ∴-+，4a ∴或1a ，a ∴的取值范围为(-∞，1][4，)+∞．故答案为：(-∞，1][4，)+∞． 题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈，下列四个命题中真命题的序号是( ) （1）()f x 是偶函数；（2）当且仅当0x =时，()f x 有最小值； （3）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（4）方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【解析】解：()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-，()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=， ()f x ∴为偶函数，故（1）正确．根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯，当且仅当11x -时，取等号．故（2）错误；由于1()2f f =（1），显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数，故（3）不正确；由于2(55)(2)f a a f a -+=-，且函数()f x 为偶函数，2552a a a ∴-+=-，或255(2)a a a -+=--，或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩． 解得1a =，或3a =，或32a =或13a ，故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根，故（4）正确． 故答案为：（1）（4） 故选：A ．例11．若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 (-∞，18] ． 【解析】解：244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩，可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-，若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为(-∞，18]． 故答案为：(-∞，18]．例12．已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，则当x = 171时，()f x 取得最小值． 【解析】解：()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--（注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离，当x 在a ，b 之间时，||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离） 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加，使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ，b 之间时，等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项（第2525，2526项）是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11．已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-．则f （2）= 9 ，()f x 的最小值为 ． 【解析】解：（1）f （2）|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= （2）136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩， 由()f x 单调性知，最小值为1．变式12．已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，x N +∈且120x ．（1）分别计算f （1），f （5），(20)f 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最小值？最小值是多少？ 【解析】解：（1）由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-， 得f （1）19(119)012191902⨯+=+++⋯+==；f （5）15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=； 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==． （2）设x 是1~20中的某一整数，则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+． 因为x N +∈，所以当10x =或11时，()f x 取最小值， (10)(11)100f f ==，即最小值是100．【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}21A x x =-≤，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤，故{}1,2,3A B =. 故选：D.2．（2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设a ∈R ，若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．[]1,6- C ．[]2,6- D ．[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-，且0x ≠. 当0x >时，可得2211842+++a x x x x x-≤-， 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅， 当且仅当=2x 时，等号成立，所以，428a -≤，可得2a ≥-；当<0x 时，可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--， 当且仅当=2x -时，等号成立，故428a -≥-，解得6a ≤.综上所述，26a -≤≤.故选：C.3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D4．（2022·浙江·温州中学高一期中）已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且实数a 满足()()221f a a f a --=+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =或1a =11315a --≤≤B ．3a =或1a =C ．3a =或1a =-D ．3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，又112x x ++-≥，当且仅当11x -≤≤时取等号， 224x x ++-≥，当且仅当22x -≤≤时取等号，……202120214042x x ++-≥，当且仅当20212021x -≤≤时取等号，所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++，当且仅当11x -≤≤时取等号，当12x ≤≤时，()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，当23x ≤≤时，()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，…… 当20202021x ≤≤时，()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯， 当2021x >时，()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，故函数()f x 在[)1,+∞上递增，再根据函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(],1-∞-上递增，因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩，解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选：A ．5．（2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立．则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--，当21x -≤≤时，()2121y x x x =++-=+；当1x >时，()()213y x x =+--=；当<2x -时，()()213y x x =-++-=-， 故21y x x =+--有最大值3． 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立，则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3．故取值范围为[)3,+∞．故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ， 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 7．（2022·浙江杭州·高一期末）当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B8．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ）A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时，B =∅，A B ⋂=∅，符合题意. 当0a >时，由于A B ⋂=∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤. 综上所述，a 的取值范围是1a ≤.故选：C9．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数()1f x mx x =--（0m >），若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）A ．01m <≤B ．4332m ≤<C ．312m <<D ．322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-，作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0，1-，2-； 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩，解得4332m ≤<； 故选：B ．二、多选题10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ） A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤； 由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或， 令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74. 故选：AD.11．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，则实数m 可能取值是（ ）A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，所以R x ∀∈，都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--，只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 所以()min 4f x =-，所以4m ≤-.对照四个选项，C 、D 符合题意.故选：CD12．（2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）A ．不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB ．不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，|1||2|3x x ++-=，故选项A 错误；对于B ，因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=，即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立，所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ，故选项B 正确；对于C ，不等式|1||2|5++->x x ，当1x <-时，则125x x --+->，解得<2x -；当12x -≤≤时，则125x x ++->，解得x ∈∅；当2x >时，则125x x ++->，解得3x >.综上所述，不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，故选项C 错误,D 正确.. 故选：BD.三、填空题13．（2022·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋1|≤10的解集为___________．【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x ＞2时，原不等式可化为：(x －2)＋x ＋1≤10，解得2＜x ≤112；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为：－(x －2)＋x ＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x ≤2；当x ＜－1时，原不等式可化为：－(x －2)－(x ＋1)≤10，即－2x ≤9，解得92-≤x ＜－1． 综上所述，原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．14．（2022·全国·高一专题练习）不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩，|1||2|2x x x ∴-+-<+化为：2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得：25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15．（2022·全国·高一专题练习）设1234T x x x x =-+-+-+-，如果x 可取任意实数值，那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有A B C D ，，，四点，其对应的值分别为1234，，，，求一点M ，使得MA MB MC MD +++最小，当M 在线段AD 上时，MA MD +的最小值为3，当M 在线段BC 上时，MB MC +的最小值为1， 故当M 在线段BC 上时，MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为：4.16．（2022·全国·高一专题练习）不等式12x x m -++≥恒成立，则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3，若不等式12x x m -++≥恒成立，则3m ≤.故答案为：3m ≤四、解答题17．（2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合{}|123A x x x =-+-<，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，求a 的取值范围． 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3，∴03x <<，∴()0,3A =，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，∴24x ax +≤在()0,3上无解，即4≥+a x x 在()0,3上无解， ∴ ()0,3x ∀∈，4a x x <+恒成立， 444x x x x+≥⋅，当且仅当2x =时，等号成立，4a <， ∴a 的取值范围为(),4-∞18．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集；(2)当R x ∈时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≥，解得32x ≤-，此时32x ≤-； 当12x -≤<时，34≥不成立，此时无解；当2x ≥时，214x -≥，解得52x ≥，此时52x ≥. 综上：()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2，)+∞，求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥，求实数a 的取值范围．【解析】（1）函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-，当()()10x x a --≤时，等号成立，|1|2a ∴-=，解得=3a 或1a =-．（2）由(2)(2)f a f -≥，可得3121a a ---≥，则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩， 解得：0a ≤或322a ≤≤或2a >．综上，a 的范围是：3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（2022·浙江·高一阶段练习）已知a ，b ，c ∈R ，函数2y ax bx c =++．(1)若1a =，关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立，求b ，c 的值； (2)若a ，*b ∈N ，1c =，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且均大于1-小于0，求a b +的最小值．【解析】（1）由224300x x --=，解得5x =或3x =-，则当5x =或3x =-时，2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩，即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，由1a =，解得215b c =-⎧⎨=-⎩，∴2b =-，15c =-；（2）由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩，∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，由244b a >≥得3b ≥，若3b =，∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则924<<a ，无解，若4b =，∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩，则34a <<，无解，若5b =，∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则2544a <<，∴5a =或6a =，显然5a =时，a b +更小，为10，若6b ≥，由1a b +>，得2111a b b +>-≥，∴a b +的最小值为10，当5a =，5b =时取得．21．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式2421x x x -++≥-的解集；（2）若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，求实数m 的取值范围；（3）已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得：12x ≤≤②当1x <时，不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得：不等式的解集为：3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣（2）2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，故原不等式转化为：231x x mx ++≥在(]0,1恒成立，即13x m x ++≥在(]0,1恒成立，而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减，∴当1x =时，13y x x =++有最小值5，5m ∴≤.（3）()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+， 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为：2214a a -+≥，解得3a ≥或1a ≤-.。
江苏省高三数学一轮复习之 含绝对值的函数的解答题)
含绝对值的函数的解答题类型一简单的前面系数确定的绝对值函数1.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在所给的坐标系中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、单调增区间、单调减区间(不要求证明).2.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、单调区间(不要求证明).3.（1（2.（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）4.（1（2.5.（1）指出函数的单调区间并求出函数最小值；（2）若0)(>+x f a 恒成立，求a 的取值范围.6. 设函数|4||12|)(--+=x x x f .（1）解不等式2)(>x f ；（2）求函数)(x f y =的值域.7. 设函数a x x x f -+++=|2||1|)(.（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围.8. 已知函数ax x x f ++=|1|)((R a ∈).（1）画出当2=a 时的函数)(x f 的图象；（2）若函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围. 9. 对a 、R b ∈，记⎪⎩⎪⎨⎧<≥=ba b b a a b a , ,},max{，函数)( |}2| |,1max{|)(R x x x x f ∈-+=. （1）作出)(x f 的图像，并写出)(x f 的解析式；（2）若函数)()(2x f x x h λ-=在(]1,-∞-上是单调函数，求λ的的取值范围.10. 已知函数)4(||)(-=x x x f .（1）画出的图象；（2）利用图象写出函数的单调区间；（3）若关于x 的方程k x f =)(有三个不同的根，求k 的取值集合.11. 已知函数)1(||)(+=x x x f ，试画出函数)(x f 的图象，并根据图象解决下列两个问题.（1）写出函数)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 在区间]21 ,1[-的最大值. 12. 已知函数)33( 1||2)(2<<-++-=x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象，并根据图象写出)(x f 的单调区间；（2.13.（1（2.14.（1（2（3.15. ).（1（2.（316. ”：（1R上的”？（2R上的”？若存在，求（31）中的”.17.（1（2（3围．18.（1.（219.（1（2围；（3.20.（1（2.21.（1）求满足2)(=x f 的x 值；（2）是否存在实数a 、b ，且10<<<b a ，使得函数)(x f y =在区间],[b a 上的值域为]2 ,[b a ，若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由.22. 设函数)0( 11)(>-=x xx f . （1）求)(x f 的单调区间；（2）是否存在正实数a 、b （b a <），使函数)(x f 的定义域为],[b a 时值域为]6,6[b a ？若存在，求a 、b 的值，若不存在，请说明理由.23. 已知函数)0( 11)(>-=x xx f . （1）判断函数的单调性；（2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； （3）是否存在实数a 、b （b a <），使得函数)(x f y =的定义域、值域都是] ,[b a ？若存在，请求出a 、b的值，若不存在，请说明理由.24. 已知函数31)(-=xx f ，),0(+∞∈x . （1）画出)(x f y =的大致图象，并根据图像写出函数)(x f y =的单调区间；（2）设910<<a ，31>b ，试比较)(a f 、)(b f 的大小. （3）是否存在实数a 、b ，使得函数)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由.25. 已知函数|12|)(-=x x f .（1）求函数零点；（2；（3.26.（1（2.27. 如果满足：（1明理由；（2.28. 如果满足：（1）请说明理由；（2（33为上界的有界函数，29. 如果满足：（1理由；（2（3.类型二绝对值前有常系数1.（1（2（3．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．．）．2.（1（2（3.类型三绝对值内有参数、绝对值外系数确定1. .（1（2.2.（1（2（3.3.（1（2（3.4.（1（2（3.5.（1（2.6.相等.（1（2（37..（1（28. ).（1（2.9..（1类型四其他1.（1（2（3（4.2.（1（23.（1（2（3.4.（1（2（35.（1（2.6.（1（2（3明理由.7.（1（2（3.8.（1（2.9.（1m的取值范围；（2m的取值范围.10.（1（2（3.11.（1（2（3.12.（1（2（3.13.（1（2）(ⅰ)(ⅱ)14.（1（2.15.（1（2（3．．．．(不需给出演算步骤).16.（1（2.（317.（1（2（3.18.（1的值域；（2的最大值；（3.19.（1（2（3）对于（2取值范围.20.（13接近0（2（3.明）.。
专题十一：绝对值最值问题
绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作a几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．绝对值最值问题解析1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：4；（2）∵|b|＝3|a|∴b＝±3a∵AB＝8∴|a﹣b|＝8当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，解得：b＝7；②当点b在a的左侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，解得：b＝﹣1，综上所述：b＝7或﹣1．。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
高考数学总复习之【最值问题】专题
专题 最值问题【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.考点3：线段的定比分点、平移.考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a xax x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点•难点•热点】 问题1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值．思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．(1)解法一：(利用定义)2)(x x f =-＋1++a x ，2)(x x f -=-.1---a x若22),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a ．故0=a 时，)(x f 为偶数；≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数．若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数；若≠a ，则12)(,1)(22++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数．（2）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若21≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为43)21(=f ，且)()21(a f f ≤． 当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ．若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-；若21->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上所述，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是43+a ．点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(x f与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,j i AB 22+=(i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2－x －6．(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值． 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，)(1)(x f x g +＝252+--x x x ＝x+2+21+x －5，用不等式的知识求其最小值．演变2：（05年北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ． （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 点拨与提示：本题用导数的知识求解．问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．例2：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+，然后求其最小值．解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x ,y ),则AP ={x +6, y },FP ={x －4, y },由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩，则22x +9x －18=0, 解得 x =23或x =－6．由于y >0,只能x =23,于是y =235． ∴点P 的坐标是(23,235) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0． 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m ．于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2．椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15 演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0>>x y ．(Ⅰ) 将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ) θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 点拨与提示：将十字型面积S 用变量θ表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值．问题3：最值的实际应用 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用x 表示（即建立目标函数），然后求其最大值． 解：设OO 1为x m ，则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ）故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ）求导得)312(23V'2x x -=）（．令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ，当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2=x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：-1物体质量（含污物）污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(≤≤a a ．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0->++a x x x ．用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中)99.08.0(<<c c 是该物体初次清洗后的清洁度．（1）分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小． （2）若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----，利用均值不等式求最值．问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．例4、已知函数xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意0)(),,1[〉+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围． 思路分析：f(x)＞0恒成立，即min )(x f ＞0．解：（1）当21=a 时，211)(',221)(zxx f x x x f -=++=． 1≥x ， ∴0)(/>x f ．∴ )(x f 在区间),1[+∞上为增函数． ∴ )(x f 在区间),1[+∞上的最小值为27)1(=f ． （也可用定义证明221)(++=xx x f 在),1[+∞上是减函数） （2） 02)(2>++=xax x x f 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ 022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立； 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3 ∴ 3<-a 即 3->a点评：1．（1）中，,221)(++=xx x f 这类函数，若0>x ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可．2．求函数的最小值的三种通法：利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现．演变5：已知函数()22xxaf x =-，其中0<a <4． （Ⅰ）将()y f x =的图像向右平移两个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，求函数()y h x =的解析式；（Ⅲ）设()()()1F x f x h x a=+，已知()F x 的最小值是m，且2m >数a 的取值范围．点拨与提示：（Ⅲ）的实质就是72)(min +>x F 恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值． 问题五：参数的取值范围问题 参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．例5．设直线l 过点P （0，3）且和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，求AP PB 的取值范围．思路分析：AP PB =B A x x -．要求AP PB 的取值范围，一是构造所求变量BA x x-关于某个参数（自然的想到“直线AB 的斜率k ”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称式． 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称式：1221x x x x +．由此出发，可得到下面的两种解法．解法1: 当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 ()045544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 由椭圆关于y 轴对称，且点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形．当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-．由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k，即 511-≤≤-PB AP ．解法2:设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ， 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ，所以 536214≤++≤λλ，解得 551≤≤λ． 结合10≤<λ得151≤≤λ．综上，511-≤≤-PB AP ． 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．演变6：已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域； （Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解． 专题小结1．函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．2．三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．3．在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．4．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．5．参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等． 【临阵磨枪】一．选择题1．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A43B75C85D 32．（05福建卷）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A 22-B 335-C －3D 27-3．（06年江西）P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 94．（06年福建）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A (1,2] B (1,2) C [2,)+∞ D (2,)+∞ 5．当2π0<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A 2B 32C 4D 346．（05天津卷）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A )1,41[B )1,43[C ),49(+∞ D )49,1(7.（06年江西）若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x（0，12）成立，则a 的取值范围是（ ）A 0B –2C -52D -3 8.(05年重庆)若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ） A 3 B27 C 4D29 二．填充题9.已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是_______． 10.(05上海)若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________.11.（06年江西卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三PCAB角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________12.对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．三．计算题 13．（06年全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值． 14． (05年重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围．15 (05天津)已知m R ∈，设P ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；Q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．16．（06年江西）如图，椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a b0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 （1） 求点P 的轨迹H 的方程（2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos ＋sin ，b 2＝sin（02π ），确定的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？参考答案1．A 提示：设抛物线上动点为P(x ,-x 2)，所以3453205|843|2=≥-+-=x x d ．XylOFD A B2．C 提示：a=6sin α,b=3cos α,则a+b=3sin(αϕ+),其中2arctan2ϕ=,a b ∴+的最小值为－3．3．B 提示：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9．4．C 提示：依题意a b ≤3 ，结合222a c b -=，得2≥=ac e ． 5．C 提示：xxx x x x x x x x x x f cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1)(222+=+=++=4cos sin 4sin cos 2=⋅≥xxx x ，当且仅当x x x x cos sin 4sin cos =，即21tan =x 时，取“=”， ∵2π0<<x ，∴存在x 使21tan =x ，这时4)(max =x f ． 6．B 提示：记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-，当1a >时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≥恒成立，所以213324a ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭．矛盾，排除C 、D ；当01a <<时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≤恒成立，所以213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，排除A ．本题答案选B7．C 提示：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－．若a 2－≥12即a －1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）0－52≤x －1；若a2－≤0即a 0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝10恒成立，故a 0；若0a 2－≤12即－1a0，则应有f （a 2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1a 0．综上，有－52≤a 故选C 8．C 提示：22)21()21(x y y x +++≥2(x+12y )(y+12x )≥1122x y y x⋅⋅当且仅当11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得x=y=22时等号成立,选(C) 9．3.5 提示：点P 在以A,B 为焦点,2a=3的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为1.5+2=3.5． 10.11 提示：求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值为11.11.52 提示：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得A 1C 1C ＝90又BC 1C ＝45,A 1C 1C ＝135由余弦定理可求得A 1C ＝5212.31x x ><-或 提示：将p 视为主元，设()()()2143f p p x x x =-+-+，则当40≤≤p 时，()f p >0恒成立．等价于：()()0040f f >⎧⎪⎨>⎪⎩．即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩,解得31x x ><-或．13．cos 2cos2B C A ++2sin 22sin 212sin 2cos 2cos 2cos 2A A A A A A +-=+=-+=π 记2sinA t =（0A π<<）则原问题等价于求122)(2++-=t t t f 在]1,0(上的最大值 ()221121222f t t ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当41=t 时，即3π=A 时，f(t)取得最大值23． 14．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由C 1CBA 1故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 22629,,22,1313A B A BA B A B k x x x x OA OB x x y y k k -+==⋅>+>--由得 而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++2222296237(1)22.131331k k k k k k k -+=+++=--- 于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ② 由①、②得.1312<<k 故k 的取值范围为33(1,)(,1).33--⋃ 15 解 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2， 所以，84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x当a[-1,1]时，28a +的最大值为9，即12||x x -3由题意，不等式212|53|||m m x x --≥-对任意实数a[1,1]恒成立的m 的解集等于不等式2|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤-①，或2533m m --≥②不等式①的解为05m ≤≤，不等式②的解为1m ≤或m ≥ 因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的(Ⅱ)对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f令0)('=x f ，即034232=+++m mx x 此一元二次不等式的判别式 16124)34(12422--=+-=∆m m m m若＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：x(－,0x ) 0x(0x ,+))('x f++因为，0()f x 不是函数()f x 的极值若>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：x (－,1x ) 1x(1x ，2x )2x(2x ,+))('x f+－+因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值综上所述，当且仅当>0时，函数f (x )在(－,+)上有极值由0161242>--=∆m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-,1)),6[]5,4(+∞⋃16． 解：如图，（1）设椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a b0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）1 当AB 不垂直x 轴时，x 1x 2， 由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0212212y y b x yx x a y x c∴－＝－＝－－b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)2 当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3） 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题1. 已知函数2()2||f x x x a =--(0>a )，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 不等式()()12f x f x -≥化为*）对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >，所以分如下情况讨论：①当0x a ≤≤时，不等式（*）24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立②当1a x a <≤+时，不等式（*）即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2.已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数)，且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的最值．【解析】(1)由题意f (0)＝g (0)，∴|a |＝1.又∵a >0，∴a ＝1.(2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1.当x ≥1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1，＋∞)上单调递增，当x <1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在⎣⎡⎭⎫－12，1上单调递增，在(－∞，12-]上单调递减． 因此，函数f (x )＋g (x )在(－∞，12-]上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． 所以，当x ＝12-时，函数f (x )＋g (x )的最小值为74；函数无最大值． 5.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．2min ()4120[0,]()(0)120102g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤在上单调递增只需（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．6.设函数b a x x x f +-=||)(， ,a b R ∈（1）若11,4a b ==-，求函数()f x 的零点； （2）若函数)(x f 在]1,0[上存在零点，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）分类讨论解得：11,22x x ==...................................................4分 （Ⅱ）函数)(x f 在]1,0[上存在零点，即||x x a b -=-，[0,1]x ∈上有解，令()||g x x x a =-，只需{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈..................................................5分 当0a ≤时，2()()g x x x a x ax =-=-，在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤...............................................................................7分 当1a ≥时，2()()g x x a x x ax =-=-+，对称轴2a x = 又当2a ≥ ()g x 在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10ab -≤≤当12a << ()g x 在[0,]2a 递增，[,1]2a 递减，且所以2()[0,]4a g x ∈，即204ab -≤≤ ...............................................................................................................................................10分当01a <<时，22 [0,]()() [,1]x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知，()g x 在[0,]2a 递增，[,]2a a 递减，[,1]a 递减，所以min ()0f x =， 2max (){(),(1)}{,1}4a f x f a f a ==-，当01)a <≤，max ()(1)1f x f a ==-，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤当1)1a <<，2max ()()4a f x f a ==，所以2()[0,]4a g x ∈，即204a b -≤≤ .....................................................................................................................................................14分综上所述：当1)a ≤时，10a b -≤≤当1)2a <<，204a b -≤≤ 当2a ≥，10a b -≤≤........................................................................................15 分7.已知函数()()243f x x a x a =+-+-．（I ）若()f x 在区间[]0,1上不单调，求a 的取值范围；（II ）若对于任意的(0,4)a ∈，存在[]00,2x ∈，使得()0f x t ≥，求t 的取值范围． 解：401242a a -<-<⇒<<……5分 （II ） 解法：()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ ……9分 Q 011x -≤，{}03max 1,3x a a a +-≤-- ……………13分且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到，故()max 1,24||3,02a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩ 故()max ||1f x ≥，所以1t ≤……15分 、8.已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分 ①当1,22a a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
专题与绝对值函数有关的参数最值及范围问题
专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题类型一 常数项含参数1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a（Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）．2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+（Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围.3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+.（1）若函数1()()22h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的单调性；（3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围．6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值；（2）若12a =，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.7.已知函数，， （1）若，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数的最大值的表达式； （3）是否存在实数，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.8已知函数()()112+++=x b x x f 是定义在[]a a ,2-上的偶函数，()()t x x f x g -+=，其中t b a ,,均为常数。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
含有绝对值函数的取值范围问题
含有绝对值函数的取值范围问题在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）＞0恒成立，求实数a的取值范围．x1－x2串讲1若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．串讲2若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________________．已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4e2.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－1），|x |＞1，e x （1－x 2），|x |≤1.当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，所以f (x )有极大值f (－2)＝4e 2，极小值f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分f (－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）e.f (a ＋1－1)＝2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）e.11分且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1(a 2＋a ＋1)＞ea ＋1(a ＋1－1)＞2ea ＋1（a ＋1－1）e.所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分令g (x )＝e －x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －x ＜0，所以g (x )＝e －x (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2e.等号当且仅当x ＝1时取到.14分所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫2e 2，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4e2.16分例题1答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．变式联想变式1答案：a ＝0或a ＝4.解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 22＝a 24≤1，f(x)＝|x 2－ax|，f(0)＝0，f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；②当2<a<4时，f(x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件；③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件；④当a>4时，f(x)＝－x 2＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．串讲激活串讲1答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2，显然在区间[0，2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a3≥2，即a≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．串讲2答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.新题在线答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三：含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论：①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe［O,a］恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,3 7所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.2因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根，故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.，在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
函数绝对值(DOC)
辅导讲义154年高三第二次模拟文科）函数D ）( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b22+|a b ab22+a b ab[3,)+∞……………………………………………………时，在区间[12]，上，1当2当∴综上，解：8 、（2012届高三一模徐汇区理23）对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[],x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。
（1）求证：函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[)2,-+∞上的“U 型”函数，求实数m 和n 的值.解：（1）当[]1,3x ∈时，1()132f x x x =-+-= 当[]1,3x ∉时，1()|1||3||13|2f x x x x x =-+->-+-=故存在闭区间[][],1,3a b R =⊆和常数C=2符合条件，…………………………4分 所以函数1()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数…………………………5分 （2）因为不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立， 所以min 12()t t f x -+-≤…………………………7分 由（1）可知min min ()(13)2f x x x =-+-=…………………8分所以122,t t -+-≤…………………………9分 解得：1522t ≤≤…………………………11分 （3）由“U 型”函数定义知，存在闭区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈，(23)a -23a =-；,)+∞上递增；21,2aa =当且仅当时，函数y =时，函数(y f x =时，函数y =因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）13 已知函数()(),f x x a x a R =⋅-∈。