《二倍角的三角函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

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高中数二倍角的三角函数课件北师大必修

选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$，且$theta in (0,frac{pi}{2})$，则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$，则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$，求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$，则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性

【高中课件】高中数学北师大版必修4二倍角的正弦、余弦和正切导学课件ppt.ppt

(3)(sin5�� +cos5�� )(sin5�� -cos5�� );
12
12
12
12
【解析】(1)原式=4sin �� cos �� cos �� =2sin �� cos �� =sin ��=��.
sin �� cos �� 的值为( A
12
12
).
A.1
B. 3
C.1
D. 3
4
4
2
2
【解析】sin �� cos �� =��(2sin �� cos �� )=��sin(2× �� )=��sin ��=��.
直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值
将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)8sin �� cos �� cos �� cos �� ;
48 48 24 12
(2) 1 - 1 ;
1-�� 1+��
D.sin 1-cos 1
【解析】∵0<1<��,∴cos 1>0,
��
∴ �� + ��= �� + (��-��)= ��= ��cos 1.

北师大版必修4高中数学3.3.1《二倍角的三角函数》ppt课件

tan

1 2

1 3

1 2

5. 6
方法二：
sin2

2sincos sin2 cos2Biblioteka 2tan 1 tan2
,
cos2

cos2 sin2 sin2 cos2

1 1
tan 2 tan 2
,
2tan
原式
＝ sin2 1 cos2

【规范解答】由2α +β ＝π知，β =π-2α ，所以y＝cos(π-2α)-6sinα =-cos2α-6sinα =2sin2α-6sinα-1 …………………………………………4分令t＝sinα则t∈[-1,1]，原题变为求y＝2t2-6t-1在区间 [-1,1]上的最值． ………………………………………… 6分
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
sin20
1 sin40cos40cos80 2
sin20

1 sin80cos80 4

1 sin160 8

1.
sin20
sin20 8
方法二：原式 sin40 g sin80 gsin160 1gsin160 1 .

高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件

(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－＋44ccooss22AA＋＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.

高二数学3.3二倍角三角函数课件 (北师大必修4)

例2.化简
(1ห้องสมุดไป่ตู้(sin
5 5 3 5 5 5 5 2 5 cos2 cos cos )(sin cos ) sin 12 12 6 2 12 12 12 12
4
(2) cos

2
sin
4

2
(cos 2

2
sin 2

2
)(cos 2

2
sin 2

2
) cos
2 tan 1 1 tan 2 (3) 2 1 tan 1 tan 1 tan
(4)1 2cos2 cos 2 2
(5) 1 sin | sin
=

2
cos

2
|
1 sin 8 8
(6)sin cos cos 2 cos 4
例3.已知
5 cos , 是第二象限角，求 sin 2 ,cos 2 , tan 2 的值。 13
例4.要把为R的半圆形木料截成长方形（如右图应怎样截取，才能使长方形面积最大？
动态分析
7 例5.已知 cos 25
，求
sin

2
, cos

2
, tan

2
的值。
例6.已知
12 3 sin 2 , 2 , 求 tan 13 2
例7.求函数
y cos x cos x sin x
2
的值域.
小结：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 1

【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)

1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①． (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②． cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α，cos2α，tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
；
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169

高中数学北师大版必修四二倍角的三角函数(一)ppt课件(50张)

§3
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知

《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

．
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解：．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（）
D
解：，
．故答案为：．
设，则的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有，
同理：，．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知，则sin2α的值为多少？

高中数学 3.3二倍角的三角函数多媒体教学优质课件2北师大版必修4

2.(2014·安徽示范高中检测)若 sin(π－α)＝
－
5 3 ，且
α∈π，32π，则
sinπ2 ＋α2 ＝(
B
)
A．－
6 3
B．－
6 6
C.
6 6
D.
6 3
第二十二页，共30页。
3.(2013·新课标全国(quán ɡuó)高考)
已知 sin 2 2，则 cos2 ( （)
A. 1
B3. 1
用
2
代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍
角公式.
第十页，共30页。
3、关于公式的几个(jǐ ɡè)说明：（1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立
(chénglì)，对于正切的半角公式 2k 1 (k Z ).
（2）等式中的“半角”的意义是相对的，如：
半角公式不仅可运用于将作为的半角的情况，还可
看作是一个三角形的三个内角.
第十九页，共30页。
三角恒等式的证明:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从
繁到简.
(tíshēng)
提 (2)左右归一，即证左右两边等于同一个式
总升子.
左
结 (3)分析法右,从结论出发,推理之后即证一个
显然成立的式子或已知条件.
(4)也可证＝1或左－右＝0.
第四页，共30页。
例1 利用(lìyòng)二倍角公式证明
：
sin
1 cos
2
2
cos
1 cos
2
2
tan 1 cos
2
1 cos
sin 1 cos
1 cos . sin
第五页，共30页。
证明在二倍角公式

北师大版数学必修四课件：3.3.2二倍角的三角函数

sin
cos
1 cos 2 2 3 sin 2 5 3. tan 2 cos 4 4 2 5
利用公式化简、证明
1.三角函数式化简的方法与技巧： (1)应用公式：根据式子的结构，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用.
(2)统一函数名称和角：常采用异名化同名，异角化同角等
【审题指导】半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函数值，因此要先根据条件求出cosα,再代入半角公式求值.
【规范解答】由已知 sin 24 , 3 2 得
25 2 cos 1 sin 2 7 3 , ( , ), 25 2 4
根据半角公式得
1 cos 2 2 1 7 25 3 , 2 5 1 7 25 4 ， 2 5
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完
成恒等式的证明.
【例2】化简：
1 sin cos (sin
cos ) 2 2 0 . 2 2cos
【审题指导】式子中含有根式，先化单角为半角去根号，
再利用有关公式进行化简.
【规范解答】∵0<θ<π, 0 .
2 2 (2cos 2 2sin cos )(sin cos ) 2 2 2 2 2 ∴原式 2g2cos 2 2 2cos (cos sin )(sin cos ) 2 2 2 2 2 sin 2 cos 2 cos. 2 2 2cos 2
2
2
2
三角函数实际应用问题解决三角函数实际应用问题的方法三角函数实际问题以“三角函数”为模型的数学实际
应用问题，解决这类问题关键在于建立以“角”为自变量

高中数学北师大版必修四第3章 §3 二倍角的三角函数课件(39张)

【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错． π kπ 2tan α (3)α≠4＋ 2 (k∈Z)时，有tan 2α＝，所以(3)错． 1－tan2α 1 1 2 (4)sin 22° 30′cos 22° 30′＝2×2sin 22° 30′cos 22° 30′＝2sin 45° ＝ 4 ，所以 (4)对．
2
[探究共研型]
三角恒等变形的综合应用
探究1 倍角公式成立的条件是什么？
2
6 ∴sin α＝－ 1－cos α＝－ 3 . sin α ∴tan α＝cos α＝－ 2.
∵α为第四象限角， α ∴2是第二或第四象限的角， α ∴tan 2<0. 2－ 6 α 由tan α＝，得tan2＝ 2 . α 1－tan22 α 2tan2
α α 在求半角的正切tan2时，用tan2＝±
10° 1＋
＝
3 10° ＋ 2 sin 10° 2 2 sin 40°
2 2sin 40° ＝ sin 40° ＝2 2.
3π π α 3π (2)∵π<α< 2 ，∴2<2< 4 ， α α ∴ 1＋cos α＝ 2|cos 2|＝－ 2cos 2， α α 1－cos α＝ 2|sin 2|＝ 2sin 2， 1＋sin α 1－sin α ∴ ＋ 1＋cos α－ 1－cos α 1＋cos α＋ 1－cos α 1＋sin α 1－sin α ＝ α α＋ α α － 2cos2＋sin2 2sin 2－cos 2
[再练一题] 1 1．已知 sin α＋cos α＝3，且 0<α<π，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值.