线性方程组和行列式共72页
第四章 矩阵·行列式·线性方程组
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
行列式的性质及线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
§1.4 线性方程组的求解
2011. 9. 26
回顾 n阶行列式的计算方法
1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 定理对行列式进行降阶计算； 4.递推公式法； 5.析因法； 6.归纳法； 7.加边法(升阶法)；
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = bn Di 当D 0时有唯一解: xi = (i = 1, …, n), D a11 a12 … a1n a11 … a1,n1 b1 a21 a22 … a2n a21 … a2,n1 b2 Dn 其中D = … … … … , … = … … … … . an1 an2 … ann an1 … an,n1 bn
xn
n 1
此结论要记住！
行列式的几何意义Fra bibliotek 二阶行列式 a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22
=(a12, a22) =(a11, a21)
sin a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1
a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22 =以,为邻边的平行四边形的有向面积 其中(,)逆时针方向为正，顺序针方向为负
例5 计算 n 阶行列式
线性代数第四章线性方程组课件
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
第1章 行列式
Dn 1
n n 1 2
1 2 n .
证毕
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例4
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解:
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
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第三节 n阶行列式的定义
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一、概念的引入
由三阶行列式定义知： （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
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例如
a13 a 21a 32
(2)
n
2
1
12 n .
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证明（1） Dn 1 a1 p a 2 p a np
t
1 2
n
要是不为0的项需 pi i ，即 p1 p2 pn 1,2,, n 为标准排列，其逆序数 t = 0
Dn ( 1)0 a11a22 ann 12 n
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
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1 2 3 4
例6
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
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解
D 2 2 ( 2)
(1) 当＝0 或 ＝2时，D 0
线性方程组课件
对一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
（*）
分别称
a11 a A 21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a a2 n , A 21 a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 bm
例2
解线性方程组
x3 x3 x3 x3 2 x4 4 x4 x4 3 x5 4 x5 5 x5 8 x5 1 2 3 2
x1 x2 2 x 2 x 1 2 3 x1 3 x2 x1 x2
。
§1.2 线性方程组解的情况及判别
情形一：
d r 1 0 0 d r 1
此时阶梯形方程组中出现了
这种矛盾方程，因此阶梯形方程组无解。
情形二：
d r 1 0
子情形一：
r n
则上述阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n
定理 方程组的初等变换把一个线性方程组变成 另一个同解的线性方程组。
定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。
给定线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
2019年二阶三阶行列式及线性方程组.ppt
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22b1a22 -a12b2 a11a22 -a12a21
x2
=
a11b2 a11a22
-b1a21 - a12a21
提示: [a11x1+a12x2=b1] a21a11a21x1+a12a21x2=b1a21 [a21x1+a22x2=b2] a11 a11a21x1+a11a22x2=a11b2 (a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和
a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2
得
x1
=
b1a22 a11a22
- a12b2 - a12a21
x2
=
a11b2 -b1a21 a11a22 -a12a21
我们用符号 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 这样就有
对角线法则
二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上
二元素之积所得的差
a11 a1 a2 2 1 a2
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
第一章(行列式和线性方程组的求解)
几何与代数主讲: 张小向第一章行列式和线性方程组的求解第一节二阶, 三阶行列式第二节n阶行列式的概念第三节行列式的性质第四节线性方程组的求解第五节用Matlab解题学代数方程组多项式的次数未知量的个数方程的个数线性代数线性方程组未知已知涉及的函数多项式一次≥1≥1线性方程组的应用: 平面的位置关系电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型……W. Leontief [美](1905.8.5-1999.2.5)1973Nobel 经济学奖投入(元)产出(元)煤运费电0.20.31煤0.50.11运费0.60.10.11电订单(元)60000100000 x y0.9x-0.65y= 60000-0.32x+ 0.89y= 100000§1.1 二阶, 三阶行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G. W. Leibniz [德](1646.7.1~1716.11.14)S. Takakazu[日](1642?~1708.10.24)(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a 21⇒当a11a22-a12a21≠0时,a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b 2x1=b1a 22-a 12b 2a 11a 22-a 12a 21, x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21.a11 a12a21a 22记D= ,b1a12b2a 22D1= ,a11 b1a21b2D2= ,则当D= a11a22-a12a21≠0时,,=D1D =D2D.a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b2x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21有唯一确定的解x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21= 33+ a 1231+ 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-.对角线法则a 11 a 12 a 21a 22= a 11a 22-a 12a 21a 11a 12a 13a 21a 22 a 23 a 31a 32a 33a 13a 21a 32 a 11 a 22 a 33 a 23a 31 32 a 13a 22a 31a11a12a13a21a22a23a31a32a 33记D = ,则当D 0时,a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2a31x1+ a32x2+ a33x3= b3,D1Dx1=有唯一确定的解b1a12a13b2a22a23b3a32a33D1= ,a11b1a13a21b2a23a31b3a33D2= ,a11a12b1a21a22b2a31a32b3D3= ,,D2Dx2= .D3Dx3=§1.2 n 阶行列式的概念110 0120 00 0 1-10 0 12仿照三阶行列式的对角线法则可得1⨯2⨯1⨯2-1⨯1⨯(-1)⨯1= 4+1 = 5.310 0520 000 1-130 123⨯2⨯1⨯2-1⨯5⨯(-1)⨯1= 12+5 = 17.但方程组⎧⎨⎩x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2= 5x 3-x 4= 0有唯一解⎧⎨⎩x 1= 1x 2= 2x 3= 1≠175一. 排列的逆序数与奇偶性1.全排列(简称排列)P n = n 个不同元素的所有排列的种数= 1⨯2⨯…⨯(n -1)⨯n 例如, 1, 2有个全排列: 1 23, 13 2, 3 1 2, 2 13, 23 1, 3 2 112, 21. 1, 2, 3有个全排列:2 6 =n !2. 逆序数先规定一个标准次序偶排列如自然次序: 1 2 3 4 … (n 1) n n = 6时, 1 2 3 4 5 6 ——标准次序1 4 2 3 5 6 ——有逆序4 2 4 32 个3 23 2 1456 ——有逆序2 13 1 3 个逆序数奇排列例1. 求下列排列的逆序数(1) 32514,(2) (2n )(2n -2)…4213…(2n -3)(2n -1). 3. 对换/邻对换注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.1 53 42 6 32 1 4 5 6 13 245 61 2 4 35 6定理 1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ☺ ☹ ☹ ☺ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺ ☹ 3 ☺☹ 4 ☹☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7☹ ☺ 89☺ ☹ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺☹ 3 ☹☺ 4 ☹ ☺ 5 ☹ ☺ 6☹ ☺ 7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶排列各占一半, 即各有n !/2个.二. n 阶行列式的定义1.三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积.a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31.每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性有关.()()=-∑1231231231231j j j j j j j j j a a a τa 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33j 1j 2j 3的逆序数对所有不同的三级排列j 1j 2j 3求和()()=-∑121212121j j j j j j a a τa 11 a 12a 21a 222. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑121212121 n nnj j j j j nj j j j a a a τ注: 当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11,这与绝对值符号的意义是不一样的.例如, 四阶行列式中, 负a 12a 23a 34a 411234a a 13a 14222331324144a 14a 23a 32a 41前面带____号,正a 11121314 a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a 42a 43a 44a 31a 22a 13a 44前面带____号.负没有,a 11a 22a 31a 44前面带____号, a a a a3. 几个特殊的行列式λ1 0 ... 00λ2 0… … … …0 0 … λn0 … 0 λ10 … λ20… … … …λn … 0 0= λ1λ2…λn , (1) 对角行列式λ1λ2…λn .= (-1) n (n -1) 2(2) 上(下)三角形行列式a 11 a12 (1)0a22 ... a 2n ... ... ... ...00... a nn a11 0 0a21a22 0… … … …a n 1 a n2 … a nn = a 11 a 22…a nn . = a11 a22…a nn.事实上, 只有pi i(i= 1,2,…n)时,1212np p npa a a才有可能不为0.若有某个pk> k, 则必然有若有某个p l< l,否则1+2+…+n= p1+p2+…+p n>1+2+…+n, 矛盾!例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1①τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇②τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶③τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇④τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶经过一次对换后奇奇偶偶偶奇奇偶τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)= (-1)τ(1234) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''= (-1)τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)4. n 阶行列式的另外一种定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑112221121 n nn i i i i i i i ni i a a a τ性质1. DT = D .记D = 行列式D T 称为D 的转置. 记bij= a ji , 则D Ta 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nna 11a 21… a n 1a 12a 22… a n 2… … … …a 1n a 2n … a nn, D T=()()=-∑1212121 n n j j nj j j j b b b τ()()=-∑1212121 n n j j j j j nj a a a τ5. 行列式的转置= D .§1.3 行列式的性质一. 行列式的基本性质a 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … … a n 1 a n 2 … a nna 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn= k .性质2. 行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.k a11 k a12… k a1n k a21k a22 … k a2n … … … …k a n1 k a n2 … k a nna11 a12 (1)a21a22 (2)… … … …a n1 a n2 … a nn = ___.k na 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i n i i a a a b τ()()=-∑1212211 n n i i i i i i n a a a τ()()+-∑1212211 n n i i i i i i nb a a τa 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i ni i a a a b τb 11a 12… a 1n b 21a 22 … a 2n … … … …b n 1a n 2 … a nn+ . a 11a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1a n 2 … a nn =性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和. a + u b +vc +xd + y = [ ].+ a b c d (A)u v x y 例3. + u b x d (B)u v x y + a b cd a v c y + a b + v cd + y u b + v x d + y()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33→b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ(-1)τ(123)a 11a 22a 33(-1)τ(321)a 13a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(321)a 32a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(123)a 11a 22a 33性质4. 互换行列式中的两行(列), 值变号. ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33 →b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ例4.= _____. 3 2 1 01 5 6 -20 -1 7 3 1 01 01 5 6 -2 0 -1 7 3 1 0=-3 2 -1 0 3 2 -1 0 -1 0 3 2 -1 0 推论. 若行列式D 中有两行(列)完全相同, 则D = 0.6 4 -2 0 1 5 6 - 20 - 1 7 3 3 2 - 1 0 例5.= _____. 3 2 -1 01 5 6 -2 0 -1 7 3 3 2 -1 0=2性质5. 若行列式D 中有两行(列)成比例,则D = 0.例6.111213a21a22a23a31a32a33⨯k→a11a12a13a21a22a23a31+k a11a32+k a12a33+k a13=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+ 0=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+a11a12a13a21a22a23k a11k a12k a13例6.性质6. 将行列式中某一行(列)的k 倍加到另一行(列), 所得的行列式与原行列式的值相等.111213a 21a 22a 23a 31a 32a 33k = a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31+k a 11a 32+k a 12a 33+k a 13例7. (1) 1 2 34 5 67 8 9⨯(-1)=1 2 33 3 37 8 9⨯(-1)= 1 2 33 3 36 6 6= 0.(2) 1 1 11 2 11 1 3⨯(-1)=1 1 10 1 01 1 3⨯(-1)= 1 1 10 1 00 0 2= 2.(3)⨯(-1)1 1 ... 1 1 a (1)1 1 … a= (a +n -1)… …… =a +n -1 a +n -1...a +n -11 a (1)1 1 … a ………n ⨯na 1 … 1 1 a … 1 1 1 … a ………(4)1 0 λ+1-5 λ+2 -3λ-3 1 -2= -λ-3 1 -2-5 λ+2 -31 0 λ+1⨯51 0 λ+10 λ+2 5λ+2λ-3 1 -2= -⨯(3-λ)1 0 λ+10 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1= -⨯(-λ-2) 1 0 λ+1 0 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1 = -1 0 λ+1 0 1 -λ2+2λ+1 0 λ+2 5λ+2 = 1 0 λ+10 1 -λ2+2λ+10 0 λ3= = λ3.(其中a 1a 2…a n ≠0).(5) 1+a 1 1 … 1 1 1+a 2… 1… … … …1 1 … 1+a n= 1 1 1 … 101+a 1 1 … 1 0 1 1+a 2… 1…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…= 1 1 1 (1)01+a1 1 (1)0 1 1+a2 (1)…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…1 1 1 (1)-1a10 0-10 a2 0…… … ……-10 0 … a n= ―伞形”行列式Il veit!= 1 1 1 … 1-1a 10 … 0 -10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n⨯(-1/a 1)…⨯(-1/a 2)⨯(-1/a n )注意已知条件: a 1a 2…a n ≠0,否则不能1/a 1, …, 1/a n != [1+ ∑(1/a i )]a 1a 2a n .… n= 1+∑(1/a i )00...0-1a 10 0-10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n i = 1 n例8. 证明n阶级(n≥2)范德蒙(Vandermonde)D n = 1 1 (1)x 1x 2… x nx12x22… x n2… … … …x1n -1x2n-1 … x n n -1= ∏(x j-x i).1≤i<j≤n行列式注: ①有些书上将上述转化过程用r k↔r j, c k↔c j, r i+k r j , c i+k c j等记号表示, 并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.②为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:a b c da+c b+dc da+c b+d-a -b r1+r2a b c da bc-a d-bc dc-a d-br1+r2r2-r1r2-r1例9. 设D = a 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……, 证明: D = D 1D 2.证明: 对D 1施行r i +k r j 这类运算, 把D 1化为下三角形行列式:= p 11p m 1…p mm…...= p 11 …p mm , b 11 …b 1nb n 1 …b nnD 2=,……a 11 …a 1m 0 … 0 ……………………,a m 1... a mm 0 0c 11 …c 1m b 11 …b 1nc n 1 …c nm b n 1 …b nna 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……。
行列式和线性方程组的求解
行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特 定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考 虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化 为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性 和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵 中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理 解的算法，适用于大多数线性方程组。 它能够精确求解方程组，且在主元选择 合适的情况下具有较高的计算效率和稳 定性。
第一章 行列式
于是方程组Ⅰ的解可简写为：
当D =
a11 a 21
a12 a 22
a11 b1 b1 a12 a b b a 22 ≠ 0 时，方程组Ⅰ有唯一解 x1 = 2 , x 2 = 21 2 . a11 a12 a11 a12 a 21 a 22 a 21 a 22
(1) × a 22 − (2) × a12 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x1 = b1a 22 − b2 a12 . (2) × a11 − (1) × a 21 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x2 = b2 a11 − b1 a 21 .
则 x1 =
b1 a 22 − b2 a12 b a −b a , x 2 = 2 11 1 21 . 这时， 我们要求 a11a 22 − a12 a 21 ≠ 0 . a11 a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21
理学院田宝玉
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第一章
行列式
§1.2 n 阶行列式的定义及性质
一、二阶行列式与三阶行列式的关系 先规定一阶行列式的定义. 一阶行列式 二阶行列式 三阶行列式
a11 = a11
a11 a 21
（注：这是行列式符号而非绝对值符号）
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 = a11 (−1)1+1 a 22 + a12 (−1)1+ 2 a 21 a 22
同二元方程组，我们采取相同的办法，我们记
a11 a21 a31
a12 a22 a32
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
《经济数学》第6章 行列式矩阵与线性方程组
第6章 行列式、矩阵与线性方程组本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。
在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。
在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。
线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。
在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。
６．１ n 阶行列式及性质行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．6.1.1 二阶行列式二元线性方程组的一般形式是)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122122112111122122122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号22211211a a a a 来表示12212211a a a a -，即22211211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)在22211211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置排成一个正方形． 我们称22211211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。
第一章线性方程组与行列式1
2
本学期的内容:
第一章 线性方程组与行列式 第二章 矩阵与线性方程组 第三章 向量组的线性相关性 第四章 相似矩阵与二次型 第五章* 线性空间与线性变换
3
第一章
线性方程组 与行列式
行列式的概念 行列式的性质 与计算 克莱姆法则解 线性方程组
4
§1 二元、三元方程组与二阶与三阶行列式
一．二元线性方程组与二阶行列式 a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2
a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
a13
主对角线 副对角线
对角线法则
特点 （1）三行三列； （2）含六项(3!)的代数式；
（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积； （4）三正三负。
8
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 21 1 22 2 33 3
18
注意
(1)当 n = 1时，一阶行列式 a a 。
例: 1 1
(2)n 阶行列式也可以定义为
D 1 a p11a p2 2 a pn n
τ 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数。
19
例1：计算
a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d
其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列.所以
D acfh adeh bdeg bcfg
21
a11
a12 a1n a22 a2 n
例3 上三角行列式 D
0
证 展开式中项的一般形式是 由于i >j时，有 aij 0，则
线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
1211 2 0 0 1 4 3 (1)
0 0 0 0 a4
1 2 0 3 1 001 4 3
列
§1.4 线性方程组的求解
a11 a12 … a1n
1.定义. sn矩阵
a21 a22 … a2n …………
行
as1 as2 … asn
简记为 A = (aij) sn. 元素 aij (1 i s, 1 j n)
元素都是实数——实矩阵
元素都是复数——复矩阵
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵 都是实矩阵.
线性方程组有解判别定理
§1.4 线性方程组的求解
定理. 设ARmn, bRm, 则
(1) 当 r(A, b) = r(A) + 1 时, Ax = b无解;
(2) 当 r(A) = r(A, b) = n 时, Ax = b有唯一解;
(3) 当 r(A) = r(A, b) < n 时, Ax = b有无穷多个解, 且通解中含有 n r(A) 个自由未知量.
a22 … a2n ………
= 0.
an1 an2 … ann
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
例. 设有线性方程组
2x3 8x4 = 6 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 2x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = a
(1) a为何值时, 此方程组有无穷多解? 并求其通解.
问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵 的阶梯数一定相同吗？
必相同！要由第二章矩阵的秩的知识来严格证明.
第一章 行列式和线性方程组的求解
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。